Circunferencias en la rejilla
Antonio González
x^2 - 200x + y^2 - 220y = 0
x^2 - 20x + y^2 - 420y = 0
¿Cuál de las dos pasa por más puntos de coordenadas enteras?
--
Antonio
jhn
Ambas pasan por igual cantidad ;^)
jhn
León-Sotelo
A las dos circunferencias es facil trasladarle su centro al origen con
lo que se quedarian así sus ecuaciones:
x^2+y^2=44200=2^3*5^2*13*17
x^2+y^2=54100=2^2*5^2*541
En la primera los unicos primos en la descomposicion de 44200 que son
igual a 1 mod 4 estan en 5^2*13*17 y este numero tiene 3*2*2=12
divisores que multiplicado por cuatro cuadrantes nos da un total de 48
puntos de coordenadas enteras.
Para la segunda estan en 5^2*541 que tiene 3*2=6 divisores que hacen
un total de 6*4=24 puntos de coordenadas enteras.
A mi me salen por tanto que una tiene el doble de puntos de
coordenadas enteras que la otra.
Saludos.
León-Sotelo.
Ignacio Larrosa Ca�estro
"Le�n-Sotelo" <francisc...@gmail.com> escribi� en el mensaje
news:c8b27c8a-9b67-4a70...@a31g2000yqn.googlegroups.com...
>
> > De las circunferencias
>
> > x^2 - 200x + y^2 - 220y = 0
>
> > x^2 - 20x + y^2 - 420y = 0
>
>
> > --
>
> > Antonio
>
> Ambas pasan por igual cantidad ;^)
>
> jhn
A las dos circunferencias es facil trasladarle su centro al origen con
lo que se quedarian as� sus ecuaciones:
x^2+y^2=44200=2^3*5^2*13*17
x^2+y^2=54100=2^2*5^2*541
En la primera los unicos primos en la descomposicion de 44200 que son
igual a 1 mod 4 estan en 5^2*13*17 y este numero tiene 3*2*2=12
divisores que multiplicado por cuatro cuadrantes nos da un total de 48
puntos de coordenadas enteras.
Para la segunda estan en 5^2*541 que tiene 3*2=6 divisores que hacen
un total de 6*4=24 puntos de coordenadas enteras.
A mi me salen por tanto que una tiene el doble de puntos de
coordenadas enteras que la otra.
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Las ecuaciones se pueden poner como:
(x - 100)� + (y - 110)� = 22100 = 2^2*5^2*13*17
(x - 10)� + (y - 210)� = 44200 = 2^2*5^2*13*17
Ambas tienen un centro de coordenadas enteras, y el cuadrado de los radios
es un caso el doble que en el otro, por lo que ambos tienen el mismo n�mero
de representaciones como suma de dos cuadrados.
Como todos los factores impares son iguales a 3 (modulo 4) est�n elevados a
una potencia par (cero), tenemos que el n�mero de representaciones como suma
de dos cuadrados es, de acuerdo con los exponentes de los factores iguales a
1 (mod 4)
4(1 + 2)(1 + 1)(1 + 1) = 48
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
León-Sotelo
>
> - Mostrar texto de la cita -
Fuera...
Esta circunferencia tiene mal pasado el centro al origen.Seria:
x^2+y^2=22100=2^2*5^2*13*17 y aquí el producto que contiene factores
primos iguales a 1 mod 4 es 5^2*13*17 que tiene 3*2*2=12 divisores por
cuadrante lo que hace un total de 48
Las dos iguales.
Es que no son horas...
L-S
Antonio González
> 22100 = 2^2*5^2*13*17
> 44200 = 2^2*5^2*13*17
Qu� malo es escribir con sue�o... o el copy&paste.
--
Antonio
Ignacio Larrosa Ca�estro
"Antonio Gonz�lez" <gonf...@gmail.com> escribi� en el mensaje
news:7m9risF...@mid.individual.net...
A esas horas y a la vuelta de una buena cena, que quieres ...
Pero esto de los puntos enteros dentro o sobre la circunferencisa est�
bastante trillado, �no?
Antonio González
> "Antonio González" <gonf...@gmail.com> escribió en el mensaje
> news:7m9risF...@mid.individual.net...
>> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>>
>>> 22100 = 2^2*5^2*13*17
>>> 44200 = 2^2*5^2*13*17
>
> A esas horas y a la vuelta de una buena cena, que quieres ...
>
> bastante trillado, ¿no?
>
>
Sí, pero siempre se le puede sacar más punta.
Por ejemplo, que los puntos de ambas circunferencia están generados por
los enteros gausianos (1+i),(2+i),(4+i) y (2+3i), en distintos factores.
--
Antonio
jhn
Hola,
No he tenido tiempo para seguir el foro, pero cuando dije que en ambas
circunferencias había la misma cantidad de puntos no había calculado
cuántos eran. Mi idea era, luego de trasladar las circunferencias
(mediante vectores de coordenadas enteras) para que ambas tengan sus
centros en el origen, observar que la transformación T de matriz
(1 -1)
(1 1)
(rotación de 45º seguida de una homotecia de razón rq(2)) es una
biyección de la pequeña en la grande, y lleva los puntos con ambas
coordenadas enteras (p.a.c.e.) en la primera en los p.a.c.e. de la
segunda. La inversa
( 1/2 1/2)
(-1/2 1/2)
hace lo mismo de la 2º en la 1º (hay que observar que los p.a.c.e.
en la segunda tienen ambas coordenadas pares), y listo.
Saludos,
jhn
Ignacio Larrosa Ca�estro
por 7 puntos de coordenadas enteras. Con centro en el tri�ngulo de v�rtices
(0, 0), (0,1/2) y (1/2, 1/2), para unificar.
Ignacio