Funciones hiperbolicas

[prottos...@hotmail.com]

Saludos a todos, me podrian explicar para que se usan las funciones
hiperbolicas que ceo se escriben con "h" al ultimo (sinh).
Gracias de antemano

[Antonio González]

prottos...@hotmail.com escribió:

> Saludos a todos, me podrian explicar para que se usan las funciones
> hiperbolicas que ceo se escriben con "h" al ultimo (sinh).

Sirven para un montón de cosas.

Más allá de su significado geométrico, que ese sí se usa poco, lo que
más importa es que se trata de combinaciones de exponenciales

senh x = (e^x - e^(-x))/2

cosh x = (e^x + e^x)/2

que son respectivamente una función impar y una par

senh(-x) = -senh(x)

cosh(-x) = cosh(x)

Esto hace que cuando hay que tratar con exponenciales pero se sabe que
el sistema tiene alguna simetría, es más sencillo hacerlo con las
funciones hiperbólicas en su lugar. Por ejemplo, si hay que resolver la
ecuación diferencial

y'' = y y(0) = a y'(0) = 1

puede hacerse con exponenciales, pero es más fácil escribir

y = a cosh(x)

Aparte, permiten simplificar muchas expresiones, gracias a que verifican
relaciones análogas a las trigonométricas

cosh^2(x) - senh^2(x) = 1

tanh(x) = senh(x)/cosh(x)

cosh(x) = 1/rq(1-tanh^2(x))

cosh(2x) = cosh^2(x) + senh^2(x)

cosh(x/2) = rq((1+cosh(x))/2)

senh'(x) = cosh(x)

cosh'(x) = senh(x)

etc.

Por ejemplo, imagina que nos piden la integral

int 1/(1-x^2) dx

Una forma, puesto que se trata de una función racional es descomponerla
en fracciones

1/(1-x^2) = (1/2)(1/(1+x) + 1/(1-x))

e integrar por separado

I = (1/2(int dx/(1+x) + int dx/(1-x)) + C =

= (1/2)(ln(1+x) - ln(1-x)) + C =

= ln(rq((1+x)/(1-x)) + C

Sin embargo, es mucho más sencillo hacer el cambio

x = tanh(u) dx = (1-tanh^2 u)du

que deja la integral en

I = int du = u + C = arctanh(x) + C

Resumiendo, que estas funciones, como todas, son herramientas que
permiten simplificar numerosos cálculos. Lo que les falta para estar al
nivel y el seno y el coseno tradicionales es una interpretación
geométrica sencilla y útil (ya que no usamos hipérbolas con la misma
frecuencia que usamos circunferencias).

--
Antonio

[prottos...@hotmail.com]

woow, muy util y practica tu respuesta, te lo agradesco mucho.

[Antonio González]

prottos...@hotmail.com escribió:

>
> woow, muy util y practica tu respuesta, te lo agradesco mucho.
>

Gracias. Te señalo un error que cometí. La ecuación diferencial cuya
solución es el coseno hiperbólico es

y'' = y y(0) = a y'(0) = 0

(y no y'(0)=1) ya que es justamente el querer que la solución tenga un
extremo en x=0 lo que permite acudir al coseno hiperbólico.

--
Antonio

[monty]

In article <5jsj2mF...@mid.individual.net>, gonf...@gmail.com
says...

Sí tiene interpretación gráfica conocida cosh(x) ya que su gráfica es la
curva conocida como Catenaria que se usa mucho en los puentes, en
ingeniería.

[Fernando Revilla]

Añadir a lo ya dicho por otros que dada la hipérbola
de ecuación cartesiana:

(x-x_0)/a^2 - (y - y_0)/b^2 = 1

unas ecuaciones paramétricas son:

x = x_0 + a ch(t)
y= y_0 + b sh(t)
( t e IR )

De ahí les viene el nombre de funciones hiperbólicas
en contraste con las circulares sen(t) y cos(t).

Fernando.