Integral discreta, D^(-1)
León-Sotelo
+1)-e^x=e^x(e-1) con lo que si el operador D^(-1) nos define la
integracion discreta, D^(-1) e^x(e-1)=e^x o lo que es lo mismo D^(-1)
e^x=e^x/(e-1) y asi obtenemos la integral discreta de la función
exponencial.
¿Cuales son las integrales discretas de x,x^2,...x^n? ¿Existe un
tabla de integrales discretas?
Aplicación:
Hallar Sum(i^2,i,1,n)
Saludos
León-Sotelo
Antonio González
> Como ejemplo hallamos la derivada discreta de e^x.Tendremos De^x=e^(x
> +1)-e^x=e^x(e-1) con lo que si el operador D^(-1) nos define la
> integracion discreta, D^(-1) e^x(e-1)=e^x o lo que es lo mismo D^(-1)
> e^x=e^x/(e-1) y asi obtenemos la integral discreta de la función
> exponencial.
> ¿Cuales son las integrales discretas de x,x^2,...x^n? ¿Existe un
> tabla de integrales discretas?
Existen bastantes casos tabulados, ya que se trata de hallar
sum_(k=1)^n f(k)
Sin embargo, en vez de usar como funciones base los monomios x^p, es
preferible usar los factoriales ascendentes (o símbolos de Pochhammer),
k^(n) = k(k+1)(k+2)(k+n-1)
http://mathworld.wolfram.com/RisingFactorial.html
ya que
sum_(k=1)^n 1 = n
sum_(k=1)^n k = n(n+1)/2
sum_(k=1)^n k(k+1) = n(n+1)(n+1)/3
...
y en general
sum_(k=1)^n k^(p) = k^((p+1))/(p+1)
en total analogía con los monomios en la integración ordinaria.
Así, si tienes un polinomio P(k) se descompone en suma de símbolos de
Pochhammer, con ayuda de los números de Stirling, ya que
1 = 1 = (n)_0
n = n = (n)_1
n² = n(n+1) - n = n^(2) - n^(1)
n³ = n^(3) - 3n^(2) + n^(1)
n^4 = n^(4) - 6n^(3) + 7n^(2) - n^(1)
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html
Una vez que se ha expresado como suma de factoriales ascendentes (esto
es, se ha calculado su "Transformada de Stirling") puedes integrar cada
uno por separado.
Por ejemplo
P(k) = k² = k^(2) - k^(1)
D^(-1)P = k^(3)/3 - k^(2)/2 = k(k+1)(k+2)/3 - k(k+1)/2 =
= k(k+1)(2(k+2)-3)/6 = k(k+1)(2k+1)/6
--
Antonio