Hvorfor har kuglen det største rumfang?
Jes Hansen
træer, men hvordan er det nu lige, at man viser, at en kugle er dét legeme
med det største rumfang når overfladearealet er givet?
-----
Jes Hansen
Tobias Dedenroth
> træer, men hvordan er det nu lige, at man viser, at en kugle er dét legeme
> med det største rumfang når overfladearealet er givet?
Personligt vil jeg forklare det med, at en kugle kun har en parameter
for rumfang. Nemlig radius. En "rumfangs-variabel dimension" om man vil!
:)
I forhold til en rektangel eller trekant. Kan man vel sige der
forekommer overlapninger af figurens variabler.
Hmm, ikke særlig overbevisende. Der er sikkert nogle der har tænkt mere
over det.
(End mig og 2-3 min.)
Men kort og godt; er kuglen mest simpel.
--
- Tobias Dedenroth
tob...@trickfilm.dk
atticcook
<whammer....@post9.tele.dk> wrote:
> Jeg sidder og har en fornemmelse af, at jeg ikke kan se skoven for
> bare
> træer, men hvordan er det nu lige, at man viser, at en kugle er
> dét legeme
> med det største rumfang når overfladearealet er givet?
Godt spørgsmål, det gad jeg også godt at vide, det lugter lidt af
variationsregning.
Hvad er der for resten i vejen med følgende lille udregning?
1) en kasse (kantlængde d)
Volumen = d^3
Overflade = 6*(d^2)
2) en kugle (diameter d)
Volumen = 4/3*pi*(d/2)^3
Overflade = 4*pi*(d/2)^2
Hvilken konstruktion giver så mest volumen pr overflade?
1) Volumen/Overflade = d/6
2) Volumen/Overflade = d/6
* Sent from RemarQ http://www.remarq.com The Internet's Discussion Network *
The fastest and easiest way to search and participate in Usenet - Free!
Torben AEgidius Mogensen
>Hvad er der for resten i vejen med følgende lille udregning?
>1) en kasse (kantlængde d)
>Volumen = d^3
>Overflade = 6*(d^2)
>2) en kugle (diameter d)
>Volumen = 4/3*pi*(d/2)^3
>Overflade = 4*pi*(d/2)^2
>Hvilken konstruktion giver så mest volumen pr overflade?
>1) Volumen/Overflade = d/6
>2) Volumen/Overflade = d/6
Volumen vokser kubisk mens overflade vokser kvadratisk når du skalerer
en figur op. Hvis du skal sammenligne overflade/volumen forhold for to
figurer skal de derfor skaleres, så de har samme volumen (eller samme
overflade).
Torben Mogensen (tor...@diku.dk)
Asger Törnquist
areal i forhold til omkredsen, kaldes det isoperimetriske problem, og er en
klassiker inden for variationsregningen. Resultatet er, at det er
cirkelskiven, der opfylder dette.
Enhver bog om variationsregning vil med sikkerhed give dig løsningen på
ovenståede problem. Det skulle undre om ikke lignende metoder kan bevise det
tilsvarende udsagn for kuglen.
- Asger T.
Jes Hansen wrote:
> Jeg sidder og har en fornemmelse af, at jeg ikke kan se skoven for bare
> træer, men hvordan er det nu lige, at man viser, at en kugle er dét legeme
> med det største rumfang når overfladearealet er givet?
>
> -----
> Jes Hansen
Michael Toftdal
sæbebobler sjældent har anden form end kuglen hvis de lades i ro.
/Michael
Sven Nielsen
> Hvis man tror på sæbeboblerne, så kan man jo argumentere med at
> sæbebobler sjældent har anden form end kuglen hvis de lades i ro.
Store sæbebobler har da alle mulige former. De er alt andet end
kugleformede.
Med venlig hilsen Sven.
--
Greg Moore, 1975-1999
Bertel Lund Hansen
>Store sæbebobler har da alle mulige former. De er alt andet end
>kugleformede.
Også når de bliver ladt i ro?
Bertel
--
http://home6.inet.tele.dk/blh/
Sven Nielsen
says...
> >Store sæbebobler har da alle mulige former. De er alt andet end
> >kugleformede.
>
> Også når de bliver ladt i ro?
Hvordan lader man en kæmpe sæbeboble i ro? Skal man lade være med at råbe
af den, eller hvad menes der?
Hvis man lader en stor sæbeboble svæve i et rum med stillestående luft,
vil den synke pga. gravitationen. Herved vil den effektivt føle en
opadgående luftstrøm, der vil deformere den. Jeg vil godt have defineret
de forsøgsbetingelser, hvor man kan observere kuglerunde sæbebobler.
Og man kan vel ikke putte dem ind i et vakuumkammer...
Klaus Alexander Seistrup
> Hvis man lader en stor sæbeboble svæve i et rum med stillestående
> luft, vil den synke pga. gravitationen. Herved vil den effektivt
> føle en opadgående luftstrøm, der vil deformere den.
Man kan lægge nogle stykker tøris ned i et [stort, tomt] akvarium. Hvis
man puster nogle sæbebobler derned, vil de lægge sig til ro når de ram-
mer kuldioxiden. Det ser ret spøjst ud. Men...
> Jeg vil godt have defineret de forsøgsbetingelser, hvor man kan
> observere kuglerunde sæbebobler.
...de bliver naturligvis lidt flade i bunden af at ligge og hvile sig.
//Klaus
--
···[ Magnetic Ink ]················································· ><> ···
echo '[q]sa[ln0=aln256%Pln256/snlbx]sb3135071790101768542287578439snlbxq'|dc
Henning Makholm
> Jeg vil godt have defineret de forsøgsbetingelser, hvor man kan
> observere kuglerunde sæbebobler.
I frit fald sammen med den omgivende luft.
Lad os straks begynde at samle ind til en rumfærgebillet så vi
kan få udført dette vigtige forsøg.
--
Henning Makholm "Slip den panserraket og læg
dig på jorden med ansigtet nedad!"
Sven Nielsen
> I frit fald sammen med den omgivende luft.
Hmm, ja. Selv vand danner bobler i vægtløs tilstand. Men de deformeres nu
let.
> Lad os straks begynde at samle ind til en rumfærgebillet så vi
> kan få udført dette vigtige forsøg.
:-)
Bertel Lund Hansen
>Hmm, ja. Selv vand danner bobler i vægtløs tilstand. Men de deformeres nu
>let.
Jeg har hørt at man i gamle dage støbte kuglerunde kugler (!) af
bly ved at lade en dråbe falde højt oppe fra ned i en spand med
vand. Er det mon en skrøne? Det blev fremført som argument for
navnet "plumbum" - lydefterlignende: "plum" når kuglen ramte
vandet, og "bum" når den ramte bunden.
Den er da i hvert fald sjov.
Bertel
--
http://home6.inet.tele.dk/blh/
Carsten Svaneborg
> Jeg sidder og har en fornemmelse af, at jeg ikke kan se skoven for bare
> træer, men hvordan er det nu lige, at man viser, at en kugle er dét legeme
> med det største rumfang når overfladearealet er givet?
Jeg kan ikke give et simpelt argument.
En variationsregning vil gå som følger.
Lad R(theta,phi) være radius som funktion af theta (breddegrad) og
phi (længdegrad), som definere en lukket flade. (og periodisk
omkring theta= og Pi og phi=-Pi og +Pi)
Arealet og Volumen er så givet ved
A= integral sqrt( dR/d(theta) x dR/d(phi) ) dtheta dphi
(Hmm. skal det være dcos(theta)?? )
V= integral r^2 dr dcos(theta) dphi
r fra 0 til R(theta,phi)
Funktionalen der skal minimeres er nu F[R]=A[R] + lambda(V[R]-V0)
Dvs. Minimere arealet under kravet at volumet er fixet på V0.
Alternativt kunne man maksimere F[R]=V[R] + lambda(A[R]-A0)
Dvs. hvad er figuren med det største volumen, for fixet overflade
areal.
Derimod tror at man får det samme som hvis man optimere V[R]/A[R]
men den ser ud til at være svær at regne på.
Så er det bare at bonke det ind i Euler-Lagrange og spendere
jeg ved ikke hvor langt tid på problemet.
Et trick der måske kan simplificere tingene meget er at
udvikle R(theta,phi) på en basis af spherisk harmoniske
funktioner (egenfunktioner for coulumb problemet).
(Enhver flade kan beskrives, som en sum af spherisk
harmoniske funktioner, med forskellige coefficienter)
Her er starter man nemmeligt med en kugle, højreordens biddrag
svarer så til forskellige asymetrier. (bølgende man ser for
sæbebobler er netop højreordens spherisk harmoniske funktioner)
Så problemet består i at vise at alle højreordens coefficienter i
udviklingen øger arealet. Fladen med mindst areal er derfor den
med en endelig S coefficient, og alle højreordens coefficienter 0.
Man kunne også prøve et scalings argument, hvis all længder
scales en afstand e (i princippet en infinitimal), så rækkeudvikle
A og V i e, dvs. A[R]=A0 + A1*e + A2*e^2 +.., og vise at A1 = 0
og A2<0 netop for kuglen, og ikke for nogle andre strukturer.
Dette er i virkeligheden variationsregning igen, bare formuleret
lidt mere fysisk.
--
By and large, the only skill the alchemists * Carsten Svaneborg
of Ankh-Morpork had discovered so far was * zqex hos
the ability to turn gold into less gold. * linuxstart.com
-- (Terry Pratchett, Moving Pictures) *
Sune Jespersen
> Jes Hansen wrote:
> > Jeg sidder og har en fornemmelse af, at jeg ikke kan se skoven for bare
> > træer, men hvordan er det nu lige, at man viser, at en kugle er dét legeme
> > med det største rumfang når overfladearealet er givet?
>
> Jeg kan ikke give et simpelt argument.
>
> En variationsregning vil gå som følger.
> Lad R(theta,phi) være radius som funktion af theta (breddegrad) og
> phi (længdegrad), som definere en lukket flade. (og periodisk
> omkring theta= og Pi og phi=-Pi og +Pi)
>
Problemet med dette argument er, at det ikke er sikkert at R kun har een værdi.
Hvis f.eks. fladen bevæger sig direkte ind mod origo for nogle vinkler. For en
generel flade kan du ikke finde en parametrisering som gælder globalt, altså
f.eks. opskrive radius som funktion af vinklerne. Eneste krav til en såkaldt
regulær flade er, at du til hvert punkt på fladen kan finde en omegn, der kan
parametriseres (der er også nogen krav til selve parametriseringen), løst sagt.
Parametriseringen kan altså være forskellig forskellige steder på fladen.
Vh Sune.
Torben AEgidius Mogensen
>Jeg har hørt at man i gamle dage støbte kuglerunde kugler (!) af
>bly ved at lade en dråbe falde højt oppe fra ned i en spand med
>vand. Er det mon en skrøne? Det blev fremført som argument for
>navnet "plumbum" - lydefterlignende: "plum" når kuglen ramte
>vandet, og "bum" når den ramte bunden.
Det med navnet tror jeg ikke på, men jeg mener også at have hørt at
nogle kanonkugler (eller var det geværkugler/hagl?) blev støbt på den
måde. Kanonkugler blev såvidt jeg husker dog primært lavet af jern.
Torben Mogensen (tor...@diku.dk)
Ulrik Svanlundh
> Jeg har hørt at man i gamle dage støbte kuglerunde kugler (!) af
> bly ved at lade en dråbe falde højt oppe fra ned i en spand med
> vand. Er det mon en skrøne? Det blev fremført som argument for
> navnet "plumbum" - lydefterlignende: "plum" når kuglen ramte
> vandet, og "bum" når den ramte bunden.
>
rammer vandoverfladen vil den deformeres (blive "flad"?) (medmindre den
allerede er størknet), så jeg kan ikke se at den på noget tidspunkt
skulle være kugleformet! ?
> Den er da i hvert fald sjov.
>
Yep! :-)
Mvh
US
Bertel Lund Hansen
>Hmmm... Undervejs i faldet vil "klumpen" være dråbe-formet
Ja, men hvad du ikke ved er at dråber er (næsten) kuglerunde. Det
er primært i tegneserier og -film at de er "dråbeformede".
>og i det den rammer vandoverfladen vil den deformeres
>(blive "flad"?) (medmindre den allerede er størknet),
... hvilket den er. Man skal sørge for en passende højde, så
luften kan nå at køle den af.
Bertel
--
http://home6.inet.tele.dk/blh/
Carsten Svaneborg
> Problemet med dette argument er, at det ikke er sikkert at R kun
> har een værdi.
af funktioner der har netop kan skrives som R() er rummelig nok.
Henning Makholm
> Problemet med dette argument er, at det ikke er sikkert at R kun har
> een værdi. Hvis f.eks. fladen bevæger sig direkte ind mod origo for
> nogle vinkler.
Det gør den vel ikke hvis legemet er konvekst. Monikke man som et
første trin kunne vise at et konkavt legeme altid er "værre" (målt som
forhold mellem overflade^3 og volumen^2) end mindste ét konvekst
(nemlig dets konvekse afslutning)?
--
Henning Makholm "The great secret, known to internists and
learned early in marriage by internists' wives, but
still hidden from the general public, is that most things get
better by themselves. Most things, in fact, are better by morning."
Ulrik Svanlundh
>
> Ulrik Svanlundh skrev:
>
> >Hmmm... Undervejs i faldet vil "klumpen" være dråbe-formet
>
> Ja, men hvad du ikke ved er at dråber er (næsten) kuglerunde. Det
> er primært i tegneserier og -film at de er "dråbeformede".
Som du selv skriver *næsten*... - Som i "ikke helt".
Men hvis "næsten" er godt nok, kan man vel klare sig uden alt det besvær
?
btw : Jo... Jeg ved godt hvordan en dråbe ser ud... Det må da forresten
være et yderligere besvær at undgå at klumpen "blævrer" for meget som
følge af at den er "tegneserie-dråbeformet" lige inden den slipper hvad
den nu end bliver hældt ud fra ?
Mvh
US
Emil
>Jeg har hørt at man i gamle dage støbte kuglerunde kugler (!) af
>bly ved at lade en dråbe falde højt oppe fra ned i en spand med
>vand. Er det mon en skrøne?
Nej, den er god nok. Det var hagl som blev fremstillet på den
måde i de gamle krudttårne, som var 30-60 meter høje. Senere
fandt man på at blæse kold luft op gennem tårnet, så man kunne
nøjes med et lavere tårn.
Blyet blev legeret med Arsen og senere med Antimon for at haglene
lettere kunne antage kugleform.
I tårnets fod standsedes haglene af en beholder med vand, så de
ikke blev flade i "bunden".
Sorteringen foregik ved at trille haglene ned ad et skråplan. Kun
de gode "kuglerunde" nåede enden.
Det giver jo unægteligt en ny synsvinkel på "en tur ned ad
skråplanet".
Med venlig hilsen, Emil
Bertel Lund Hansen
>Det giver jo unægteligt en ny synsvinkel på "en tur ned ad
>skråplanet".
Ja: dem der fuldfører turen bliver skudt (af).
Bertel
--
http://home6.inet.tele.dk/blh/
Jeppe Stig Nielsen
Det er meget vigtigt at forstå at der både er et eksistensspørgsmål og
et entydighedsspørgsmål.
Her er en (vistnok sand) anekdote der belyder dette:
For længe siden (vist engang i forrige århundrede) havde man haft held til
at lave en konstruktion der til enhver flade der ikke var en sfære lavede
en deformation/variation af fladen der ikke ændrede dens overfladeareal,
men som forøgede det volumen den omsluttede. Hermed mente man at man havde
bevist det isoperimetriske problem (sfæren er den flade (med et givet fast
overfladeareal) der omslutter det største volumen).
Læseren bedes spørge sig selv om dette var rigtigt.
En matematiker (kan nogen huske hvem det var?) indvendte at ovenstående jo
ikke løste problemet. Men selv velrenommerede matematikere fastholdt at
problemet var løst. Da kom vor helt med følgende analogi:
Jeg kan vise at 1 er det største naturlige tal. Thi der findes en
konstruktion (nemlig kvadrering!) der til ethvert naturligt tal n der ikke
er lig med 1, giver et større tal n². Dermed må det største naturlige tal
være 1.
Så vidt anekdoten. Det folk havde vist, var blot at HVIS der fandtes en
flade der omsluttede maksimalt areal, så er denne flade sfæren.
De manglede eksistensen (altså at der faktisk fandtes en flade der
realiserede optimummet).
--
Jeppe Stig Nielsen, <URL:http://www.netby.net/Oest/Europa-Alle/jeppesn/>.
»Man ved jo aldrig, hvor godt en Mands Evner havde slaaet til, hvis han
havde arbejdet paa en anden Maade, end det faldt ham naturligt.«
- den danske matematiker Zeuthen om den danske matematiker Petersen