volumen de un arco de cicloide
Beltran
( 7 Pi^2 a^3 ).
"Halla el volumen del cuerpo de revolución limitado por un arco de la
cicloide al girar ésta por una recta paralela al eje OX y que pasa por
el vértice de la cicloide."
Las ecuaciones de la cicloide en paramétricas son :
x=a(t-sen(t))
y=a(1-cos(t))
Muy agradecido.
Antonio González
Prueba a usar el teorema de Pappus-Guldin:
"El volumen que engendra una superficie plana S al girar alrededor de un
eje contenido en su plano y que no lo corta , es igual al producto de la
superficie que gira por la longitud de la circunferencia que describe su
centro de gravedad en un giro alrededor del eje"
--
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
Trasladando paralelamente el eje OX para que coincida con la rcta y = 2a,
las ecuaciones son:
x = a(t - sen(t))
y = -a(1 + cos(t))
El volumen es
V = pi*Int(y^2, x, 0, 2pi*a)
Teniendo en cuenta que
dx = a(1 - cos(t))dt
x = 0 ---> t = 0
x = 2pi*a --> t = 2pi
El volumen limitado por el arco de cicloide y este nuevo eje OX es
V' = pi*a^3Int((1 + cos(t))^2(1 - cos(t)), t, 0, 2pi)
= pi*a^3*Int((1 + cos(t))sen^2(t), t, 0, 2pi) = pi^2*a^3
Para hallar el volumen que nos piden, debemos restarlo del volumen del
cilindro de radio 2a y altura 2pi*a:
V = (2a)^2*pi*(2pi*a) - pi^2*a^3 = 8pi^2a^3 - pi^2a^3 = 7pi^2a^3
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Beltran
cilindro y no el que obtienes directamente?
Gracias
Beltrán
Beltran
a^3*Pi^2, y al restarle el volumen del cilindro como hace Ignacio,
sale la respuesta correcta.
Gracias.
Ignacio Larrosa Cañestro
Más que nada por que da el resultado que decías. Realmente, si hacemos girar
el arco, no se genera ningún volumen, sino una superficie. Yo supongo que lo
que se pretende es que gire el área limitada por el arco de cicloide y el
eje OX, que es el resultado que di.
Beltran
Saludos,
Beltran
León-Sotelo
wrote:
> De acuerdo Ignacio.
> Saludos,
> Beltran
Bueno para integrar mas facil he trasladado el eje y hacia la derecha
(le sumo -pi)para que la cicloide sea simetrica respecto a ese eje.El
centro de masas está situado en ese eje y a una altura sobre el eje x
que voy a intentar calcular.
Si el difencial de masa es dm hay que calcular Integral de
2x(t)*y(t)dx dividida por el area del arco de cicloide (esta puede
hacerse pero es conocida e igual a tres veces el area del circulo que
la genera 3*pi*a^2)
Las ecuaciones de la cicloide trasladada quedan:
x(t)=a(-pi+t-sin(t))
y(t)=a(1-cos(t))
Hay que integrar Int(2x(t)*y(t)dx)= 4a^3Int((1-cost)(-pi+t-
sin(t))sin(t) entre 0 y 2pi que no sale una integral muy "mona" pero
de todas formas he llegado a la conclusión despues de un buen rato de
que el centro de masas de la superficie debajo del bucle de cicloide
esta en el eje de simetia a una altura sobre el eje x que vale 5a/6.
¿Me podeis confirmar este resultado?
Si ahora aplicamos Papus como decia Antonio al girar alrededor de y=2a
el centro de masas se encuentra a una distancia de esa recta que es 2a-
(5a/6)=7a/6.Con ello la longiud recorrida por dicho centro de masas al
girar 360º es 2pi*7a/6 que multiplicado por el area del bucle nos debe
dar el volumen:
2*pi*(7a/6)*3*pi*a^2=7pi^2a^3.
Por lo menos está de acuerdo con la solución de Beltran
Saludos
León-Sotelo