Suma de números equilibrados (II).

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Marko Riedel

unread,
Jan 22, 2007, 4:22:55 PM1/22/07
to

Hallar, con prueba, la suma de aquellos números de cuarenta dígitos en
los que la suma de sus veinte primeros dígitos es igual a la suma de
los veinte últimos dígitos.

;-)

Un saludo.

--
+------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, mri...@neuearbeit.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+------------------------------------------------------------+

Marko Riedel

unread,
Jan 22, 2007, 6:18:24 PM1/22/07
to
Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:

> Hallar, con prueba, la suma de aquellos números de cuarenta dígitos en
> los que la suma de sus veinte primeros dígitos es igual a la suma de
> los veinte últimos dígitos.
>

Pista: si no me equivoco, la respuesta contiene la secuencia de cifras
"3133628019194" ...

Ignacio Larrosa Cañestro

unread,
Jan 23, 2007, 8:55:00 AM1/23/07
to
En el mensaje:m3ireyb...@professional.local,
Marko Riedel <markor...@yahoo.de> escribió:

> Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:
>
>> Hallar, con prueba, la suma de aquellos números de cuarenta dígitos
>> en los que la suma de sus veinte primeros dígitos es igual a la suma
>> de los veinte últimos dígitos.
>>
>
> Pista: si no me equivoco, la respuesta contiene la secuencia de cifras
> "3133628019194" ...
>

No lo se, pero debe ser múltiplo de 73, 137, 1676321 y 5964848081 ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com


Marko Riedel

unread,
Jan 23, 2007, 9:19:37 AM1/23/07
to mri...@neuearbeit.de
"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUIT...@mundo-r.com> writes:

> En el mensaje:m3ireyb...@professional.local,
> Marko Riedel <markor...@yahoo.de> escribió:
> > Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:
> >
> >> Hallar, con prueba, la suma de aquellos números de cuarenta dígitos
> >> en los que la suma de sus veinte primeros dígitos es igual a la suma
> >> de los veinte últimos dígitos.
> >>
> >
> > Pista: si no me equivoco, la respuesta contiene la secuencia de cifras
> > "3133628019194" ...
> >
>
> No lo se, pero debe ser múltiplo de 73, 137, 1676321 y 5964848081 ...
>
>

Por supuesto. Se trata de usar funciones generatrices racionales. Cabe
preguntarse cuales datos se necesitan para calcular la suma, y luego
establecer una recursion para ellos.

Marko Riedel

unread,
Jan 24, 2007, 6:30:33 AM1/24/07
to mri...@neuearbeit.de
mri...@neuearbeit.de (Marko Riedel) writes:

> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUIT...@mundo-r.com> writes:
>
> > En el mensaje:m3ireyb...@professional.local,
> > Marko Riedel <markor...@yahoo.de> escribió:
> > > Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:
> > >
> > >> Hallar, con prueba, la suma de aquellos números de cuarenta dígitos
> > >> en los que la suma de sus veinte primeros dígitos es igual a la suma
> > >> de los veinte últimos dígitos.
> > >>
> > >
> > > Pista: si no me equivoco, la respuesta contiene la secuencia de cifras
> > > "3133628019194" ...
> > >
> >
> > No lo se, pero debe ser múltiplo de 73, 137, 1676321 y 5964848081 ...
> >
> >
>
> Por supuesto. Se trata de usar funciones generatrices racionales. Cabe
> preguntarse cuales datos se necesitan para calcular la suma, y luego
> establecer una recursion para ellos.
>

Hola de nuevo,

me permitiran decir una cosa mas: me gustaría ver una solución
alternativa para saber si la mia es correcta.

Creo que la funcion D(z, u) = sum_{n >= 1} ((u^10-1)/(u-1))^n z^n
podría ser relevante, pero por sí sola no es suficiente para la
solucion.

Un saludo.

Marko

Marko Riedel

unread,
Jan 25, 2007, 9:05:54 PM1/25/07
to
mri...@neuearbeit.de (Marko Riedel) writes:

> mri...@neuearbeit.de (Marko Riedel) writes:
>
> > "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUIT...@mundo-r.com> writes:
> >
> > > En el mensaje:m3ireyb...@professional.local,
> > > Marko Riedel <markor...@yahoo.de> escribió:
> > > > Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:
> > > >
> > > >> Hallar, con prueba, la suma de aquellos números de cuarenta dígitos
> > > >> en los que la suma de sus veinte primeros dígitos es igual a la suma
> > > >> de los veinte últimos dígitos.

[...]

Hola de nuevo,

les mando un esbozo de la solucion. Solicito sus comentarios acerca de
posibles errores. Sea E_n la suma de aquellos números de 2n digitos en
los que la suma de sus n primeros dígitos es igual a la suma de los n
últimos dígitos.

Primero, un programa, que calcula E_n para n=1, n=2, y n=3:

#! /usr/bin/perl -w
#

my $width = shift || 3;

my $sum = 0;

for(my $n=1; $n<10**(2*$width); $n++){
my $str = sprintf '%0' . 2*$width . 'd', $n;
my @fields = (split //, $str);

my ($s1, $s2, $pos) = (0, 0);
for($pos=0; $pos<2*$width; $pos++){
if($pos<$width){
$s1 += $fields[$pos];
}
else{
$s2 += $fields[$pos];
}
}

if($s1==$s2){
$sum += $n;
}
}

print "$width $sum\n";

Los resultados son:

E_1 = 495
E_2 = 3349665
E_3 = 27625972374.

Luego, una observacion basica: sea g_{n, k} el numero de enteros no
negativos de n digitos con la suma de sus digitos igual a k.

Sea s_{n, k} la suma de los enteros no negativos de n digitos con la
suma de sus digitos igual a k.

Entonces

E_n = sum_{k=0}^{9 n} (10^n+1) s_{n, k} g_{n, k}.

Con

V(u) = (u^10-1)/(u-1), y W(u) = sum_{r=0}^9 r u^r

y

G(z, u) = sum_{n >= 1, k >= 0} g_{n, k} u^k z^n

es inmediato que

G(z, u) = sum_{n >= 1} V(u)^n z^n = V(u) z / (1 - V(u) z).

Para n>1 tenemos

s_{n, k} = sum_{r=0}^9 (10 s(n-1, k-r) + g(n-1, k-r)*r).

Un entero que contribuye a s(n-1, k-r) multiplicado por 10, seguido
por r, donde 0 <= r <= 9, contribuye a s(n, k).

Luego observamos que

sum_{k >= 0} s(1, k) u^k z = sum_{r=0}^9 r u^r z = W(u) z.

Poniendo

S(z, u) = sum_{n >= 1, k >= 0} s_{n, k} u^k z^n

y sumando las contribuciones obtenemos

S(z, u) = z W(u) + 10z V(u) S(z, u) + z W(u) G(z, u)

y de ahi

S(z, u) = (z W(u) + z W(u) G(z, u))/(1 - 10z V(u))

= z W(u) (1 + G(z, u))/(1 - 10z V(u))

= z W(u) / (1 - z V(u)) / (1 - 10z V(u)).

Finalmente aplicamos

E_n =
sum_{k=0}^{9 n} (10^n+1) [z^n u^k] S(z, u) [z^n u^k] G(z, u).

con S(z, u) y G(z, u) funciones racionales con series de Taylor
faciles de calcular.

Los primeros valores para E_n son

1 495
2 3349665
3 27625972374
4 240801497591985
5 2162288199783771180
6 19790585209980209414790
7 183566563673998164334363260
8 1719500099286549828049990071345
9 16229128291876975983770871708123024
10 154095946187094841998459040538129051580
11 1470283473289020339999852971652671097966000
12 14085156389112875121049985914843610887124878950
13 135392958469359073392604998646070415306409266073950
14 1305233650788904309294105679869476634921109569070589432
15 12614395930501727321029630695987385604069498272678970369304
16 122177670644611024459763947361498778223293553889755402360526385
17 1185633898500558643116053969483499881436610149944135688394603051650
18 11525195623906119101843912373578899988474804376093880898156087626421100
19 112203312767859412537217211281711779998877966872321405874627827887182882200
20 1093844474149520613133628019194480743399890615552585047938686637198080551925660

Un saludo.

georgesZ

unread,
Jan 26, 2007, 11:17:48 AM1/26/07
to
Hola Marko,

Con Maple E_1=495, pero E_2=3314850.

Quizas es porque considero los numeros
de 4 zifras, es decir desde 1000 hasta 9999.


Marko Riedel a écrit :

Esto me parece falso. Creo que se debe introducir t_{n,k}=Sum(s_{i,k},
i=1..n) y

E_n= sum_{k=0}^{9 n} (10^n* s_{n, k} +g_{n, k}*t_{n,k}).

Amistades,
Georges

Ignacio Larrosa Cañestro

unread,
Jan 26, 2007, 11:35:15 AM1/26/07
to
En el mensaje:1169828268.0...@j27g2000cwj.googlegroups.com,
georgesZ <zel...@numericable.fr> escribió:

> Hola Marko,
>
> Con Maple E_1=495, pero E_2=3314850.
>
> Quizas es porque considero los numeros
> de 4 zifras, es decir desde 1000 hasta 9999.
>

Yo con Derive obtengo las mismas sumas que Marko, para E_1, E_2 y E_3, con
9, 669 y 55251 sumandos respectivamente.

Es que debes considerar los números a partir de 100. Sin ir más lejos, 101
es un número que cumple las condiciones, como 202, 211 y 220.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com

georgesZ

unread,
Jan 26, 2007, 1:26:47 PM1/26/07
to
Hola Ignacio,
101 tiene 3 zifras y no 4 me parece.
Amistades,
Georges
Ignacio Larrosa Cañestro a écrit :

> En el mensaje:1169828268.0...@j27g2000cwj.googlegroups.com,
> georgesZ <zel...@numericable.fr> escribió:
> > Hola Marko,
> >
> > Con Maple E_1=495, pero E_2=3314850.
> >
> > Quizas es porque considero los numeros
> > de 4 zifras, es decir desde 1000 hasta 9999.
> >
>
> Yo con Derive obtengo las mismas sumas que Marko, para E_1, E_2 y E_3, con
> 9, 669 y 55251 sumandos respectivamente.
>
> Es que debes considerar los números a partir de 100. Sin ir más lejos, 101
> es un número que cumple las condiciones, como 202, 211 y 220.

Ignacio Larrosa Cañestro

unread,
Jan 26, 2007, 1:45:43 PM1/26/07
to
En el mensaje:1169836007.7...@q2g2000cwa.googlegroups.com,
georgesZ <zel...@numericable.fr> escribió:

> Hola Ignacio,
> 101 tiene 3 zifras y no 4 me parece.
> Amistades,
> Georges

Desde luego, pero si lees el planteamiento inicial de León-Sotelo, en 'Suma
de números equilibrados':

"Desde el 000001 al 999999 escogemos solo aquellos números en los que
la suma de sus tres primeros dígitos es igual a la suma de los tres
últimos dígitos.Demostrar que la suma total de todos esos números
entresacados es múltiplo de 13."

esta claro que se referia a números de hasta 6 cifras.

Este es el problema que generalizó Marko, aunque es verdad que su enunciado
no se corresponde con esto.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com

georgesZ

unread,
Jan 26, 2007, 2:00:44 PM1/26/07
to

georgesZ a écrit :

aqui me he equivocado :

se debe introducir u_{n,k}=Sum(g_{i,k}, i=1..n) y

E_n= sum_{k=0}^{9 n} (10^n* s_{n, k}*u_{n,k} +t_{n,k}*g_{n, k}).

Marko Riedel

unread,
Jan 26, 2007, 4:43:56 PM1/26/07
to
"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUIT...@mundo-r.com> writes:

> En el mensaje:1169836007.7...@q2g2000cwa.googlegroups.com,
> georgesZ <zel...@numericable.fr> escribió:
> > Hola Ignacio,
> > 101 tiene 3 zifras y no 4 me parece.
> > Amistades,
> > Georges
>
> Desde luego, pero si lees el planteamiento inicial de León-Sotelo, en 'Suma
> de números equilibrados':
>
> "Desde el 000001 al 999999 escogemos solo aquellos números en los que
> la suma de sus tres primeros dígitos es igual a la suma de los tres
> últimos dígitos.Demostrar que la suma total de todos esos números
> entresacados es múltiplo de 13."
>
> esta claro que se referia a números de hasta 6 cifras.
>
> Este es el problema que generalizó Marko, aunque es verdad que su enunciado
> no se corresponde con esto.
>

Hola Ignacio,

esta muy bien tu corección. Cual seria, segun tu opinion, el enunciado
correcto? Lo que tenía en mente es precisamente generalizar el
problema de León-Sotelo.

He podido confirmar tus resultados sobre el numero de sumandos con el
seguiente programa (mas uno porque las funciones generatrices incluyen
el caso cero):

#! /usr/bin/perl -w
#

my $width = shift || 3;

my ($sum, $count) = (0, 0);

for(my $n=0; $n<10**(2*$width); $n++){


my $str = sprintf '%0' . 2*$width . 'd', $n;
my @fields = (split //, $str);

my ($s1, $s2, $pos) = (0, 0);
for($pos=0; $pos<2*$width; $pos++){
if($pos<$width){
$s1 += $fields[$pos];
}
else{
$s2 += $fields[$pos];
}
}

if($s1==$s2){
$sum += $n;
$count++;
}
}

print "$width $count $sum\n";

La salida del programa es

1 10 495
2 670 3349665
3 55252 27625972374


Se trata de F_n = sum_{k=0}^{9 n} g_{n, k}^2.

Tal vez se hayan dado cuenta que la recursion para s(n, k) (n>1) puede
escribirse de otra manera, o sea,

s_{n, k} = sum_{r=0}^9 (10^{n-1} g(n-1, k-r) r + s(n-1, k-r)).

Una cifra r, donde 0 <= r <= 9, seguida por un entero no negativo que
contribuye a s(n-1, k-r), contribuye a s(n, k).

¿Se atreve alguien a solucionar esta forma alternativa? ;-) (El
resultado es el mismo, obviamente.)

Un saludo.

PS: Es mejor poner V(u) = sum_{r=0}^9 u^r, para que no aparezca una
singularidad en u=1.

Marko Riedel

unread,
Jan 28, 2007, 5:58:48 PM1/28/07
to
Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:

> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUIT...@mundo-r.com> writes:
>
> > En el mensaje:1169836007.7...@q2g2000cwa.googlegroups.com,
> > georgesZ <zel...@numericable.fr> escribió:
> > > Hola Ignacio,
> > > 101 tiene 3 zifras y no 4 me parece.
> > > Amistades,
> > > Georges
> >
> > Desde luego, pero si lees el planteamiento inicial de León-Sotelo, en 'Suma
> > de números equilibrados':
> >
> > "Desde el 000001 al 999999 escogemos solo aquellos números en los que
> > la suma de sus tres primeros dígitos es igual a la suma de los tres
> > últimos dígitos.Demostrar que la suma total de todos esos números
> > entresacados es múltiplo de 13."
> >
> > esta claro que se referia a números de hasta 6 cifras.
> >

[...]


> Tal vez se hayan dado cuenta que la recursion para s(n, k) (n>1) puede
> escribirse de otra manera, o sea,
>
> s_{n, k} = sum_{r=0}^9 (10^{n-1} g(n-1, k-r) r + s(n-1, k-r)).
>
> Una cifra r, donde 0 <= r <= 9, seguida por un entero no negativo que
> contribuye a s(n-1, k-r), contribuye a s(n, k).
>
> ¿Se atreve alguien a solucionar esta forma alternativa? ;-) (El
> resultado es el mismo, obviamente.)
>

Hola de nuevo,

se les mando la respuesta para que sea completo. La ecuacion que
obtenemos es

S(z, u) = z W(u) + z W(u) G(10z, u) + z V(u) S(z, u)

o sea

S(z, u) = z W(u) + z W(u) 10 V(u) z/(1 - 10 V(u) z) + z V(u) S(z, u)

cuya solucion es

S(z, u) = z W(u) / (1 - 10 V(u) z) / (1 - z V(u)),

igual a la primera solucion.

Un saludo.

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