Impulsmoment
Michael Knudsen
Et lille projekt i fysikundervisningen har vakt min interesse for
planetbevægelser. Derfor har jeg lånt en bog, som bl.a. omhandler dette
emne. Desværre benytter man, allerede fra første side, noget, man kalder
impulsmoment. Er der nogen, der kan fortælle mig, hvad det er?
--
Med venlig hilsen
Michael Knudsen
Er du interesseret i skak, bridge eller en anden form for tankesport? Så kig
ind i dk.fritid
Jesper Harder
> impulsmoment. Er der nogen, der kan fortælle mig, hvad det er?
En partikels impulsmoment L omkring et fast punkt O, er givet ved
L = r×p
hvor r er partiklens stedvektor fra O, og p er partiklens impuls. Det
faste punkt kan vælges efter behag -- nogle valg vil typisk give nemmere
udregninger end andre.
Impulsmoment kendes også som bevægelsesmængdemoment eller angulært
moment.
--
Jesper Harder, <URL: http://purl.org/harder/ >
Hans H.V. Hansen
...
> Man skulle måske tilføje, at impuls er et legemes hastighed, v, gange
> dets masse, m, således at:
>
> L = r x mv
....
Og så kunne man yderligere tilføje, at impulsmomentet[s størrelse]
(også) kan angives som legemets vinkelhastighed gange dets inertimoment.
--
med venlig hilsen,
Hans
Michael Knudsen
>En partikels impulsmoment L omkring et fast punkt O, er givet ved
>
> L = r×p
>
>hvor r er partiklens stedvektor fra O, og p er partiklens impuls. Det
>faste punkt kan vælges efter behag -- nogle valg vil typisk give nemmere
>udregninger end andre.
Det er også, hvad man skriver i min bog. Hvad er det rent fysisk? Hvad
bruger man det til?
Man skriver også, at impulsmomentets tidsafledede er r×F. Kan nogen forklare
dette?
Jeppe Stig Nielsen
Man differentierer et vektorprodukt på tilsvarende måde som man diffe-
rentierer et produkt af to reelle funktioner. Altså
dL/dt = (dr/dt)×p + r×(dp/dt) = 0 + r×F
idet hastigheden og impulsen er parallelle, og idet dp/dt=F .
Størrelsen r×F kaldes kraftmomentet, og ligningen
dL/dt = kraftmoment
skal ses som en analogi til
dp/dt = kraft
Specielt gælder at hvis et legeme ikke er påvirket af noget ydre kraft-
moment, så er dets impulsmoment konstant (dvs. en bevaret størrelse).
Fx er Jordens impulsmoment L en konstant vektor. Heraf ses bl.a. at Jordens
bane er plan (er indeholdt i normalplanen til L).
--
Jeppe Stig Nielsen, <URL:http://www.netby.net/Oest/Europa-Alle/jeppesn/>.
»Man ved jo aldrig, hvor godt en Mands Evner havde slaaet til, hvis han
havde arbejdet paa en anden Maade, end det faldt ham naturligt.«
- den danske matematiker Zeuthen om den danske matematiker Petersen
Michael Knudsen
>Fx er Jordens impulsmoment L en konstant vektor. Heraf ses bl.a. at Jordens
>bane er plan (er indeholdt i normalplanen til L).
Mange tak for hjælpen. Det var netop, hvad jeg havde brug for!
Jeppe Stig Nielsen
>
> Hej !
>
> >Fx er Jordens impulsmoment L en konstant vektor. Heraf ses bl.a. at Jordens
> >bane er plan (er indeholdt i normalplanen til L).
>
> Mange tak for hjælpen. Det var netop, hvad jeg havde brug for!
Så forstår du også hvorfor man vælger Solens centrum som begyndelsespunkt
for impulsmomentet. Kun på denne måde bliver kraftmomentet på Jorden nul
(idet kraften fra Solen er parallel med Jordens posistionsvektor).
Sven Nielsen
> Specielt gælder at hvis et legeme ikke er påvirket af noget ydre kraft-
> moment, så er dets impulsmoment konstant (dvs. en bevaret størrelse).
>
> Fx er Jordens impulsmoment L en konstant vektor. Heraf ses bl.a. at Jordens
> bane er plan (er indeholdt i normalplanen til L).
Desuden følger Keplers anden lov af impulsbevarelsen: Radiusvektor fra
Solen til en planet overstryger et konstant areal pr. tidsenhed.
Planeter (i ikke-cirkulære baner) bevæger sig hurtigere jo tættere de er
på Solen.
Med venlig hilsen Sven.
Michael Knudsen
>Desuden følger Keplers anden lov af impulsbevarelsen: Radiusvektor fra
>Solen til en planet overstryger et konstant areal pr. tidsenhed.
Hvordan udleder du det?
Carsten Svaneborg
> >Desuden følger Keplers anden lov af impulsbevarelsen: Radiusvektor fra
> >Solen til en planet overstryger et konstant areal pr. tidsenhed.
> Hvordan udleder du det?
L= V x R
Her er v planetens hastighedsvektor et vikårligt sted langs den
bane, og R er vektoren fra solen til planeten. Da tyngekraften
altid virker langs R er impulsmomentet bevaret L er altså en
konstant.
Hvis du nu tænker dig at planeten bevæger sig i tidsrummet dt,
så har den flyttet sig V*dt, og arealet denne bevægelse udspænder
er 0.5 Vdt x R (tegn det på et stykke papir, du får en trekant, og
Vdt x R er det dobbelte areal af den trekant). Men dette er jo
0.5*L*dt og både L og dt er konstante og uafhængige af hvor
planeten er iforhold til solen.
Ergo er de to usagn identiske.
--
By and large, the only skill the alchemists * Carsten Svaneborg
of Ankh-Morpork had discovered so far was * zqex hos
the ability to turn gold into less gold. * linuxstart.com
-- (Terry Pratchett, Moving Pictures) *
Hans H.V. Hansen
.......
> Da tyngekraften
> altid virker langs R er impulsmomentet bevaret L er altså en
> konstant.
Det må du lige uddybe lidt! Hvis planeten bevægede sig i en *cirkulær*
bane, kunne jeg nemt følge dig (centripetalkraft vinkelret på
hastighedsvektor) - men da planeterne jo netop følger elliptiske baner,
synes jeg, sagen ser lidt mere speget ud!?
Elers en meget fin og enkel udledning! :-)
Jeppe Stig Nielsen
>
> Carsten Svaneborg <zq...@linuxstart.com> wrote:
> .......
> > Da tyngekraften
> > altid virker langs R er impulsmomentet bevaret L er altså en
> > konstant.
>
> Det må du lige uddybe lidt! Hvis planeten bevægede sig i en *cirkulær*
> bane, kunne jeg nemt følge dig (centripetalkraft vinkelret på
> hastighedsvektor) - men da planeterne jo netop følger elliptiske baner,
> synes jeg, sagen ser lidt mere speget ud!?
Hør, har du aldrig hørt om Newtons massetitrækningslov? Den siger specielt
at kraften er rettet mod Solen.
Hans H.V. Hansen
..
> Hør, har du aldrig hørt om Newtons massetitrækningslov? Den siger specielt
> at kraften er rettet mod Solen.
Jo, det har jeg vel! Men det er, for mig, heller ikke just dér,
problemet ligger.
Jeg kan derimod ikke rigtigt forstå følgeslutnigen: "...(tyngekraften
altid virker langs R) ER IMPULSMOMENTET BEVARET".
Det var såmænd *det*, jeg foreslog uddybet! :-)
Michael Knudsen
> dL/dt = (dr/dt)×p + r×(dp/dt) = 0 + r×F
Er rxF (kraftmomentet) ikke også nulvektoren? Jeg vil da mene, at r og F er
lineært afhængige (proportionale). Er jeg galt på den?
Carsten Svaneborg
> Jeg kan derimod ikke rigtigt forstå følgeslutnigen: "...(tyngekraften
> altid virker langs R) ER IMPULSMOMENTET BEVARET".
> Det var såmænd *det*, jeg foreslog uddybet! :-)
Hmm.
Impulsmomentet er:
L = V x R (det er muligt at det er R x V men det er kun et fortegn.)
dL/dt = dv/dt x R + V x dR/dt
= a x R + V x V
Men V er parallel med sig selv så VxV=0 og ma=F så
= F x R / m
Husk at R er vektoren fra solen til planeten, og at tyngekraften
altid er langs en vektor der peger fra planeten mod solen, så
F er også parallel med R du kan faktisk skrive kraften
F=-GmM/|R|^2 R/|R| Her er -R/|R| jo en enhedsvektor der
peger imod solen. Og derfor er det sidste led også 0
Ergo
dL/dt = 0 for alle krafter der peger langs R.
Rent intuitivt så kan en central kraft altså ikke få noget til at
rotere hurtigere eller langsommere. Fordi den altid virker vinkelret
på bevægelsen.
Jeppe Stig Nielsen
>
> Jeppe Stig Nielsen <jep...@hotpop.com> wrote:
>
> ..
> > Hør, har du aldrig hørt om Newtons massetitrækningslov? Den siger specielt
> > at kraften er rettet mod Solen.
>
> Jo, det har jeg vel! Men det er, for mig, heller ikke just dér,
> problemet ligger.
> altid virker langs R) ER IMPULSMOMENTET BEVARET".
> Det var såmænd *det*, jeg foreslog uddybet! :-)
Se evt. mit indlæg (i denne tråd) fra i forgårs kl. 13.59.
Sven Nielsen
h2...@post6.tele.dk says...
> Jo, det har jeg vel! Men det er, for mig, heller ikke just dér,
> problemet ligger.
> Jeg kan derimod ikke rigtigt forstå følgeslutnigen: "...(tyngekraften
> altid virker langs R) ER IMPULSMOMENTET BEVARET".
> Det var såmænd *det*, jeg foreslog uddybet! :-)
Impulsmomentsætningen: Kraftmomentet er den tidsafledede af
impulsmomentet. Når kraftmoment = 0(-vektor) er impulsmomentet bevaret.
Kraftmomentet er nul når stedvektoren og kraften er ensrettede, thi |K| =
|r|*|F|*sin(v), hvor v er vinklen mellem kraft og stedvektor.
Hastigheden kommer ikke ind i billedet, så det er ligegyldigt om banen er
en cirkel, bare kraften er en centralkraft.
Med venlig hilsen Sven.
Hans H.V. Hansen
....
> Impulsmomentet er:
> L = V x R (det er muligt at det er R x V men det er kun et fortegn.)
Vel egentlig: (-?)mV x R
> dL/dt = dv/dt x R + V x dR/dt dV/dt!
> = a x R + V x V
>
> Men V er parallel med sig selv så VxV=0 (ja!) og ma=F så
>
> = F x R / m
>
> Husk at R er vektoren fra solen til planeten, og at tyngekraften
> altid er langs en vektor der peger fra planeten mod solen, så
> F er også parallel med R du kan faktisk skrive kraften
> F=-GmM/|R|^2 R/|R| Her er -R/|R|
Hvad betyder 'G', hhv. 'M'? Hvad betyder mellemrummet mellem '^2' og
'R/..'??
> jo en enhedsvektor der
> peger imod solen. Og derfor er det sidste led også 0
Ja!
> Ergo
>
> dL/dt = 0 for alle krafter der peger langs R.
Ser rigtigt ud!!
>
> Rent intuitivt så kan en central kraft altså ikke få noget til at
> rotere hurtigere eller langsommere. Fordi den altid virker vinkelret
> på bevægelsen.
Men her står *min* intuition desværre af! Jeg kan faktisk kun overbevise
mig selv om, at tiltrækningskraften 'virker vinkelret på bevægelsen' i
perigæum, apogæum plus to andre steder langs ellipsen!!
Hans H.V. Hansen
....
> Se evt. mit indlæg (i denne tråd) fra i forgårs kl. 13.59.
>
> news:389D7046...@hotpop.com
Ja, det svarer jo ret nøje til Carstens udredning! :-)
Hans H.V. Hansen
...
> Kraftmomentet er nul når stedvektoren og kraften er ensrettede, thi |K| =
> |r|*|F|*sin(v), hvor v er vinklen mellem kraft og stedvektor.
>
> Hastigheden kommer ikke ind i billedet, så det er ligegyldigt om banen er
> en cirkel, bare kraften er en centralkraft.
Det begynder at dæmre - rent fysisk/matematisk set!
(Jeg går ud fra, at 'centralkraft' betyder 'modsat rettet
stedvektoren'?)
Martin Lommer
> Carsten Svaneborg <zq...@linuxstart.com> wrote:
> > Impulsmomentet er:
> > L = V x R (det er muligt at det er R x V men det er kun et fortegn.)
>
> Vel egentlig: (-?)mV x R
Det rigtige er L = r x p = r x mv
> > Husk at R er vektoren fra solen til planeten, og at tyngekraften
> > altid er langs en vektor der peger fra planeten mod solen, så
> > F er også parallel med R du kan faktisk skrive kraften
> > F=-GmM/|R|^2 R/|R| Her er -R/|R|
>
> Hvad betyder 'G', hhv. 'M'? Hvad betyder mellemrummet mellem '^2' og
> 'R/..'??
G er gravitationskonstanten (vist nok 6 * 10^-11 Nm^2/kg^2), M er solens
masse, m er planetens og mellemrummet er et underforstået gangetegn.
> > Rent intuitivt så kan en central kraft altså ikke få noget til at
> > rotere hurtigere eller langsommere. Fordi den altid virker vinkelret
> > på bevægelsen.
>
> Men her står *min* intuition desværre af! Jeg kan faktisk kun overbevise
> mig selv om, at tiltrækningskraften 'virker vinkelret på bevægelsen' i
> perigæum, apogæum plus to andre steder langs ellipsen!!
Carstens formulering er heller ikke særlig heldig (selvom han må mene det
rigtige), da vinkelhastigheden jo netop ikke er konstant i f.eks. en
elliptisk bevægelse. Det der er bevaret, er impulsmomentet, som kræver lidt
tilvænning at have intuition omkring. For eksempel kan en skøjteløber jo godt
ændre sin rotationshastighed ved at trække armene ind til kroppen - altså en
central kraft (impulsmomentet udregnes omkring rotationsaksen).
Mvh. Martin Lommer
Carsten Svaneborg
> > > L = V x R (det er muligt at det er R x V men det er kun et fortegn.)
> > Vel egentlig: (-?)mV x R
> Det rigtige er L = r x p = r x mv
Tak for korrektionen. Der er noget tid siden jeg har rodet med
angulært moment.
Carsten Svaneborg
> Det begynder at dæmre - rent fysisk/matematisk set!
> (Jeg går ud fra, at 'centralkraft' betyder 'modsat rettet
> stedvektoren'?)
Præcist.
Sven Nielsen
> "Hans H.V. Hansen" wrote:
> > Det begynder at dćmre - rent fysisk/matematisk set!
> > (Jeg gĺr ud fra, at 'centralkraft' betyder 'modsat rettet
> > stedvektoren'?)
>
> Prćcist.
Eller i hvert fald ensrettet med stedvektoren.
Med venlig hilsen Sven.
guffer
<michael...@email.dk> wrote:
>> dL/dt = (dr/dt)×p + r×(dp/dt) = 0 + r×F
>
>Er rxF (kraftmomentet) ikke også nulvektoren? Jeg vil da mene,
at r og F er
>lineært afhængige (proportionale). Er jeg galt på den?
Ja, F er proportional med d^2r/dt^2, ikke nødvendigvis med r.
Uden kraftmomenter virkede en skruetrækker ikke.
mvh
* Sent from RemarQ http://www.remarq.com The Internet's Discussion Network *
The fastest and easiest way to search and participate in Usenet - Free!