Rectas que se cortan
Celedonio Hdez
En un plano se encuentran situadas dos rectas (r y s) que se cortan y un
punto P exterior a ellas.
Trazar "gráficamente" por el punto P, una recta que intercepte sobre las
otras dos dadas (r y s), un segmento MN de magnitud conocida "l".
Resolver el ejercicio geométricamente ( no analítica).
Saludos y gracias.
lacuana
Celedonio Hdez escribió en mensaje <8bg94j$j6b$1...@talia.mad.ttd.net>...
>AYUDA
>
>En un plano se encuentran situadas dos rectas (r y s) que se cortan y un
>punto P exterior a ellas.
>Trazar "gráficamente" por el punto P, una recta que intercepte sobre las
>otras dos dadas (r y s), un segmento MN de magnitud conocida "l".
¿Mínima distancia??
Goyo
"lacuana" <lac...@teleline.es> escribió en el mensaje
news:ZeOD4.431$vT2....@telenews.teleline.es...
lacuana
el punto no pertenece a ninguna de las dos rectas (sino pertenecería a las
dos) y por lo tanto, no se cortan, se cruzan.
Goyo escribió en mensaje <8bpt0k$jvc...@SGI3651ef0.iddeo.es>...
Ignacio Larrosa Cañestro
> >> >En un plano se encuentran situadas dos rectas (r y s) que se cortan y
un
> >> >punto P exterior a ellas.
> >"lacuana" escribió
> >news:ZeOD4.431$vT2....@telenews.teleline.es...
> >>
> >> No se cortan, se cruzan.
> Goyo escribió
> >¿No se cortan?
lacuana escribió
> Pues no, si dice que "se cortan en un punto exterior a ellas" me imagino
que
> el punto no pertenece a ninguna de las dos rectas (sino pertenecería a las
> dos) y por lo tanto, no se cortan, se cruzan.
En el plano tenemos 3 objetos: 2 líneas que se cortan y 1 punto exterior a
ellas. En el plano dos rectas pueden cortarse o ser paralelas (y en
particular coincidentes), pero no cruzarse; para ello deben estar en el
espacio de forma que no se puedan incluir en un sólo plano
Eso creo que está bastante claro. Ahora, ¿Alguien lo resuelve?
Un saludo,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilar...@lander.es
Manolo
compás), si se repíte el proceso tres o cuatro veces se obtiene una
buena aproximación pero no es exacto.
Para empezar el problema puede no tener solución. Si se traza la
bisectriz b de las rectas r y s (la que queda encerrada en la misma
parte que P) y una recta perpendicular a esta bisectriz pasando por el
punto P, se obtiene el segemento de menor longitud (voy a llamarle AB)
que pasa por el punto P y une a las rectas r y s. Si este segmento AB es
de mayor longitud que MN, entonces el problema no tiene solución. Sólo
si AB tiene una longitud menor o igual que MN el problema tiene
solución. En caso de que MN y AB tengan la misma longitud el problema
está resuelto y hemos tenido mucha suerte. Si MN tiene una longitud
menor que AB se hace lo siguiente (antes de seguir el punto A está en
la recta r y el punto B en la recta s):
i) Por el punto A se traza un segmento de longitud MN que une A con la
recta s, esto se hace con el compás ( y con la regla). Este segmento
corta a la recta s en el punto C.
ii) Se traza una paralela al segemento AC que pase por el punto P, esta
recta corta a la recta r en el punto D y a la resta s en el punto E. El
segmento DE tiene menor longitud que el segmento MN, pero es mayor que
AB. DE es una primera aproximación de un segmento que tiene longitud MN
y que pasa por el punto P uniendo las restas r y s.
Ahora se repite el proceso empezando en el punto D
i') Por el punto D se traza un segmento de longitud MN que une las
rectas r y s, este segmento es el DF.
ii') Se traza una paralela a DF pasando por P y se obtiene una nueva
aproximación GH (G está en la recta r y H en la recta s). Esta nueva
aproximación GH tiene menor longitud que MN, pero mayor longitud que DE.
(Esto no lo he comprobado matemáticamente, pero parece que es así. De
todas formas al hacer el dibujo cada nueva aproximación que se
consigue es cada vez más dificil de distinguir de la anterior.)
Bueno, esto es todo y para no perderse en este mensaje lo mejor es ir
haciendo el dibujo.
Un saludo
Manolo
Celedonio Hdez
aproximado.
Siempre habrá dos soluciones.
El segmento MN puede valer desde 0 (pasando por el punto de interseccion de
las rectas r y s) hasta infinito (paralela por el punto P a una de las
rectas r o s )
Ignacio Larrosa Cañestro
----- Original Message -----
From: Manolo <mgan...@teleline.es>
Newsgroups: es.ciencia.matematicas
To: Celedonio Hdez <Chern...@nexo.es>
Sent: Sunday, April 02, 2000 1:53 PM
Subject: Re: Rectas que se cortan
> Para empezar el problema puede no tener solución. Si se traza la
> bisectriz b de las rectas r y s (la que queda encerrada en la misma
> parte que P) y una recta perpendicular a esta bisectriz pasando por el
> punto P, se obtiene el segemento de menor longitud (voy a llamarle AB)
> que pasa por el punto P y une a las rectas r y s. Si este segmento AB es
> de mayor longitud que MN, entonces el problema no tiene solución. Sólo
> si AB tiene una longitud menor o igual que MN el problema tiene
> solución. En caso de que MN y AB tengan la misma longitud el problema
> está resuelto y hemos tenido mucha suerte. Si MN tiene una longitud
> menor que AB se hace lo siguiente (antes de seguir el punto A está en
> la recta r y el punto B en la recta s):
En el enunciado del problema no se menciona que el punto P deba pertenecer
al segmento determinado por las rectas r y s, sino a la recta que lo
contiene. Por tanto el problema siempre tiene al menos dos soluciones, con
el segmento en los ángulos adyacentes a áquel en que se encuentra P. Además,
hay otra solución si AB es igual que la longitud del segmento, o dos si es
menor.
Un saludo,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
Manolo
he interpretado mal el enunciado.
Lo que sigue sólo son ideas que podrían llevar a una solución geométrica
del problema:
Si se trata de plantear el problema de forma analítica sale una ecuación
de cuarto grado, las soluciones de esta ecuación están relacionadas con
los puntos de corte de dos cónicas.
Si supiese por que puntos de la recta r pasan los segmentos buscados
sería fácil trazarlos, sin más que dibujar las rectas que unen esos
puntos al punto P.
Posiblemente los puntos buscados sobre la recta r son las proyecciones
de los puntos de corte de dos cónicas sobre la recta r. El problema
ahora sería determinar que cónicas son y cómo deben estar colocadas, la
solución de este problema no la se.
Un saludo
Manolo
Ignacio Larrosa Cañestro
38E88775...@teleline.es...
> Ciertamente el punto P no tiene porque pertenecer al segmento buscado,
> he interpretado mal el enunciado.
>
> Lo que sigue sólo son ideas que podrían llevar a una solución geométrica
> del problema:
>
> Si se trata de plantear el problema de forma analítica sale una ecuación
> de cuarto grado, las soluciones de esta ecuación están relacionadas con
> los puntos de corte de dos cónicas.
Yo situé una recta en el eje OX, la otra tendría de ecuación y=kx y el punto
P coordenadas (a,b). Siendo s la longitud del segmento (la l se parece mucho
a un 1) e y-b=m(x-a) la ecuación de la recta solución, me queda
efectivamente una ecuación de cuarto grado en m, intratable en general. Es
m^4·(a^2·k^2 - s^2) + 2·k·m^3·(s^2 - a·b·k) + m^2·(a^2·k^2 + k^2·(b^2 -
s^2)) - 2·a·b·k^2·m + b^2·k^2=0
El hecho de que tanto Manolo como yo hayamos caído, por métodos
presumiblemente distintos, en ecuaciones de 4º grado, aparentemente no
reducibles, me inclina a pensar que el problema no pueda solucionarse sólo
con regla y compás. Si pudiera hacerse, también debería poder resolverse con
ecuaciones de 2º grado como mucho.
El párrafo anterior no es una demostración de que el problema no tenga
solución con regla y compás. Para ello haría falta demostrar que no puede
resolverse con ecuaciones de 2º grado, utilizando otras variables, por
ejemplo.
Por ejemplo, si las rectas son perpendiculares y el punto se encuentra en
una bisectriz, el problema puede resolverse algebraicamente mediante
extracción de raíces cuadradas, por lo que si que podrá solucionarse
mediante regla y compás. Posiblemente aunque las rectas no sean
perpendiculares, si P esta en la bisectriz, el problema sea resoluble con
regla y compás.
> Si supiese por que puntos de la recta r pasan los segmentos buscados
> sería fácil trazarlos, sin más que dibujar las rectas que unen esos
> puntos al punto P.
¡Hombre, claro!
> Posiblemente los puntos buscados sobre la recta r son las proyecciones
> de los puntos de corte de dos cónicas sobre la recta r. El problema
> ahora sería determinar que cónicas son y cómo deben estar colocadas, la
> solución de este problema no la se.
Esto último ya no lo entiendo mucho.
Celedonio Hdez
Si desde el punto P trazamos un haz de rayos proyectivos , que son cortados
por las dos rectas r y s, se nos formarían dos series
proyectivas.....???????
Ignacio Larrosa Cañestro <ilar...@linuxfan.com> escribió en el mensaje
Han Solo
Hash: SHA1
"Celedonio Hdez" <Chern...@nexo.es> writes:
> AYUDA
>
> En un plano se encuentran situadas dos rectas (r y s) que se cortan y un
> punto P exterior a ellas.
> Trazar "gráficamente" por el punto P, una recta que intercepte sobre las
> otras dos dadas (r y s), un segmento MN de magnitud conocida "l".
> Resolver el ejercicio geométricamente ( no analítica).
>
> Saludos y gracias.
>
>
Hola a todos.
Me voy a aventurar a dar una solución gráfica:
Si deslizamos el segmento de longitud "l" apoyando sus extremos sobre
las rectas r y s, se define una hipérbola. La recta que se busca será
la tangente a dicha hipérbola desde el punto P. Este planteamiento
tiene dos dificultades:
La primera es definir geométricamente la hipérbola. Teniendo en cuenta
que los ejes serán las biserctrices de las rectas r y s, y que tenemos
dos puntos de la hipérbola, uno sobre cada recta, es fácil hallar los
vértices y los focos.
Lo segundo sería trazar la tangente. Se podría hacer por homología
(pensado así a bote pronto, seguro que hay métodos más rápidos)
Teniendo en cuanta que la hipérbola es simétrica, efectivamente habría
dos soluciones, como apuntaba Ignacio en otro post.
- --
Un Saludo
Han Solo
The Rebel Alliance
Emacs is not on every system
So what? [...] Do you tell your administrative people to stick with
notepad.exe? Do you tell your fat kids they can only have the crummy
games that come with their video games or plain dress that comes with
Barbie?
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-----END PGP SIGNATURE-----
Ignacio Larrosa Cañestro
8766txi...@alderaan.maptel.es...
> Hola a todos.
>
> Me voy a aventurar a dar una solución gráfica:
>
> Si deslizamos el segmento de longitud "l" apoyando sus extremos sobre
> las rectas r y s, se define una hipérbola. La recta que se busca será
> la tangente a dicha hipérbola desde el punto P. Este planteamiento
> tiene dos dificultades:
Supongo que quieres decir que la envolvente sería una hipérbola. A mi a
primera vista me parece que no es así. Debe ser una astroide.
>
> La primera es definir geométricamente la hipérbola. Teniendo en cuenta
> que los ejes serán las biserctrices de las rectas r y s, y que tenemos
> dos puntos de la hipérbola, uno sobre cada recta, es fácil hallar los
> vértices y los focos.
>
> Lo segundo sería trazar la tangente. Se podría hacer por homología
> (pensado así a bote pronto, seguro que hay métodos más rápidos)
Si se tratase de una hipérbola, una vez conocidos sus elementos no habría
dificuñltad en trazar la tangente por un punto. Pero me parece que no es el
caso ...