Åbne mængder
Jes Hansen
mange åbne mængder er åben?
Mvh
Jes Hansen
---
http://home9.inet.tele.dk/whammer
Thomas Bendsen
> Gælder der generelt, at foreningsmængden (eller fællesmængden) af endeligt
> mange åbne mængder er åben?
>
En topologi T på en mængde X er et system af delmængder af X som opfylder at:
-foreningsmængden af uendeligt mange delmængder fra T er en mængde i T (d.v.s. er åben)
-fællesmængden af endeligt mange delmængder fra T er en mængde i T
-X er en mænde i T (d.v.s. X selv skal være åben)
-Ø er en mængde i T.
Hvis du tænker konkret på de reelle tal er en åben mængde selvfølgelig defineret anderledes. Men det kan forholdsvis let vises at de åbne mængder i de reelle tal
opfylder ovenstående definition.
MVH
Thomas Bendsen
Jesper Harder
> Gælder der generelt, at foreningsmængden (eller fællesmængden) af endeligt
> mange åbne mængder er åben?
Ja, både forenings- og fællesmængden af endeligt mange åbne mængder er
åben.
Torben AEgidius Mogensen
Hvilket jeg lige vil uddybe lidt.
Generelt kaldes en mængde afsluttet, hvis dens komplementærmængde er
åben. En mængde kan godt være både åben og afsluttet (det er f.eks.
den tomme mængde) eller hverken eller.
På metriske rum (mængder med et afstandsbegreb) definerer man normalt
at en mængde er afsluttet, hvis grænseværdierne af enhver uendelig
følge af værdier fra mængden også findes i mængden. En følge kan godt
have mange grænseværdier, da man generelt definerer en grænseværdi ved
at uendeligt mange elementer fra følgen ligger vilkårligt tæt på
grænseværdien.
Det er ikke svært at se, at det får de åbne mængder
(komplementærmængderne til de afsluttede) til at opfylde de
topologiske aksiomer:
- Det er klart at både den tomme mængde og hele mængden er afsluttet
udfra ovenstående definition, og dermed er deres komplementer
åbne.
- Hvis du tager foreningen af endeligt mange afsluttede mængder, så
vil denne også være afsluttet, idet enhver uendelig mængde af
elementer fra en følge i foreningsmængden må indeholde uendeligt
mange elementer fra en af mængderne. Dermed vil enhver grænseværdi
af en følge i foreningsmængen være grænseværdi i en af mængderne.
Da foreningsmænger af afsluttede mængder svarer til fællesmængder
af åbne mængder, giver dette det andet topologiske aksiom.
- Hvis du tager fællesmængden af uendeligt mange afsluttede mængder,
så vil denne også være afsluttet, da enhver følge i fællesmængden
vil være en følge i alle mængderne. Dermed er dens grænseværdi også
med i alle mængderne og dermed også i fællesmængden. Da
fællesmængder af afsluttede mængder svarer til foreningsmænger af
åbne mængder, giver dette det første topologiske aksiom.
Meget matematik går ud på at generalisere på denne måde: Man havde et
velkendt begreb om åbne og lukkede mængder på de reelle tal, som
man så udvidede til andre metriske rum og derefter til ikke-metriske
rum. I alle tilfælde er systemerne defineret ud fra deres egenskaber:
Man har observeret nogle egenskaber i det specielle tilfælde (de
reelle tal) og definerer det generelle tilfælde ud fra disse
egenskaber. Alle udsagn, man kan vise udelukkende ud fra disse
egenskaber (aksiomerne) vil dermed automatisk gælde i det generelle
tlfælde.
Torben Mogensen (tor...@diku.dk)
Henrik Christian Grove
> På metriske rum (mængder med et afstandsbegreb) definerer man normalt
> at en mængde er afsluttet, hvis grænseværdierne af enhver uendelig
> følge af værdier fra mængden også findes i mængden. En følge kan godt
> have mange grænseværdier, da man generelt definerer en grænseværdi ved
> at uendeligt mange elementer fra følgen ligger vilkårligt tæt på
> grænseværdien.
Nej, det er definitionen af et fortætningspunkt. En følge a_n har
grænseværdien a, hvis *alle* elementer fra et vist trin ligger
vilkårligt tæt på a. Formelt
\forall \varepsilon>0:\exists N:k>N\Rightarrow |a-a_k|<\varepsilon
Men normalt definerer man først åbne mængder (se nedenfor), derefter at
en mængde er afsluttet hvis dens komplement er åbent, og viser så at med
denne definition er en mængde afsluttet netop hvis grænseværdien af
enhver følge ligger i mængden.
Givet en følge med et fortætningspunkt kan man udtage en delfølge der
konvergerer mod fortætningspunktet, og derved se at din påstand også gælder.
> Det er ikke svært at se, at det får de åbne mængder
> (komplementærmængderne til de afsluttede) til at opfylde de
> topologiske aksiomer:
De åbne mængder er ikke defineret som komplementærmængderne til de
afsluttede. En mængde M i et metrisk rum er åbne hvis man til ethvert
punkt i M kan lægge en kugle (med positiv radius) helt indeholdt i M
omkring punktet. Formelt:
\forall x\in M: \exists r>0: D(x,r)\subseteq M
> - Det er klart at både den tomme mængde og hele mængden er afsluttet
> udfra ovenstående definition, og dermed er deres komplementer
> åbne.
Ja. De er også begge to åbne i følge den sædvanlige definition, og
dermed er deres komplementer afsluttede.
Resten af hvad du skriver passer, men er (qua dine usædvanlige
definitioner) ikke de sædvanlige beviser.
Henrik
--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet
Rune Zedeler
> > følge af værdier fra mængden også findes i mængden. En følge kan godt
> > have mange grænseværdier, da man generelt definerer en grænseværdi ved
> > at uendeligt mange elementer fra følgen ligger vilkårligt tæt på
> > grænseværdien.
>
> Nej, det er definitionen af et fortætningspunkt. En følge a_n har
> grænseværdien a, hvis *alle* elementer fra et vist trin ligger
> vilkårligt tæt på a. Formelt
Så f.eks. fn(i) = sin(i) vil have ethvert punkt i [-1,1] som
fortætningspunkt?
-Rune
Rune Zedeler
> Gælder der generelt, at foreningsmængden (eller fællesmængden) af endeligt
> mange åbne mængder er åben?
Ja.
Det gælder sjovt nok IKKE at fællesmængden af tælleligt uendeligt mange
åbne mængder er åben.
F.eks. er
Forening ]-1/i , 1+1/i[
i>0
= [0,1]
-Rune
Henning Makholm
> Så f.eks. fn(i) = sin(i) vil have ethvert punkt i [-1,1] som
> fortætningspunkt?
Ja.
(Er det i øvrigt normalt at sige at \infty er fortætningspunkt
hvis følgen har vilkårligt store elementer?)
--
Henning Makholm "No one seems to know what
distinguishes a bell from a whistle."
Henrik Christian Grove
> (Er det i øvrigt normalt at sige at \infty er fortætningspunkt
> hvis følgen har vilkårligt store elementer?)
Jeg har aldrig hørt det, og jeg er ikke sikker på at det ville være en
god idé. F.eks. tvivler jeg på at entydighedssætningen for potensrækker
(og sikkert mange andre gode sætninger) ville få en undtagelse, hvis vi
gjorde det.
Jens Axel Søgaard
> (Er det i øvrigt normalt at sige at \infty er fortætningspunkt
> hvis følgen har vilkårligt store elementer?)
Definitionen af et fortætningspunkt ahfhænger af valget af topologi på
mængden. Hvis man kigger på et-punkts-kompaktificeringen af R, det vil
sige R U {\inffty} med den rigtige definition af åbne og lukkede
mængder, så vil
I) |x | -> \infty
n
og
II) \infty er et fortætningspunkt for \infty
være ensbetydende.
Det giver altså god mening at sige:
> (Er det i øvrigt normalt at sige at \infty er fortætningspunkt
> hvis følgen har vilkårligt store elementer?)
--
Jens Axel Søgaard -- http://www.jasoegaard.dk
A Mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
- Paul Erdös
Henning Makholm
> Hvis man kigger på et-punkts-kompaktificeringen af R, det vil
> sige R U {\inffty} med den rigtige definition af åbne og lukkede
> mængder, så vil
> I) |x | -> \infty
> n
> og
> II) \infty er et fortætningspunkt for \infty
> være ensbetydende.
Jeg går ud fra at det sidste \infty skal være (x_n)_n.
I så fald er det ikke rigtigt.
Følgen 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,... opfylder (II) men ikke (I).
--
Henning Makholm "... not one has been remembered from the time
when the author studied freshman physics. Quite the
contrary: he merely remembers that such and such is true, and to
explain it he invents a demonstration at the moment it is needed."
Jens Axel Søgaard
> Scripsit jens...@soegaard.net (Jens Axel Søgaard)
>
> > Hvis man kigger på et-punkts-kompaktificeringen af R, det vil
> > sige R U {\inffty} med den rigtige definition af åbne og lukkede
> > mængder,
Som er:
Lad t være de åbne mængder i R.
Sæt R' = R U {\infty}. Lad t' være delmængderne A i R' som
opfylder, at \infty\in A og R'\A er en lukket og kompakt delmængde
af R.
De åbne mængder på R' er så t U t'.
Man beholder altså de gamle åbne mængder fra R og udvider dem med,
hvad der bliver, de åbne omegne af \infty.
> så vil
>
> > I) |x | -> \infty
> > n
> > og
> > II) \infty er et fortætningspunkt for \infty
>
> > være ensbetydende.
>
> Jeg går ud fra at det sidste \infty skal være (x_n)_n.
Jep.
> I så fald er det ikke rigtigt.
> Følgen 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,... opfylder (II) men ikke (I).
Det er en tanketorsk fra min side. Jeg skulle have skrevet:
For en følge {x } indeholdt i R gælder, at
n
I) for alle N og M findes et n>N så |x_n|>M
og
II) \infty er fortætningpunkt for {x_n}
er lige gyldige.
I bogen "Real Analysis" (3.udgave) af H.L.Royden faldt jeg over:
Thus l is a *cluster point* of <x_n> if, given \epsilon>0 and
given N, \exists n\geq N such that |x_n-l|<\epsilon. We extend
this definition to the case l=\infty by saying that \infty i a
cluster point of <x_n> if, given \Delta and given N, \exists n\geq
N such that x_n\geq \Delta.
Bemærk, at Royden her definerer II) ved I). Punktet II) benytter den
topologiske udgave af fortætningspunkt, så det er ikke umiddelbart
oplagt, at I) og) II) er ensbetydende.
Sprogbrugen "uendelig er et fortætningspunkt" må altså siges at være
normal. Andre steder benyttes "accumulation point" ofte i stedet for
"cluster point".
Esben Mose Hansen
> On Wed, 4 Apr 2001 21:56:35 +0200, "Jes Hansen" <jesh...@mail.dk> wrote:
>
>> Gælder der generelt, at foreningsmængden (eller fællesmængden) af endeligt
>> mange åbne mængder er åben?
>>
>
> Ja. Faktisk er det et af aksiomerne for et system af åbne mængder (også kaldet en topologi).
> En topologi T på en mængde X er et system af delmængder af X som opfylder at:
> -foreningsmængden af uendeligt mange delmængder fra T er en mængde i T (d.v.s. er åben)
må jeg lige rette den? (de andre er gode nok :) )
-foreningsmængden af vilkårligt mange delmængder fra T er en mængde i T
eller sagt enklere
-en vilk. forening af åbne mængder er åbne
eller endnu enklere, men ved brug af et begereb :)
-topologien er lukket under vilk. forening.
Sidstnævnte gør det muligt at definere en topolgi enkelt ved:
Lad T være en mængden af delmængder på en mængde X. Da siges T at være
en topologi dersom T indeholder den tomme mængde Ø og er lukket overfor
vilk. foreningsmængde dannelse og endelig fællesmængdedannelse.
> Hvis du tænker konkret på de reelle tal er en åben mængde selvfølgelig defineret anderledes. Men det kan forholdsvis let vises at de åbne mængder i de reelle tal
> opfylder ovenstående definition.
Det er selvfølgeligt ikke helt rigtigt. Men der findes en *sædvanlig*
eller *naturlig" topologi, som består af af alle reele mængder der kan
skrives som en vilk. forening af åbne intervaller. Men alle andre
topologier er velkomne, og til tider nyttige.
mvh. Esben
Esben Mose Hansen
> (Er det i øvrigt normalt at sige at \infty er fortætningspunkt
> hvis følgen har vilkårligt store elementer?)
både ja og nej. \infty (som det hedder på TeX'sk, men det er der
åbenbart ikke nogen der har noget imod, og jeg forsåtr det jo godt :) )
er selvfølgeligt ikke et fortætningspunkt i R, men er det tilgæld i den
kompakte udgave R\cup\{-\infty\}\cup\{\infty\}. I R har en følge af tal
1,2,3,4,5,6.... intet fortætningspunkt. I kompakte rum har alle følger
mindst ét fortætningspunkt (dette kan bruges som definition af kompakte
rum, hvis man har lyst :) )
mvh. Esben
Stein A. Strømme
| Lad T være en mængden af delmængder på en mængde X. Da siges T at være
| en topologi dersom T indeholder den tomme mængde Ø og er lukket
| overfor vilk. foreningsmængde dannelse og endelig fællesmængdedannelse.
Du må ha med som aksiom at X skal være med i T.
For eksempel er T = {Ø} ikke en topologi med mindre X er tom.
--
Stein Arild Strømme telefon +47 55584825
Universitetet i Bergen, Matematisk institutt mobil +47 95801887
Johs Brunsg 12, N--5008 Bergen telefax +47 55589672
<mailto:str...@mi.uib.no> <http://www.mi.uib.no/~stromme>
Esben Mose Hansen
> [Esben Mose Hansen]
>
> | Lad T være en mængden af delmængder på en mængde X. Da siges T at være
> | en topologi dersom T indeholder den tomme mængde Ø og er lukket
> | overfor vilk. foreningsmængde dannelse og endelig fællesmængdedannelse.
>
> Du må ha med som aksiom at X skal være med i T.
> For eksempel er T = {Ø} ikke en topologi med mindre X er tom.
Ja den forsvandt :)
mvh. Esben
Søren Galatius Smith
[snip om R]
> I kompakte rum har alle følger mindst ét fortætningspunkt (dette kan
> bruges som definition af kompakte rum, hvis man har lyst :) )
Det bliver vist ikke ækvivalent med den sædvanlige definition (med
overdækninger). For generelle topologiske rum skal man bruge 'net' i
stedet for følger.
Man kan give eksempler på topologiske rum hvor enhver følge har et
fortætningspunkt, men som ikke er kompakte.
Søren
--
Søren Galatius Smith http://www.imf.au.dk/~galatius/
Esben Mose Hansen
> Esben Mose Hansen <esbenS...@oek.dk> writes:
>
> [snip om R]
>
>
>> I kompakte rum har alle følger mindst ét fortætningspunkt (dette kan
>> bruges som definition af kompakte rum, hvis man har lyst :) )
>
>
> Det bliver vist ikke ækvivalent med den sædvanlige definition (med
> overdækninger). For generelle topologiske rum skal man bruge 'net' i
> stedet for følger.
>
> Man kan give eksempler på topologiske rum hvor enhver følge har et
> fortætningspunkt, men som ikke er kompakte.
>
> Søren
Så sandt, så sandt. Det var heller ikke ment som en kogebog :) Jeg havde
bare ikke lyst til at introducere "net", selvom de er en meget naturlig
udvidelse...
mvh. Esben