demostrar: sup(A+B)=sup(A)+sup(B)
marta gomez
sup(C)=sup(A+B)=sup(A)+sup(B) donde A y B son no vacios y de números
reales. Llamo:
x=sup(A) e y=sup(B) e z=sup(C)
de forma que: z=x+y
Aplicando el axioma de orden de los números reales tengo:
z<=x+y y z>=x+y
Si x=sup(A) entonces a<=x Para todo a de A
Si y=sup(B) entonces b<=y Para todo b de B
Sumando: a+b<=x+y para todo a de A y para todo b de B
a+b pertenece a C entonces c<=x+y para todo c de C (x+y es una cota
superior de C) y por el axioma del supremo se prueba que: z=sup(C)
<=x+y y consigo demostrar una de las desigualdades: z<=x+y
el PROBLEMA es que no consigo demostrar la otra desigualdad: z>=x+y.
Para poder demostrarlo hay que utilizar la propiedad arquimediana de los
números Reales: Dados a,x,y pertenecientes a los reales tales que
a<=x<=a+(y/n) para todo n perteneciente a los naturales entonces x=a.
Pero más que lo intento no le veo solución.
Agradeceria cualquier tipo de ayuda.
Gracias y un saludo.
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gonzalo chumillas velázquez
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x pertenece a A, y pertenece a B entonces x<=sup(A) e y<=sup(B) por
tanto x+y<=sup(A)+sup(B), pero sup(A+B) es por definicion la menor cota
superior de los elementos de A+B, por tanto sup(A+B)<=sup(A)+sup(B).
2º: probar que sup(A)+sup(B)<=sup(A+B):
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hagamoslo por reduccion al absurdo: sup(A)+sup(B)>sup(A+B).
sea e=sup(A)+sup(B)-sup(A+b), una cantidad positiva.
tomemos x de A tal que x>sup(A)-e/2
tomemos y de B tal que y>sup(B)-e/2
lo anterior lo podemos hacer ya que sup(A)-e/2 es un numero menor que la
cota minima superior sup(A), por tanto habra numeros de A que esten por
encima. igual para sup(B)-e/2.
se tiene que x+y>sup(A)+e/2+sup(B)+e/2=sup(A)+sup(B)+e=
sup(A)+sup(B)-[sup(A)+sup(B)-sup(A+B)]=sup(A+B)
osea x+y>sup(A+B), contradiccion, ya que x+y son de A+B y por tanto
menores o iguales que sup(A+B).
Joaquín Mª López Muñoz
...
> el PROBLEMA es que no consigo demostrar la otra desigualdad: z>=x+y.
> Para poder demostrarlo hay que utilizar la propiedad arquimediana de los
> números Reales: Dados a,x,y pertenecientes a los reales tales que
> a<=x<=a+(y/n) para todo n perteneciente a los naturales entonces x=a.
> Pero más que lo intento no le veo solución.
Supón que z<x+y, 0 sea, e=x+y-z es >0. Considera x'=x-(e/2),y'=y-(e/2),
por la suposición anterior resulta ser x'<x, y'<y: como x e y son resp.
supremos de A y B existen a y b en A y B tales que a>x', b>y', de donde
c=a+b>x'+y'=x+y-e=z, en contradicción con la hipótesis de que z es
supremo de C.
Joaquín Mª López Muñoz
Telefónica, Investigación y Desarrollo
marta gomez
segunda desigualdad era mediante la propiedad arquimediana, aunque la
forma que tu planteas es más natural y sencilla que por la propiedad
arquimediana.
marta gomez
planteais es más natural y sencilla que por la propiedad arquimediana. De
todas formas si se os ocurre como demostrarlo aplicando esta propiedad
comunicármelo.
Un saludo.