Cortando el triángulo
Antonio González
segmento BC (por la parte de B), el que va de B a 1/3 de CA (por la
parte de C) y el que va de C a 1/3 del lado AB (por la parte de A). Esto
divide al triángulo en siete partes. Hallar el área de cada una en
función del área total.
--
Antonio
Javier Esquinas
Es un clásico.Este problema justamente se lo propusieron en una cena
al cólega tuyo y premio nobel de Física Feynman.Se picó tanto que
hasta que no lo resolvió no paró.
http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/feynman.pdf
Saludos.
León-Sotelo
Colgando pesitas tambien debe de salir facilmente.Dandole a cada lado
del triangulo longitud
3 para facilitar las cosas con enteros y basandome en el dibujo del
enlace que envió Javier tenemos:
Equilibro el tiangulo con la ceviana BB'
Para ello coloco una pesa de 1 en C lo que nos obliga a poner una de 2
en A y el centro de masas de valor 3 estará en B' para estas dos pesas
Equilibro ahora con la ceviana CC' por lo que al tener una pesa de 2
en A tengo que poner una de 4 en B y su centro de masas en C' de valor
6.
El punto U interseccion de las dos cevianas será pues el centro de
masas con valor 7 y las distancia BC'=1/3*BA y BU=3/7 BB'.Teniendo en
cuenta que el area del triángulo ABB' es
1/3 del total deducimos que el area del triangulín BUC' es 1/21 del
total, la del cuadrilatero AWUC' 5/21 del total y la del triangulo
rojo interior 3/21=1/7 del area del triangulo exterior inicial.
Saludos
León-Sotelo
Antonio González
Por hacerlo vectorialmente.
Sea E el punto de corte de un segmento con el lado, por ejemplo
AE = AB + BC/3
y sean X e Y los dos puntos a lo largo del segmento donde se cortan con
los otros 2, esto es
AX = a AE = a(AB + BC/3)
AY = b AE = b(AB + BC/3)
Al ser X e Y intersecciones tenemos también
AX = AC + b(CA + AB/3)
Igualando y poniéndolo todo en términos de AB y AC
a(2AB/3 + AC/3) = (1-b)AC + bAB/3
y como son vectores linealmente independientes
2a/3 = b/3
a/3 = (1-b)
con solución
a = 3/7 b = 6/7
Dos lados del triángulo interior son
XY = (b-a)AE = (1/7)(2AB + AC)
ZX = (1/7)(2CA + CB)
o, lo que es lo mismo
XZ = (1/7)(3AC - AB)
y el área del triángulo interior
S1 = (1/2)(XY x XZ) = (1/49)(6AB x AC + 0 + 0 - AC x AB)/2 =
= (1/7)(AB x AC)/2 = S/7
El área de las otras dos figuras es inmediato.
--
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
Yo creo que este problema ya surgió anteriormente, y no se si más de una
vez. En una de ellas propuse la generalización:
"Los lados de un triángulo ABC cualquiera se dividen en l, m y n partes
iguales. Se une cada vértice con la primera división del lado opuesto, en el
mismo sentido en los tres casos, determinando un triángulo central XYZ.
¿Para que valores de k, l y m el área del triángulo ABC es un múltiplo de la
del XYZ?
Para l = m = n, es (ABC) = 7*(XYZ), popr ejemplo. Hay un número finito, y
pequeño, de soluciones.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Javier Esquinas
>
> - Mostrar texto de la cita -
Realmente el resultado general es el teorema de Routh.
http://mathworld.wolfram.com/RouthsTheorem.html
Saludos.
Ignacio Larrosa Cañestro
> On 25 ene, 18:18, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
>> Antonio González wrote:
>>> León-Sotelo escribió:
>>>> On 25 ene, 09:47, Javier Esquinas <jesqui...@renfe.es> wrote:
>>>>> On 25 ene, 08:45, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
>>
>>>>>> En un triángulo ABC se traza el segmento que va desde A a 1/3 del
>>>>>> segmento BC (por la parte de B), el que va de B a 1/3 de CA (por
>>>>>> la parte de C) y el que va de C a 1/3 del lado AB (por la parte
>>>>>> de A). Esto divide al triángulo en siete partes. Hallar el área
>>>>>> de cada una en función del área total.
>>
>> Yo creo que este problema ya surgió anteriormente, y no se si más de
>> una vez. En una de ellas propuse la generalización:
>>
>> "Los lados de un triángulo ABC cualquiera se dividen en l, m y n
>> partes iguales. Se une cada vértice con la primera división del lado
>> opuesto, en el mismo sentido en los tres casos, determinando un
>> triángulo central XYZ. ¿Para que valores de k, l y m el área del
>> triángulo ABC es un múltiplo de la del XYZ?
>>
>> Para l = m = n, es (ABC) = 7*(XYZ), popr ejemplo. Hay un número
>> finito, y pequeño, de soluciones.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
>>
>> - Mostrar texto de la cita -
>
> Realmente el resultado general es el teorema de Routh.
>
> http://mathworld.wolfram.com/RouthsTheorem.html
>
No conocía este teorema, pero la pregunta sugue en pie, no obstante:
¿Para que valores de k, l y m el área del triángulo ABC es un múltiplo de la
del XYZ?
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
Luis
Antonio, me ha gustado mucho tu solución vectorial. Es elegante y sencilla.
Pero hay un paso que no entiendo y es cuando escribes que
AX = AC + b(CA + AB/3)
b es el escalar por el que se ha multiplicado el vector AE para
contraerlo al vector AY.
La suma vectorial de CA y de AB/3 resulta en la dirección
del vector CX y no entiendo por qué hay que multiplicarla
precisamente también por b para conseguir el vector CX
( pues AY y CX no tienen, necesariamente, igual módulo )
Espero haberme expresado bien. Sin un dibujo es más complicado.
Saludos,
>>>> En un triángulo ABC se traza el segmento que va desde A a 1/3 del
>>>> segmento BC (por la parte de B), el que va de B a 1/3 de CA (por la
>>>> parte de C) y el que va de C a 1/3 del lado AB (por la parte de A).
>>>> Esto
>>>> divide al triángulo en siete partes. Hallar el área de cada una en
>>>> función del área total.
> Por hacerlo vectorialmente.
Antonio González
> Antonio, me ha gustado mucho tu solución vectorial. Es elegante y sencilla.
> Pero hay un paso que no entiendo y es cuando escribes que
>
> AX = AC + b(CA + AB/3)
>
> b es el escalar por el que se ha multiplicado el vector AE para
> contraerlo al vector AY.
>
> La suma vectorial de CA y de AB/3 resulta en la dirección
> del vector CX y no entiendo por qué hay que multiplicarla
> precisamente también por b para conseguir el vector CX
> ( pues AY y CX no tienen, necesariamente, igual módulo )
>
Pues porque hay semejanza. Sean A, B y C los vértices del triángulo, y
sean X, Y y Z los del triángulo interior. Se cumple que
AX = a(AB + BC/3) AY = b(AB + BC/3)
BY = a(BC + CA/3) BZ = b(BC + CA/3)
CZ = a(CA + AB/3) CX = b(CA + AB/3)
--
Antonio
Luis
pero sigo sin ver la razón. Multiplicas por el escalar "a"
para obtener los vectores de A, B y C a sus respectivos
puntos más "cercanos" X, Y y Z.
Y multiplicas por el esclar "b" para obtener los vectores
de A, B y C a sus respectivos puntos más "lejanos" X, Y y Z.
Lo de la semejanza ( no sé si de triángulos o de qué ) no
lo veo.
Supongo que habrá alguna prueba secuencial sencilla, ¿ no ?
Saludos y mis disculpas si estoy siendo pesado.
"Antonio González" <gonf...@gmail.com> escribió en el mensaje
news:6044dtF...@mid.individual.net...
Antonio González
> Por supuesto creo que lo que escribes es correcto,
> pero sigo sin ver la razón. Multiplicas por el escalar "a"
> para obtener los vectores de A, B y C a sus respectivos
> puntos más "cercanos" X, Y y Z.
> Y multiplicas por el esclar "b" para obtener los vectores
> de A, B y C a sus respectivos puntos más "lejanos" X, Y y Z.
> Lo de la semejanza ( no sé si de triángulos o de qué ) no
> lo veo.
> Supongo que habrá alguna prueba secuencial sencilla, ¿ no ?
> Saludos y mis disculpas si estoy siendo pesado.
>
Para un triángulo equilátero es evidente.
Para otro triángulo basta con obtenerlo como deformación de uno
equilátero, desplazando uno de su vértices, ya que al hacer esto no se
ven afectadas propiedades afines, como las proporciones entre segmentos.
--
Antonio
Javier Esquinas
De todas formas este problema se puede hacer muy sencillito sin el
enlace que dí yo ni más zarandajas.Se parte en algún triangulito más y
ya está.
Saludos.