Praktisk bestemmelse af inertimoment
Kasper Egebo
løse.
Vil gerne kunne bestemme inertimomentet af et givent uniform cirkulært
enme, fx et cykelhjul, ved et givent rpm.
At regne sig frem til det vil kræve en præcis 2D mesh indeling (masse
fordeling) af hele hjulet og er umuligt i praksis, for almindelige
mennesker som mig.
Min ide er så om man ikke kan bestemme det ved hjælp af et forsøg.
Førsøgs ide.
Hjulet bliver monteret på en vandretliggende aksel med centrum i
højden H fra jorden.
En snor bliver fastgjort og viklet nogle gange omkring hjulet i
afstanden R fra centrum af hjulet.
I løs ende af snoren monteres et lod med massen M, og højden H2 fra
jorden.
Tiden T måles som den tid det tar fra loddet blir sluppet i position
H2 til det rammer gulvet.
T må så kunne bruges til at regne sig frem til et inertimoment ved et
hvilket som helst rpm.
Nogen der kan sammensætte formlen for mig?
mvh
Kasper Egebo
Martin Larsen
news:1188646288....@g4g2000hsf.googlegroups.com...
Førsøgs ide.
---------
Kom straks til at tænke på:
http://en.wikipedia.org/wiki/Atwood_machine#Equations_for_a_non-ideal_pulley
Mvh
Martin
Carsten Svaneborg
> Vil gerne kunne bestemme inertimomentet af et givent uniform cirkulært
> enme, fx et cykelhjul, ved et givent rpm.
Inertimomentet er uafh. rpm.
> At regne sig frem til det vil kræve en præcis 2D mesh indeling (masse
> fordeling) af hele hjulet og er umuligt i praksis, for almindelige
> mennesker som mig.
Det er vel også at gøre livet kompliceret.
Inerti momentet er vist I=integral |R|^2 rho(R) dR hvor R er en
vektor og rho(R) er masse fordelingen i rummet.
Men i planen med rotationssymmetri I=integral r^2 rho(r) 2pi r dr
hvor r nu er radius, og rho(r) er den radiale fordelingen af masse.
Du kan se at det der tæller mest er massen langt væk fra aksen,
så det ville være dæk + fælg for et cykel hjul. Så du kan blot
antage at hele hjulets masse M er i afstand R fra aksen. Så er
fordelingen rho(r)=M/(2pi R)*delta(R-r) hvilet giver I=M R^2 tilnærmet.
M/(2pi R) skyldes transformationen fra en 3D masse fordeling til en
radial masse fordeling, massen er jo fordelt på en cirkels omkreds.
Der skal jo gælde at M=integral rho(r) 2pi r dr, dvs. at integralet
af massefordelingen giver den totale masse.
> Min ide er så om man ikke kan bestemme det ved hjælp af et forsøg.
Det kan du også.
Det kraft-moment du yder er T = r X F
hvor r er vektoren fra aksen til kraftens angrebspunkt, og F er kraften,
da de er vinkelrette kan det simplificers, og |T| = R M g hvor R er radius,
M massen af lodet og g tyngdeaccelerationen.
I analogi med Newton II F=ma=m dv/dt så er T=I dw/dt,
hvor w er rotationshastigheden.
Dvs. T dt = I dw eller integral[0:t] T dt = RMgt = I w(t)
Så måler du rotationshastigheden w(t), som funktion af tiden, så vil den
vokse linært med tiden og forholdet I=RMgt/w(t) er tidsuafhængigt.
Når lodet rammer jorden så har det afsat en energi Epot=Mgh til
julets rotation Erot= 0.5 I w^2(t') hvor t' er tiden hvor lodet
rammer jorden. (igen i analog til kinetisk energi 0.5 M v^2)
Epot=Erot => Mg h = 0.5 I w^2(t') så w(t') = sqrt( 2Mgh/I )
Min første ligning galdt for ethvert tidspunkt, også t' så
I = RMg t'/w(t') = RMg t'/sqrt(2Mgh/I) = R t' sqrt(I Mg) / sqrt(2h)
eller I = ( R t')^2 Mg/(2h)
En alternativ approach er at måle hvor lang tid t'', det tager
hulet at rotere N gange. Så er w=N/t'' og så bruge
I = 2 Mgh/w^2 = 2 Mgh (t''/N)^2.
--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://gauss.ffii.org softwarepatent database
Kasper Egebo
>
>
> Mvh
> Martin
Jeg takker og bukker for linket.
Ser ud til at være lige det jeg skal bruge.
Det bevæger sig dog lidt ud over mit folkeskole niveau, så hvis det er
muligt ville en smule forklaring være lækkert.
Martin Larsen
------------
Ses bort fra friktion fås accellerationen a til (M-m)g/(m+M+I/r²)
Er faldet for loddet s, gælder s=½at² og I=((M-m)gt²/(2s) - M - m)r²
hvor r er radius i hjulet og g er tyngden 9.81 m/s²
Mvh
Martin
Filip
Jens Harming
> julets rotation Erot= 0.5 I w^2(t') hvor t' er tiden hvor lodet
> rammer jorden. (igen i analog til kinetisk energi 0.5 M v^2)
>
> Epot=Erot => Mg h = 0.5 I w^2(t') så w(t') = sqrt( 2Mgh/I )
>
>
Glemmer du ikke at loddet også har en hastighed ved t' ??
Overser jeg noget i din fremstilling eller skal det ikke være Epot=Erot+Ekin
hvor Ekin er loddets bevægelsesenergi ved t' ??? ... hmmm
Hilsen
Jens
Kasper Egebo
Har dog stadig lidt svært ved at overskue formlerne.
I må meget gerne lige skrive efter formlen hvad de enkelte faktore er.
fx.
a * b = c
hvor:
a = Længde 1 [m]
b = Længde 2 [m]
c = Areal [m^2]
Vil i samme ombæring lige se om jeg kunne få styr på centrifugalkraft
også.
Har lidt på fornemmelsen at inertimoment og centrifugalkraft er tæt på
hinanden.
http://da.wikipedia.org/wiki/Centrifugalkraft
Hvis jeg fx svinger et lod rundt i en snor kan jeg så bestemme
centrifugalkraften ved hjælp af den sidstnævnte formel fra ovenstående
link?
Carsten Svaneborg
> Glemmer du ikke at loddet også har en hastighed ved t' ??
Ups. Det har du ret i. Den kinetiske energi af loddet
bliver til varme når det rammer, og er derfor tabt fra
den potentielle energi som hjulet tilføres.
Energi bevarelse i fald: Erot + Epot + Ekin = 0
Erot = 0.5 I w^2(t)
Epot = M g h(t)
Ekin = 0.5 M v^2(t)
men w og v er ikke uafhængige størrelser.
Hvis en snor er vundet op omkring hjulet, så vil der i tidsrummet
dt blive viklet dh = v(t) dt = d(theta)/2pi * 2pi R = w(t) dt R
længe snor af. Så v(t) = R w(t)
her er d(theta) rotations vinklen i radianer.
Efter loddet rammer jorden (t>=t'') så er Erot = Epot - Ekin
Dvs. Mg h - 0.5 M v^2 = 0.5 I w^2 = Mg h - 0.5 M R^2 w^2
så rotationshastigheden bliver sitedet w=sqrt( 2Mgh / (I + M R^2) )
Og indsættes i I=RMgt/w(t) = Rt sqrt(Mg/2h) sqrt( I + MR^2)
Kasper Egebo
Jeg prøver om jeg kan regne et eksempel igennem.
Jeg opsætter er cirkulært emne på en vandret akse i en højde af 1,5m.
Emnets masse er 1kg.
Emnets radius er 0,25m.
Et snor vikles omkring emnets omkreds et par gange og der monteres et
lod i enden med massen 0,25kg, hængende frit i en højde af 1m.
Loddet slippes og rammen jorden efter 2 sek.
> Energi bevarelse i fald: Erot + Epot + Ekin = 0
>
> Erot = 0.5 I w^2(t)
Kan ikke bestemmes ud fra ovenstående da w(vinkelhastigheden) ikke er
kendt.
> Epot = M g h(t)
Forstår jeg som: 1kg * 9,82m/s^2 * 1m = 9,82 Joule
> Ekin = 0.5 M v^2(t)
Kan heller ikke betemmes endnu, da hastigheden er ukendt.
> men w og v er ikke uafhængige størrelser.
>
> Hvis en snor er vundet op omkring hjulet, så vil der i tidsrummet
> dt blive viklet dh = v(t) dt = d(theta)/2pi * 2pi R = w(t) dt R
> længe snor af. Så v(t) = R w(t)
>
> her er d(theta) rotations vinklen i radianer.
>
> Efter loddet rammer jorden (t>=t'') så er Erot = Epot - Ekin
> Dvs. Mg h - 0.5 M v^2 = 0.5 I w^2 = Mg h - 0.5 M R^2 w^2
>
> så rotationshastigheden bliver sitedet w=sqrt( 2Mgh / (I + M R^2) )
>
> Og indsættes i I=RMgt/w(t) = Rt sqrt(Mg/2h) sqrt( I + MR^2)
Ingen her er w ikke fundet.
Går ud fra det bare er mig, så håber der er lidt hjælp.
mvh
Kasper Egebo
Carsten Svaneborg
> Jeg prøver om jeg kan regne et eksempel igennem.
God idee.
> Jeg opsætter er cirkulært emne på en vandret akse i en højde af 1,5m.
> Emnets masse er 1kg.
> Emnets radius er 0,25m.
Med mine symboler
h=1.5m
m=1kg
R=0.35m
Du mangler nu at måle tiden, det tager for lodet rammer jorden t.
Du kan se at du må have en tid et sted, fordi tyngdeaccelerationen
g indgår i løsningen, og g har dimension m/s^2. Inertimomentet har
dimension kg m^2 så et sted i ligningen må der være en ekstra tids
parameter med dimension s for ellers kan du ikke få den rigtige enhed.
>> Og indsættes i I=RMgt/w(t) = Rt sqrt(Mg/2h) sqrt( I + MR^2)
Se på det andet lighedstegn.
I = Rt sqrt(Mg/2h) sqrt( I + MR^2)
Der er nu kun en ukendt tilbage I. Tag kvadrat på begge sider
I^2 = (Rt)^2 Mg/(2h) (I+MR^2)
I^2 - (Rt)^2 Mg/(2h) I - R^4 t^2 M^2 g/(2h) = 0
Så I finder du ved at løse ovenstående andengradsligning.
Hmm. Hvordan er det nu man gør det?
Andengrads ligning:
I^2-aI-b=0 med a=(Rt)^2 Mg/(2h) og b=R^4 t^2 M^2 g/(2h)
Det er mere praktisk at skrive den på formen:
(I-c)^2-d = 0
Løsning til denne er I1=c+sqrt(d) og I2=c-sqrt(d)
Men (I-c)^2-d = I^2-2cI+(c^2-d) sammenlign med I^2-aI-b=0,
så relationen mellem c,d og a,b er
2c = a => c=a/2
c^2-d = -b => d=c^2+b = a^2/4+b
Løsningerne er derfor udtrykt ved a,b:
I1=a/2+sqrt(a^2/4 +b) og
I2=a/2-sqrt(a^2/4 +b)
Det ville være kedeligt hvis problemet har to løsninger, men det
er ikke tilfældet, da a^2/4 + b > (a/2)^2 så vil sqrt(a^2/4+b)>a/2
og derfor er I2<0 og derfor altid en ufysisk løsning. Den fysiske
løsning for inertimomentet er givet ved I1.
Så når du har målt t, kan du sætte ind og finde a og b.
(a har dimension kg m^2 og b kg^2 m^4) og så sætte disse ind og
finde I1, og så er du færdig.
Måske ikke hey-presto men en løsning none-the-less.
Jens Harming
"Kasper Egebo" <kasper...@hotmail.com> skrev i en meddelelse
news:1188865461....@22g2000hsm.googlegroups.com...
On 4 Sep., 00:23, Carsten Svaneborg <dead...@zqex.dk> wrote:
Jeg prøver om jeg kan regne et eksempel igennem.
Jeg opsætter er cirkulært emne på en vandret akse i en højde af 1,5m.
Emnets masse er 1kg.
Emnets radius er 0,25m.
Et snor vikles omkring emnets omkreds et par gange og der monteres et
lod i enden med massen 0,25kg, hængende frit i en højde af 1m.
Loddet slippes og rammen jorden efter 2 sek.
> Energi bevarelse i fald: Erot + Epot + Ekin = 0
>
> Erot = 0.5 I w^2(t)
Kan ikke bestemmes ud fra ovenstående da w(vinkelhastigheden) ikke er
kendt.
hmmmm ..... kan man ikke benytte sig af at:
s=½at² , s=1 m, t= 2 s hvilket medfører at a (loddets accelleration) er
½.m/s². Dette medfører igen at loddets hastighed når det rammer jorden er 1
m/s. Periferihastigheden for emnet er da også 1 m/s og så kan
vinkelhastighed beregnes.
I ligningen mgh=½mv² + ½Iw² er det nu kun I der er ukendt.
Oplysningen om at emnets masse er 1 kg er overflødig. Derimod er kendskab
til loddets masse uundværlig.
Hilsen
Jens
Carsten Svaneborg
> hmmmm ..... kan man ikke benytte sig af at:
> s=½at² , s=1 m, t= 2 s hvilket medfører at a (loddets accelleration) er
> ½.m/s²
Hvis objektet er meget tungt, så vil det tage meget længerer før
loddet rammer jorden end for et let objekt. Dvs. at faldtiden er
afhængig af inertimomentet.
Det er kompliceret. Kraften på lodet er F=Mg denne kraft angriber
emnet i en afstand R fra rotationsaksen så kraft momentet er
T=I dw/dt = R F = RMg
Samtidigt gælder Rw(t) = v(t) som relaterer rotationshastigheden
til lodets faldhastighed
dw = RMg/I * dt
dw = dv/R
Så dv(t)=R^2 Mg/I dt så den kan integreres til v(t) = R^2 M g t/I
så er h(t)= R^2 M g t^2/(2I)
Alternativt hvis h(t)=h2 så er faldtiden t= sqrt( 2I h2 /[R^2 M g] )
> Oplysningen om at emnets masse er 1 kg er overflødig. Derimod er kendskab
> til loddets masse uundværlig.
Yeps.
Jens Harming
"Carsten Svaneborg" <dea...@zqex.dk> skrev i en meddelelse
news:nb73r4-...@zqex.dk...
> Jens Harming wrote:
>> hmmmm ..... kan man ikke benytte sig af at:
>> s=½at² , s=1 m, t= 2 s hvilket medfører at a (loddets accelleration) er
>> ½.m/s²
>
> Hvis objektet er meget tungt, så vil det tage meget længerer før
> loddet rammer jorden end for et let objekt. Dvs. at faldtiden er
> afhængig af inertimomentet.
Helt rigtigt, men faldtiden er her en målt størrelse så inertimoment
betragter jeg som afhængig variabel.
> Det er kompliceret. Kraften på lodet er F=Mg denne kraft angriber
> emnet i en afstand R fra rotationsaksen så kraft momentet er
> T=I dw/dt = R F = RMg
Hmmmm ... du ser ud til at glemme at F bruges til både at accellerere lod og
sætte objekt i rotation
Mener stadig det er nemmest at benytte sig af at M*g*h=½*M*v² + ½*I*w² hvor
M: loddets masse
h: loddets faldhøjde
t: loddets faldtid
w: vinkelhastighed på objekt
I: inertimoment (den ubekendte)
Når faldtid og højde er kendt kan loddets accelleration og hastighed, v,
bestemmes. Ud fra periferihastighed og radius kan w bestemmes. Og så er I
eneste ubekendte i ligningen og kan bestemmes.
Ok ... det er nok et spørgsmål om vane .... jeg foretrækker personligt at
bruge de simple gundligninger i mekanikken. Andre foretrækker
differentialligninger og sådan noget ( hehe).
Hilsen
Jens