¿Números finitos y números infinitos?
EDU/JU
pertenezcan más bien a las matemáticas puras, pero ahí van algunas dudas que
me han surgido, releyendo a B. Rusell:
1.- ¿Cuál es la diferencia científica e inteligible entre los números
finitos y los números infinitos?
2.- Cómo comprobar científicamente (no según Perogrullo) si el número 15 es
finito o infinito?.
3.- Dos conjuntos que admitan una aplicación biyectiva, ¿tienen siempre el
mismo número de elementos, aunque sean infinitos?
Gracias por vuestras respuestas.
calculaweb
Qué entiendes por números finitos e infinitos? Yo hablaría de cardinales
o conjuntos finitos e infinitos.
Si definimos conjunto infinito como aquél que puede biyectarse con uno
de sus subconjuntos propios (y finito el que no es infinito),
demostraríamos que un conjunto de 15 elementos no puede biyectarse con
ninguno de sus subconjuntos propios, supongo que por reducción al absurdo.
Respecto a tu última pregunta, admitir la aplicación biyectiva debería
ser la definición de "tener el mismo número de elementos" (yo diría
"tener elmismo cardinal")
Espero haber aclarado algo.
EDU/JU
entender lo que son los números infinitos. El hecho es que en matemáticas no
muy superiores se hace referencia a ellos, por ejemplo se utiliza el 8
tumbado, o se habla de que n tiende a infinito ¿Dentro del conjunto de los
números naturales o de los números enteros, los hay infinitos o son todos
finitos? ¿Qué significa realmente decir que n tiende a infinito?
Gracias y saludos.
_____________________
"calculaweb" <calcu...@wanadoo.es> escribió en el mensaje
news:3D94C68...@wanadoo.es...
Antonio Martos
"EDU/JU" <EJO...@teleline.es> escribió en el mensaje
news:an4mo3$b0i4s$1...@ID-92161.news.dfncis.de...
> Te agradezco mucho el comentario, pero el problema es que más bien trato
de
> entender lo que son los números infinitos. El hecho es que en matemáticas
no
> muy superiores se hace referencia a ellos, por ejemplo se utiliza el 8
> tumbado, o se habla de que n tiende a infinito ¿Dentro del conjunto de los
> números naturales o de los números enteros, los hay infinitos o son todos
> finitos? ¿Qué significa realmente decir que n tiende a infinito?
> Gracias y saludos.
Piensa que el "infinito" es una cosa diferente segun contexto y que en
general no siempre es un numero en el sentido formal.
Partiendo de ahi, el infinito no esta en el conjunto de los numeros
naturales, ni los enteros, ni los reales, por ejemplo:
Los axiomas de Peano que definien el conjunto de los numeros naturales
dicen:
1. Cero, representado 0, es un entero natural.
2. A todo x perteneciente a N se le puede asociar un elemento determinado de
N, representado por x' y que se denomina "el siguiente de x"; se establece
que 0' = 1.
3. 0 no es el siguiente de ningún x perteneciente a N.
4. Dos números enteros naturales a y b que tienen el mismo siguiente x', son
iguales.
5. Sea A un subconjunto de N que contiene 0 y tal que si x pertenece a A
entonces x' pertenece a A a su vez: en este caso A es igual a N. (Axioma de
Recurrencia o de Inducción Completa)
Es facil ver que "el infinito" no esta comprendido en este conjunto.
Analogamente ocurre con los enteros y los reales, etc...
A veces se define un conjunto extendido para alguna aplicacion practica, asi
por ejemplo, la recta extendida es el conjunto formado por todos los numeros
reales, y ademas dos elementos (fijate que no los llamo ni siquiera numeros
y menos reales) que serian -oo y +oo. Este conjunto se usa para referirse
por ejemplo a las soluciones de ciertos limites reales. Todo se puede
definir como mas te convenga, aunque hay convenciones, el infinito no es un
numero o si lo quieres tomar como tal no lo es como lo podria ser el 1 o el
4.56232 o Pi, pero puede considerarse un elemento de determinados conjuntos
que lo incluyan.
Pero aunque no sea un "numero" si puede ser la solucion de determinados
problemas, o mejor dicho, se suele definir como infinito la solucion de
determinados problemas.
Lo intento explicar, perdon si no soy perfectamente formal en las
definiciones y terminos, no pretendo serlo para no enrevesar la explicacion,
pero si hay alguna duda, cualquier libro de analisis matematico de variable
real define todo perfecta e inequivocamente.
Concretando: Una de las "definiciones" de +oo mas tipica es la de limites.
Cual es el limite de la funcion 1/x^2 cuando x tiende a cero?
Segun la definicion de limite que emplees, la respuesta puede ser: NO TIENE
limite, que tambien se puede decir, no tiene limite real.
Pero este ejemplo es diferente del caso 1/x donde la respuesta tambien seria
que no tiene limite con cierto formalismo.
Pero inmediatamente despues de definir el concepto de limite se suele
extender a limites infinitos, y resulta mas comodo redefinir el concepto de
limite de manera que 1/x^2 aunque no tenga limite real, le ponemos un nombre
a lo que sea que tiene, y lo llamamos limite infinito.
Vuelvo atras un poco: Se dice que una funcion "tiene limite" cuando "tiene
limite por la izquierda" y "tiene limite por la derecha" y ambos coinciden,
por definicion. Cuando una funcion no tiene limite puede ser por distintas
razones, bien porque no tenga uno de los dos limites o bien porque sean
diferentes.
Pero suele interesar diferenciar entre dos casos de no tener limite:
sen(1/x^2) y 1/x^2 son diferentes en el entorno de 0, la primera oscila
ferozmente entre -1 y 1 segun se acerca a 0, la segunda sin embargo se
dispara hacia arriba y crece cada vez mas cuando se tiende a 0.
Pues el primer caso queda como "sin limite", pero el segundo a pesar de que
en realidad tampoco encaja con la definicion de "tener limite", porque no
existe limite (real) por la izquierda ni por la derecha), pero si encaja con
una nueva clasificacion, que se hace para englobar estos casos, que es el
limite infinito.
Aqui se introduce por primera vez la palabra infinito pero no como un valor
numerico, sino que se dice que este limite tiene limite infinito.
Puede parecer paradojico que en el limite de 1/x^2 cuando x tiende a 0 ,
son ciertas estas dos afirmaciones: "No tiene limite" y "su limite es +oo",
pero ambas son ciertas, ya que con el "no tiene limite" quieres decir que no
tiene limite real, y con la segunda afirmacion no la contradices.
En este sentido +oo no es un "numero" si es a lo que te refieres.
Luego aparece el limite de nuevo cuando se quiere decir "x tiende a +oo". De
nuevo no es literal, no hay que entender que x, una variable real, pueda
crecer y alcanzar el +oo, no puede, pero al hecho de que "lo intente" se le
llama tender a infinito.
Mas formalmente se define un limite en el infinito, por ejemplo del
arctan(x) cuando x tiende a +oo, como el valor al que tiende la funcion a
medida que x va siendo mayor. Es decir, un valor que va a estar tan cerca
del valor de arctan(x) como queramos eligiendo x suficientemente grande,
aunque nunca infinito (no tiene sentido). En este caso el limite es Pi/2.
Aqui aparece el termino infinito de nuevo como convencion, podrias definir
este limite sin usar la palabra infinito como el valor al que tiende cuando
x crece mucho. Es una mera convencion intuitiva.
Casi todas las definiciones de infinitos en realidad quieren decir "tan
grande como quieras"
Espero que te sirva para aclarar algo.
Hugo García
naturales 1,2,3, reales -2,-1,0,1,2 racionales 3,4 o irracionales creo que a
estos te refieres tú son número com "pi" o el número "e" son números que no
tienen finitos decimales y siempre distintos. Estos número especiales tienen
ademas la propiedad que no se pueden sacar de ninguna otra ecuación aparte
de la cual estan definidos. Por ejemplo "pi" sólo lo puedes hallar
dividiendo la longitud de la circunferencia entre el radio nunca lo podrias
hallar de ninguna otra ecuación matemática por compleja que fuera esta. Por
otra parte cuando n tiende a infinito quiere decir que para
n=888888888888888888888 o sea un número muy grande siempre habrá un número
muchíiiiiiiiiissssimo más grande n=88888888888888888888888888888888 y
despues otro número mucho más grande mayor que ese a su vez pero tambien si
n tiende a 8 habrá un número muy próximo a él 7,99999999999999999 pero
siempre habra otro muchísimo más cercano a él
7,999999999999999999999999999999 y luego otro todavía más cercano a él.
Espero haberte ayudado. Un saludo Hugo
"EDU/JU" <EJO...@teleline.es> escribió en el mensaje
news:an4mo3$b0i4s$1...@ID-92161.news.dfncis.de...
Antonio González
> Te agradezco mucho el comentario, pero el problema es que más bien
> trato de entender lo que son los números infinitos. El hecho es que
> en matemáticas no muy superiores se hace referencia a ellos, por
> ejemplo se utiliza el 8 tumbado, o se habla de que n tiende a
> infinito ¿Dentro del conjunto de los números naturales o de los
> números enteros, los hay infinitos o son todos finitos? ¿Qué
> significa realmente decir que n tiende a infinito? Gracias y saludos.
Uuufff... Este es un tema nada trivial.
Para empezar te recomiendo como divulgación "La trama oculta
del Universo" de John D. Barrow, que trata de las distintas escuelas
de pensamiento sobre las matemáticas, y los infinitos son una de las
divergencias entre las distintas escuelas.
Para algunos (pocos) matemáticos, los infinitos no existen,
salvo en su forma potencial. Un infinito potencial se define
como ha comentado Antonio Martos, tomamos un número natural
y hallamos el siguiente, y el siguiente de este... Es evidente
que nunca acabaremos, pero tampoco llegaremos nunca al infinito.
En este sentido, decir que n->oo equivale a decir que n se puede
hacer tan grande como se quiera, que para cualquier cota M que
tu fijes, puedes encontrar un n mayor. Por ejemplo, el límite de
a_n = (n+1)/(n+2)
cuando n->oo es 1. Ninguno de los a_n vale 1, pero podemos hacer
la diferencia a_n-1 tan pequeña como queramos, siemplemente eligiendo
un n lo bastante grande.
Ahora bien, existe otra forma de considerar los infinitos y es
a partir del cardinal de conjuntos. En lugar de considerar
los números naturales uno detrás de otro, los tomamos todos juntos
y llamamos al conjunto N. ¿Cuantos elementos tiene N? Infinitos.
Este sería un infinito real. Es un número mayor que el cardinal
de cualquier conjunto finito.
La cosa se complica al descubrir que algunos infinitos son más
grandes que otros. Por ejemplo, puede demostrarse que el conjunto
de los números naturales y el de los números pares poseen el mismo
cardinal (a cada número natural le hacemos corresponder un número
par, su doble) por tanto estos infinitos son iguales. Pero, supongamos
el conjunto de todos los conjuntos finitos de números naturales.
Es evidente que este conjunto posee infinitos elementos,
pero ¿es un infinito igual que el de los números naturales? No,
es mayor. No puede hacerse una correspondencia biyectiva entre
los dos conjuntos.
Aparte está el problema de los números transfinitos. Existe un álgebra
de números de forma que si W es el cardinal de los números
naturales (que ya hemos dicho que era infinito) luego podemos
seguir con W+1, W+2, y llegar a W+W, y a W·W, y a W^W. No
me preguntes qué sentido tiene esto, porque no lo entiendo
muy bien. Sé que se usan, por ejemplo, en cuestiones de lógica
matemática (en el libro de Hofstadter "Gödel, Escher, Bach"
aparecen más de una vez).
Temo no haberte aclarado mucho, pero bueno... no todo tiene
una respuesta sencilla.
AG
Antonio Martos
"Antonio González" <gon...@esi.us.es> escribió en el mensaje
news:an500v$av9fp$1...@ID-39038.news.dfncis.de...
> Uuufff... Este es un tema nada trivial.
> Para algunos (pocos) matemáticos, los infinitos no existen,
> salvo en su forma potencial. Un infinito potencial se define
> como ha comentado Antonio Martos, tomamos un número natural
> y hallamos el siguiente, y el siguiente de este... Es evidente
> que nunca acabaremos, pero tampoco llegaremos nunca al infinito.
Por si me he expresado mal, no he querido decir que el concepto de infinito
no exista, sino solo mostar un par de casos tipicos de calculo elemental
(porque me parece que es sobre lo que pregunta) donde pueden considerarse
como una abstraccion que no tiene porque existir aunque se use su nombre por
convencion.
Queria trasmitir solo la idea de que no son tan "reales" como puede sonar
cuando se oye hablar de ellos dentro solo del ambito del calculo elemental
de limites, lo mas tipico.
Desde luego, como dices bien hay otros infinitos que si tienen una
existencia mas real (valga la vagedad de la expresion), que son mas
"numeros", como los transfinitos que tienen hasta su propia algebra. E
incluso con limites se puede manegar un "algebra" elemental, con el tema de
las indeterminaciones, de tipo +oo * -oo = -oo que quiere decir en realidad:
El limite del producto de dos limites que tengan limites +oo y -oo
respectivamente es -oo
De manera similar a como describes con los cardinales, puede solidificarse
la idea de infinito como numero, aunque no deje de ser abstracta, pero alli
ya me pierdo, e incluso tengo mis dudas, seguramente irracionales, sobre la
utilidad de la excesiva abstraccion matematica.
Bueno, eso solo queria decir que yo no me pronuncio sobre si los infinitos
son de verdad o de mentira, es un tema que se me escapa, solo puse un
ejemplo donde pueden tomarse como de mentira sin pretender generalizarlo,
solo para ayudar a entender la cuestion.
Antonio González
>
> Bueno, eso solo queria decir que yo no me pronuncio sobre si los
> infinitos son de verdad o de mentira, es un tema que se me escapa,
> solo puse un ejemplo donde pueden tomarse como de mentira sin
> pretender generalizarlo, solo para ayudar a entender la cuestion.
No, si mi comentario no iba por ti. Es un hecho que existe
una escuela minoritaria en las matemáticas, llamada
de los "intuicionistas" que niega la existencia
de los infinitos reales y solo admite los infinitos
potenciales. (Tampoco admiten el principio de reducción
al absurdo y exigen que todas las demostraciones sean
constructivas).
La mayoría (idealistas, realistas, formalistas, empiristas...)
sí admite los infinitos reales considerados, por ejemplo, como
el cardinal de conjuntos infinitos.
Saludos
AG
Stream
de
> entender lo que son los números infinitos. El hecho es que en matemáticas
no
> muy superiores se hace referencia a ellos, por ejemplo se utiliza el 8
> tumbado, o se habla de que n tiende a infinito ¿Dentro del conjunto de los
> números naturales o de los números enteros, los hay infinitos o son todos
> finitos? ¿Qué significa realmente decir que n tiende a infinito?
> Gracias y saludos.
Normalmente infinito no es un numero, salvo en determinados casos que
conviene adoptarlo como tal (en cuyo caso ya no estariamos hablando de N,Z o
R sino de un nuevo espacio,por ejemplo en teoria de integracion etc...),
pero solo para simplificar las cuentas o los razonamientos, la definicion de
n tiende a infinito no existe porque lo has expresado mal.Piensa por ejemplo
en un limite cualquiera y replantea la pregunta.
saludos
Poincaré
El error (o la ingenuidad) de referirse al idealismo, realismo,
empirismo...como escuelas matemáticas comparables al intuicionismo o al
formalismo podría provocar desastrosas confusiones, de las que tal vez usted
mismo haya sido víctima inconsciente. Porque todos aquellos lectores que no
posean la suficiente "experiencia matemática" (me tomo aquí la licencia de
acuñar esta expresión) podrían llegar a pensar (y es un lugar común en la
filosofía actual
-posmoderna o no- malinterpretar la trivial crítica de Quine al concepto de
analiticidad y el, a mi entender equivocado, rechazo intuicionista del
tertium non datur ) que las matemáticas están sujetas como las ciencias
empíricas al paradigma imperante o que dependen de las estructuras
macroeconómicas que determinan qué es verdad hoy y qué mañana.
Hablar de realistas, idealistas etc. como si realmente existiesen tantas
formas de hacer matemáticas como nombres ha dado, es aquí una
irresponsabilidad que contribuye, involuntariamente o no, al descrédito de
esta actividad. Porque, contrariamente al intuicionismo, el realismo,
nominalismo, existencialismo (sí, existencialismo) u objetivismo, son sobre
todo "actitudes emocionales" dedicadas a considerar la naturaleza de los
entes matemáticos y sin apenas implicación en el hacer matemático (y es en
este punto donde divergen del intuicionismo).
Un afectuoso saludo.
Antonio Gonzalez
(Advierto de entrada que mis conocimientos sobre filosofía
de las matemáticas son muy limitados)
>
> El error (o la ingenuidad) de referirse al idealismo, realismo,
> empirismo...como escuelas matemáticas comparables al intuicionismo o
> al formalismo podría provocar desastrosas confusiones, de las que tal
> vez usted mismo haya sido víctima inconsciente. Porque todos aquellos
> lectores que no posean la suficiente "experiencia matemática" (me
> tomo aquí la licencia de acuñar esta expresión) podrían llegar a
> pensar (y es un lugar común en la filosofía actual
> -posmoderna o no- malinterpretar la trivial crítica de Quine al
> concepto de analiticidad y el, a mi entender equivocado, rechazo
> intuicionista del tertium non datur ) que las matemáticas están
> sujetas como las ciencias empíricas al paradigma imperante o que
> dependen de las estructuras macroeconómicas que determinan qué es
> verdad hoy y qué mañana.
Bueno, no pretendía decir que las matemáticas dependen del matemático.
No soy un relativista (Aunque yo diría que las matemáticas tienen
más de objeto cultural que la física y no al contrario, como
pareces decir tú).
Dicho esto, sí me parece evidente que la postura filosófica
de cada cual afecta a la forma de hacer matemáticas, como afecta
a la forma de hacer física. ¿Quiere eso decir que los físicos
negamos la existencia de la realidad externa y pensamos que
la física no es más que una construcción mental sujeta a la
moda o paradigma imperante? Evidentemente no, la realidad
está ahí. Pero mi forma de hacer física (que considero
elaborar una serie de modelos que agrupan diversos
fenómenos físicos) es, quiera yo o no, diferente de
la de un físico que piensa que realmente está estudiando
la realidad y que cuando habla de un modelo atómico
considera que este modelo describe la realidad tal como es.
En cualquier caso, este físico y yo aplicaremos de forma muy
parecida las leyes del movimiento uniformemente acelerado.
Dicho esto, sí pienso que algo pareceido, pero más acentuado
se produce entre los matemáticos. Mientras que los físicos
no dudamos de la existencia de los entes con los que trabajamos
(salvo en casos extremos como algunas partículas elementales)
los matemáticos pueden presentar diferencias hasta para decir
si existe el número 2, y si existe, en que forma existe, y si
se puede alcanzar un consenso para el número 2, ya no
es tan evidente para el trillonésimo decimal de pi (o el que sea).
Es claro que los intuicionistas son mucho más extremos en este
aspecto pues al limitar el número de deducciones aceptables
hacen unas matemáticas sustancialmente diferentes a la mayoría.
Pero entre esa mayoría también puede haber diferencias, aunque
sean menores.
Tomemos el caso de los empiristas, que no abundan entre los
matemáticos "puros" pero si habitan entre los informáticos.
Supongamos una conjetura no demostrada como la de Goldbach.
Para un empirista, preocupado sobre todo por las aplicaciones
de las matemáticas al mundo real, la conjetura está "demostrada"
si se verifica (por cálculo directo) quizás hasta el billonésimo
número par, porque nunca en la vida va a necesitar un número
par más grande. Y si le hiciera falta pondría el ordenador
para hallar la descomposición en números primos del siguiente
billon de números pares. ¿Es esto una demostración para un matemático
tradicional? Evidentemente no. Pero ¿por qué tiene más valor una
demostración en 100 páginas del teorema de Fermat que una
demostración parcial para todos los casos que hicieran falta en
la historia de la humanidad? Esta diferencia de perspectiva
afecta a la forma de hacer matemáticas.
Un tema relacionado es el el problema de la verdad en matemáticas
(que siempre es externa al sistema). Esto también influye.
Sabemos que en el siglo XVIII Saccheri intentó demostrar el quinto
postulado de Euclides por una reducción al absurdo" llegando
a una conclusión que era "evidentemente falsa". Poco después
la invención de las geometrías no euclídeas desligó las
matemáticas de la física. Sin embargo, ese tipo de razonamiento
sigue usándose hoy día. Cuando Penrose y otros científicos como
él, dicen que el cerebro es no computable, porque somos capaces
de ver la verdad de un teorema indecidible, aunque no podamos
demostrarlo. Este es el mismo "error" de Saccheri. Aunque este
es un problema de lógica, más que de matemáticas, también
influye en la forma de trabajar en ellas.
Resumiendo, que tienes lo razón en que los intuicionistas se alejan
más de la mayoría, pero que el resto de las escuelas filosóficas
también manifiestan voluntaria o involuntariamente diferencias
en su forma de trabajar.
AG
Poincaré
> Desde las profundidades llegaron las palabras de Poincaré:
No hay profundidad ninguna en mi pasada intervención. No era más que una
pequeña reprimenda a causa de su intentona subrepticia por hacer cundir el
descrédito desde fuera (y digo fuera con todo el respeto para los Antonios)
>
> (Advierto de entrada que mis conocimientos sobre filosofía
> de las matemáticas son muy limitados)
>
En este foro ninguno somos una lumbrera.
>
> Bueno, no pretendía decir que las matemáticas dependen del matemático.
> No soy un relativista (Aunque yo diría que las matemáticas tienen
> más de objeto cultural que la física y no al contrario, como
> pareces decir tú).
>
Como si usted quiere creer que Löwenheim era su abuelo. mientras no aporte
argumentos racionales para defender tamaña sandez, no hay discusión posible
(y dudo mucho que los encuentre)
> Dicho esto, sí me parece evidente que la postura filosófica
> de cada cual afecta a la forma de hacer matemáticas, como afecta
> a la forma de hacer física.
Cuando utilicé en mi pasada intervención la expresión "hacer matemático", no
hablaba de la forma de trabajar sino del corpus teoremal y de inferencias
lógicas admitido. Como al parecer, mi opinión no le convence, recurriré a la
Jean Dieudonné (miembro destacado del círculo Bourbaki) : "Al 99% de los
matemáticos les importa en su actividad un bledo lo que los filósofos puedan
decir de las matemáticas" y más adelante "Las matemáticas son las mismas
desde Euclides" (Conferencia sobre matemáticas vacías y significativas,
compilado en el volúmen "Pensar la matemática" Ed Tusquets. Cuadernos
ínfimos). ¿Aceptará en esta ocasión la opinión de un señor con la suficiente
"experiencia matemática" como para saber de los que habla, me temo?. Sepa
usted que hasta ahora se han impugnado demostraciones, pero no se han
encontrado contraejemplos.
¿Quiere eso decir que los físicos
> negamos la existencia de la realidad externa y pensamos que
> la física no es más que una construcción mental sujeta a la
> moda o paradigma imperante? Evidentemente no, la realidad
> está ahí. Pero mi forma de hacer física (que considero
> elaborar una serie de modelos que agrupan diversos
> fenómenos físicos) es, quiera yo o no, diferente de
> la de un físico que piensa que realmente está estudiando
> la realidad y que cuando habla de un modelo atómico
> considera que este modelo describe la realidad tal como es.
> En cualquier caso, este físico y yo aplicaremos de forma muy
> parecida las leyes del movimiento uniformemente acelerado.
>
Aunque lo que asevera es confuso y muy poco pertinente aquí, me gustaría que
pudiera ilustarme con un par de ejemplos básicos en que medida difieren (si
no le incomoda en demasía, nos trasladaríamos al foro de física).
> Dicho esto, sí pienso que algo pareceido, pero más acentuado
> se produce entre los matemáticos. Mientras que los físicos
> no dudamos de la existencia de los entes con los que trabajamos
Mientras el modelo sea útil. ¿O su excelentísima memoria ha decidido
prescindir, por ejemplo, del flogisto o del éter?. Pues ya sabe rabo de pasa
y un coscorroncito contra la pared.
> los matemáticos pueden presentar diferencias hasta para decir
> si existe el número 2, y si existe, en que forma existe, y si
> se puede alcanzar un consenso para el número 2, ya no
> es tan evidente para el trillonésimo decimal de pi (o el que sea).
Grave ingenuidad. A eso me refería yo en mi anterior mensaje cuando hablaba
de "actitudes emotivas". En matemáticas no hay distintas clases de doses que
representen la única idea del dos natural. No conozco ni un solo resultado
acerca de "doses" que, por ejemplo, valga para logicistas (que definen los
números naturales en términos lógicos y de teoría de conjuntos) pero no para
formalistas (que parten de la axiomática).
> Es claro que los intuicionistas son mucho más extremos en este
> aspecto pues al limitar el número de deducciones aceptables
> hacen unas matemáticas sustancialmente diferentes a la mayoría.
Grave ingenuidad. No son matemáticas distintas cada una con sus propias
verdades y enfrentadas. La escuela intuicionista no ha encontrado
contraejemplos para los resultados de la matemática clásica, ni los busca.
Los mismos intuicionistas (aunque han prescindido de parte del análisis
clásico y aquí insisto en que ni siquiera han encontrado contradicciones
derivadas de las definiciones e inferencias que ellos no aceptan) aseguran
que quieren demostrar gran parte de los resultados de la matemática clásica,
pero utilizando demostraciones constructivistas y renunciando a determinadas
definiciones (por ejemplo Kronecker, precursor de los intuicionistas,
rechazaba la definición de reducibilidad (un polinomio era reducible si
podíamos encontrar una raíz racional) para un polinomio ya que está no
proporcionaba un método para decidir si cada polinomio lo era). Por cierto
que el programa de reconstrucción intuicionista de las matemáticas ha
fracasado estrepitosamente.
> Pero entre esa mayoría también puede haber diferencias, aunque
> sean menores.
A ver que ejemplos....
>
> Tomemos el caso de los empiristas, que no abundan entre los
> matemáticos "puros" pero si habitan entre los informáticos.
> Supongamos una conjetura no demostrada como la de Goldbach.
> Para un empirista, preocupado sobre todo por las aplicaciones
> de las matemáticas al mundo real, la conjetura está "demostrada"
> si se verifica (por cálculo directo) quizás hasta el billonésimo
> número par, porque nunca en la vida va a necesitar un número
> par más grande. Y si le hiciera falta pondría el ordenador
> para hallar la descomposición en números primos del siguiente
> billon de números pares. ¿Es esto una demostración para un matemático
> tradicional? Evidentemente no. Pero ¿por qué tiene más valor una
> demostración en 100 páginas del teorema de Fermat que una
> demostración parcial para todos los casos que hicieran falta en
> la historia de la humanidad? Esta diferencia de perspectiva
> afecta a la forma de hacer matemáticas.
>
Caramba, si ahora los informáticos se llaman "matemáticos empiristas". Y
después habla y todo de "demostraciones parciales", vaya, vaya. Amigo es
usted realmente divertido, pero no le quepa duda de que, desde Euclides por
lo menos y hasta que transcurra esa "historia de la humanidad" a la que
usted tan alegremente se ha referido, se considera y se considerará que algo
está demostrado cuando no cabe pensar que sea de otra manera. Claro que uno
si quiere puede relajar un poco el significado de las palabras y aseverar
que la física, la biología, las aplicaciones informáticas o el psicoanálisis
son matemáticas.
Desde luego parece mentira que usted sea profesor de nosoqué. ya se refería
Platón con desprecio a los que estimaban el carácter aplicado de las
matemáticas.
> Un tema relacionado es el el problema de la verdad en matemáticas
> (que siempre es externa al sistema). Esto también influye.
> Sabemos que en el siglo XVIII Saccheri intentó demostrar el quinto
> postulado de Euclides por una reducción al absurdo" llegando
> a una conclusión que era "evidentemente falsa".
El conocidísimo ejemplo de Saccheri no vale nada. Dígame, ¿cuántas personas,
a las que no les vaya en juego haber demostrado un postulado cuya
demostración se venía buscando desde hacía siglos, están como él convencidas
del absurdo? ¿Por qué en todos los textos de historia de las matemáticas
hacen referencia a su ingenuidad?. Sepa usted, mi inteligentísimo amigo, que
todos los años llegan a las Academias de Ciencias de todo el mundo, cientos
de demostraciones irrefutables de la Cuadratura del Círculo (tal vez porque
el teorema Lindemann no les parece un resultado trivial). La evidencia desde
luego es algo a lo que es posible llegar.
Sin embargo, ese tipo de razonamiento
> sigue usándose hoy día. Cuando Penrose y otros científicos como
> él, dicen que el cerebro es no computable, porque somos capaces
> de ver la verdad de un teorema indecidible, aunque no podamos
> demostrarlo.
Ese es "grosso modo" uno de los tms. de Gödel. (Por cierto que la verdad del
teorema indecidible se puede demostrar metateóricamente). En cualquier caso,
los libros divulgativos de Penrose como The Shadows of the Mind se
caracterizan por estar plagados de extrapolaciones indigestas de resultados
matemáticos. Típico en los Brainners: se creen intocables en su sabiduría y
pretenden sentenciar en campos que escapan, con mucho, a su competencia.
>
> Resumiendo, que tienes lo razón en que los intuicionistas se alejan
> más de la mayoría, pero que el resto de las escuelas filosóficas
> también manifiestan voluntaria o involuntariamente diferencias
> en su forma de trabajar.
>
Otra vez se lo repito. cuando utilicé la expresión "hacer matemático" no
hablaba de una forma de trabajar sino del corpus teoremal y definicional
admitido. No hay más que un significado posible para la palabra verdad, y
este es el campo de acción de la matemática.
Un afectuoso saludo.
Poincaré
>
(Tampoco admiten el principio de reducción
>> al absurdo y exigen que todas las demostraciones sean
>> constructivas).
>>
Just a little precision. Los intuicionistas no rechazan en general las
demostraciones por "reductio ad absurdum" sino sobre todo una clase muy
particular de ellas: las referidas a la existencia de entes matemáticos en
dominios infinitos; demostraciones que ellos exigen constructivas (Por
ejemplo no admiten la clásica demostración de que hay infinitos números
primos, pues esta supone partir de un número finito y llegar a una
contradicción, mientras que ellos exigen una construcción del n-ésimo número
primo).
Un afectuoso saludo.
Antonio Martos
"Poincaré" <poin...@terraqueo.es> escribió en el mensaje
news:hFpm9.344665$sI1.3...@telenews.teleline.es...
... sandez, "corpus teoremal", "circulo bourbaki", "excelentisima memoria",
"grave ingenuidad", "realmente divertido", "parece mentira que sea
profesor", "Brainners"...
BLONK!
Antonio Gonzalez
"Antonio Martos" <antoni...@terra.es> escribió en el mensaje
news:ane954$dbuuh$1...@ID-141251.news.dfncis.de...
Bueno, yo había hecho lo mismo, pero sin hacer tanto ruido... :-)
Antonio
Antonio Martos
"Antonio Gonzalez" <gon...@esi.us.es> escribió en el mensaje
news:anedqb$de4a6$1...@ID-39038.news.dfncis.de...
> Bueno, yo había hecho lo mismo, pero sin hacer tanto ruido... :-)
Ya, lo siento, estoy practicando para hacerlo silenciosamente, pero este no
pude remediarlo...
Algun dia espero lograr no contestar a ninguno, de momento voy paso a
paso...
:-X
EDU/JU
servido para entender un poquito más algunos conceptos matemáticos. Si las
matemáticas son tan interesantes, entre otras cosas, es por eso: por los
enigmas que esconden los conceptos que, a veces, pueden parecer de lo más
elemental.
Una de las conclusiones que obtengo es que el concepto infinito no es único
en matemáticas, dependerá de que estemos en geometría, álgebra de conjuntos,
etc. ¿No será que el propio concepto de definición no es compatible con el
de infinito?
Por cierto, para B. Russell número infinito es aquel que no tiene siguiente
(o sea oo + 1 = oo) por tanto no le resulta aplicable el principio de
inducción de Bernuilli.
Saludos y gracias.
________________________
"Poincaré" <poin...@terraqueo.es> escribió en el mensaje
news:cTpm9.344963$sI1.3...@telenews.teleline.es...
> > Antonio González <gon...@esi.us.es> escribió:
> >
AGUIRRE ESTIBALEZ Julian
> Una de las conclusiones que obtengo es que el concepto infinito no es único
> en matemáticas, dependerá de que estemos en geometría, álgebra de conjuntos,
> etc. ¿No será que el propio concepto de definición no es compatible con el
> de infinito?
Lo que sucede es que se usa la misma palabra para conceptos distintos,
pero cada uno de esos conceptos tiene una definición precisa en
matemáticas, que no tiene porqué coincidir con la idea intuitiva de
infinito que manejamos fuera del ámbito preciso de las matemáticas. El
significado de la palabra infinito en
n tiende a infinito
el conjunto de los naturales es infinito
el punto del infinito
es distinto.
Julian Aguirre
UPV/EHU
Poincaré
>>
>>
>> ... sandez, "corpus teoremal", "circulo bourbaki", "excelentisima
> memoria",
>> "grave ingenuidad", "realmente divertido", "parece mentira que sea
>> profesor", "Brainners"...
>>
>> BLONK!
>>
>
> Bueno, yo había hecho lo mismo, pero sin hacer tanto ruido... :-)
>
> Antonio
[[:-[]
Caramba, que acertado de nuevo reprochándole a su discípulo sus propias
presunciones. ¿Quizá el profesor Antonio titubeaba en la retractación,
cuando descubrió la posibilidad de tan flagrante paradoja? ¿Sonreiría
aliviado al topar con la mano del becario, justo al borde del precipicio,
cuando sus pies se agitaban sin asiento en el vacío? ¿Concibió in extremis
una solución forzada sin apercibir que llevaba consigo una curiosa paradoja?
Hagan juego, señores, pero no olviden leer sus mensajes, señores... el
profesor nos aseguró que no creia en las contradicciones...
[[:-[]
Bueno, sarcasmos aparte, hacen ustedes bien retirándose. En cuanto a mí,
dejen ya de preocuparse par de mamarrachos: --Tweedledum y Tweedledee
de la ciencia-- mientras se atengan a su papel, proseguiré ignorándoles.
Enriquee.
EDU/JU
ejemplo: żsi los números naturales son todos finitos, como es posible que su
conjunto sea infinito?
Saludos.
_____________
"AGUIRRE ESTIBALEZ Julian" <mtpa...@lg.ehu.es> escribió en el mensaje
news:Pine.OSF.4.21.021002...@lgdx04.lg.ehu.es...
el conjunto de los naturales es infinito
Julian Aguirre
UPV/EHU
AGUIRRE ESTIBALEZ Julian
> Sí, tienes razón. Pero eso no deja de dar lugar a algunas paradojas, por
> ejemplo: ¿si los números naturales son todos finitos, como es posible que su
> conjunto sea infinito?
Si ¨{0,1,2} es un conjunto de tres elementos, ¿Como es posible que cada
uno de sus elementos sea un número menor que tres? Tal vez los números
finitos también sean paradójicos.
Julian Aguirre
EDU/JU
Creía que esto era un debate serio.
A partir de ahora solo preguntaré cómo se resuelve una integral por partes.
A lo mejor aprendo algo nuevo.
Saludos.
________________news:Pine.OSF.4.21.021007...@lgdx04.lg.ehu.es...
Remo
Pues a mi la respuesta me ha parecido aclaratoria, el cardinal de un
conjunto no tiene por qué guardar relación con los elementos, sino con su
número. ¿No era eso de lo que hablabas?
Saludos
Remo
"EDU/JU" <EJO...@teleline.es> escribió en el mensaje
news:ansek0$gpqfo$1...@ID-92161.news.dfncis.de...
EDU/JU
más ilustrativo hacerlo con manzanas: un conjunto de infinitas manzanas no
tiene ninguna manzana infinita.
De lo que yo hablaba era del caso concreto y peculiar de los números
naturales, de todo su conjunto.
Creo que, si el conjunto de números cardinales es un conjunto de números
naturales, la cardinalidad del conjunto tiene algo que ver con sus propios
elementos, y la única forma de que el conjunto sea infinito es que lo sea
alguno de sus elementos. ¿O hay alguna otra?
Saludos.
-
-
_____________
"Remo" <remot...@correocaliente.com> escribió en el mensaje
news:3da21...@news.arrakis.es...
AGUIRRE ESTIBALEZ Julian
> Creo que, si el conjunto de números cardinales es un conjunto de números
> naturales, la cardinalidad del conjunto tiene algo que ver con sus propios
> elementos, y la única forma de que el conjunto sea infinito es que lo sea
> alguno de sus elementos. ¿O hay alguna otra?
> Saludos.
La definición de conjunto infinito (al menos en lo que se conoce
como "naïve set theory") es:
Un conjunto X es infinito si existe una aplicación inyectiva f:X --> X que
no es sobreyectiva.
El conjunto de números naturales N es infinito. La función
f(n)=2*n es inyectiva, y su imagen está formada sólo por los pares.
La cardinalidad de un conjunto mo tiene nada que ver con la de sus
elementos. Por ejemplo, el conjunto {N} es finito, aunque su único
elemento es un conjunto infinito (no es lo mismo N que {N}).
Julian Aguirre
UPV/EHU
EDU/JU
de acuerdo. Está claro (en cierto sentido) lo que es un conjunto infinito.
Por otra parte, es evidente que existen unos números infinitos (aunque
quizás alguien los denomine de otra manera). En matemáticas se suelen
representar por oo y algunos autores dicen que un número es infinito cuando
no tiene siguiente, es decir oo+1=oo. Todo eso tiene ciertas consecuencias,
por ejemplo en cuanto a la aplicación del principio de inducción de
Bernuilli.
Pues bien, la cuestión que yo quería plantear es la siguiente: Si el
conjunto de los números naturales es infinito, para contar sus elementos (lo
explico de forma coloquial, sin recurrir a la cardinalidad), ¿necesitaremos
algún número infinito? Sí la respuesta es positiva nos encontraríamos ante
una paradoja; aunque otra posibilidad sería que el conjunto de los números
naturales fuese un conjunto abierto en el que no existe un límite superior
perteneciente al propio conjunto de los naturales, con lo cual tendríamos un
conjunto infinito en el que todos sus elementos son números finitos (no hay
ninguno infinito).
¿Qué opinas?
Saludos.
___________________
"AGUIRRE ESTIBALEZ Julian" <mtpa...@lg.ehu.es> escribió en el mensaje
news:Pine.OSF.4.21.021009...@lgdx04.lg.ehu.es...
Antonio González
> ponernos de acuerdo. Está claro (en cierto sentido) lo que es un
> conjunto infinito. Por otra parte, es evidente que existen unos
> números infinitos (aunque quizás alguien los denomine de otra
> manera). En matemáticas se suelen representar por oo y algunos
> autores dicen que un número es infinito cuando no tiene siguiente, es
> decir oo+1=oo.
Como ya te comenté, en ciertos campos se trabaja con
oo+1, oo+2,... (o más precisamente con Omega+1,...)
Por ejemplo, a la hora de tratar el teorema de Gödel
en sistemas lógicos. Como lo cuenta Hofstadter:
Aquiles da los axiomas y la tortuga
encuentra una proposición indemostrable. Aquiles la incluye
como nuevo axioma y la tortuga encuentra un nuevo
indemostrable... Tras la tercera o cuarta vez,
Aquiles tiene un flash de lucidez e inventa un
axioma que incluye todas las proposiciones que
está inventando la tortuga. Este macroaxioma vale
por infinitos axiomas. Pero tampoco así se encuentra
la completitud, la tortuga puede encuentra la proposición
indemostrable oo+1,...
Estos son los números transfinitos inventados por Cantor.
http://www.anselm.edu/homepage/dbanach/infin.htm
http://mathworld.wolfram.com/OrdinalNumber.html
> Pues bien, la cuestión que yo quería plantear es la siguiente: Si el
> conjunto de los números naturales es infinito, para contar sus
> elementos (lo explico de forma coloquial, sin recurrir a la
> cardinalidad), ¿necesitaremos algún número infinito? Sí la respuesta
> es positiva nos encontraríamos ante una paradoja; aunque otra
> posibilidad sería que el conjunto de los números naturales fuese un
> conjunto abierto en el que no existe un límite superior perteneciente
> al propio conjunto de los naturales, con lo cual tendríamos un
> conjunto infinito en el que todos sus elementos son números finitos
> (no hay ninguno infinito). ¿Qué opinas?
De nuevo estás planteando la diferencia entre infinitos potenciales
y reales. Un infinito potencial enuncia simplemente que una
sucesión no tiene fin, que podemos añadir nuevos términos
indefinidamente, pero nunca llegar al infinito. En este sentido
el infinito no "existe". La otra posibilidad es incluir el infinito
y decir que podemos ver la sucesión "desde fuera" y afirmar que tiene
infinitos elementos, aunque no podamos identificar ninguno de los
elementos con el subíndice oo.
Saludos
Antonio
AGUIRRE ESTIBALEZ Julian
> Pues muchas gracias por tu aclaración. Creo que estamos empezando a ponernos
> de acuerdo. Está claro (en cierto sentido) lo que es un conjunto infinito.
> Por otra parte, es evidente que existen unos números infinitos (aunque
> quizás alguien los denomine de otra manera). En matemáticas se suelen
> representar por oo y algunos autores dicen que un número es infinito cuando
> no tiene siguiente, es decir oo+1=oo. Todo eso tiene ciertas consecuencias,
> por ejemplo en cuanto a la aplicación del principio de inducción de
> Bernuilli.
No suele hablarse, al menos formalmente, de números infinitos. Se habla de
conjuntos infinitos y de su cardinal, que de manera intuitiva
correspondería al número de elementos del conjunto. El más pequeño de
ellos es aleph_0, el cardinal de N. El cardinal de los reales, se
representa por C, y se llama el cardinal del continuo, y es igual a
2^aleph_0, el cardinal del conjunto de partes de N. Se sabe que
aleph_0<C. La hipótesis del continuo es que no hay ningún cardinal
estrictamente entre aleph_0 y C. Luego tenemos los ordinales, de los que
no diré nada porque casi nada sé (y lo poco que supe lo he olvidado). Y
luego tenemos lo que se representa con el "ocho tumbado" oo, que suele
aparecer en expresiones del tipo "tiende a", y que no hace referencia a
ningún número.
> Pues bien, la cuestión que yo quería plantear es la siguiente: Si el
> conjunto de los números naturales es infinito, para contar sus elementos (lo
> explico de forma coloquial, sin recurrir a la cardinalidad), ¿necesitaremos
> algún número infinito? Sí la respuesta es positiva nos encontraríamos ante
> una paradoja; aunque otra posibilidad sería que el conjunto de los números
> naturales fuese un conjunto abierto en el que no existe un límite superior
> perteneciente al propio conjunto de los naturales, con lo cual tendríamos un
> conjunto infinito en el que todos sus elementos son números finitos (no hay
> ninguno infinito).
Efectivamente, no existe un número natural que sea mayor (en el orden
habitual) que todos los demás (tal número no sería mayor que su siguiente,
en contradicción con su definición).
Julian Aguirre
UPV/EHU
Sebastián Francisco
elemento sea un "uno", y por tanto finito, el conjunto no deja de ser
infinito. żDónde está el dilema?
salut.
sebas.
"EDU/JU" <EJO...@teleline.es> escribió en el mensaje
news:anp151$g8dii$1...@ID-92161.news.dfncis.de...
Sebastián Francisco
crees que es resolver una integral por partes pueda hacerse de formas muy
distintas.
Creo que te has acostumbrado a ver las matemáticas como una serie de reglas
para escolares, y por tanto una ciencia "exacta". Pero hace ya muchos años
que a las matemáticas ya no se las conoce por ese nombre de "ciencias
exactas". Es una ciencia mucho más abierta, y por tanto, imprecisa. La
precisión depende más bien de que los matemáticos que estén discutiendo se
pongan de acuerdo en la adopción de las definiciones y reglas con las que
van a trabajar. Digamos que tú en la escuela ves tan sólo la punta del
iceberg, donde aparece todo "ordenadito" y aparentemente sin posibilidad de
discusión.
salut.
sebas.
"EDU/JU" <EJO...@teleline.es> escribió en el mensaje
news:ansek0$gpqfo$1...@ID-92161.news.dfncis.de...
Sebastián Francisco
que no hay más.
salut.
sebas.
"EDU/JU" <EJO...@teleline.es> escribió en el mensaje
news:anuroe$hktbl$3...@ID-92161.news.dfncis.de...
Sebastián Francisco
ningún número infinito en el conjunto de los números naturales, ya que, como
tú bien dices, no está acotado, no tiene supremo ni máximo (como la blanca
nieve, digo cosas redundantes para que quede bien claro). El infinito lo
hemos "inventado" nosotros para describir esa situación. En "naturalidad" no
existe. Dijo el poeta que "Dios creo los números naturales, y el hombre
todos los demás".
salut.
sebas.
"EDU/JU" <EJO...@teleline.es> escribió en el mensaje
news:ao1vv0$i9do4$3...@ID-92161.news.dfncis.de...
EDU/JU
vista de tanta erudición, no va a haber más remedio que instaurar el premio
Nobel de matemáticas. Esperemos que no llegues tarde a recogerlo, porque a
este hilo has llegado como el expreso de Shangai.
Por cierto, no fue ningún poeta, fue Kronecker. Pero no te preocupes que
hasta al mejor escribiente se le escapa algún borrón.
Mientras tanto yo seguiré con mis chorradas, ¡qué le vamos a hacer!, porque
se me ocurre otra. Puesto que hay infinitos naturales, mientras que nuestro
idioma tiene un número limitado de caracteres, para nombrar a todos los
números naturales necesitaremos algunas combinaciones infinitas de ellos,
con lo cual esos números no pueden ser nombrados a lo largo de la historia
de la humanidad. Los podríamos llamar números naturales innombrables; a lo
mejor resulta que son los mismos en todos los idiomas. Pero, además, como
los guarismos con que representamos a los números naturales son limitados,
habrá naturales que, para su representación exijan un número infinito de
guarismos, o sea que tenemos números naturales innombrables e
irrepresentables y probablemente su descomposición en factores primos exija
un número infinito de éstos. Parece que hay varias diferencias con un
conjunto de infinitas manzanas o infinitos números 1.
Pero no quiero seguir extendiéndome con esas chorradas ...
"Sebastián Francisco" <sec...@teleco.upv.es> escribió en el mensaje
news:0tEv9.300$l84....@news.ono.com...
Cédric Martínez Campos
Dices: "habrá naturales que, para su representación, exijan un número
infinito de
guarismos", todo número natural es finito y por tanto sólo hará falta un
número finito de guarismos para nombrar cada uno de ellos; otra cosa es que
haría falta un número infito de guarismos para nombrar a todos los
naturales. Dices también: "y probablemente su descomposición en factores
primos exija un número infinito de éstos", te repito que todo número natural
es finito y por tanto su descomposición en números primos es finita ya que,
si no fuera así, al ser producto de infitos números primos el número en
cuestión sería mayor que todos los naturales y por tanto infinito (recuerda
que el "uno" no se considera primo). Eso sí, ya demostró Euclides en el
siglo III a.c. (proposición 20 de su novela "Elementos" ;-) que hay
infinitos números primos.
Sebastián Francisco
¿Quién te ha dicho a tí que Kronecker no era poeta además de matemático.
salut.
sebas.
Remo
http://www.andrews.edu/~calkins/math/biograph/biokrone.htm
http://www.encyclopedia.com/html/K/Kronecke.asp
¿Poesía?
Saludos
Remo
Sebastián Francisco
"Dios creó los números naturales, y el hombre todos los demás"
salut.
sebas.
"Remo" <remot...@correocaliente.com> escribió en el mensaje
news:3dc5bfac$1...@news.arrakis.es...
Remo
con la idea...
"Sebastián Francisco" <sec...@teleco.upv.es> escribió en el mensaje
news:Twjx9.1115$l84....@news.ono.com...
Sebastián Francisco
naturales representan cantidades básicas, enteras, que pueden encontrarse en
la realidad cotidiana de la naturaleza. Por ejemplo, un millón de hormigas,
trescientos mil granos de arena, etc.
En cambio, los números enteros (naturales negativos, incluido el cero) ya
representan una idealización o subjetivización del hombre. Por ejemplo, me
faltan tres monedas, me debes trescientos duros, hay treinta manzanas menos
que antes. Por eso mismo, mientras que el conocimiento de los números
naturales es casi espontáneo en (también) casi todas las culturas, en
cambio, el conocimiento del cero, e incluso de los números negativos, tarda
en desarrollarse a lo largo de la historia.
Los números racionales, también, aunque bastante intuitivos, requieren
cierto grado de complejidad matemáticas, y aunque son de los primeros que
surgen (los racionales positivos no nulos, antes que el cero), tardan un
poco más en hacerlo, y no lo consiguen desarrollar en todas las culturas.
Ni qué decir tiene el caso de los números reales, que aunque todos los
escolares los estudian, yo creo que sólo se llegan a comprender en últimos
cursos de carrera (por el concepto de completitud que implican).
salut.
sebas.
"Remo" <remot...@correocaliente.com> escribió en el mensaje
news:3dc6ef37$1...@news.arrakis.es...
Remo
buenas, parece obviar que el número pi, por ejemplo, está imbricado en la
estructura del mundo. Y nada menos "natural" que pi. Otro tanto pasa con el
número e, generador de tantas ecuaciones diferenciales con aplicaciones en
la vida cotidiana. Si Kronecker pasaba de pi y lo consideraba una invención
humana, había tenido que comulgar con una rueda de molino muy gorda. Ése y
no otro fue el motivo de que torturara a Cantor hasta hacerle perder el
juicio, por no aceptar su teoría de los infinitos (e intervenir para que a
Cantor no le dieran plaza en la universidad). Y no la aceptaba no porque
encontrara fallos en los razonamientos de Cantor, sino porque la idea del
infinito como ente matemático le repugnaba.
En cuanto a lo intuitivo de los números, es normal que vayan apareciendo en
el acervo humano según su uso. Primero los naturales, luego los racionales
positivos y los enteros... Para los irracionales hace falta conocer las
matemáticas. Y el cero ¿para qué nombrar a la nada?
Pero una cosa es el aprendizaje de los números y otra su existencia. Pi es
parte del mundo. No lo inventó el hombre. Kronecker se equivocaba...
Saludos
Remo
"Sebastián Francisco" <sec...@teleco.upv.es> escribió en el mensaje
news:4mDx9.1307$l84.1...@news.ono.com...
EDU/JU
pretendida superioridad de los estudiantes de ingeniería sobre los
matemáticos y físicos.
Olvidémonos de Quevedo, García Lorca, etc, tú has descubierto la verdadera
poesía.
______________news:4mDx9.1307$l84.1...@news.ono.com...
Stream
el conjunto vacio,
todo el rollo filosofico y tal y cual...
{ 0 , {0} , {0,{0}} , {0,{0},{0,{0}}} ...
numeros ordinales, cardinales y todo ese rollo...
mu gonito
pero algo inutil
"Sebastián Francisco" <sec...@teleco.upv.es> escribió en el mensaje
news:Twjx9.1115$l84....@news.ono.com...
Sebastián Francisco
espontáneamente de la observación de la naturaleza: siete hormigas, dos
renacuajos, un león, etc. Los números racionales surgen cuando ya se
manipula y organiza esa naturaleza, por ejemplo: repartir un pan entre tres
hombres (1/3), repartir una porción de terreno entre cinco hermanos (1/5),
etc. Pero el nacimiento de los números irracionales es algo más complejo, y
requiere para su entendimiento de un nivel apreciable de matemáticas, puesto
que hay que entender conceptos como sucesiones de Cauchy o cortaduras de
Dedekind.
salut.
sebas.
"Stream" <noten...@hotmail.com> escribió en el mensaje
news:aqcdpn$dsi$1...@nsnmpen2-gest.nuria.telefonica-data.net...
Sebastián Francisco
"Pi no lo inventó el hombre"
Como sabrás Pi es un número irracional, y como tal no existe ninguna
fracción de números naturales cuyo resultado sea Pi. Eso ya debería ser
suficiente para entender que Pi no es "normal". Normalmente, estamos
acostumbrados a hablar de Pi como 3.14159.... Sin embargo, "eso" no es Pi.
Eso será un número racional superior o bien un número racional inferior a
Pi. Pero "eso" no es Pi. Ya se demostró absolutamente que es imposible
encontrar un número racional (es decir un número con decimales conocidos)
igual a Pi. Por lo tanto ¿qué es Pi? Para mí es un número que no existe. Más
de uno ya se le habrán subido los huevos a la garganta con esta afirmación.
Pero es que es muy difícil encontrar incluso matemáticos que entiendan (que
comprendan) el concepto de completitud.
El conjunto de los números reales, nos lo hemos inventado por
"huevos". El conjunto de los números racionales tenía muchos "agujeros"
(correspondientes a los límites irracionales de sucesiones de Cauchy), y por
"cojones", definimos a partir de las cortaduras de Dedekind un nombre para
cada uno de esos "agujeros" totalmente irracionales. Decimos por "huevos"
que esos agujeros a partir de ahora ya existen, y que junto con los números
racionales forman el espacio completo de los reales. Pero es todo una
mentira, señores. Eso sí, una mentira muy útil. Gracias a ese truco las
matemáticas pueden avanzar. De hecho, estuvieron atascadas durante casi dos
milenios por culpa de esa tozudez de los griegos de no querer aceptar
aquellos números que no fueran racionales. Pero no olvidemos que lo que
hacemos
es "parchear" el conjunto de los números racionales. Entender esto, nos
ayuda a entender el resto de las matemáticas, donde los conceptos de
compacidad y completitud son importantes.
salut.
sebas.
"Remo" <remot...@correocaliente.com> escribió en el mensaje
news:3dc71637$1...@news.arrakis.es...
Remo
entre su longitud y un diámetro de los que alberga es, exactamente, Pi. Si
eso no es aparecer con naturalidad en el escenario de los números, ya me
dirás...
Saludos
Remo
"Sebastián Francisco" <sec...@teleco.upv.es> escribió en el mensaje
news:PkCy9.2120$l84.1...@news.ono.com...
Sebastián Francisco
algo "natural"? ¿Has hecho bien los deberes? ¿Cómo quieres discutir de un
tema tan profundo con las ideas básicas de "andar por casa"? La longitud
"natural" es la que se calcularía sobre una recta, pero ¿puedes explicarme
cómo "medir longitudes" en una curva? (Por supuesto sin aplicar nociones
topológicas que impliquen números irracionales).
salut.
sebas.
"Remo" <remot...@correocaliente.com> escribió en el mensaje
news:3dceee08$1...@news.arrakis.es...
Juan Sintierra
obtener la longitud de la llanta metálica que ponían en las ruedas de los
carros. Simplemente medían la circunferencia con una cuerda que ponían
alrededor de la rueda, ¿hay algo más natural?.
"Sebastián Francisco" <sec...@teleco.upv.es> escribió en el mensaje
news:5EUA9.3232$l84.2...@news.ono.com...
Sebastián Francisco
salut.
sebas.
"Juan Sintierra" <b...@teleline.es> escribió en el mensaje
news:ar8vol$b88vh$1...@ID-92161.news.dfncis.de...