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Momento de inercia
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Antonio González
Dec 10, 2011, 4:55:47 PM12/10/11
to
Hallar el momento de inercia de un triángulo homogéneo de lados a, b y c
respecto de un eje perpendicular al plano del triángulo y que pasa por
el baricentro.
Esto es, calcular
int (x^2+y^2) dS
donde x e y son las coordenadas de los puntos del triángulo respecto del
baricentro.
--
Antonio
respecto de un eje perpendicular al plano del triángulo y que pasa por
el baricentro.
Esto es, calcular
int (x^2+y^2) dS
donde x e y son las coordenadas de los puntos del triángulo respecto del
baricentro.
--
Antonio
Eduardo
Dec 12, 2011, 2:07:48 PM12/12/11
to
Primero, ubico mi sistema de coordenadas en un vértice en lugar de el
baricentro y expreso cada punto de la forma:
uA+vB ; con u,v reales y A,B vectores correspondientes a los otros
vértices.
La distancia^2 al vértice es entonces:
r^2 = u^2 a^2 + v^2 b^2 + 2 uv A·B
Así que el momento de inercia respecto a ese vértice es:
Jver = AxB int(int(r^2,v,0,1-u),v,0,1) ; AxB corresponde al
jacobiano. 'x': prod. vectorial.
Jver = AxB (a^2 + b^2 + A·B)/12
Y por el teorema se Steiner:
Jbar = Jver - Rbar^2 S ; Rbar: distancia al baricentro. S:
superficie del triángulo (que se obtiene con la fórmula de Herón)
Como AxB=2S , A·B=(a^2+b^2-c^2)/2 y Rbar=|A+B|/3
la expresión final resulta:
Jbar = S (a^2+b^2+c^2)/36
Antonio González
Dec 12, 2011, 3:28:09 PM12/12/11
to
El 12/12/2011 20:07, Eduardo escribió:
> Jbar = S (a^2+b^2+c^2)/36
>
Exacto. Así es como también lo he hallado yo, pero estoy seguro de que
un resultado tan elegante debe tener alguna demostración más simple, por
razonamientos de simetría o similares.
Este resultado equivale a decir que el radio de giro del triángulo es
R = rq(2J/S) = rq((a^2+b^2+c^2)/18)
--
Antonio
> Jbar = S (a^2+b^2+c^2)/36
>
Exacto. Así es como también lo he hallado yo, pero estoy seguro de que
un resultado tan elegante debe tener alguna demostración más simple, por
razonamientos de simetría o similares.
Este resultado equivale a decir que el radio de giro del triángulo es
R = rq(2J/S) = rq((a^2+b^2+c^2)/18)
--
Antonio
Antonio González
Dec 13, 2011, 3:35:56 PM12/13/11
to
Dividimos el triángulo en cuatro triángulos semejantes, uniendo los
puntos medios de los lados.
El momento de inercia completo es la suma de los de los cuatro triángulos
I = I0 + I1 + I2 + I3
siendo "0" el triángulo central y 1,2 y 3 los otros tres.
El baricentro del triángulo central es el mismo que el de todo el
triángulo. Su momento de inercia escala como (1/2)^4 (ya que va como la
cuarta potencia de una distancia.
I0 = I/16
Para los otros tres triángulos aplicamos el teorema de Steiner
I1 = I0 + M1 d1^2
siendo M1 la masa (área en este caso) del triángulo 1 y d1 la distancia
entre los baricentros de 0 y y 1. La masa M1 es (1/2)^2 de la del
triángulo completo. Por tanto
I = (I/16) + (I/16 + M d1^2/4) + (I/16 + M d2^2/4) + (I/16 + M d3^2/4) =
= I/4 + M(d1^2+d2^2+d3^3)/4
de donde
I = M(d1^2+d2^2+d3^2)/3
La distancia d1 es igual a 1/3 de la mediana del triángulo completo, por
lo que
I = M(m1^2+m2^2+m3^2)/27
Ahora bien, como ya nos mostró Ignacio en alguna ocasión, por aplicación
del teorema del coseno
m1^2 = (b^2+c^2-a^2/2)/2
m2^2 = (a^2+b^2-c^2/2)/2
m3^2 = (c^2+a^2-b^2/2)/2
m1^2 + m2^2 + m3^2 = (3/4)(a^2+b^2+c^2)
y por tanto
I = M(a^2+b^2+c^2)/36
c.q.d.
--
Antonio
Eduardo
Dec 13, 2011, 7:13:12 PM12/13/11
to
encarar.
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