ganancia exponencial

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Marko Riedel

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Mar 28, 2009, 4:56:36 PM3/28/09
to

Un jugador lanza un dado n veces. La secuencia de números producida contiene
varias subsecuencias de seises consecutivos. El jugador gana 6^{k + 2} Euros
para cada subsecuencia de longitud k. Ejemplo: si la secuencia es
126615645666, n = 12 y la ganancia es 6^4 + 6^3 + 6^5 = 9288.

Hallar el valor esperado E_n de la ganancia para un dado lanzado n veces.

Un saludo.

--
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| Marko Riedel, markor...@yahoo.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+------------------------------------------------------------------+

Marko Riedel

unread,
Mar 28, 2009, 5:05:19 PM3/28/09
to
Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:

> Un jugador lanza un dado n veces. La secuencia de números producida contiene
> varias subsecuencias de seises consecutivos. El jugador gana 6^{k + 2} Euros
> para cada subsecuencia de longitud k. Ejemplo: si la secuencia es
> 126615645666, n = 12 y la ganancia es 6^4 + 6^3 + 6^5 = 9288.
>
> Hallar el valor esperado E_n de la ganancia para un dado lanzado n veces.
>

Para ser aún más preciso, debería ser "gana 6^{k + 2} Euros para cada
subsecuencia de seises de longitud k."

jhn

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Mar 29, 2009, 3:29:33 PM3/29/09
to
On 28 mar, 16:56, Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> wrote:
> Un jugador lanza un dado n  veces.  La secuencia de números producida contiene
> varias subsecuencias de seises consecutivos.   El jugador gana 6^{k + 2} Euros
> para  cada  subsecuencia   de  longitud  k.   Ejemplo:  si   la  secuencia  es
> 126615645666, n = 12 y la ganancia es 6^4 + 6^3 + 6^5 = 9288.
>
> Hallar el valor esperado E_n de la ganancia para un dado lanzado n veces.
>
> Un saludo.
>
> --
> +------------------------------------------------------------------+
> | Marko Riedel, markoriede...@yahoo.de                             |
> |http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html               |
> +------------------------------------------------------------------+

Obtuve E_n = (25n^2 + 45n + 2)/2 (para n>=1).

jhn

Marko Riedel

unread,
Mar 29, 2009, 3:44:39 PM3/29/09
to
jhn <jhn...@gmail.com> writes:

Efectivamente. ;-) Y la prueba?

jhn

unread,
Mar 29, 2009, 4:08:43 PM3/29/09
to
On 29 mar, 15:44, Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> wrote:

> jhn <jhni...@gmail.com> writes:
> > On 28 mar, 16:56, Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> wrote:
> > > Un jugador lanza un dado n  veces.  La secuencia de números producida contiene
> > > varias subsecuencias de seises consecutivos.   El jugador gana 6^{k + 2} Euros
> > > para  cada  subsecuencia   de  longitud  k.   Ejemplo:  si   la  secuencia  es
> > > 126615645666, n = 12 y la ganancia es 6^4 + 6^3 + 6^5 = 9288.
>
> > > Hallar el valor esperado E_n de la ganancia para un dado lanzado n veces.
>
> > > Un saludo.
>
> > > --
> > > +------------------------------------------------------------------+
> > > | Marko Riedel, markoriede...@yahoo.de                             |
> > > |http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html              |
> > > +------------------------------------------------------------------+
>
> > Obtuve E_n = (25n^2 + 45n + 2)/2   (para n>=1).
>
> > jhn
>
> Efectivamente. ;-) Y la prueba?

Me da pereza escribirla completa, pero consiste en establecer la
recurrencia

E_{n+1} = E_n + 25n + 35.

jhn

Marko Riedel

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Mar 29, 2009, 4:58:50 PM3/29/09
to
jhn <jhn...@gmail.com> writes:

Más tarde presento un enlace con la respuesta completa, pero ya que hemos dado
un primer paso en adelante tal vez Antonio completará la demostración, que no
es difícil con la función generatriz adecuada.

Un saludo.

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| Marko Riedel, markor...@yahoo.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
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Antonio González

unread,
Mar 30, 2009, 1:41:48 PM3/30/09
to
Marko Riedel escribió:

> Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:
>
>> Un jugador lanza un dado n veces. La secuencia de números producida contiene
>> varias subsecuencias de seises consecutivos. El jugador gana 6^{k + 2} Euros
>> para cada subsecuencia de longitud k. Ejemplo: si la secuencia es
>> 126615645666, n = 12 y la ganancia es 6^4 + 6^3 + 6^5 = 9288.
>>
>> Hallar el valor esperado E_n de la ganancia para un dado lanzado n veces.
>>
>
> Para ser aún más preciso, debería ser "gana 6^{k + 2} Euros para cada
> subsecuencia de seises de longitud k."
>

Veamos. No lo tengo muy claro y seguro que la solución de José H. Nieto
es más corta, pero vamos allá.

Lo haremos por inducción.

Sabemos que

E(0) = 0

E(1) = (5/6)*0 + (1/6)6^3 = 6^2 = 36

E(2) = (5/6)^2*0 + 2(5/6)(1/6)6^3+ (1/6)^26^4 =

= 60 + 36 = 96

Ahora suponemos conocidos E(0),...E(n) para hallar E(n+1).

La n+1 tirada puede ser un 6 o no serlo (que identificaremos como X). Si
no lo es (p=5/6), no añadimos nada al valor esperado.

E(n+1) = (5/6)E(n) + (1/6)F(n)

siendo F(n) el valor esperado suponiendo que la n+1 tirada ha sido un 6.
Este valor depende de en qué acaba la secuencia de n tiradas.

-Si acaba en X (p=5/6), tenemos una secuencia de un 6 al final y una
ganancia esperada

E(n-1) + 6^3

-Si acaba en X6 (p=(5/6)(1/6)) tenemos 66 al final y la ganancia

E(n-2) + 6^4

-Si acaba en X66 (p = (5/6)(1/6)^2) obtenemos 666 y

E(n-3) + 6^5

...

-Si acaba en X6..(n-1)..6 (p=(5/6)(1/6)^(n-1)) obtenemos n 6's y

E(0) + 6^(n+2)

-Si es 6...(n)...6 (p=(1/6)^n) la ganancia es

6^(n+3)

Sumando todo esto

E(n+1) = (5/6)E(n) + (1/6)((5/6)(E(n-1)+6^3) + (5/6)(1/6)(E(n-2)+6^4) +

+ (5/6)(1/6)^2(E(n-3)+6^5) + (5/6)(1/6)^(n-1)(E(0)+6^(n+2)) +

+ (1/6)^n(6^(n+3)) =

= (5/6)sum_(k=0)^n (1/6)^k E(n-k) + 5*6 + ..(n).. + 5*6 + 36 =

= (5/6)sum_(k=0)^n (1/6)^(n-k) E(k) + 30n+36

(veamos

E(1) = (5/6)E(0) + 30*0 + 36 = 36

E(2) = (5/6)((1/6)E(0)+E(1)) + 30 + 36 = 30+30+36 = 96

...parece que está bien...)

Del mismo modo

E(n+2) = (5/6)sum_(k=0)^(n+1) (1/6)^(n+1-k) E(k) + 30n + 66 =

= (5/6)E(n+1) + (1/6)(E(n+1)-30n-36)+ 30n+66 =

= E(n+1) + 25n + 60

Esto equivale a

E(n+1) = E(n) + 25n + 35

(veamos

E(2) = E(1) + 25 + 35 = 96

pero

E(1) != E(0) + 35

????)

y la solución es

E(n) = sum_(k=1)^(n-1) (25k + 35) = E(1) + 25(n-1)(n-2)/2 + 35(n-1) =

= (2 + 45 n + 25 n^2)/2

que, curiosamente, da E(0)=1.

--

Antonio

Antonio González

unread,
Mar 31, 2009, 2:21:44 AM3/31/09
to
Marko Riedel escribió:

> Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:
>
>> Un jugador lanza un dado n veces. La secuencia de números producida contiene
>> varias subsecuencias de seises consecutivos. El jugador gana 6^{k + 2} Euros
>> para cada subsecuencia de longitud k. Ejemplo: si la secuencia es
>> 126615645666, n = 12 y la ganancia es 6^4 + 6^3 + 6^5 = 9288.
>>
>> Hallar el valor esperado E_n de la ganancia para un dado lanzado n veces.
>>
>
> Para ser aún más preciso, debería ser "gana 6^{k + 2} Euros para cada
> subsecuencia de seises de longitud k."
>

¿Podría hacerse evaluando las posibles ganancias y las probabilidades
respectivas?

He probado, pero veo que ello requiere manejar las particiones de los
enteros de una forma que no me parece muy sistemática.

--

Antonio

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