Polinomio positivo y derivadas

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Sea p(x) un polinomio de coeficientes reales, tal que p(x) > 0 para todo x
real. Sea t_p(x) la suma de p(x) y todas sus derivadas. Mostrar que también
t_p(x) > 0 para todo x real.

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com

[jhn]

On 13 mar, 07:28, "Ignacio Larrosa Cañestro"

> ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com

Como P>0, P debe tener de grado par y lim P = +oo para x->oo.
Lo mismo es cierto entonces para T=t_p, que por un argumento estándar
debe
tener mínimo absoluto en R. Si ese mínimo se alcanza en a, entonces
T'(a)=0,
pero T' = T - P, por lo tanto mín(T) = T(a) = P(a)>0.

Saludos,

jhn

[Antonio González]

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:

> Sea p(x) un polinomio de coeficientes reales, tal que p(x) > 0 para todo x
> real. Sea t_p(x) la suma de p(x) y todas sus derivadas. Mostrar que también
> t_p(x) > 0 para todo x real.
>

Otra forma:

Primero un resultado obvio para un polinomio, pero generalizado. Si f(x)
es una función analítica y Df = f'(x), D^2f=f''(x),...

g(x) = f(x)+ f'(x) + f''(x) = (1+D+D^2+D^3+...)f = (1-D)^(-1)f

f(x) = (1-D)g = g(x) - g'(x)

Por tanto t_p cumple la ecuación diferencial

t'(x) - t(x) = -p(x)

con solución

t(x) = exp(x) int_x^oo p(x') exp(-x')dx'

y, puesto que el integrando es siempre positivo, el resultado también lo es.

Nótese que el resultado no requiere que p(x) sea un polinomio, sólo que
esa integral converja, lo que limita el ritmo de crecimiento de p(x)
para x->oo.

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Antonio