Udregning af kvadratrod?
Peter Kristensen
Jeg kom tilfældigt til at tænke over hvordan man egentlig regnede
kvadratroden af et tal ud, før man fik lommeregnere. Så jeg spurgte min
matematiklærer og af hende fik jeg at vide at man bare måtte prøve sig frem.
Da jeg selvfølgelig ikke var tilfreds med dette svar (der er jo ingen logik
i det), begyndte jeg at undersøge det nærmere. Jeg har fundet ud af at der
skulle være en metode til at regne det ud, altså ikke sidde og prøve sig
frem med alverdens tal. Men hvordan lyder denne metode? Hvis der var nogen
der evt. kunne skrive den her eller henvise til et link, så ville det bare
være kanon, da det irriterer mig grueligt efterhånden :)
På forhånd tak.
--
Peter Kristensen
Email: shab...@cyberlife.dk
ICQ: 13989462
Jens Kristian Søgaard
> Jeg kom tilfældigt til at tænke over hvordan man egentlig regnede
> kvadratroden af et tal ud, før man fik lommeregnere. Så jeg spurgte min
Hvis du vil have en let og intuitiv metode, så prøv at kigge på dette
indlæg fra Klaus Alexander Seistrup:
news:slrn7s8fh...@titan.magnetic-ink.dk
--
Jens Kristian Søgaard,
j...@soegaard.net -- http://soegaard.hypermart.net/
Søger du noget? -- http://www.google.com/
Peter Frederiksen
<shab...@cyberlife.dk> wrote:
>Hej.
>
>Jeg kom tilfældigt til at tænke over hvordan man egentlig regnede
>kvadratroden af et tal ud, før man fik lommeregnere. Så jeg spurgte min
>matematiklærer og af hende fik jeg at vide at man bare måtte prøve sig frem.
>Da jeg selvfølgelig ikke var tilfreds med dette svar (der er jo ingen logik
>i det), begyndte jeg at undersøge det nærmere. Jeg har fundet ud af at der
>skulle være en metode til at regne det ud, altså ikke sidde og prøve sig
>frem med alverdens tal. Men hvordan lyder denne metode? Hvis der var nogen
>der evt. kunne skrive den her eller henvise til et link, så ville det bare
>være kanon, da det irriterer mig grueligt efterhånden :)
>
>På forhånd tak.
En måde er kædebrøker, som kan bruges som en rationel tilnærmelse til
irationelle tal(jeg ved ikke om det gælder alle irationelle tal, men
det gælder for alle kvadratrødder).
Følgende link fortæller om sqrt(2), sqrt(3) og pi
http://www.aalkat-gym.dk/undervisning/MFK/Tal/KAEDEBRK.HTM
Hvis du er interesseret ligger mit HF-speciale om kædebrøker på
http://home1.inet.tele.dk/peterbf/Math/Broker.pdf
Peter Frederiksen
pet...@post1.tele.dk
Klaus Alexander Seistrup
>> [kvadratroden af et tal]
>
> Hvis du vil have en let og intuitiv metode, så prøv at kigge på dette
> indlæg fra Klaus Alexander Seistrup:
>
> news:slrn7s8fh...@titan.magnetic-ink.dk
Indlægges findes også på http://www.magnetic-ink.dk/articles/kvadratrod.html
og metoden kan skrives ganske kort i perl:
=== snip ===
#!/usr/bin/perl
die "Kun positive tal..." unless ($x = $ARGV[0] || "") > 0;
$y = 0;
while ($y < $y+1) {
$z = 0;
$z++ while $x - 2 * $y * $z >= $z * $z;
$z--;
print "$z ";
$x = 100 * ($x - $z * (2 * $y + $z));
$y = 10 * ($y + $z);
}
print "\n";
=== snap ===
//Klaus
--
···[ Magnetic Ink ]················································· ><> ···
···[ http://www.magnetic-ink.dk/streetkids/ ]·······························
Kai Birger Nielsen
>Jens Kristian skrev:
>=== snip ===
>#!/usr/bin/perl
>=== snap ===
> //Klaus
Det var da sjovt. Den perl-kode synes jeg at jeg har set før.
Mon ikke du har kigget lidt på:
http://hjem.get2net.dk/bnielsen/sqrt.html ?
Din forklaring er helt klart lettere at deciffrere end Lobbens :-)
mvh Birger Nielsen (bnie...@daimi.au.dk)
Klaus Alexander Seistrup
> Mon ikke du har kigget lidt på:
> http://hjem.get2net.dk/bnielsen/sqrt.html ?
Puh, jeg fandt udkastet via Google engang, men kan ikke huske hvor.
Hvis du siger at det er fra ovennævnte URL, har du sikkert ret. :-)
Jeg skrev også rutinen om til Korn Shell, hvis nogen er interesseret:
=== snip ===
#!/bin/ksh
x=${1:?}
y=0
z=0
while ((x >= (z*z))); do ((z+=1)); done
((z-=1))
((x == (z*z))) && { echo $z; exit 0; }
echo -n "$z."
((x=(100*(x-z*z))))
((y=(10*z)))
while ((y < (y+1)))
do
z=0
while (((x-2*y*z) >= (z*z)))
do
((z+=1))
done
(((z-=1) < 0)) && { echo; exit 0; }
echo -n $z
((x=(100*(x-(2*y+z)*z))))
((y=(10*(y+z))))
done
echo
exit 0
=== snap ===
Det dur dog kun for heltal...
//Klaus
--
···[ Magnetic Ink ]················································· ><> ···
···[ Feeed me, Seymor! ]····················································
Asger Törnquist
x_{n+1} = 1/2*(x_n + a/x_n)
og hvor x_0 > 0 er vilkårlig, kan let vises at konvergere mod kvadratrod a.
Konvergensen er endda rimelig hurtig (pøv efter!). Det går naturligvis stærkest
hvis x_0 er valgt ikke så langt fra det rigtige resultat. Sætter man f. eks. x_0
= 1 og a = 2, så får man følgen
1
3/2
1,4166666...
1,41421568627
1,41421356237
....
hvorefter min lommeregner ikke kan klare en større præcision selv!
- Asger Törnquist.
Peter Kristensen wrote:
> Hej.
>
> Jeg kom tilfældigt til at tænke over hvordan man egentlig regnede
> kvadratroden af et tal ud, før man fik lommeregnere. Så jeg spurgte min
> matematiklærer og af hende fik jeg at vide at man bare måtte prøve sig frem.
> Da jeg selvfølgelig ikke var tilfreds med dette svar (der er jo ingen logik
> i det), begyndte jeg at undersøge det nærmere. Jeg har fundet ud af at der
> skulle være en metode til at regne det ud, altså ikke sidde og prøve sig
> frem med alverdens tal. Men hvordan lyder denne metode? Hvis der var nogen
> der evt. kunne skrive den her eller henvise til et link, så ville det bare
> være kanon, da det irriterer mig grueligt efterhånden :)
>
> På forhånd tak.
>
Kai Birger Nielsen
>Kai Birger skrev:
>> Mon ikke du har kigget lidt på:
>> http://hjem.get2net.dk/bnielsen/sqrt.html ?
>Puh, jeg fandt udkastet via Google engang, men kan ikke huske hvor.
>Hvis du siger at det er fra ovennævnte URL, har du sikkert ret. :-)
Det tror jeg. Jeg skrev det for mindst 15 år siden som et pascal
program mest for sjov. Og for et eller andet stykke tid siden blev
det så perl'ificeret igen mest for sjov.
Det er helt ok at du har snuppet en kopi og leget videre med.
(Jeg er ikke ansat ved Unisys.)
mvh Birger Nielsen (bnie...@daimi.au.dk)
Jeppe Seidelin Dam
sqrt(x)= 10^[½*log(x)]
Og så bruge en regnestok eller en logaritme tabel til beregningerne?
mvh
Jeppe Seidelin Dam
Bertel Lund Hansen
>Og så bruge en regnestok eller en logaritme tabel til beregningerne?
Hvis man har regnestok eller tabel til sin rådighed, kan man slå
kvadratrødder op direkte.
Spørgsmålet var jo hvordan man regner dem i hånden. Jeg gider
ikke forklare den metode jeg lærte i folkeskolen. Den er lang og
besværlig og helt til grin sammenlignet med den metode der er
blevet præsenteret. Kort fortalt skulle man beregne hvert ciffer
for sig. Beregningstallene voksede med 2 cifre for hvert 1 nyt
man skulle finde. Men den virkede da.
Bertel
--
http://home6.inet.tele.dk/blh/
Per A. Hansen
Peter Kristensen skrev i meddelelsen <81kc10$pr7$1...@news.inet.tele.dk>...
>Hej.
>
>Jeg kom tilfældigt til at tænke over hvordan man egentlig regnede
>kvadratroden af et tal ud, før man fik lommeregnere. Så jeg spurgte min
>matematiklærer og af hende fik jeg at vide at man bare måtte prøve sig
frem.
Den kan udregnes med logaritmetabel eller med regnestok, der blot er
2 logaritmetabeller, der kan forskydes i forhold til hinanden.
Men den "gode gamle " metode med alm. håndkraft ser ud til at
være gået i glemmebogen´hos matematik/regnelærere?
Metoden er ikke mystisk, den kan udledes rent algebraisk.
Eksempel: kvadratroden af 123456. Tallet inddeles bagfra med 2
cifre i hver gruppe.
Første ciffer findes som det kvadrattal, der er mindre end 1. gruppe
- i eksemplet er det 3, der er det nærmeste tal, hvis kvadrat er mindre end
12
__.___._.___.___
V 12 34 56. 00 00
3*3 = 9 ( 1. ciffer = 3 )
Der trækkes fra og ned som ved et divisionsstykke - 2 cifre ad gangen:
--------
3 34
Næste ciffer findes som ( 3 *20+n)n, hvor n skal være <=334
(60+5)*5 = 3 25 ( 2. ciffer = 5)
------
9 56
Næste ciffer findes som ( 35 *20+n)n, hvor n skal være <=956
( 35*20+1)*1 = 7 01 ( 3. ciffer = 1)
------------
2 55 00
(351*20+3)*3 = 2 10 69 ( 4. ciffer = 3)
------------
44 31 00
(3513*20+6)*6= 42 15 96 ( 5. ciffer = 6)
------------
2 15 04 00
(35136*20+3)*3 2 10 81 69 ( 6. ciffer = 3)
-------------------
4 22 31 00
(351363*20+0)*0 0 ( 7. ciffer = 0)
-----------------
4 22 31 00 00
3513630*20+6)*6 4 21 63 56 36 ( 8. ciffer = 6)
-------------------
o.s.v ( der tages forbehold for slåfejl m.v. )
God arbejdslyst. Du kan med denne metode få flere cifre end
med regnemaskine, hvis du ellers har behov for det!
mvh
Per A. Hansen
Bertel Lund Hansen
>Men den "gode gamle " metode med alm. håndkraft ser ud til at
>være gået i glemmebogen´hos matematik/regnelærere?
Forhåbentlig. Den har lidt samme skæbne som opgaverne af typen:
Et specialbygget badekar med 3½ haner og 1½ afløb kan fyldes på 1
time fra den ene hane hvis denne er åbnet 3/4 og vinduet står
åbent. Det tager 1 døgn hvis det skal fyldes fra den anden hane.
Åbner man den tredje hane og afspiller Wagners "Niebelungen
Halle" tager det 2,7654 timer ... o.s.v.
Den metode der er angivet med x[n+1] = (x[n]+T/x[n])/2 kan regnes
i hånden noget hurtigere end den du angiver.
>God arbejdslyst. Du kan med denne metode få flere cifre end
>med regnemaskine, hvis du ellers har behov for det!
Ok ja, men det kan du også med den anden.
(Jeg har skam også lært den afskyelige metode - jeg undrer mig
stadig over det - og jeg har intet imod matematik for
matematikkens skyld.)
Bertel
--
http://home6.inet.tele.dk/blh/
Per A. Hansen
Bertel Lund Hansen skrev i meddelelsen ...
>Per A. Hansen skrev:
>Et specialbygget badekar med 3½ haner og 1½ afløb kan fyldes på 1
>time fra den ene hane hvis denne er åbnet 3/4 og vinduet står
>åbent. Det tager 1 døgn hvis det skal fyldes fra den anden hane.
>Åbner man den tredje hane og afspiller Wagners "Niebelungen
>Halle" tager det 2,7654 timer ... o.s.v.
Det er ellers en fin opgave - der er bare et par oplysninger
du vist har blandet sammen med et andet fag!
>
>(Jeg har skam også lært den afskyelige metode - jeg undrer mig
>stadig over det - og jeg har intet imod matematik for
>matematikkens skyld.)
Jeg tror nu, at det var den løsning, der blev efterlyst.
Der var også et liv før regnemaskinen.
Du har det måske på samme måde med 100 m løb - hvorfor træne,
det er jo den samme strækning hver gang?
Mvh
Per A. Hansen
Bertel Lund Hansen
>Der var også et liv før regnemaskinen.
Du misforstår.
Hvis den besværlige metode var den eneste der duede, eller den
hurtigste, ville jeg have været glad for at lære den. Men jeg
forstår ikke at jeg ikke lærte iterationsmetoden i stedet for. 1
division, 1 sum og tag det halve, så har du et bedre resultat.
Hvis man gætter på 1, får man følgende række for Sqrt(2):
korrekte decimaler
(den næste er dog tæt på)
1,5 0
1,416 2
1,4142156 5
1,41421356237 11
5 decimalers præcision overstiger hvad jeg nogensinde blev bedt
om at regne ud.
PS. Jeg snakker om at regne det i hånden.
Bertel
--
http://home6.inet.tele.dk/blh/
Medlem af AMO; http://www.uio.no/~tfredvik/amo/
Torben AEgidius Mogensen
>Per A. Hansen skrev:
>>Der var også et liv før regnemaskinen.
>Du misforstår.
>Hvis den besværlige metode var den eneste der duede, eller den
>hurtigste, ville jeg have været glad for at lære den. Men jeg
>forstår ikke at jeg ikke lærte iterationsmetoden i stedet for. 1
>division, 1 sum og tag det halve, så har du et bedre resultat.
>Hvis man gætter på 1, får man følgende række for Sqrt(2):
> korrekte decimaler
> (den næste er dog tæt på)
>1,5 0
>1,416 2
>1,4142156 5
>1,41421356237 11
>5 decimalers præcision overstiger hvad jeg nogensinde blev bedt
>om at regne ud.
>PS. Jeg snakker om at regne det i hånden.
Hvis man skal regne det i hånden, er det som regel nemmere at bruge
brøker og først lave "lang division" til sidst, f.eks.
1
(2/1+1)/2 = 3/2
(2/(3/2)+3/2)/2 = (4/3+3/2)/2 = 17/12
(2/(17/12)+17/12)/2 = (24/17+17/12)/2 = (288+289)/(17*24) = 577/408
1.4142156...
+-------------
408| 577
---+ 408
---
1690
1632
----
580
408
---
1720
1632
----
880
816
---
640
408
---
2320
2040
----
2800
2448
----
....
Torben Mogensen (tor...@diku.dk)
Per A. Hansen
Bertel Lund Hansen skrev i meddelelsen ...
>Per A. Hansen skrev:
>
>Hvis man gætter på 1, får man følgende række for Sqrt(2):
> korrekte decimaler
> (den næste er dog tæt på)
>1,5 0
>1,416 2
>1,4142156 5
>1,41421356237 11
Fint nok. Men metoden er en smagssag, hvis man står uden
andre hjælpemidler end papir og blyant.
For ikke vi skal snakke forbi hinanden vil jeg slå fast, at jeg
ikke har taget stilling til, hvilken metode, der er bedst - selv om jeg
foretrækker "divisionsmetoden" ( uden elektronik ved hånden ) -men
spørgsmålet
fra Peter lød jo bl.a.:
>> Så jeg spurgte min matematiklærer og af hende fik jeg at vide at man
>> bare måtte prøve sig frem.
Det har Peters lærer ikke ret i, man *behøver* ikke at gætte sig frem som
jeg viste med et eksempel.
Den gamle metode med håndkraft er selvfølgelig ret besværlig som mange
regnestykker iøvrigt, men den giver en fin øvelse i talbehandling - ligesom
dit udmærkede eksempel på en opgave ikke har nogen praktisk relevans,
som mange regnestykker iøvrigt, men den giver faktisk en god øvelse i at
tænke logisk - nøddeknækkeri er godt for hjernevirksomheden.
Peter har nu forhåbentligt fået sit spørgsmål besvaret tilstrækkelig
grundigt.
mvh
Per A. Hansen
Per A. Hansen
Asger Törnquist
antikken. Der var altså ingen undskyldning for at man ikke brugte denne
metode da i gik i folkeskolen (da jeg gik i skole var kvadratroden af et
tal det som lommeregneren sagde det var - så kunne man selvfølgelig have
spurgt om hvad det var lommeregneren gjorde...).
Sluttelig kan nævne at fejlen på den n'te approximation er mindre end
2x_1*((x_0-sqrt a)/(x_0+sqrt a))^{2^n}
Hvilket forklarer den hurtige konvergens.
- Asger
Bertel Lund Hansen wrote:
> Per A. Hansen skrev:
>
> >Men den "gode gamle " metode med alm. håndkraft ser ud til at
> >være gået i glemmebogen´hos matematik/regnelærere?
>
> Forhåbentlig. Den har lidt samme skæbne som opgaverne af typen:
>
> Et specialbygget badekar med 3½ haner og 1½ afløb kan fyldes på 1
> time fra den ene hane hvis denne er åbnet 3/4 og vinduet står
> åbent. Det tager 1 døgn hvis det skal fyldes fra den anden hane.
> Åbner man den tredje hane og afspiller Wagners "Niebelungen
> Halle" tager det 2,7654 timer ... o.s.v.
>
> Den metode der er angivet med x[n+1] = (x[n]+T/x[n])/2 kan regnes
> i hånden noget hurtigere end den du angiver.
>
> >God arbejdslyst. Du kan med denne metode få flere cifre end
> >med regnemaskine, hvis du ellers har behov for det!
>
> Ok ja, men det kan du også med den anden.
>
> (Jeg har skam også lært den afskyelige metode - jeg undrer mig
> stadig over det - og jeg har intet imod matematik for
> matematikkens skyld.)
>
> Bertel
> --
> http://home6.inet.tele.dk/blh/
Jonas Kongslund
>Jeg kom tilfældigt til at tænke over hvordan man egentlig regnede
>kvadratroden af et tal ud, før man fik lommeregnere.
En gammel metode for at finde en tilnærmet kvadratrod til et tal b er
som følger: find det største heltal a sådan at a^2 < b. Så er a/2 +
b/(2a) en tilnærmet kvadratrod til b.
--
Jonas Kongslund
E-mail: jo...@kongslund.dk
Bell, Eric Temple: Euclid taught me that without assumptions there
is no proof. Therefore, in any argument, examine the assumptions.
maja...@hotmail.dk
> Hej.
> Jeg kom tilfældigt til at tænke over hvordan man egentlig regnede
> i det), begyndte jeg at undersøge det nærmere. Jeg har fundet ud af at der
> skulle være en metode til at regne det ud, altså ikke sidde og prøve sig
> frem med alverdens tal. Men hvordan lyder denne metode? Hvis der var nogen
> der evt. kunne skrive den her eller henvise til et link, så ville det bare
> være kanon, da det irriterer mig grueligt efterhånden :)
>
> På forhånd tak.
>
> --
>
> Peter Kristensen
> Email: shab...@cyberlife.dk
> ICQ: 13989462
Bertel Lund Hansen
> Den torsdag den 25. november 1999 09.00.00 UTC+1 skrev Peter Kristensen:
nysgerrig.
> Jeg fatter ikke hvordan man gør...
http://www.homeschoolmath.net/teaching/square-root-algorithm.php
Den metode der står i afsnittet
Finding square roots using an algorithm
er den jeg lærte i skolen. Hvis du har spørgsmål til det, så
skriv bare igen.
--
http://bertel.lundhansen.dk/ FIDUSO: http://fiduso.dk/
Lars Kongshøj
dele lommeregnere ud som slik. Er ked af at niveauet er faldet så meget,
selev jeg kunne løse mere komplicerede problemer da jeg gik i folkeskolen.
Bertel Lund Hansen
> Ked af at sige det lige ud og ærligt: Man har gjort folk stupide ved at
> dele lommeregnere ud som slik.
> Er ked af at niveauet er faldet så meget, selev jeg kunne løse
> mere komplicerede problemer da jeg gik i folkeskolen.
lommeregner frem for i hånden. Jeg brugte i sin tid lang tid på
numeriske undersøgelser som jeg fandt sjove, og jeg kom
*milevidt* meget længere omkring efter at jeg fik en lommeregner
til rådighed.
Men bevares, jeg kunne (og kan) regne hovedregning før jeg fik
Peter Loumann
> Man har gjort folk stupide ved at dele lommeregnere ud som slik.
helt forkert.
--
pl
Lars Kongshøj
> Lars Kongshøj skrev:
>
>> Ked af at sige det lige ud og ærligt: Man har gjort folk stupide ved at
>> dele lommeregnere ud som slik.
>
> ... og computere.
isf. lommeregnere.
>> Er ked af at niveauet er faldet så meget, selev jeg kunne løse
>> mere komplicerede problemer da jeg gik i folkeskolen.
>
> Jeg vil nu nok mene at der er fornuft i at regne kvadratrødder på
> lommeregner frem for i hånden. Jeg brugte i sin tid lang tid på
> numeriske undersøgelser som jeg fandt sjove, og jeg kom
> *milevidt* meget længere omkring efter at jeg fik en lommeregner
> til rådighed.
-1 ud i praksis. Men hvis man skulle styrke undervisningen i folkeskolen
lidt skulle man måske lære eleverne at løse den slags probleblemer ved
"håndkraft" - det giver gymnasie- og universitetslektorer "grå hår i
hovedet" at eleverne ikke kan pensum efter at elevevn fortsætter på en
efterfølgende uddannelse.
/Lars
Bertel Lund Hansen
> Man har sjældent behov for at regne kvadratrødder af andre tal end 2 og
> -1 ud i praksis.
> Men hvis man skulle styrke undervisningen i folkeskolen lidt
> skulle man måske lære eleverne at løse den slags probleblemer
> ved "håndkraft"
og de fører en kummerlig tilværelse i dagens undervisning.
Lars Kongshøj
> Lars Kongshøj skrev:
>
>> Man har sjældent behov for at regne kvadratrødder af andre tal end 2 og
>> -1 ud i praksis.
>
> Korrekt.
>
>> Men hvis man skulle styrke undervisningen i folkeskolen lidt
>> skulle man måske lære eleverne at løse den slags probleblemer
>> ved "håndkraft"
>
> Håndkraft og udenadslære er vigtige elementer i god undervisning,
> og de fører en kummerlig tilværelse i dagens undervisning.
>
dem, der sætter mobilen på lydløs, slukker lommeregneren og finder
millimeterpapiret frem er dem, der klarer sig bedst til eksamen.
Mvh. Lars