El azar y la circunferencia
Miguel Angel Martín
El problema que os propongo es tema de discusión en otro grupo de noticias,
pero me gustaría que me dieseis vuestra opinión.
¿Cuál es la probabilidad de que, trazando una cuerda aleatoriamente en un
círculo de radio r, dicha cuerda tenga longitud mayor que r?
Las distintas teorías son:
a) Si dividimos el área de la superficie que forman todas las cuerdas
posibles trazadas desde un punto fijo A, de modo que esas cuerdas superen
en longitud al radio, entre el área del círculo, tendremos la probabilidad
buscada (ese cálculo da, aproximadamente, 0.94)
b) Si consideramos que todas las cuerdas posibles trazadas desde un punto
fijo A, formarán un ángulo comprendido entre 30º y 150º con la tangente de
la circunferencia en ese punto, es decir, un total de 120º, y dividimos por
los 180º totales obtenemos una probabilidad de 2/3.
Y aún hay más posibilidades. El caso es que a mí, los dos razonamientos me
parecen bastante coherentes, pero los resultados son muy dispares. ¿Tiene
esto que ver con que las cuerdas que tracemos pueden ser infinitas? En ese
caso, ¿cómo se resolvería el problema?
Gracias a todos y un saludo.
Daniel Duque Campayo
>
> Hola a todos.
>
> El problema que os propongo es tema de discusión en otro grupo de noticias,
> pero me gustaría que me dieseis vuestra opinión.
>
> ¿Cuál es la probabilidad de que, trazando una cuerda aleatoriamente en un
> círculo de radio r, dicha cuerda tenga longitud mayor que r?
Geometría integral is the answer. Mírate La Gaceta de la RSME, número 2,
donde
hay un muy buen artículo de Santaló sobre problemas similares.
Saludos
Daniel
José Luis Esteban
>
> ¿Cuál es la probabilidad de que, trazando una cuerda aleatoriamente en un
> círculo de radio r, dicha cuerda tenga longitud mayor que r?
>
> a) Si dividimos el área de la superficie que forman todas las cuerdas
> posibles trazadas desde un punto fijo A, de modo que esas cuerdas superen
> en longitud al radio, entre el área del círculo, tendremos la probabilidad
> buscada (ese cálculo da, aproximadamente, 0.94)
> b) Si consideramos que todas las cuerdas posibles trazadas desde un punto
> fijo A, formarán un ángulo comprendido entre 30º y 150º con la tangente de
> la circunferencia en ese punto, es decir, un total de 120º, y dividimos por
> los 180º totales obtenemos una probabilidad de 2/3.
Si basas el cálculo únicamente en las cuerdas pertenecientes a rectas que
pasan por el punto A, no consideras todas las posibles cuerdas. Será necesario
hacerlo considerando A variable. Pero entonces se obtendrán muchas cuerdas
comunes para distintos A, lo que complica el cálculo de la probabilidad.
Se podría plantear con rectas paralelas que cortan la circunferencia con
una orientación dada. De este modo sale una probabilidad de sqrt(3)/2.
Como el resultado es el mismo para el resto de las orientaciones,
la probabilidad no cambia.
Para lo que valga.
Salud,
JL
Susana García Barros
cuestión esta en que es lo que se considera equiprobable: la distancia
de la cuerda al centro, el ángulo que forma con el diametro, la longitud
del arco de circunferencia abarcado, etc.. En cada caso obtendremos una
probabilidad distinta.
El procedimiento que no me convence es el de comparar las areas, a no
ser que resulte equivalente a alguno de los anteriores. No se que es lo
que se considera equiprobable en ese caso. Comparar las areas tiene
sentido cuando buscamos la probabilidad de que UN PUNTO se encuentre en
un determinado subconjunto de puntos de un conjunto de puntos posibles.
Un saludo,
Ignacio Larrosa
Nota: Esta no es mi dirección de correo habitual. La habitual soy
incapaz de utilizarla desde el advenimiento de 'Infobirria puf'.
Miguel Angel Martín
José Luis Esteban <jot...@ipsa.es> escribió en artículo
<36B97A74...@ipsa.es>...
Para lo que valga.
Salud,
JL
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Hola JL:
Como tú mismo dices, la probabilidad no cambia según las orientaciones, así
que da lo mismo qué punto cojas.
Miguel Angel Martín
Susana García Barros <su...@udc.es> escribió en artículo
<36B9E49E...@udc.es>...
El Pirata
"Miguel Angel Martín" escribió:
> Hola a todos.
>
> El problema que os propongo es tema de discusión en otro grupo de noticias,
> pero me gustaría que me dieseis vuestra opinión.
>
> ¿Cuál es la probabilidad de que, trazando una cuerda aleatoriamente en un
> círculo de radio r, dicha cuerda tenga longitud mayor que r?
>
> Las distintas teorías son:
> a) Si dividimos el área de la superficie que forman todas las cuerdas
> posibles trazadas desde un punto fijo A, de modo que esas cuerdas superen
> en longitud al radio, entre el área del círculo, tendremos la probabilidad
> buscada (ese cálculo da, aproximadamente, 0.94)
> b) Si consideramos que todas las cuerdas posibles trazadas desde un punto
> fijo A, formarán un ángulo comprendido entre 30º y 150º con la tangente de
> la circunferencia en ese punto, es decir, un total de 120º, y dividimos por
> los 180º totales obtenemos una probabilidad de 2/3.
>
> Y aún hay más posibilidades. El caso es que a mí, los dos razonamientos me
> parecen bastante coherentes, pero los resultados son muy dispares. ¿Tiene
> esto que ver con que las cuerdas que tracemos pueden ser infinitas? En ese
> caso, ¿cómo se resolvería el problema?
>
> Gracias a todos y un saludo.
Yo creo (en mi modesta opinion de ingeniero) que deberiamos dividir la
longitud del arco que queda por encima de una cuerda de longitud la del radio
[Pi/3 * R] por la longitud de toda la circunferencia (2piR) y luego multiplicar
lo que salga por dos. A mi me sale una probabilidad de 1/3
Tambien me atreveria a decir que la solucion primera, la que se basaba en
las areas, no me convence en absoluto
Un Saludo:
El Pirata
José Luis Esteban
>
> Como tú mismo dices, la probabilidad no cambia según las orientaciones, así
> que da lo mismo qué punto cojas.
Pero sí en función de la distancia del punto a la circunferencia.
Salud,
JL
Ktantan
Miguel Angel Martín escribió en mensaje
<01be4fe4$c99e86e0$8626b3c2@default>...
>Hola a todos.
>
>El problema que os propongo es tema de discusión en otro grupo de noticias,
>pero me gustaría que me dieseis vuestra opinión.
>
>¿Cuál es la probabilidad de que, trazando una cuerda aleatoriamente en un
>círculo de radio r, dicha cuerda tenga longitud mayor que r?
He aqui una prueba que da una probabilidad de 1/2 :
Podemos identificar cada cuerda de una circunferencia de radio R con un par
(x,y), donde x es del intervalo (0,2R] y y del intervalo [0,pi) y viceversa.
La construcción es la siguiente :
Consideramos una recta s que no corte a la circunferencia.Dada una cuerda de
longitud l consideramos la recta t que la contiene, puede ocurrir :
a) s y r son paralelas, entonces le hacemos corresponder el par (l,0)
b) sy r se cortan con un cierto ángulo alfa, entonces le hacemos
corresponder el par (l,alfa)
El subconjunto de cuerdas que buscamos esta en correspondencia biyectiva con
(R,2R]x[0,pi). Que es la mitad.
¿ Donde está el error ?
Saludos,
Ktantan
Candala
"Miguel Angel Martín" escribió:
> Hola a todos.
>
> El problema que os propongo es tema de discusión en otro grupo de noticias,
> pero me gustaría que me dieseis vuestra opinión.
>
> ¿Cuál es la probabilidad de que, trazando una cuerda aleatoriamente en un
> círculo de radio r, dicha cuerda tenga longitud mayor que r?
>
> Las distintas teorías son:
> a) Si dividimos el área de la superficie que forman todas las cuerdas
> posibles trazadas desde un punto fijo A, de modo que esas cuerdas superen
> en longitud al radio, entre el área del círculo, tendremos la probabilidad
> buscada (ese cálculo da, aproximadamente, 0.94)
> b) Si consideramos que todas las cuerdas posibles trazadas desde un punto
> fijo A, formarán un ángulo comprendido entre 30º y 150º con la tangente de
> la circunferencia en ese punto, es decir, un total de 120º, y dividimos por
> los 180º totales obtenemos una probabilidad de 2/3.
>
> Y aún hay más posibilidades. El caso es que a mí, los dos razonamientos me
> parecen bastante coherentes, pero los resultados son muy dispares. ¿Tiene
> esto que ver con que las cuerdas que tracemos pueden ser infinitas? En ese
> caso, ¿cómo se resolvería el problema?
>
> Gracias a todos y un saludo.
¿No es esa la paradoja de Bertrand? ¡Que tiene varias soluciones que
corresponden a los distintos modos de precisar el enunciado.!
Un saludo.
Susana García Barros
asunto es el procedimiento por el que se eligen las cuerdas.
Probablemente pueda diseñarse una forma de elección que produzca
cualquier probabilidad en [0,1] ( o al menos en (0,1)).
Un ejemplo de ello es el procedimiento propuesto por Ktantan, que
parece diseñado para producir un resultado de 1/2. Tal y como lo plantea
escoge una cuerda de longitud dada, con igual probabilidad para todas
las longitudes (el ángulo es indiferente). Lógicamente, la probabilidad
de que la cuerda sea mayor que el radio sale 1/2.
Teniendo en cuenta la simetría del problema, yo veo tres planteamientos
interesantes:
a) Se escogen dos puntos cualesquiera de la circunferencia. La
probabilidad, como ya se ha apuntado es 2/3.
b) Se trazan cuerdas paralelas a una distancia 'd' de un diametro
(cualquiera), con igual probabilidad para 'd' en [0,R]. Como ya se
comento antes, la probabilidad resultante es raíz(3)/2 ~ 0.86.
c) Se escogen al azar dos puntos del circulo, con igual probabilidad
(densidad de probabilidad, mejor), para todos ellos. Si el primer punto
esta en el CIRCULO (circunferencia y su interior) de radio (raiz(3)/2)R,
dondequiera que este el otro punto la probabilidad de que la cuerda sea
mayor que el radio es 1. Si el primer punto esta fuera de tal circulo,
para que la cuerda sea mayor que el radio, el segundo punto debe estar
en el interior del ángulo delimitado por las tangentes desde el primer
punto a la circunferencia de radio (raiz(3)/2)*R o en su opuesto. Es un
entretenido ejercicio de geometría elemental hallar tal área en función
de la distancia del primer punto al centro( raiz(3)/2 R < d < R), que me
niego a transcribir aqui en ASCII. Dividiendo tal superficie por la de
la circunferencia se obtiene la probabilidad de que a partir del primer
punto se obtenga una cuerda mayor que el radio. Integrando esta
probabilidad a toda la circunferencia (recordando que es 1 en el círculo
mencionado), se obtiene (2/3) + (7raíz(3))/(12 Pi), es decir
0.988275188996..
Por cierto, como subproducto del cálculo anterior se obtiene la
probabilidad en el caso de escoger un punto en la circunferencia y otro
en el interior del círculo: (2/3) + raíz(3)/(2 Pi), es decir
0.9423311143776..
Ignacio Larrosa
(Cada vez más cabreado con Infobirria Puf)
M.A.Vidal
Trazar una cuerda equivale a elegir dos puntos. Si colocamos el
origen en el centro, los dos puntos determinan dos vectores
separados por un ángulo beta. La cuerda mide -en ese caso-
C=2Rsen(beta/2), siendo beta=pi/3 un ángulo frontera. Para
beta < pi/3 C<R y para beta>pi/3 C>R.
Como elegir dos puntos al azar es equivalente a elegir un ángulo
al azar, me parece que la probabilidad de que C>R es ... 2/3
Miguel Angel
Palma (Illes Balears)
cristina martínez losada
M.A.Vidal escribió:
Eso es equivalente a escogerlos sobre la circunferencia. Si se escogen
en todo el círculo con probabilidad uniforme, aumenta la probabilidad de
que la cuerda sea mayor que el radio.
Ignacio Larrosa
(un damnificado por 'Infobirria Puf')