Distancia mínima entre dos curvas
Daniel Garcia Puertas
sus ecuaciones?
Gracias
Ahora en Aforo también puedes personalizar tu móvil
http://sms.aforo.com
Ignacio Larrosa Cañestro
> ¿Cual es la distancia mínima entre dos curvas en el espacio definidas por
> sus ecuaciones?
> Gracias
Si tienes sus ecuaciones paramétricas, en función de parámetros s y t
digamos, puedes expresar la distancia entre dos puntos cualesquiera de
cada curva en función de s y t. Se trata entonces de minimizar esa función
de dos variables. O mejor su cuadrado, que será más fácil probablemente.
Sin conocer nada más de las curvas, nada más puede decirse ...
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ignacio...@eresmas.net
ICQ #94732648
> Ahora en Aforo también puedes personalizar tu móvil
> http://sms.aforo.com
¿Problemas con las news?
Webnews, el acceso más rápido y fiable
http://webnews.aforo.com
User IP: 62.81.8.77
Fidel Pancorbo
Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>Daniel Garcia Puertas wrote:
>
>>¿Cual es la distancia mínima entre dos curvas en el espacio definidas por
>>sus ecuaciones?
>>
>
>>Gracias
>>
>
>Si tienes sus ecuaciones paramétricas, en función de parámetros s y t
>digamos, puedes expresar la distancia entre dos puntos cualesquiera de
>cada curva en función de s y t. Se trata entonces de minimizar esa función
>de dos variables. O mejor su cuadrado, que será más fácil probablemente.
>
>Sin conocer nada más de las curvas, nada más puede decirse ...
>
No sé si voy a decir una burrada
Supongamos que las funciones son y = f(x) e y = g(x)
Construyo una nueva función z=h(x,y)=(x-y)²+(f(x)-g(y)²
Lo único que tenemos que hacer es encontrar un mínimo para la función
h(x,y), es decir, se tiene que cumplir que dh/dx = 0 y dh/dy =0.
O lo que es lo mismo, la solución del sistema de ecuaciones:
(x-y)+f'(x)(f(x)-g(x))=0
(x-y)+g'(x)(f(x-g(x))=0
Seguro que esas ecuaciones se pueden dejar más bonitas, pero no me pongo
a ello
Fidel Pancorbo
Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>Daniel Garcia Puertas wrote:
>
Claro que en el caso anterior he supuesto que ambas son funciones.
Antonio Gonzalez
"Ignacio Larrosa Cañestro" <ignacio...@eresmas.net> escribió en el
mensaje news:9uj5v8$394$1...@diana.bcn.ttd.net...
> Daniel Garcia Puertas wrote:
>
> > ¿Cual es la distancia mínima entre dos curvas en el espacio definidas
por
> > sus ecuaciones?
>
> > Gracias
>
> Si tienes sus ecuaciones paramétricas, en función de parámetros s y t
> digamos, puedes expresar la distancia entre dos puntos cualesquiera de
> cada curva en función de s y t. Se trata entonces de minimizar esa función
> de dos variables. O mejor su cuadrado, que será más fácil probablemente.
>
> Sin conocer nada más de las curvas, nada más puede decirse ...
>
Algo más si, que los dos puntos más próximos se encuentran en una
perpendicular común.
Sea {x(s),y(s),z(s)} un punto de la primera curva y {X(t),Y(t),Z(t)} un
punto
de la segunda. La función a minimizar es
phi(s,t)=(x(s)-X(t))^2+(y(s)-Y(t))^2+(z(s)-Z(t))^2
Derivando queda el sistema
x'(s)(x(s)-X(t))+y'(s)(y(s)-Y(t))+z'(s)(z(s)-Z(t))=0
X'(t)(x(s)-X(t))+Y'(t)(y(s)-Y(t))+Z'(t)(z(s)-Z(t))=0
pero {x'(s),y'(s),z'(s)} y {X'(t),Y'(t),Z'(t)} son los vectores tangentes
a las curvas. Según las ecuaciones anteriores, ambos son vectores
perpendiculares al segmento {x(s)-X(t),y(s)-Y(t),z(t)-Z(t)},
que une los dos puntos más próximos.
Puede haber más de una perpendicular común, ya que puede haber
máximos y mínimos locales de la distancia entre dos curvas.
Antonio
Antonio Gonzalez
"Fidel Pancorbo" <Fidel.P...@terra.es> escribió en el mensaje
news:3C0D3E51...@terra.es...
>
>
> No sé si voy a decir una burrada
>
> Supongamos que las funciones son y = f(x) e y = g(x)
>
> Construyo una nueva función z=h(x,y)=(x-y)²+(f(x)-g(y)²
> Lo único que tenemos que hacer es encontrar un mínimo para la función
> h(x,y), es decir, se tiene que cumplir que dh/dx = 0 y dh/dy =0.
>
> O lo que es lo mismo, la solución del sistema de ecuaciones:
>
> (x-y)+f'(x)(f(x)-g(x))=0
> (x-y)+g'(x)(f(x-g(x))=0
>
La idea es correcta, aunque el enunciado original hablaba de
curvas en el espacio. Se puede poner de una forma más "simétrica"
si en lugar de ecuaciones y=f(x) empleas ecuaciones paramétricas.
Antonio
Fidel Pancorbo
Antonio Gonzalez wrote:
>La idea es correcta, aunque el enunciado original hablaba de
>curvas en el espacio. Se puede poner de una forma más "simétrica"
>si en lugar de ecuaciones y=f(x) empleas ecuaciones paramétricas.
>
> Antonio
>
Tienes toda la razón.
Antonio Gonzalez
"Ignacio Larrosa Cañestro" <ignacio...@eresmas.net> escribió en el
mensaje news:9uj5v8$394$1...@diana.bcn.ttd.net...
> Daniel Garcia Puertas wrote:
>
> > ¿Cual es la distancia mínima entre dos curvas en el espacio definidas
por
> > sus ecuaciones?
>
> > Gracias
>
> Si tienes sus ecuaciones paramétricas, en función de parámetros s y t
> digamos, puedes expresar la distancia entre dos puntos cualesquiera de
> cada curva en función de s y t. Se trata entonces de minimizar esa función
> de dos variables. O mejor su cuadrado, que será más fácil probablemente.
>
Por ahí ya he hecho algún cmentario al caso en que se conocen las ecuaciones
paramétricas, pero ¿que ocurre si se dan las implícitas?
Supongamos que la curva 1 viene dada por
F(r)=0 G(r)=0 (r es el vector de posición)
y la 2 por
P(r)=0 Q(r)=0
Entonces se trataría de minimizar la función
phi=(r-s)^2 (s es otro vector de posición)
con las condiciones anteriores (poniendo s en P y Q). Empleamos
multiplicadores
de Lagrange. Hay que minimizar
psi=r^2-s^2+a F(r)+b G(r)+c P(s)+d Q(s)
Hallando gradientes
0=nabla_r psi=2(r-s)+a (nabla F)+b (nabla G)
0=2(s-r)+c nabla P+d nabla G
Estas dos, más las cuatro condiciones nos da la solución para r y s
De nuevo vemos el resultado de que el vector (r-s) se encuentra en
la perpendicular común.
El mísmo método se puede emplear si buscamos los puntos más próximos
entre dos superficies.
Antonio
José María González Ondina
"José María González Ondina" <j...@puer.unican.es> escribió en el mensaje
news:9ukifq$4g...@cchp4.unican.es...
>
[...]
> >
> > Algo más si, que los dos puntos más próximos se encuentran en una
> > perpendicular común.
>
>
> Siempre y cuando las curvas sean derivables, claro está.
Y aun diría más, siempre y cuando en las ecuaciones a minimizar, el mínimo
absoluto sea además un mínimo relativo.
José María González Ondina.
José María González Ondina
"Antonio Gonzalez" <gon...@esi.us.es> escribió en el mensaje
news:9ujg5d$90qns$1...@ID-39038.news.dfncis.de...
>
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ignacio...@eresmas.net> escribió en el
> mensaje news:9uj5v8$394$1...@diana.bcn.ttd.net...
> > Daniel Garcia Puertas wrote:
> >
> > > ¿Cual es la distancia mínima entre dos curvas en el espacio definidas
> por
> > > sus ecuaciones?
> >
> > > Gracias
> >
> > Si tienes sus ecuaciones paramétricas, en función de parámetros s y t
> > digamos, puedes expresar la distancia entre dos puntos cualesquiera de
> > cada curva en función de s y t. Se trata entonces de minimizar esa
función
> > de dos variables. O mejor su cuadrado, que será más fácil probablemente.
> >
> > Sin conocer nada más de las curvas, nada más puede decirse ...
> >
>
> Algo más si, que los dos puntos más próximos se encuentran en una
> perpendicular común.
[...]
Siempre y cuando las curvas sean derivables, claro está.
José María González Ondina.
Antonio Gonzalez
"José María González Ondina" <j...@puer.unican.es> escribió en el mensaje
news:9ukifq$4g...@cchp4.unican.es...
>
> Siempre y cuando las curvas sean derivables, claro está.
Bueno, tú sabes, para los físicos todas las funciones
son derivables... :-)
Antonio
Juan Vidal
Daniel Garcia Puertas <dgpu...@mailcity.com> escribió en el mensaje de
noticias 9uihu5$l2g$1...@talia.mad.ttd.net...
> ¿Cual es la distancia mínima entre dos curvas en el espacio definidas por
> sus ecuaciones?
>
> Gracias
>
Si una curva viene dada por u(x), y otra por v(y), debes buscar el mínimo de
la función de IR^2 en IR dada por
f(x,y)=D(u(x),v(y)). Siendo D(P,Q) la distancia entre P y Q.
Juan Vidal
Arcade, Pontevedra
Antonio Gonzalez
"Juan Vidal" <vidalpu...@ESTOwanadoo.es> escribió en el mensaje
news:9ulvs1$ohe$2...@news.wanadoo.es...
No se por qué, esta respuesta me ha recordado el chiste
del médico que le dice al paciente que se ponga un supositorio
-¿Y esto como se usa?
-Por vía rectal
-¿Y eso qué es?
-Lo mismo que por vía anal
-¿Y eso como se hace?
-¡Que se lo meta por el culo!
-Joder, tampoco es para ponerse así.
:-)
Antonio
PS: No es ningún tipo de crítica a Juan Vidal, sólo es que su respuesta
me parece absolutamente idéntica a la pregunta original, más elegante
eso sí.
Ignacio Larrosa Cañestro
de que la distancia mínima se da a lo largo de una perpendicular común,
es obvio uniendo ambas curvas con una goma elástica tirante que pueda
deslizarse por ellas. Si la situamos de manera que no sea perpendicular
a una de las curvas, se desplazara en el sentido en el que forme menor
ángulo con la tangente a la curva, acortando su longitud y acercando el
ángulo a 90º.
Así se detectarían mínimos locales, en los que ambas curvas tengan
tangente. El procedimiento funciona incluso si las curvas tienen puntos
angulosos, en los que no tienen tangente. En los máximos locales, la
goma elástica estaría en equilibrio inestable, pero también sería
perpendicular a ambas curvas.
Un problema en el que una pequeña consideración física simplifica mucho
las cosas es el Teofrastro (creo que era así). Surgió aquí hace bastante
tiempo, creo que fue la primera vez que intervine en
es.ciencia.matematicas. Dice más o menos así:
Se ata un perro a una columna cilíndrica de radio r, que podemos suponer
bastante amplio, con una cuerda de longitud s mediante un nudo
deslizante. ¿Cuál será la máxima distancia a que puede alejarse el perro
del eje de la columna?
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ignacio...@eresmas.net
ICQ #94732648
¿Problemas con las news?
M4N010
<9uojhg$bn5$1...@diana.bcn.ttd.net>...
>Un problema en el que una pequeña consideración física simplifica mucho
>las cosas es el Teofrastro (creo que era así). Surgió aquí hace bastante
>tiempo, creo que fue la primera vez que intervine en
>es.ciencia.matematicas. Dice más o menos así:
>
>Se ata un perro a una columna cilíndrica de radio r, que podemos suponer
>bastante amplio, con una cuerda de longitud s mediante un nudo
>deslizante. ¿Cuál será la máxima distancia a que puede alejarse el perro
>del eje de la columna?
------------------------------------
Supongamos que el perro mantiene la cuerda tirante. Llamemos O al punto
donde se encuentra el nudo corredizo. Se observa que los tres trozos
rectilíneos de cuerda que salen de O (el extremo en el que se encuentra el
nudo y un segmento quebrado de cuerda que llega por uno de sus lados hasta
el perro y por el otro a la columna) forman ángulos de 120 º entre sí, ya
que de ese modo el extremo de la cuerda que tiene el nudo forma el mismo
ángulo con cada uno de los otros dos segmentos, de modo que el nudo no se
desplaza en ningún sentido, y aunque hay otras configuraciones que permiten
eso mismo, en ésta la longitud del trozo de cuerda que parte del nudo, rodea
a la columna y vuelve a pasar por el nudo es mínima (éstas son las
consideraciones físicas que simplifican enormemente el problema y que no son
difíciles de justificar).
Pues bien, definido O, ahora llamemos:
A a uno de los puntos donde la cuerda empieza a separarse de la columna,
siendo tangente a ésta. El otro punto de tangencia es simétrico a éste.
L será la longitud del trozo de cuerda que hay entre el extremo del nudo y
el punto en el que vuelve a pasar por él después de rodear la columna.
T será la distancia entre O y el centro de la columna.
D será la distancia máxima que se puede alejar el perro del centro de la
columna (la distancia buscada).
Mientras que R y S son como se han definido en el planteamiento del problema
(radio de la columna y longitud de la cuerda, respectivamente).
Ahora la resolución:
La distancia entre O y A (entre O y el otro punto simétrico de A es la
misma) es: R·sen30º/cos30º=R·tg30º
La longitud del trozo de cuerda que abraza la columna (entre los dos puntos,
A y su simétrico), y que abarca un ángulo de 300º es: 5/3·pi·R
Por tanto L=R(5/3·pi+2·tg30º) y T=R·(cos30º+tg30º·sen30º)
D=S-L+T=S+R(cos30º+tg30º·sen30º-5/3·pi-2·tg30º)
Todo esto salvo error u omisión.
Post Data: La verdad es que no sé por qué las matemáticas no se consideran
una carrera "de letras" en lugar "de ciencias", ya que los números muchas
veces ni aparecen en las expresiones matemáticas, mientras que las
letras...¡incluso griegas! :-).
Saludos.
M4N010.
Juan Vidal
>
> PS: No es ningún tipo de crítica a Juan Vidal, sólo es que su respuesta
> me parece absolutamente idéntica a la pregunta original, más elegante
> eso sí.
>
>
Tranquilo que no me siento en absoluto ofendido. Es que tampoco la pregunta
daba muchos más detalles...
Juan Vidal
Arcade, Pontevedra
