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Cotangente y arcos cotangente

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Leon-Sotelo.

unread,
May 20, 2004, 2:22:17 AM5/20/04
to
Hallar el valor de 10*ctg(arcctg(3)+arcctg(7)+arcctg(13)+arcctg(21))

Saludos.
León-Sotelo.

Antonio González

unread,
May 20, 2004, 3:55:31 AM5/20/04
to
Leon-Sotelo. creyó necesario hacer saber al mundo que:

> Hallar el valor de 10*ctg(arcctg(3)+arcctg(7)+arcctg(13)+arcctg(21))
>

La respuesta es ¡la niña bonita!

Veámoslo.

Primero pongamos la fórmula para la cotangente de una suma.
Tenemos la de la tangente

tg(x+y) = (tg(x)+tg(y))/(1-tg(x)tg(y))

Invirtiendo

cotg(x+y) = (1-tg(x)tg(y))/(tg(x)+tg(y)) =

= (1-1/(cotg(x)cotg(y))/(1/cotg(x)+ 1/cotg(y)) =

= (cotg(x)cotg(y) - 1)/(cotg(x) + cotg(y))

Ahora aplicamos esto dos veces.

Sean

x = arccotg(3) + arccotg(7)

y = arccotg(13) + arccotg(21)

Tenemos que

cotg(x) = (3*7 -1)/(3 + 7) = 20/10 = 2

cotg(y) = (13*21 - 1)/(13 + 21) = 272/34 = 8

y por tanto

10*cotg(x+y) = 10*(2*8-1)/(2+8) = 15

Antonio


Ignacio Larrosa Cañestro

unread,
May 20, 2004, 4:02:52 AM5/20/04
to
Leon-Sotelo. <leons...@wanadoo.es> escribió en el mensaje
news:7ee8d1ed.04051...@posting.google.com:

> Hallar el valor de 10*ctg(arcctg(3)+arcctg(7)+arcctg(13)+arcctg(21))
>

arctg(a) = x, arctg(b) = y ==> a = tg(x), b = tg(y)

tg(x + y) = (tg(x) + tg(y))/(1 - tg(x)tg(y)) = (a + b)/(1 - ab)

x + y = arctg((a + b)/(1 - ab))

arctg(a) + arctg(b) = arctg((a + b)/(1 - ab))

Entonces

A = arcctg(3)+arcctg(7)+arcctg(13)+arcctg(21)

= arcctg((3 + 7)/(1 - 3*7)) + arcctg((13 + 21)/(1 - 273))

= arcctg(-1/2)+arcctg(-1/8) = arctg((-1/2 - 1/8)/(1 - (-1/2)(-1/8)))

= arctg((-5/8)/(15/16)) = arctg(-2/3)

Luego,

10*cotg(A) = 10/(-2/3) = -15


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro

unread,
May 20, 2004, 4:09:08 AM5/20/04
to
Ignacio Larrosa Cañestro <ilarrosaQUIT...@mundo-r.com> escribió en
el mensaje
news:2h371eF...@uni-berlin.de:

> Leon-Sotelo. <leons...@wanadoo.es> escribió en el mensaje
> news:7ee8d1ed.04051...@posting.google.com:
>
>> Hallar el valor de 10*ctg(arcctg(3)+arcctg(7)+arcctg(13)+arcctg(21))
>>
>
> arctg(a) = x, arctg(b) = y ==> a = tg(x), b = tg(y)
>
> tg(x + y) = (tg(x) + tg(y))/(1 - tg(x)tg(y)) = (a + b)/(1 - ab)
>
> x + y = arctg((a + b)/(1 - ab))
>
> arctg(a) + arctg(b) = arctg((a + b)/(1 - ab))
>
> Entonces
>
> A = arcctg(3)+arcctg(7)+arcctg(13)+arcctg(21)
>
> = arcctg((3 + 7)/(1 - 3*7)) + arcctg((13 + 21)/(1 - 273))
>
> = arcctg(-1/2)+arcctg(-1/8) = arctg((-1/2 - 1/8)/(1 -
> (-1/2)(-1/8)))
>
> = arctg((-5/8)/(15/16)) = arctg(-2/3)
>
> Luego,
>
> 10*cotg(A) = 10/(-2/3) = -15

Lo de arcctg me despistó, con esta ya no tan incipiente presbicea no me
percaté de la doble 'c'. Luego fuí copiando y pegando y las arrastré,
pensando siempre que eran arctg ...

Si son arco-cotangentes, el resultado correcto es el de Antonio, claro.

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