Demostraciones de la desigualdad aritmético-geométrica

[jhn]

Como tal vez sea de interés para algunos miembros del grupo, a
continuación van tres demostraciones de la desigualdad aritmético-
geométrica. Si alguien conoce otras demostraciones sería interesante
verlas.

Teorema (Desigualdad A-G):
Sean x_1, x_2,..., x_n reales no negativos, A = (x_1+x_2+...+x_n)/n
su media aritmética y G = (x_1x_2...x_n)^(1/n) su media geométrica.
Entonces A >= G, con igualdad si y sólo si x_1 = x_2 =...= x_n.

Prueba 1:
Tal vez la prueba más sencilla sea la siguiente:
Si todos los x_i son iguales, evidentemente se cumple A=G.
En caso contrario, deben existir x_i, x_j tales que x_i < A < x_j.
Si reemplazamos x_j por A y x_i por x_i + x_j - A obtenemos una nueva
sucesión
de n números que tiene la misma media aritmética que la original, pero
como
(x_i + x_j - A)A - x_ix_j = (A - x_i)(x_j - A) > 0
su media geométrica es estrictamente mayor. Repitiendo este proceso si
es necesario (a lo sumo n-1 veces) se llega a un conjunto de n números
iguales a A, cuya media geométrica es > G, y por lo tanto A>G.

Prueba 2:
Para n=2 la prueba es muy sencilla:
x + y - 2rq(xy) = (rq(x) - rq(y))^2 >= 0,
por lo tanto (x+y)/2 >= rq(xy),
con igualdad sii x=y.

Para n=3 este método se complica, sin embargo la prueba es muy fácil
para n=4, aplicando dos veces el caso n=2:

(x1+x2+x3+x4)/4 = ((x1+x2)/2 + (x3+x4)/2)/2
>= (rq(x1x2) + rq(x3x4))/2 >= (x1x2x3x4)^(1/4),

con igualdad sii x1=x2, x3=x4 y x1x2 = x3x4, es decir sii x1=x2=x3=x4.

Del mismo modo a partir del caso n=4 se prueba el caso n=8, y por
inducción
resulta que la desigualdad A-G vale cuando n es cualquier potencia de
2.
Si n no es potencia de 2, entonces para algún k se tiene 2^(k-1) < n <
2^k.
Completemos la sucesión x_1, x_2,..., x_n con A, A,...,A hasta tener
2^k términos. Entonces

(x_1x_2...x_n A^(2^k - n))^(1/2^k) <= (x_1+x_2+...+x_n+(2^k-n)A)/2^k ,

de donde

G^n A^(2^k-n) <= ((nA + (2^k-n)A)/2^k)^(2^k)= A^(2^k),
G^n <= A^n,
G<=A.

con igualdad sii x_1 = x_2 =...= x_n.

Prueba 3: Para los que echen de menos el análisis, la desigualdad A-G
se prueba fácilmente a partir de la desigualdad de Jensen. De hecho
probaremos algo más general, la desigualdad A-G con pesos:

Sean x_1, x_2,..., x_n y a_1, a_2,...,a_n números reales no
negativos,
con a_1+a_2+...+a_n = 1. Sean A = a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n
y G = x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}. Entonces A >= G,
con igualdad si y sólo si x_1=x_2=...=x_n.

Prueba: Supongamos primero que todos los x_i son positivos. La función
f(x)=log(x) es estrictamente cóncava para x>0, ya que f''(x) = -1/x^2
< 0 para todo x>0. Entonces por la desigualdad de Jensen se tiene

log(A) >= a_1 log(x_1) + a_2 log(x_2) +...+ a_n log(x_n),

y tomando la exponencial de ambos miembros resulta A >= G, con
igualdad si y sólo si x_1=x_2=...=x_n. Si para algún i fuese x_i=0 y
a_i <> 0, entonces G=0 y la desigualdad también se cumple, con
igualdad si y sólo todos los x_i son nulos. Y si hay pares (x_i,a_i)
tales que x_i=a_i=0, se pueden suprimir sin alterar el valor de A ni
de G.

Saludos,

jhn

[Einstein]

OTRA PRUEBA DE ANALISIS

Encontrando el maximo de f(x1, x2,... xn)= (x1x2..xn)^2

con la condicion de x1^2+x2^2 +....+xn^2 =1

SE CONCLUYE DE FORMA "FACIL" LA DESIGUALDAD ARITMETICO GEOMETRICA

[jhn]

Correcto, por fin estamos de acuerdo en algo.

¿Alguna otra prueba?

jhn

[Antonio González]

jhn escribi�:

> On 1 sep, 12:15, Einstein <clases-de-matemati...@hotmail.com> wrote:
>> On 1 sep, 15:18, jhn <jhni...@gmail.com> wrote:
>>
>>
>>

>>> Como tal vez sea de inter�s para algunos miembros del grupo, a
>>> continuaci�n van tres demostraciones de la desigualdad aritm�tico-
>>> geom�trica. Si alguien conoce otras demostraciones ser�a interesante

>>> verlas.
>>> Teorema (Desigualdad A-G):
>>> Sean x_1, x_2,..., x_n reales no negativos, A = (x_1+x_2+...+x_n)/n

>>> su media aritm�tica y G = (x_1x_2...x_n)^(1/n) su media geom�trica.
>>> Entonces A >= G, con igualdad si y s�lo si x_1 = x_2 =...= x_n.
>>> Prueba 1:
>>> Tal vez la prueba m�s sencilla sea la siguiente:

>>> Si todos los x_i son iguales, evidentemente se cumple A=G.
>>> En caso contrario, deben existir x_i, x_j tales que x_i < A < x_j.
>>> Si reemplazamos x_j por A y x_i por x_i + x_j - A obtenemos una nueva

>>> sucesi�n
>>> de n n�meros que tiene la misma media aritm�tica que la original, pero

>>> como
>>> (x_i + x_j - A)A - x_ix_j = (A - x_i)(x_j - A) > 0

>>> su media geom�trica es estrictamente mayor. Repitiendo este proceso si
>>> es necesario (a lo sumo n-1 veces) se llega a un conjunto de n n�meros
>>> iguales a A, cuya media geom�trica es > G, y por lo tanto A>G.

>>> Prueba 2:
>>> Para n=2 la prueba es muy sencilla:
>>> x + y - 2rq(xy) = (rq(x) - rq(y))^2 >= 0,
>>> por lo tanto (x+y)/2 >= rq(xy),
>>> con igualdad sii x=y.

>>> Para n=3 este m�todo se complica, sin embargo la prueba es muy f�cil

>>> para n=4, aplicando dos veces el caso n=2:
>>> (x1+x2+x3+x4)/4 = ((x1+x2)/2 + (x3+x4)/2)/2
>>>> = (rq(x1x2) + rq(x3x4))/2 >= (x1x2x3x4)^(1/4),
>>> con igualdad sii x1=x2, x3=x4 y x1x2 = x3x4, es decir sii x1=x2=x3=x4.
>>> Del mismo modo a partir del caso n=4 se prueba el caso n=8, y por

>>> inducci�n

>>> resulta que la desigualdad A-G vale cuando n es cualquier potencia de
>>> 2.

>>> Si n no es potencia de 2, entonces para alg�n k se tiene 2^(k-1) < n <
>>> 2^k.
>>> Completemos la sucesi�n x_1, x_2,..., x_n con A, A,...,A hasta tener
>>> 2^k t�rminos. Entonces

>>> (x_1x_2...x_n A^(2^k - n))^(1/2^k) <= (x_1+x_2+...+x_n+(2^k-n)A)/2^k ,
>>> de donde
>>> G^n A^(2^k-n) <= ((nA + (2^k-n)A)/2^k)^(2^k)= A^(2^k),
>>> G^n <= A^n,
>>> G<=A.
>>> con igualdad sii x_1 = x_2 =...= x_n.

>>> Prueba 3: Para los que echen de menos el an�lisis, la desigualdad A-G
>>> se prueba f�cilmente a partir de la desigualdad de Jensen. De hecho
>>> probaremos algo m�s general, la desigualdad A-G con pesos:
>>> Sean x_1, x_2,..., x_n y a_1, a_2,...,a_n n�meros reales no

>>> negativos,
>>> con a_1+a_2+...+a_n = 1. Sean A = a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n
>>> y G = x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}. Entonces A >= G,

>>> con igualdad si y s�lo si x_1=x_2=...=x_n.
>>> Prueba: Supongamos primero que todos los x_i son positivos. La funci�n
>>> f(x)=log(x) es estrictamente c�ncava para x>0, ya que f''(x) = -1/x^2

>>> < 0 para todo x>0. Entonces por la desigualdad de Jensen se tiene
>>> log(A) >= a_1 log(x_1) + a_2 log(x_2) +...+ a_n log(x_n),
>>> y tomando la exponencial de ambos miembros resulta A >= G, con

>>> igualdad si y s�lo si x_1=x_2=...=x_n. Si para alg�n i fuese x_i=0 y
>>> a_i <> 0, entonces G=0 y la desigualdad tambi�n se cumple, con
>>> igualdad si y s�lo todos los x_i son nulos. Y si hay pares (x_i,a_i)

>>> tales que x_i=a_i=0, se pueden suprimir sin alterar el valor de A ni
>>> de G.
>>> Saludos,
>>> jhn
>> OTRA PRUEBA DE ANALISIS
>>
>> Encontrando el maximo de f(x1, x2,... xn)= (x1x2..xn)^2
>>
>> con la condicion de x1^2+x2^2 +....+xn^2 =1
>>
>> SE CONCLUYE DE FORMA "FACIL" LA DESIGUALDAD ARITMETICO GEOMETRICA
>
> Correcto, por fin estamos de acuerdo en algo.
>
> �Alguna otra prueba?
>

En la wikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means

tienes una empleando inducci�n, otra debida a Polya que usa que e^x >
x+1; otra debida a Cauchy; tambi�n puede probarse empleando la
desigualdad entre las reordenaciones.

Algunas m�s en

http://nrich.maths.org/askedNRICH/edited/1433.html

http://nrich.maths.org/askedNRICH/edited/2731.html

--

Antonio

[jhn]

On 1 sep, 13:51, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> jhn escribió:

>
>
>
> > On 1 sep, 12:15, Einstein <clases-de-matemati...@hotmail.com> wrote:
> >> On 1 sep, 15:18, jhn <jhni...@gmail.com> wrote:
>

> >>> Como tal vez sea de interés para algunos miembros del grupo, a
> >>> continuación van tres demostraciones de la desigualdad aritmético-
> >>> geométrica. Si alguien conoce otras demostraciones sería interesante

> >>> verlas.
> >>> Teorema (Desigualdad A-G):
> >>> Sean x_1, x_2,..., x_n reales no negativos, A = (x_1+x_2+...+x_n)/n

> >>> su media aritmética y G = (x_1x_2...x_n)^(1/n) su media geométrica.
> >>> Entonces A >= G, con igualdad si y sólo si x_1 = x_2 =...= x_n.
> >>> Prueba 1:
> >>> Tal vez la prueba más sencilla sea la siguiente:

> >>> Si todos los x_i son iguales, evidentemente se cumple A=G.
> >>> En caso contrario, deben existir x_i, x_j tales que x_i < A < x_j.
> >>> Si reemplazamos x_j por A y x_i por x_i + x_j - A obtenemos una nueva

> >>> sucesión
> >>> de n números que tiene la misma media aritmética que la original, pero

> >>> como
> >>> (x_i + x_j - A)A - x_ix_j = (A - x_i)(x_j - A) > 0

> >>> su media geométrica es estrictamente mayor. Repitiendo este proceso si
> >>> es necesario (a lo sumo n-1 veces) se llega a un conjunto de n números
> >>> iguales a A, cuya media geométrica es > G, y por lo tanto A>G.

> >>> Prueba 2:
> >>> Para n=2 la prueba es muy sencilla:
> >>> x + y - 2rq(xy) = (rq(x) - rq(y))^2 >= 0,
> >>> por lo tanto (x+y)/2 >= rq(xy),
> >>> con igualdad sii x=y.

> >>> Para n=3 este método se complica, sin embargo la prueba es muy fácil

> >>> para n=4, aplicando dos veces el caso n=2:
> >>> (x1+x2+x3+x4)/4 = ((x1+x2)/2 + (x3+x4)/2)/2
> >>>> = (rq(x1x2) + rq(x3x4))/2 >= (x1x2x3x4)^(1/4),
> >>> con igualdad sii x1=x2, x3=x4 y x1x2 = x3x4, es decir sii x1=x2=x3=x4.
> >>> Del mismo modo a partir del caso n=4 se prueba el caso n=8, y por

> >>> inducción

> >>> resulta que la desigualdad A-G vale cuando n es cualquier potencia de
> >>> 2.

> >>> Si n no es potencia de 2, entonces para algún k se tiene 2^(k-1) < n <
> >>> 2^k.
> >>> Completemos la sucesión x_1, x_2,..., x_n con A, A,...,A hasta tener
> >>> 2^k términos. Entonces

> >>> (x_1x_2...x_n A^(2^k - n))^(1/2^k) <= (x_1+x_2+...+x_n+(2^k-n)A)/2^k ,
> >>> de donde
> >>> G^n A^(2^k-n) <= ((nA + (2^k-n)A)/2^k)^(2^k)= A^(2^k),
> >>> G^n <= A^n,
> >>> G<=A.
> >>> con igualdad sii x_1 = x_2 =...= x_n.

> >>> Prueba 3: Para los que echen de menos el análisis, la desigualdad A-G
> >>> se prueba fácilmente a partir de la desigualdad de Jensen. De hecho
> >>> probaremos algo más general, la desigualdad A-G con pesos:
> >>> Sean x_1, x_2,..., x_n  y  a_1, a_2,...,a_n números reales no

> >>> negativos,
> >>> con a_1+a_2+...+a_n = 1. Sean  A = a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n
> >>> y  G = x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}. Entonces  A >= G,

> >>> con igualdad si y sólo si x_1=x_2=...=x_n.
> >>> Prueba: Supongamos primero que todos los x_i son positivos. La función

> >>> f(x)=log(x) es estrictamente cóncava para x>0, ya que f''(x) = -1/x^2

> >>> < 0 para todo x>0. Entonces por la desigualdad de Jensen se tiene
> >>> log(A) >= a_1 log(x_1) + a_2 log(x_2) +...+ a_n log(x_n),
> >>> y tomando la exponencial de ambos miembros resulta A >= G, con

> >>> igualdad si y sólo si x_1=x_2=...=x_n. Si para algún i fuese x_i=0 y
> >>> a_i <> 0, entonces G=0 y la desigualdad también se cumple, con
> >>> igualdad si y sólo todos los x_i son  nulos. Y si hay pares (x_i,a_i)

> >>> tales que x_i=a_i=0, se pueden suprimir sin alterar el valor de A ni
> >>> de G.
> >>> Saludos,
> >>> jhn
> >> OTRA PRUEBA DE ANALISIS
>
> >> Encontrando el maximo de f(x1, x2,... xn)= (x1x2..xn)^2
>
> >> con la condicion de x1^2+x2^2 +....+xn^2 =1
>
> >> SE CONCLUYE DE FORMA "FACIL" LA DESIGUALDAD ARITMETICO GEOMETRICA
>
> > Correcto, por fin estamos de acuerdo en algo.
>
> > ¿Alguna otra prueba?
>
> En la wikipedia
>

> http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_m...
>
> tienes una empleando inducción, otra debida a Polya que usa que e^x >
> x+1; otra debida a Cauchy; también puede probarse empleando la
> desigualdad entre las reordenaciones.
>
> Algunas más en

>
> http://nrich.maths.org/askedNRICH/edited/1433.html
>
> http://nrich.maths.org/askedNRICH/edited/2731.html
>
> --
>
>    Antonio

Gracias Antonio por las referencias. La prueba por inducción de la
wikipedia
es en realidad la misma que yo puse como "Prueba 1", y la de Cauchy es
mi "Prueba 2". La de Polya sí es diferente, es muy buena y creo que no
la conocía. La incluyo a continuación, así como una que usa la
desigualdad del reordenamiento
y otra basada en una sugerencia de "Einstein".

Prueba 4 (Polya):
Es fácil ver que e^x >= 1+x, con igualdad sii x=0.
Por lo tanto x_i/A <= e^(x_i/A - 1), con igualdad sii x_i = A.
Multiplicando estas desigualdades para i=1,...,n resulta

x_1...x_n/A^n <= e^(suma(x_i/A - 1,i=1,...,n)) = 1,

es decir (G/A)^n <= 1, o G <= A, con igualdad sii x_1=...=x_n=A.

Prueba 5 (usando la desigualdad del reordenamiento):
Sean a_1 = x_1/G, a_2 = x_1x_2/G^2,..., a_n = x_1...x_n/G^n = 1,
y sea b_i = 1/a_i para i=1,...,n. Entonces
suma(a_ib_i, i=1,...,n) <= a_1b_n + a_2b_1 + a_3b_2 +...+ a_nb_(n-1),
n <= x_1/G + x_2/G +...+ x_n/G = nA/G, es decir G <= A.

Prueba 6: (sugerida por "Einstein")
Probaremos que (x_1^2...x_n^2)^(1/n) <= (x_1^2+...+x_n^2)/n
con igualdad sii x_1^2 = x_2^2 =...= x_n^2.

Como esa desigualdad es homogénea de grado 2, es suficiente probarla
para
los puntos tales que x_1^2+...+x_n^2 = 1. Pero si calculamos el
máximo de
(x_1...x_n)^2 en la esfera unitaria n-dimensional x_1^2+...+x_n^2 = 1,
vemos que se alcanza en los puntos tales que [(x_1...x_n)^(2n)]/x_i -
tx_i = 0,
que son los que tienen x_1^2 = x_2^2 =...= x_n^2, y el valor del
máximo es 1/n^(2n),
es decir que (x_1...x_n)^2 <= 1/n^n, de donde (x_1^2...x_n^2)^(1/n) <=
1/n.

Saludos,

jhn