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Ecuación trigonométrica.
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el mendigo
May 9, 2016, 4:33:30 PM5/9/16
to
sea x un ángulo tal que cos2x(1/(sen3x)+1/(cos3x))=0 Hallar el valor de sen2x.
Ignacio Larrosa Cañestro
May 9, 2016, 6:33:28 PM5/9/16
to
El 09/05/2016 a las 22:33, el mendigo escribió:
> sea x un ángulo tal que cos2x(1/(sen3x)+1/(cos3x))=0 Hallar el valor de sen2x.
>
Como es un producto de números reales igualado a cero, tendrá que ser
> sea x un ángulo tal que cos2x(1/(sen3x)+1/(cos3x))=0 Hallar el valor de sen2x.
>
cero alguno de los factores.
cos(2x) = 0 ===> 2x = 90º + k*360º ==> x = 45 + k*180º
ó 2x = 270º + k*360º ===> x = 135º + k*180º
Es decir, x = 45º, 135º, 225º, 315º (mod 360º)
El otro factor es
1/sen(3x) + 1/cos(3x) = 0 ===>
cos(3x) = -sen(3x) ====
3x = 135º + k*360º ===> x = 45º + k*120º
3x = 315 + k*360º ===> x = 105º + k*120º
Es decir, x = 45º, 105º, 165º, 225º, 285º, 345º (mod 360º)
Pero los senos de los dobles de estos ángulos no son iguales:
sen(2*45º) = sen(90º) = 1
sen(2*135º) = sen(270º) = -1
sen(2*225º) = sen(450º) = sen(90º) = 1
sen(2*315º) = sen(630º) = sen(270º) = -1
sen(2*105º) = sen(210º) = - sen(30º) = -1/2
sen(2*165º) = sen(330º) = sen(-30º) = -1/2
sen(2*225º) = sen(450º) = sen(90º) = 1
sen(2*285º) = sen(570º) = sen(210º) = -1/2
sen(2*315º) = sen(2*(-45º)) = sen(-90º) = -1
Es decir, que el sen(2x) puede ser +/-1 ó -1/2
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilar...@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
el mendigo
May 10, 2016, 8:28:20 PM5/10/16
to
Hola Ignacio, el problema surgió al ver la siguiente solución
se tiene el sistema secx+cscx=sec(x+120)+csc(x+120)=sec(x-120)+csc(x+120)
se pide calcular tanx +ctgx
La solución que muestran es
secx+cscx=n
sec(x+120)+csc(x+120)=n
sec(x-120)+csc(x+120)=n
considerando las identidades trigonométricas: csc(x)+csc(x-120°)+csc(x+120°)=3csc(3x) y secx+sec(x-120°)+sec(x+120°)=-3sec(3x)
se tiene que 3csc(3x)-3sec(3x)=3n
entonces csc(3x)-sec(3x)=secx+cscx
entonces 1/(cos(3x))-1/(senx)=1/(cosx)+1/(cos(3x))
luego (-2senxcos(2x))/(sen(3x)senx)=(2cos(2x)cosx)/(cosxcos(3x))
entonces cos(2x)=0 v tan(3x)=-1
es aquí donde planteo la ecuación trigonométrica
pero las soluciones del sistema solo son -4 y 2
¿Donde estaría el error ?
se tiene el sistema secx+cscx=sec(x+120)+csc(x+120)=sec(x-120)+csc(x+120)
se pide calcular tanx +ctgx
La solución que muestran es
secx+cscx=n
sec(x+120)+csc(x+120)=n
sec(x-120)+csc(x+120)=n
considerando las identidades trigonométricas: csc(x)+csc(x-120°)+csc(x+120°)=3csc(3x) y secx+sec(x-120°)+sec(x+120°)=-3sec(3x)
se tiene que 3csc(3x)-3sec(3x)=3n
entonces csc(3x)-sec(3x)=secx+cscx
entonces 1/(cos(3x))-1/(senx)=1/(cosx)+1/(cos(3x))
luego (-2senxcos(2x))/(sen(3x)senx)=(2cos(2x)cosx)/(cosxcos(3x))
entonces cos(2x)=0 v tan(3x)=-1
es aquí donde planteo la ecuación trigonométrica
sea x un ángulo tal que cos2x(1/(sen3x)+1/(cos3x))=0 Hallar el valor de sen2x.
Para ver esto hacen un análisis donde llegan exactamente a los valores que tu encontraste +/-1 ó -1/2 osea tanx+ctgx=2/(sen2x) luego 2/(sen2x)=-4,-2,2
pero las soluciones del sistema solo son -4 y 2
¿Donde estaría el error ?
Ignacio Larrosa Cañestro
May 11, 2016, 4:20:23 AM5/11/16
to
El 11/05/2016 a las 2:28, el mendigo escribió:
> Hola Ignacio, el problema surgió al ver la siguiente solución
>
> se tiene el sistema secx+cscx=sec(x+120)+csc(x+120)=sec(x-120)+csc(x+120)
>
> se pide calcular tanx +ctgx
>
> La solución que muestran es
>
> secx+cscx=n
> sec(x+120)+csc(x+120)=n
> sec(x-120)+csc(x+120)=n
>
> considerando las identidades trigonométricas: csc(x)+csc(x-120°)+csc(x+120°)=3csc(3x) y secx+sec(x-120°)+sec(x+120°)=-3sec(3x)
>
> se tiene que 3csc(3x)-3sec(3x)=3n
>
> entonces csc(3x)-sec(3x)=secx+cscx
>
> entonces 1/(cos(3x))-1/(senx)=1/(cosx)+1/(cos(3x))
Será
> Hola Ignacio, el problema surgió al ver la siguiente solución
>
> se tiene el sistema secx+cscx=sec(x+120)+csc(x+120)=sec(x-120)+csc(x+120)
>
> se pide calcular tanx +ctgx
>
> La solución que muestran es
>
> secx+cscx=n
> sec(x+120)+csc(x+120)=n
> sec(x-120)+csc(x+120)=n
>
> considerando las identidades trigonométricas: csc(x)+csc(x-120°)+csc(x+120°)=3csc(3x) y secx+sec(x-120°)+sec(x+120°)=-3sec(3x)
>
> se tiene que 3csc(3x)-3sec(3x)=3n
>
> entonces csc(3x)-sec(3x)=secx+cscx
>
> entonces 1/(cos(3x))-1/(senx)=1/(cosx)+1/(cos(3x))
1/sen(3x) - 1/sen(x) = 1/cos(x) + 1/cos(3x)
>
> luego (-2senxcos(2x))/(sen(3x)senx)=(2cos(2x)cosx)/(cosxcos(3x))
>
> entonces cos(2x)=0 v tan(3x)=-1
>
> es aquí donde planteo la ecuación trigonométrica
> sea x un ángulo tal que cos2x(1/(sen3x)+1/(cos3x))=0 Hallar el valor de sen2x.
>
> Para ver esto hacen un análisis donde llegan exactamente a los valores que tu encontraste +/-1 ó -1/2 osea tanx+ctgx=2/(sen2x) luego 2/(sen2x)=-4,-2,2
>
> pero las soluciones del sistema solo son -4 y 2
> ¿Donde estaría el error ?
>
secx+cscx=sec(x+120)+csc(x+120)=sec(x-120)+csc(x+120)
que en realidad son dos, pues la tercera ecuación es una combinación
lineal de las otras,
a una sola ecuación:
csc(3x)-sec(3x)=secx+cscx
Las soluciones del sistema deben estar entre las de la ecuación, pero no
todas las de la ecuación deben resolver necesariamente el sistema. De
hecho resulta que no lo resuelve ninguna de las ocho soluciones de la
ecuación entre 0 y 360º. O al menos, las reales.
el mendigo
May 11, 2016, 6:12:56 PM5/11/16
to
Hola Ignacio,
Mi pregunta es por que tanx+ctgx solo toma los valores -4,2 , Pero sin embargo tanx+ctgx=2/(sen2x) pero sabemos que sen2x= +-1,-1/2 que nos llevarían a tanx+ctgx=-4,-2,2 hay alguna justificación para esto. Gracias desde luego.
Saludos.
Mi pregunta es por que tanx+ctgx solo toma los valores -4,2 , Pero sin embargo tanx+ctgx=2/(sen2x) pero sabemos que sen2x= +-1,-1/2 que nos llevarían a tanx+ctgx=-4,-2,2 hay alguna justificación para esto. Gracias desde luego.
Saludos.
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