Matematisk spørgsmål vedr. Keops-pyramide
Christian Ravnsborg
Fornyelig havde jeg en opgave vedr. Keops-pyramiden. I opgaven var der et
spørgsmål, som virkelig gik/går mig på.
Først nogle væsentlige oplysninger om pyramiden :
Højde på pyramiden = 146 m
Grundfladeareal (233 * 233) = 54289 m²
Rumfang af pyramiden (1/3 * 54289 * 146) = 2642064,667 m²
Antal sten brugt til bygning af pyramide = 2,5 mio. (massefylde 2,3 g/cm²)
(i opgaven blev der dog kun opgivet højden og grundfladens sidelængde, samt
antallet af kalksten der blev brugt til bygning af pyramiden)
Opgaven lyder så :
--Hvad har højden været, da man var halvt færdig med at placere de mange
blokke?---
Min lærer siger, at denne opgave kun kan løse ved hjælp af at fylde en model
af pyramiden med ris. Derefter hælder man risene op i et måleglas og tager
det halve antal ris og putter ned i modellen af pyramiden, nu kan man så
måle højden. Jeg finder denne løsning til opgaven både umatematisk og
unøjagtig.
Er der ikke andre måder at lave opgaven på, e.v.t. med pyramidestub eller
lignende ?
På forhånd tak
- Christian Ravnsborg
URL : http://home6.inet.tele.dk/chrravn/cheatplanet/
E-MAIL : chr...@post6.tele.dk
Thorsten L. Johansen
"Christian Ravnsborg" <chr...@post6.tele.dk> writes:
> Fornyelig havde jeg en opgave vedr. Keops-pyramiden. I opgaven var der et
> spørgsmål, som virkelig gik/går mig på.
>
> Først nogle væsentlige oplysninger om pyramiden :
> Højde på pyramiden = 146 m
> Grundfladeareal (233 * 233) = 54289 m²
> Rumfang af pyramiden (1/3 * 54289 * 146) = 2642064,667 m²
> Antal sten brugt til bygning af pyramide = 2,5 mio. (massefylde 2,3 g/cm²)
>
> (i opgaven blev der dog kun opgivet højden og grundfladens sidelængde, samt
> antallet af kalksten der blev brugt til bygning af pyramiden)
>
> Opgaven lyder så :
> --Hvad har højden været, da man var halvt færdig med at placere de mange
> blokke?---
Det må vel svare til hvor høj en pyramide, med samme grundflade og
højdeforhold, kan man bygge med halvdelen af stenene, det vil sige den
nye pyramide må kun have det halve volumen af den oprindelige. Dette
kan gøres ved at skalere alle værdier med en passende konstant, nemlig
1/(2^(1/3)) (kubikroden af 2). Dette giver en pyramide med volumen
1.321.032,33 m^2 hvilket er halvdelen af den oprindelige pyramides
rumfang. Højden i denne pyramide er altså 146/(2^(1/3)) = 115,88 m
hvilket jo så må betyde at pyramidestubben med samme volumen har haft
højden 146-115.88 = 30,12 m.
Mvh Thorsten
--
Thorsten Lyng Johansen Email: tlj...@kom.auc.dk
Sigrid Undsetsvej 220B thor...@nork.auc.dk
DK 9220 Aalborg Oest Phone/Fax: +45 99348501
Denmark http://www.kom.auc.dk/~tljo93
Quakie (Tobias D)
*TIP* (Læs ikke nede under vis du selv vil finde ud af det)
Find ud af hvor stor en trekant skal være for at indeholde 1/2 af den
rigtige pyramide.
Og træk så højden for den store trækant. Og du får skille punktet...
Ja... Jeg er sgu ikke lære! :-) hehe
*Løsning*
Hurtigt vil jeg sige:
At... den øverste ½ af en pyramide er 2/3 af dens højden...
Og den nederste ½ af den er 1/3.
(Faktisk har jeg aldrig lært det :))
Men lad os regne efter!
---
Halvdelen af pyramides rumfang er = 1321032,334 m-3
2/3 af pyramidens højde er = 97,333 m
97,333 * X * 1/3 = 1.321.032,334 m-3
X (top-halvdelen af pyramidens grundflade)= 40716,889 m-2
(kvadratroden af X er = 201,784 m)
---
Højde = 97,33 m
Grundflade = 40716,889 m-2
97,33 * 40716,889 * 1/3 = 1320991,602
Halvdelen er: 1321032,334
Vi fik en 2/3 så høj pyramide til: 1320991,602
Det er kun en forskel på: 40,7
Det er til at leve med! :)
---
Så... Halvdelen af en pyramides rumfang skiller ved de to dele af
henholdvis 1/3 og 2/3 af højden.
Ja... Det kun en eller anden regnelære sikkert også bare havde fortalt dig!
Men det er næsten sjover at selv finde ud af det...
Stein A. Stromme
Hint: Tenk deg isteden at man bygger den øverste halvdel først!
--
Stein A. Str\o mme -- Matematisk institutt, Universitetet i Bergen
epost: str...@mi.uib.no telefon: 5558 4825 telefax: 5558 9672
Carsten Svaneborg
Christian Ravnsborg wrote:
> Opgaven lyder så :
> --Hvad har højden været, da man var halvt færdig med at placere de mange
> blokke?---
hvod den fulde pyramide har højde h, og basis længde a
Så søges x løsningen til F[x]=F[h]-F[x]
altså 2*F[x]-F[h]=0
Altså højden når man har placeret det halve volumen,
og den sidste halvdel mangler.
> Er der ikke andre måder at lave opgaven på, e.v.t. med
> pyramidestub eller lignende ?
Med ovenstående definitioner er f(x)=a(1 - x/h)
sidelængden i forskellige højder f(x=0)=a basis i jordniveau
og f(x=h)=0 toppen.
Volumnet af pyramidestuben er altså
F[x]= Integral 0->x f(x)^2 dx = x^3/(3h^2) - x^2/h + x
Man skal altså løst en 3. grads ligning for at finde
halv volumen højden. Med lidt hjælp fra matematika til at
løse 3. ligningen fås (uafhængigt af basis længden):
h (1 - i Sqrt[3]) h
x -> h - ---- x -> h + -----------------
1/3 1/3
2 2 2
(1 + i Sqrt[3]) h
x = h + -----------------
1/3
2 2
Altså en reel løsning og 2 komplekse løsninger (i=sqrt(-1))
Den generelle løsningen på 3. gradsligningen kan findes
f.x. i Schaum, eller enhver bog om kompleks matematik.
Og svaret er altså x = 0.206299*h
--
* from zqex Salespersons please use the backdoor \dev\null *
* Darwinism or Christianity? *
* Well remember Christianity is only a theory *
* Homepage: http://www.fys.ku.dk/~zqex/c.cgi *
Mike L. Griebel
> "Christian Ravnsborg" <chr...@post6.tele.dk> writes:
> > --Hvad har højden været, da man var halvt færdig med at placere de mange
> > blokke?---
> >af pyramiden med ris. Derefter hælder man risene op i et måleglas og tager
> >det halve antal ris og putter ned i modellen af pyramiden, nu kan man så
> >måle højden. Jeg finder denne løsning til opgaven både umatematisk og
> >unøjagtig.
Hvis din lærer er matematiker, så tager han gas på dig :)Thorsten L. Johansen
wrote:
> Det må vel svare til hvor høj en pyramide, med samme grundflade og
> højdeforhold, kan man bygge med halvdelen af stenene, det vil sige den
> nye pyramide må kun have det halve volumen af den oprindelige. Dette
> kan gøres ved at skalere alle værdier med en passende konstant, nemlig
> 1/(2^(1/3)) (kubikroden af 2). Dette giver en pyramide med volumen
> 1.321.032,33 m^2 hvilket er halvdelen af den oprindelige pyramides
> rumfang. Højden i denne pyramide er altså 146/(2^(1/3)) = 115,88 m
> hvilket jo så må betyde at pyramidestubben med samme volumen har haft
> højden 146-115.88 = 30,12 m.
Dette er den rigtige løsning (jeg har ikke lige checket om beregningerne er
korrekte). Den lille pyramide Thorsten bygger, er den del af Kheopspyramiden som
står ovenpå den keglestub vi skal beregne højden af.
Thorsten skalerer med kubikroden af en halv ("Thorstens konstant", TK).
Rumfanget af en pyramide er i følge formlen proportionalt med højden i tredje
idet grundfladen er proportional med højden i anden etc. Thorsten bruger bare
det generelle tilfælde til at "skalere alle værdier", og når vi så beregner
rumfanget, ganges TK på alle længdemål, TK i anden på alle flademål, og TK i
tredje på alle rummål :)
--
Mike L. Griebel
http://www.geocities.com/Athens/8201/
Soren Dideriksen
"Christian Ravnsborg" <chr...@post6.tele.dk> writes:
> Fornyelig havde jeg en opgave vedr. Keops-pyramiden. I opgaven var der et
> spørgsmål, som virkelig gik/går mig på.
> Opgaven lyder så :
> --Hvad har højden været, da man var halvt færdig med at placere de mange
> blokke?---
>
> Min lærer siger, at denne opgave kun kan løse ved hjælp af at fylde en model
> af pyramiden med ris. Derefter hælder man risene op i et måleglas og tager
> det halve antal ris og putter ned i modellen af pyramiden, nu kan man så
> måle højden. Jeg finder denne løsning til opgaven både umatematisk og
> unøjagtig.
Din lærers metode er ... intuitiv, men der finds en simpel matematisk
løsning til problemet som kan bruges hvis man ikke lige har ris og hule
model pyramider til rådighed.
Lad os antage, at man bygger nedefra (no joke intended), således at men
med 'havlt færdig' mener, at man har lag på lag nedefra...
Den viden vi har om Cheopspyramiden, giver os en sammenhæng mellem
sidelængde og højde - for alle andre pyramider med samme form .
Hvis halvdelen af voluminet ligger i det nederste lag, så må det øverste
lag udgøre en pyramide, med samme form som Cheops og med en højde x som
er mindre end Cheops. (Når jeg skriver Cheops, mener jeg faktisk
Cheopspyramiden). Hvis vi finder højden x af denne 'lille Cheops', ja
så har man også højden af det nederste lag, nemlig h-x.
Forholdet mellem sidelængde l og højde x er affin (l(x) = a*x + b),
desuden gælder l(0) = 0 (klart, så var den faktisk lineær) og l(h) = l
(l er længden af Cheops)
Det giver let at l(x) = l/h * x
Voluminet V(x) af den lille pyramide er V(x) = 1/3*l(x)^2*x
skal være det halve af Cheops volumen V(h)
V(x) = 1/3*l^2/h^2 * x^3 = 1/2 * V(h) = 1/2*1/3*l^2*h
Dvs x^3 = 1/2 h^3 => x = h * (1/2)^(1/3) = h * 0.7937005...
Og dvs højden af det nederste lag er h-x = h * 0.2062..
--
Soren Dideriksen http://www.mi.aau.dk/~soren/
Pope
Hvad skal den stå på? :)
Christian Ravnsborg
>Hvis din lærer er matematiker, så tager han gas på dig :)
Nu ligger landet sådan at jeg stadig går i folkeskole, hvilket vil sige at
min lærer ikke er matematiker.
Bertel Lund Hansen
Christian Ravnsborg skrev:
>Nu ligger landet sådan at jeg stadig går i folkeskole, hvilket vil sige at
>min lærer ikke er matematiker.
Protest.
--
Venlig hilsen, Bertel
http://www.image.dk/~blh/
(Pil ikke ved min e-mailadresse)