Matematik opgave
Allan Clausen
opgaveløsning....
Opgaven:
"Jeg skal beregne rumfanget/volumen af den spiselige del af en donut"
Det jeg er kommet frem til er at man starter opgaven med en rund cirkel i 1.
kvadrant....
Radius = r, og centrum i (a,b)...Og b skal være større end r !
Derefter kan man bruge formlen pi*(integralet af) ( f(x)^2 ) dx for at finde
volumen....
Her er mit umiddelbare forslag at man sætter F(x) = (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
Her er det så at jeg går kold, da jeg ikke rigtig kan få en almindelig
funktion ud af cirklens ligning...Ved almindlig fiúnktion forstår jeg noget
i retning af y = f(x)....Og jeg er for øvrigt ikke helt sikker på at det er
ciklens ligning man skal bruge...
Hvis der er nogle hjælpsomme mennesker som har en god ide til en videre
omskrivning, modtages denne meget gerne.
Mvh.
Allan Clausen
Kan...@post.tele.dk
alexbo
Allan Clausen <Kan...@post.tele.dk> skrev i en nyhedsmeddelelse:8r01st$o6q$1...@news.inet.tele.dk...
> Opgaven:
> "Jeg skal beregne rumfanget/volumen af den spiselige del af en donut"
Hvis en donut er en spiselig badering, ville jeg skære den over til en pølse, og gå videre derfra.
PS.
Er der en ikke spiselig del af en donut?
Skriver man virkelig rumfanget/volumen?
mvh
Alex Christensen
Anders Johannsen
pølse, og gå videre derfra.
Hvis jeg ikke tager meget fejl, så er dette ikke nyhedsgruppen til tom snak
og intetsigende morsomheder.
FUT: dk.snak
/A
--
adresseoplysninger på: http://johannsen.com/adresse.htm
Besøg IGNITIONs hjemmeside: http://www.ignition.dk
Allan Holm
> pølse, og gå videre derfra.
>
> Hvis jeg ikke tager meget fejl, så er dette ikke nyhedsgruppen til tom
snak
> og intetsigende morsomheder.
>
> FUT: dk.snak
Hvis jeg ikke tager helt fejl var ovenævnte et svar på spørgsmålet.
rumfanget kan da normalt findes som cirkel arealet ganget med
middel afstanden. Derfor skær den over først....kan du se
sammenhængen?
Med venlig hilsen
Allan
Bertel Lund Hansen
>rumfanget kan da normalt findes som cirkel arealet ganget med
>middel afstanden. Derfor skær den over først...
Hvis du retter en donut ud, strækker du den lille cirkel og/eller
trykker den store sammen - altså omkredscirklerne.
Bertel
--
http://lundhansen.dk/bertel/
FIDUSO: http://www.fiduso.dk/
Mikkel Nordkvist
Volumen = 1/4*pi^2*(a+b)(b-a)^2
hvor a er indre radius og b ydre radius
Mikkel
alexbo
Anders Johannsen <and...@ignition.dk> skrev i en
nyhedsmeddelelse:iZNA5.1244$tv.5...@twister.sunsite.auc.dk...
> Hvis jeg ikke tager meget fejl, sĺ er dette ikke nyhedsgruppen til tom snak
> og intetsigende morsomheder.
Det var faktisk et seriřst bud pĺ beregningen.
Problemet var at jeg var ikke helt sikker pĺ om en donut havde den form jeg mente.
Jeg ved stadig ikke, om der er en ikke spiselig del pĺ en donut.
mvh
Alex Christensen
Bo Simonsen
> Hvorfor dog fut.
Jeg vil give dig fuldstændig ret, spørgsmålet var da ret seriøst og relavant.
/Bo
Ivar
>Hvis du retter en donut ud, strækker du den lille cirkel og/eller
>trykker den store sammen - altså omkredscirklerne.
Man skal ikke rette den ud, men skære den ud i "lagkagestykker".
Disse stykker sætter man så sammen, med hver anden vendt
180 grader. Så ender man med en pølse, der har en diameter
som donutens lille diameter og en længde svarende til omkredsen
af en cirkel, der har en diameter midt i mellem donutens ydre og
indre diameter.
Rumfanget af donuten er derfor arealet af et snit igennnem
brødet gange længden af brødet middeldiameter.
Altså, hvis r=hullets radius og R=den ydre radius
(R-r)^2 * pi / 4 * (R+r)/2 * 2 * pi
pi^2 * (R-r)^2 * (R+r) / 4
Nej, det er ikke pølsesnak, det integration efter husmandsmetoden.
Ivar
Allan Clausen
>
> (R-r)^2 * pi / 4 * (R+r)/2 * 2 * pi
>
> pi^2 * (R-r)^2 * (R+r) / 4
>
Jo tak....Jeg tænkter lige nu på om du måske er i besiddelse af et bevis for
denne formel?...Da jeg tror at det ville hjælpe mig med at forstå formelen,
og hvordan den i virkeligheden virker ?
Mvh.
Allan Clausen
Kan...@post.tele.dk
Allan Holm
> >
> > (R-r)^2 * pi / 4 * (R+r)/2 * 2 * pi
> >
> > pi^2 * (R-r)^2 * (R+r) / 4
> >
>
> Jo tak....Jeg tænkter lige nu på om du måske er i besiddelse af et bevis
for
> denne formel?...Da jeg tror at det ville hjælpe mig med at forstå
formelen,
> og hvordan den i virkeligheden virker ?
Der er ikke meget i verden der er sikket og derfor ikke noget der kan
bevises (min mening), men formlen er ret let at forklare.
Først skal du beregne middel længden rundt i ringen. Den kan beregnes
som de to længder ganget sammen divideret med 2, for så at kommer fra
middel radius til længde skal man gange med 2*PI. ->(R+r)/2*2*PI
For at få rumfange skal du gange med det areal som cirklen har.
altså (R-r) / 2 for at få radius i cirklen. arealet af en cirkel er r^2*PI,
dette led giver da (R-r)^2 / 2^2 * PI
Håber det hjalp lidt.
Ovenstående eksempel er forøvrigt et godt eksempel hvor en praktiker
ville finde et svar langt hurtigere end en matematiker. Normalt vil man i
sådanne rumfangs opgaver skulle integrere ud over radius for at finde
rumfanget, men dette var så et tilfælde hvor lidt omtanke sparer
meget arbejde.
MVH Allan
alexbo
Allan Holm <a...@mail1.stofanet.dk> skrev
> Først skal du beregne middel længden rundt i ringen. Den kan beregnes
> som de to længder ganget sammen divideret med 2, for så at kommer fra
> middel radius til længde skal man gange med 2*PI. ->(R+r)/2*2*PI
> For at få rumfange skal du gange med det areal som cirklen har.
> altså (R-r) / 2 for at få radius i cirklen. arealet af en cirkel er r^2*PI,
> dette led giver da (R-r)^2 / 2^2 * PI
> Håber det hjalp lidt.
Jeg synes du i starten springer umotiveret mellem længde og radius.
Først beregner du middel længden, og forudsætter at spørgeren selv kan finde de to længder, hvilket
han også burde kunne. Dernæst går du fra middelradius til middellængde.
Sætningen:" for så at kommer fra middel radius til længde skal man gange med 2*PI."
hænger ikke sammen med det foranstående.
Udtrykket "ganget sammen" er jeg ikke rigtig glad for
Jeg vil nødig virke pedantisk, men jeg er sikker på du kan formulere det bedre.
mvh
Alex Christensen
Allan Holm
> Sætningen:" for så at kommer fra middel radius til længde skal man gange
med 2*PI."
> hænger ikke sammen med det foranstående.
Enig det skulle da være fra radius til omkreds, eller radius til middel
længde, takker
for hjælpen.
> Udtrykket "ganget sammen" er jeg ikke rigtig glad for
Forsøgte bare at bruge en dansk betegnelse, man kanlder vel ikke " * " for
et
multiplikations tegn eller det gør man ikke hvor jeg kommer fra.
> Jeg vil nødig virke pedantisk, men jeg er sikker på du kan formulere det
bedre.
Det er da ikke pedantisk at være vågen. (det er kun pedantisk hvis man
retter stavefejl og lignende)
Med venlig hilsen
Allan
Ivar
Allan Clausen skrev
>> hvis r=hullets radius og R=den ydre radius
>>
>> (R-r)^2 * pi / 4 * (R+r)/2 * 2 * pi
>>
>> pi^2 * (R-r)^2 * (R+r) / 4
>>
>
>Jo tak....Jeg tænkter lige nu på om du måske er i besiddelse af et bevis
for
>denne formel?...Da jeg tror at det ville hjælpe mig med at forstå formelen,
>og hvordan den i virkeligheden virker ?
>
Øh, jeg mente at jeg beviste formlen.
Først skar jeg donuten op, derefter satte jeg den sammen til en pølse.
Rumfanget af pølsen er tværsnits-arealet gange længden.
Begge disse må kender man fra donuten, det er lidt svært at forklare
uden en tegning.
Tværsnits-arealet af en cirkel er: Diameter i anden gange pi kvarte.
pølsens diameter er R-r (hvor r= donut-hullets radius og R=den ydre
radius)
Altså: Tværsnits-areal af pølse = (R-r)^2 * pi / 4
Længden af pølsen er lig den diameter jeg forsøgte at forklare. Eller
man kan også sige, at lagkagestykkerne bliver sat sammen skiftevis
med siden fra den indre radius (r) og den ydre radius (R), længden
er derfor halvdelen af den ydre omkreds puls halvdelen af den
indre omkreds. Omkredsen af en cirkel er: 2 gange radius gange pi.
Altså Længde af pølse = 2 * (R/2+r/2) * pi
Rumfanget = tværsnits-arealet gange længden.
= (R-r)^2 * pi / 4 * 2 * (R/2+r/2) * pi
osv.
Ivar
Der ikke er skolelærer.
alexbo
Allan Holm <a...@mail1.stofanet.dk> skrev i en
nyhedsmeddelelse:YssB5.2569$tv.7...@twister.sunsite.auc.dk...
> Forsøgte bare at bruge en dansk betegnelse, man kanlder vel ikke " * " for
> et
> multiplikations tegn eller det gør man ikke hvor jeg kommer fra.
>
Jamen de skal jo ikke ganges, de skal lægges sammen.
mvh
Alex Christensen
Carsten Svaneborg
> Jeg håber at denne gruppe kan hjælpe mig med en god ide, til en
> opgaveløsning....
Det er en halvhård opgave med mindre man må brug en integral tabel.
Jeg tror ikke der er nogen god idet bortset fra hård arbejde
og det at anvende cyllinder koordinater (r,theta,z) istedet
for kartesiske koordinater (x,y,z). Fordi det er meget svært
at formulere en ligning for mængden af punkter inde i en torus
i kartesiske koordinater, mens det er ret let i cyllinder
koordinater.
Dvs. (x,y,z) = (r*cos(theta),r*sin(theta),z)
Volumnet er givet ved at integrere 1 over alle punkter der ligger
inde i torus'en dvs.:
V = integral 1 dx dy dz
(x,y,z)
inde i torus
i cyllinder koordinater er volumnet af et lille element dx dy dz
givet ved r d(theta) dr dz. Dette kan være besværligt at bevise,
men er ret let at indse, rent dimensionalt har d(theta) ingen
dimension så der mangler en størrelse med dimension længde, og
da z er en kartesisk koordinat mens r er radius, så giver
r d(theta) mere mening. (mere om dette om lidt)
= integral 1 r d(theta) dr dz
r,theta,z
inde i torus
Der er rotationssymmetri omkring aksen og vi kan derfor udføre
theta integrationen fra -Pi til Pi og resultatet er
= integral 1 2Pi r dr dz
(r,z)
i torus
Dette er ikke en overraskelse, fordi du kan tænke på torus'en som
et omdrejningslegme med cirkel gennemsnit, vælger du et punkt i
dette cirkelsnit i en afstand r fra aksen, så er punktets
punktetsomdrejningslegme en cirkel der har længden 2Pi r.
(Opfat dette argument som et bevis for mit valg af r d(theta) )
Nu er der kun to integrationsvariable tilbage r og z. Integrationen
skal udføres over alle punkter der ligger inde i torus i et z,r snit,
dvs. inde i en cirkelskive:
| z
|
| 2R
| |------|
| ####
| ######
+----------- ########--------> r
| ######
| ####
|----------------|
b
Man kan antage at z=0 går gennem cirklens midte, siden at det
ikke ændre volumnet at vi forskyder koordinatsystemet langs
z aksen (dvs. z'=z+z0 substitutioner), det samme er IKKE sandt
langs r aksen pga. 2Pi r ledet.
Cirkelens der omkrænser cirkel skiven vi vil finde integralet
af er givet ved ligning er (r-b)^2 + z^2 = R^2
Cirklens innerste punkt er r=b-R mens dens yderste punkt er r=b+R
dette er altså integrationsgrænserne for r. Hvis du nu tænker dig
at du står på et bestemt fixet r, så kan du fra ligningen isolere
den nedre og øvre grænse for z integrationen, og resultatet er
z fra -sqrt(R^2 - (r-b)^2) til +sqrt(R^2 - (r-b)^2)
dvs.
(b+R) / +sqrt(R^2 - (r-b)^2) \
= integral | integral dz | 2Pi r dr
(b-R) \ -sqrt(R^2 - (r-b)^2) /
z integralet er let fordi integral fra a til b af 1 dz = a-b
b+R
= 4Pi integral sqrt(R^2 - (r-b)^2) r dr
b-R
Her må man så udføre en substitution, når man har sqrt af et
kvadrat så kan man jo huske på at cos^2(x)+sin^2(x)=1 =>
cos(x)= sqrt(1-sin^2(x))
integranten kan omskrives
sqrt(R^2 - (r-b)^2 ) r = R sqrt( 1- ((r-b)/R ) ^2 ) r
Dvs. substitutionen sin(x)= (r-b)/R ser interessant ud, og
der er ikke problemer fordi r går jo fra b-R til b+R svarende
til at sin(x)=-1 til sin(x)=+1. x integrationen er altså fra
-Pi/2 til +Pi/2
integranten bliver
R sqrt( 1- ((r-b)/R ) ^2 ) r = R cos(x) r
så er Rsin(x)+b = r => og dr/dx = Rcos(x) dvs. dr= Rcos(x) dx
Dvs. integralet bliver med denne substitution
R sqrt(..) r dr
Pi/2
= 4Pi integral (R cos(x)) (Rsin(x)+b) (R cos(x) dx)
-Pi/2
Pi/2
= 4Pi R^2 integral R cos^2(x) sin(x) + b cos^2 (x) dx
-Pi/2
cos^2(-x) = cos^2(x) så det er en lige funktion, mens
sin(-x) = -sin(x) dvs. en ulige funktion. Dvs. det første led
i integralet er en ulige funktion og den integreres i et
interval der er symmetrisk omkring 0. Resultatet er derfor 0.
(jeg udregnede integralet for at komme til denne konklusion :*( )
Pi/2
= 8Pi R^2 b integral cos^2(x) dx
0
Hmm. Hvem der bare havde Schaum.
Men integraler over produkter og potenser af sin og cos kan altid
simplificeres ved at bruge Euler ligningerne:
cos(x) = ( exp(ix) + exp(-ix) )/2
sin(x) = ( exp(ix) - exp(-ix) )/2
Hvis man ikke kender til komplekse tal er det helt ligegyldigt at
i^2 = -1, fordi integralet af exp(ix) = exp(ix)/i ligesom det ville
være for enhver anden konstant i.
b
integral cos^2(x) dx
a
(jeg droppe lige a til b indtil vidre)
= 0.25 integral ( exp(ix) + exp(-ix) )^2 dx
= 0.25 integral exp(2ix) + exp(-2ix) + 2 dx
= 0.25 [ exp(2ix)/2i - exp(2ix)/2i + 2x ]
Her kan Euler ligningen for sin bruges
= sin(2x)/4 + x/2
Integralet
Pi/2
= 8Pi R^2 b integral cos^2(x) dx
0
Pi/2
= 8Pi R^2 b [sin(2x)/4 + x/2 ]
0
Men sin(Pi) = 0 så
V = 2Pi^2 R^2 b
Tidligere har Mikkel postet følgende ligning
Volumen = 1/4*pi^2*(a+b)(b-a)^2
hvor a er indre radius og b ydre radius
dvs. i min notation
b-a = 2R og a+b = 2b
= 1/4 Pi^2 (2b) (2R)^2
= 2 Pi^2 b R^2
Hvilket også var mit resultat. Utroligt men sandt. Så kan jeg
ikke komme med en pedagogisk find den manglende faktor 2. :*(
--
Sometimes it's better to light a Carsten Svaneborg
flamethrower than curse the darkness. zqex at linuxstart.com
-- (Terry Pratchett, Men At Arms) Penguins in all windows!
Søren Galatius Smith
> Jeg håber at denne gruppe kan hjælpe mig med en god ide, til en
> opgaveløsning....
>
> Opgaven:
> "Jeg skal beregne rumfanget/volumen af den spiselige del af en donut"
>
> Det jeg er kommet frem til er at man starter opgaven med en rund cirkel i 1.
> kvadrant....
> Radius = r, og centrum i (a,b)...Og b skal være større end r !
>
> Derefter kan man bruge formlen pi*(integralet af) ( f(x)^2 ) dx for at finde
> volumen....
Ja, det er da en meget god ide. Du kan starte således:
Lad os tænke os, at torussen har x-aksen som omdrejningsakse:
^ y
|
|
_
/ | \
| | | (skulle være en cirkel)
\___/
|
|
--------+---------------> x
centrum af den lille cirkel er i (0,R) og den har radius r.
Ved at rotere cirklen om x-aksen får man en torus, dvs. en donut
(hvordan det nu staves). Cirklens ligning er
(y-R)^2 + x^2 = r^2
Cirklens rand kan parametriseres af de to funktioner
f(x) = R + sqrt( r^2 - x^2 )
og
g(x) = R - sqrt( r^2 - x^2 )
begge defineret på intervallet [-r,r].
Tager man voluminet af omdrejningslegemet af området under f's graf
minus voluminet af omdrejningslegemet af området under g's graf får
man voluminet af donutten.
Begge dele kan gøres vha den formel, du nævner med pi og integralet af
f(x)^2.
Søren
--
Søren Galatius Smith http://www.imf.au.dk/~galatius/
Søren Galatius Smith
>
> Pi/2
> = 8Pi R^2 b integral cos^2(x) dx
> 0
>
>
> Hmm. Hvem der bare havde Schaum.
>
> Men integraler over produkter og potenser af sin og cos kan altid
> simplificeres ved at bruge Euler ligningerne:
Nå det nu lige præcis er cos^2 kan man gøre således:
2 pi
2 pi = integral cos^2(x) + sin^2(x) dx
0
Integralerne af cos^2 og sin^2 må være ens, da sin(x + pi/2) =
cos(x). Ergo er
2 pi
integral cos^2(x) = pi
0
Kigger man lidt på grafen, ser man nu, at integralet fra 0 til pi/2 må
være 1/4 af dette, dvs pi/4.
Niels L Ellegaard
> Først skal du beregne middel længden rundt i ringen. Den kan beregnes
> som de to længder ganget sammen divideret med 2, for så at kommer fra
> middel radius til længde skal man gange med 2*PI. ->(R+r)/2*2*PI
> For at få rumfange skal du gange med det areal som cirklen har.
> altså (R-r) / 2 for at få radius i cirklen. arealet af en cirkel er r^2*PI,
> dette led giver da (R-r)^2 / 2^2 * PI
> Håber det hjalp lidt.
Lad mig starte med at sige at dette er en standart opgave for
integration af omdrejningslegemer. Jeg tror at alle matematikere har
set den på et tidspunkt i deres liv. Bøgerne giver samme løsning som
Carsten Svaneborg og Søren Galatius. Jeg mener at deres løsning kan
forklares lige så simpelt som din. Vi lægger donutten foran os og
skærer vandrette skiver. Hver skive har form af en "2 krone" med en
ydre og indre radius. Det er let at finde denne løsning på nettet:
http://www.google.com/search?q=torus+volume
http://www.nas.com/~kunkel/torus/torus.htm
Hvis man ikke kender standartmetoden er det måske lettere at forstå
din "husmandsmetode". Men jeg synes at den kræver lidt mere matematisk
argumentation. Lad os kigge på et "lagkagestykke" svarende til
vinkelen "phi". Denne skive har to interessante punkter nemlig centrum
af de to endeskiver.
Lad os nu lægge skiven på bordet. Det ene centrum har nu højden 0 over
bordet. Det andet centrum har højden R sin phi over bordet. Hvis vi nu
lægger to skiver oven på hinanden som du siger har vi en stabel med
højden
h = 2 R sin phi.
For små phi kan sinus rækkeudvikles
sin phi = phi - 1/6 phi^3 + 1/120 phi^5 ....(tror jeg nok)
Det gælder altså at for små phi er sin phi næsten lig phi. (Dette bør
selvfølgelig formulereres som en grænseværdi, men det er der ikke
plads til her). Med andre ord har vores 2 stak følgende højde
h = 2 R phi
Hvis vi nu skærer hele cirkelen op i skiver og lægger dem oven på
hinanden får vi en stak med højden
h = 4 pi R
Nu kan vi sammenligne denne stak med en cylinder med højden 4 pi R og
raduis r. Vi kan finde volumenet af de punkter der ligger i cylinderen
men ikke i stakken eller ligger i stakken men ikke i cylinderen. Vi
kan håbe på at når phi går mod nul går dette areal mod nul. Dette
kræver faktisk et indviklet argument. Man kan kigge på et tværsnit af
en stabel af to skiver og se at for små phi må dette tværsnit have
omtrendt samme areal som en cirkel med radius r.
Nu får vi volumenet
V = 4 pi R r^2
> Ovenstående eksempel er forøvrigt et godt eksempel hvor en praktiker
> ville finde et svar langt hurtigere end en matematiker. Normalt vil
> man i sådanne rumfangs opgaver skulle integrere ud over radius for
> at finde rumfanget, men dette var så et tilfælde hvor lidt omtanke
> sparer meget arbejde.
Problemet med intuitionen er at man kan blive snydt af
den. Landmålerne i det gamle Egypten brugte eksempelvis følgende
formel for arealet af en vilkårlig firkant. (x1 og x2 angiver
længderne af diagonalerne). I de fleste tilfælde passede den fint, men
den er altså eikke rigtig:
A = 0.5 * x1 * x2
Hvis jeg skulle lave udregningen igen ville jeg nok bruge
standartmetoden. Husmandsmetoden kræver at snitfladen på et
lagkagestykke har en lodret symmetriakse, og derfor kan den ikke
anvendes på så mange problemer. Problemet med standartmetoden er at
man skal kende d (argcos(x)) /dx. Hvis man ikke lige kan huske det så
kan man altid kigge på følgende url:
God regnelyst :)
--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/
SPECIAL OFFER! I proofread unsolicited commercial email sent to this
address at a rate of US $500.00 per incident! Include billing address
in your message and save US $500.00 per hour off ordinary address
resolution and tracking charge!