Polinomios incompletos!
Javier Esquinas
(x^2 + x+ a)(x^15 - ···) = x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90
y que todos los polinomios tienen coeficientes enteros.Determinar el
valor de a.
Saludos.
Ignacio Larrosa Ca�estro
"Javier Esquinas" <jesq...@renfe.es> escribiu na mensaxe
novas:967ce3e8-06fc-41bf...@l13g2000yqb.googlegroups.com...
Supongamos que :
========================>
[ILC]:
Dividiendo,
(x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90)/(x^2 + x + a)
obtenemos como resto:
(a^8 - 36a^7 + 211a^6 - 483a^5 + 565a^4 - 370a^3 + 137a^2 - 209a + 94)x
- (8a^8 - 84a^7 + 258a^6 - 365a^5 + 276a^4 - 114a^3 + 116a^2 - 93a + 90) =
0
Ambos coeficientes deben ser cero, lo que solo ocurre para a = 2, si a debe
ser entero.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Javier Esquinas
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> "Javier Esquinas" <jesqui...@renfe.es> escribiu na mensaxe
> novas:967ce3e8-06fc-41bf-8ccf-c25e7afba...@l13g2000yqb.googlegroups.com...
> Supongamos que :
>
> (x^2 + x+ a)(x^15 - ···) = x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90
>
> y que todos los polinomios tienen coeficientes enteros.Determinar el
> valor de a.
>
> ========================>
>
> [ILC]:
>
> Dividiendo,
>
> (x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90)/(x^2 + x + a)
>
> obtenemos como resto:
>
> (a^8 - 36a^7 + 211a^6 - 483a^5 + 565a^4 - 370a^3 + 137a^2 - 209a + 94)x
>
> - (8a^8 - 84a^7 + 258a^6 - 365a^5 + 276a^4 - 114a^3 + 116a^2 - 93a + 90) =
> 0
>
> Ambos coeficientes deben ser cero, lo que solo ocurre para a = 2, si a debe
> ser entero.
>
> --
> Saludos,
>
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com
Ufffffffffffff,eso lo puedes mejorar Ignacio.
Saludos.
Heriberto
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> "Javier Esquinas" <jesqui...@renfe.es> escribiu na mensaxe
> novas:967ce3e8-06fc-41bf-8ccf-c25e7afba...@l13g2000yqb.googlegroups.com...
>
> (x^2 + x+ a)(x^15 - ···) = x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90
>
> y que todos los polinomios tienen coeficientes enteros.Determinar el
> valor de a.
>
> ========================>
>
> [ILC]:
>
> Dividiendo,
>
> (x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90)/(x^2 + x + a)
>
> obtenemos como resto:
>
> (a^8 - 36a^7 + 211a^6 - 483a^5 + 565a^4 - 370a^3 + 137a^2 - 209a + 94)x
>
> - (8a^8 - 84a^7 + 258a^6 - 365a^5 + 276a^4 - 114a^3 + 116a^2 - 93a + 90) =
> 0
>
> Ambos coeficientes deben ser cero, lo que solo ocurre para a = 2, si a debe
> ser entero.
>
> --
> Saludos,
>
Una pregunta Ignacio; como puedo llegar a la expresion para el resto
utilizando DERIVE
Ignacio Larrosa Ca�estro
> On 19 nov, 12:06, "Ignacio Larrosa Ca�estro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
>> "Javier Esquinas" <jesqui...@renfe.es> escribiu na mensaxe
>> novas:967ce3e8-06fc-41bf-8ccf-c25e7afba...@l13g2000yqb.googlegroups.com...
>> Supongamos que :
>>
>> (x^2 + x+ a)(x^15 - ���) = x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90
>>
>> y que todos los polinomios tienen coeficientes enteros.Determinar el
>> valor de a.
>>
>> ========================>
>>
>> [ILC]:
>>
>> Dividiendo,
>>
>> (x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90)/(x^2 + x + a)
>>
>> obtenemos como resto:
>>
>> (a^8 - 36a^7 + 211a^6 - 483a^5 + 565a^4 - 370a^3 + 137a^2 - 209a +
>> 94)x
>>
>> - (8a^8 - 84a^7 + 258a^6 - 365a^5 + 276a^4 - 114a^3 + 116a^2 - 93a +
>> 90) = 0
>>
>> Ambos coeficientes deben ser cero, lo que solo ocurre para a = 2, si
>> a debe ser entero.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> A Coru�a (Espa�a)
>
> Una pregunta Ignacio; como puedo llegar a la expresion para el resto
> utilizando DERIVE
No hay ninguna funci�n para ello. Pero puedes dividir los polinomios,
expandir la expresi�n, y editarla manualmente para eliminar la parte entera.
El numerador de la fracci�n propia que queda, es el resto.
Heriberto
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> Heriberto wrote:
> > On 19 nov, 12:06, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> > <ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> >> "Javier Esquinas" <jesqui...@renfe.es> escribiu na mensaxe
> >> novas:967ce3e8-06fc-41bf-8ccf-c25e7afba...@l13g2000yqb.googlegroups.com...
> >> Supongamos que :
>
> >> (x^2 + x+ a)(x^15 - ···) = x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90
>
> >> y que todos los polinomios tienen coeficientes enteros.Determinar el
> >> valor de a.
>
> >> ========================>
>
> >> [ILC]:
>
> >> Dividiendo,
>
> >> (x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90)/(x^2 + x + a)
>
> >> obtenemos como resto:
>
> >> (a^8 - 36a^7 + 211a^6 - 483a^5 + 565a^4 - 370a^3 + 137a^2 - 209a +
> >> 94)x
>
> >> - (8a^8 - 84a^7 + 258a^6 - 365a^5 + 276a^4 - 114a^3 + 116a^2 - 93a +
> >> 90) = 0
>
> >> Ambos coeficientes deben ser cero, lo que solo ocurre para a = 2, si
> >> a debe ser entero.
>
> >> --
> >> Saludos,
>
> >> A Coruña (España)
> >> ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com
>
> > Una pregunta Ignacio; como puedo llegar a la expresion para el resto
> > utilizando DERIVE
>
> expandir la expresión, y editarla manualmente para eliminar la parte entera.
> El numerador de la fracción propia que queda, es el resto.
>
> --
> Saludos,
>
Muy agradecido Ignacio... Saludos!.
León-Sotelo
>
> - Mostrar texto de la cita -
El que x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90 sea igual a x^13(x^4+1)+x
(x^4+1)-90(x^4+1)=(x^4+1)(x^13+x-90) debe de servirnos para algo.
Ademas la derivada de x^13+x-90 es 13x^12+1 que es siempre positiva
nos indica que x^13+x-90 solo tiene una raiz real y un solo cambio
de signo por lo que al ser coeficientes enteros hay 12 raices
imaginarias conjugadas.Me sigue faltando un poquito hasta llegar a que
(x^4+1)(x^13+x-90)=(x^4+1)(x^2+x+2)(x^11-x^10-x^9+3x^8-
x^7-5x^6+7x^5+3x^4-17x^3+11x^2+23x-45)
L-S
Antonio González
> On 19 nov, 18:27, "Ignacio Larrosa Ca�estro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
>> Heriberto wrote:
>>> On 19 nov, 12:06, "Ignacio Larrosa Ca�estro"
>>> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
>>>> "Javier Esquinas" <jesqui...@renfe.es> escribiu na mensaxe
>>>> novas:967ce3e8-06fc-41bf-8ccf-c25e7afba...@l13g2000yqb.googlegroups.com...
>>>> Supongamos que :
>>>> (x^2 + x+ a)(x^15 - ���) = x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90
>>>> y que todos los polinomios tienen coeficientes enteros.Determinar el
>>>> valor de a.
>>>> ========================>
>>>> [ILC]:
>>>> Dividiendo,
>>>> (x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90)/(x^2 + x + a)
>>>> obtenemos como resto:
>>>> (a^8 - 36a^7 + 211a^6 - 483a^5 + 565a^4 - 370a^3 + 137a^2 - 209a +
>>>> 94)x
>>>> - (8a^8 - 84a^7 + 258a^6 - 365a^5 + 276a^4 - 114a^3 + 116a^2 - 93a +
>>>> 90) = 0
>>>> Ambos coeficientes deben ser cero, lo que solo ocurre para a = 2, si
>>>> a debe ser entero.
>>>> --
>>>> Saludos,
>>>> A Coru�a (Espa�a)
>>> Una pregunta Ignacio; como puedo llegar a la expresion para el resto
>>> utilizando DERIVE
>> expandir la expresi�n, y editarla manualmente para eliminar la parte entera.
>> El numerador de la fracci�n propia que queda, es el resto.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca�estro
>> A Coru�a (Espa�a)
Por si te interesa, Mathematica s� los tiene: PolynomialQuotient y
PolynomialRemainder, para el cociente y el resto, respectivamente.
--
Antonio
Javier Esquinas
Para determinar el valor de a lo más rápido es tomar valores:
En x = 0 tenemos que a | -90 = -2.·3^2·5
En x = -1 tenemos que a | -184 = -2^3·23
En x = 1 tenemos que 2 + a | -176 = -2^4·11
De la primera y segunda relación deducimos que a = -1,1,2 ó - 2
Por la tercera relación es claro que a = 1 no puede ser y a = 0
tampoco pues entonces x = 0 sería raiz de x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 +
x - 90.Por tanto a solo puede valer a= 2 ó a = -2.
Ahora bien,si a = -2 entonces las raices de x^2 + x - 2 que son 1 y -2
serían raices de x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90 y esto es
falso.Por tanto a sólo puede tomar el valor 2.
Saludos.
Ignacio Larrosa Ca�estro
> On 19 nov, 09:46, Javier Esquinas <jesqui...@renfe.es> wrote:
>> Supongamos que :
>>
>> (x^2 + x+ a)(x^15 - ���) = x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90
>>
>> y que todos los polinomios tienen coeficientes enteros.Determinar el
>> valor de a.
>>
>> Saludos.
>
>
> En x = 0 tenemos que a | -90 = -2.�3^2�5
> En x = -1 tenemos que a | -184 = -2^3�23
> En x = 1 tenemos que 2 + a | -176 = -2^4�11
>
>
> Por la tercera relaci�n es claro que a = 1 no puede ser y a = 0
> tampoco pues entonces x = 0 ser�a raiz de x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 +
> x - 90.Por tanto a solo puede valer a= 2 � a = -2.
Que a =/= 0 no ten�a dudas. La tercera lo que nos permite descartar es a
= -2, aparte de a = 1, puesto que 0 no divide a nada. Quedan por tanto, a
= -1 y a = 2.
Haciendo x =2, tenemos que
(6 + a) | 137768 = 2^3*17221
Esto descarta a = -1 y mantiene a 0 2 como �nica posibilidad.
Si no confiamos en el enunciado, habr�a que dividir, y obtenemos
(x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90)/(x^2 + x + 2)
o mejor
(x^13+x-90)/(x^2 + x + 2) =
= x^11 - x^10 - x^9 + 3x^8 - x^7 - 5x^6 + 7x^5 + 3x^4 - 17x^3 + 11x^2 +
23x - 45
aprovechando la h�bil factorizaci�n de Le�n-Sotelo.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
> Ahora bien,si a = -2 entonces las raices de x^2 + x - 2 que son 1 y -2
> ser�an raices de x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90 y esto es
> falso.Por tanto a s�lo puede tomar el valor 2.
>
> Saludos.
Ignacio Larrosa Ca�estro
"Ignacio Larrosa Ca�estro" <ilarrosaQUIT...@mundo-r.com> escribiu
na mensaxe novas:7mnctgF...@mid.individual.net...
> Javier Esquinas wrote:
>> On 19 nov, 09:46, Javier Esquinas <jesqui...@renfe.es> wrote:
>>> Supongamos que :
>>>
>>> (x^2 + x+ a)(x^15 - ���) = x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90
>>>
>>> y que todos los polinomios tienen coeficientes enteros.Determinar el
>>> valor de a.
>>>
>>> Saludos.
>>
>> Para determinar el valor de a lo m�s r�pido es tomar valores:
>>
>> En x = 0 tenemos que a | -90 = -2.�3^2�5
>> En x = -1 tenemos que a | -184 = -2^3�23
>> En x = 1 tenemos que 2 + a | -176 = -2^4�11
>>
>> De la primera y segunda relaci�n deducimos que a = -1,1,2 � - 2
>>
>> Por la tercera relaci�n es claro que a = 1 no puede ser y a = 0
>> tampoco pues entonces x = 0 ser�a raiz de x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 +
>> x - 90.Por tanto a solo puede valer a= 2 � a = -2.
>
> Que a =/= 0 no ten�a dudas. La tercera lo que nos permite descartar es a
> = -2, aparte de a = 1, puesto que 0 no divide a nada. Quedan por tanto, a
> = -1 y a = 2.
>
> Haciendo x =2, tenemos que
>
> (6 + a) | 137768 = 2^3*17221
>
> Esto descarta a = -1 y mantiene a 0 2 como �nica posibilidad.
O m�s sencillamente,
2^17 + 2^13 + 2^5 - 90*2^4 + 2 - 90
= 2^17 + 2^13 + 2^5 + 2
= 2 + 2 + 2 + 2 = 8 (mod 5)
Antonio González
> On 19 nov, 09:46, Javier Esquinas <jesqui...@renfe.es> wrote:
>> Supongamos que :
>>
>> (x^2 + x+ a)(x^15 - ���) = x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90
>>
>> y que todos los polinomios tienen coeficientes enteros.Determinar el
>> valor de a.
>>
>> Saludos.
>
>
> En x = 0 tenemos que a | -90 = -2.�3^2�5
> En x = -1 tenemos que a | -184 = -2^3�23
> En x = 1 tenemos que 2 + a | -176 = -2^4�11
Pero Javier, esto se puede simplificar. Puesto que el segundo miembro se
puede escribir
(x^4+1)(x^13 + x - 90)
y las ra�ces cuartas de -1 no son ceros de (x^2+x+a) deben serlo de
(x^15 - ...) por lo que el problema se reduce a
(x^2 + x + a)(x^11 - ...) = x^13 + x - 90
que es una expresi�n m�s simple que la completa.
--
Antonio
Heriberto
> Heriberto escribió:
>
>
>
>
>
> > On 19 nov, 18:27, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> > <ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> >> Heriberto wrote:
> >>> On 19 nov, 12:06, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> >>> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> >>>> "Javier Esquinas" <jesqui...@renfe.es> escribiu na mensaxe
> >>>> novas:967ce3e8-06fc-41bf-8ccf-c25e7afba...@l13g2000yqb.googlegroups.com...
> >>>> Supongamos que :
> >>>> (x^2 + x+ a)(x^15 - ···) = x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90
> >>>> y que todos los polinomios tienen coeficientes enteros.Determinar el
> >>>> valor de a.
> >>>> ========================>
> >>>> [ILC]:
> >>>> Dividiendo,
> >>>> (x^17 + x^13 + x^5 - 90x^4 + x - 90)/(x^2 + x + a)
> >>>> obtenemos como resto:
> >>>> (a^8 - 36a^7 + 211a^6 - 483a^5 + 565a^4 - 370a^3 + 137a^2 - 209a +
> >>>> 94)x
> >>>> - (8a^8 - 84a^7 + 258a^6 - 365a^5 + 276a^4 - 114a^3 + 116a^2 - 93a +
> >>>> 90) = 0
> >>>> Ambos coeficientes deben ser cero, lo que solo ocurre para a = 2, si
> >>>> a debe ser entero.
> >>>> --
> >>>> Saludos,
> >>>> A Coruña (España)
> >>>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com
> >>> Una pregunta Ignacio; como puedo llegar a la expresion para el resto
> >>> utilizando DERIVE
> >> expandir la expresión, y editarla manualmente para eliminar la parte entera.
> >> El numerador de la fracción propia que queda, es el resto.
>
> >> --
> >> Saludos,
>
> >> Ignacio Larrosa Cañestro
> >> A Coruña (España)> Por si te interesa, Mathematica sí los tiene: PolynomialQuotient y
> PolynomialRemainder, para el cociente y el resto, respectivamente.
>
> --
>
>
> - Mostrar texto de la cita -
Claro que sí, Antonio... Gracias por el mensaje y Saludos!
Javier Esquinas
Lo que son las prisas de los viernes.No sé cómo se me ha ido la cabeza
con el valor de a = 0.
Es claro que,como decía antes, a solo puede tomar los valores
1,-1,2,-2.Ahora bien,a no puede ser negativo (independientemente de
que sea entero o real) pues esto implicaría que x^2 + x + a tiene una
raiz real negativa con lo cual tambien la tendría x^17 + x^13 + x^5 -
90x^4 + x - 90 que es claro que no tiene ninguna.Por tanto a = 1
(imposible claramente por la tercera condición) o a = 2 que es el
único valor admisible partiendo de que el enunciado dice que existe.
Saludos..