Antikkens problemer
Jesper Stocholm
Vi er kommet til at diskutere nogle af antikkens problemer, Jeg mener at
bl.a. cirklens kvadratur og vinklens tredeling stadig er uløste, men jeg er
kommet en del i modvind over dette. Har jeg ret, eller er jeg galt på den.
Er der andre af disse problemer - og her tænker jeg ikke på Fermats sætning
m.m ?
Mht de første to, kunne jeg godt tænke mig at vide hvilket remedier man må
bruge til at løse problemerne (passer og lineal)
IEsper
--
=============================================
Email : stoc...@pop.k-net.dk
Homepage : http://www.pop.k-net.dk/homepage/n/taz/
Utopia or dystopia - you tell me ...
Guggi Kofod
Jesper Stocholm wrote:
>
> Vi er kommet til at diskutere nogle af antikkens problemer, Jeg mener at
> bl.a. cirklens kvadratur og vinklens tredeling stadig er uløste, men jeg er
> kommet en del i modvind over dette. Har jeg ret, eller er jeg galt på den.
> Er der andre af disse problemer - og her tænker jeg ikke på Fermats sætning
> m.m ?
Efter hvad jeg har læst i et gammelt Kvant[1], er cirklens kvadratur
PRINCIPIELT uløselig, og det bygger på at pi er et irrationelt tal. Så
faktisk er cirklens kvadratur løst, ved at man har fundet ud af at det
er uløseligt. Det er da også noget.
Jeg tror opgaven går ud på at konstruere et kvadrat, som har det samme
areal som en cirkel. Om man må bruge passer eller/og lineal hved jeg
ikke.
Fermats sætning skulle være løst, i hvert fald i anden ombæring. I
første omgang var der vidst en fejl i det 1000 sider lange bevis, men
den fik Wiles løst.
Guggi
[1] Jeg kan ikke huske hvilket, men det er i hvert fald Mogens Esrom
Larsen der har skrevet (som altid når det er matematik).
Jonas Kongslund
On Fri, 10 Apr 1998 13:39:22 +0200, "Jesper Stocholm"
<stoc...@pop.k-net.dk> wrote:
>[...] Jeg mener at
>bl.a. cirklens kvadratur og vinklens tredeling stadig er uløste, men jeg er
>kommet en del i modvind over dette.
Gauss viste at det ikke er muligt at tredele en vilkårlig vinkel kun
ved brug af passer og lineal.
--
Med venlig hilsen
Jonas Kongslund
kong...@iname.com
Ukendt: "I have made up my mind, please don't confuse me with facts."
Jonas Kongslund
On Fri, 10 Apr 1998 15:47:59 +0200, Guggi Kofod
<gu...@SPAEK.fys.ku.dk> wrote:
>Fermats sætning [...]
Hvis der er nogen som har lyst til lidt spændende læsning, så kan jeg
varmt anbefale "Fermats store sætning" af Simon Singh (ISBN
80-00-31406-4).
For at citere noget af bogens omslag:
"Simon Singh beskriver ikke kun dette utrolige og sensationelle stykke
videnskabshistorie fra vor egen tid, men leverer også en fængslende
beretning om matematikkens historie. Fermats Store Sætning er en bog
om mennesker slid og stræben, uden andre motiver end den rene trang
til at forstå - skrevet levende og forståeligt uden tekniske
vendinger."
Martin Larsen
Jesper Stocholm <stoc...@pop.k-net.dk> skrev i artiklen <352e0...@news.k-net.dk>...
> Vi er kommet til at diskutere nogle af antikkens problemer, Jeg mener at
> bl.a. cirklens kvadratur og vinklens tredeling stadig er uløste, men jeg er
> kommet en del i modvind over dette. Har jeg ret, eller er jeg galt på den.
> Er der andre af disse problemer - og her tænker jeg ikke på Fermats sætning
> m.m ?
>
> Mht de første to, kunne jeg godt tænke mig at vide hvilket remedier man må
> bruge til at løse problemerne (passer og lineal)
Ja.
Fordi pi er _trancendent_ kan kvadraturet ikke løses.
Gauss' sætning viser at følgende n-kanter kan konstrueres:
n=2^r * p1 * p2 ... ps
hvor de parvis forskellige primtal er Fermat tal (2^2^h+1).
De fem første er 3,5,17,257,65537 - om der findes flere er
vist uvist. (Vinklens 3-deling er altså ikke mulig).
Fermats bevis for om ligningen a^n + b^n = c^n ikke har løsninger
for n>2 er først vist for relativt nylig, og det er ret tvivlsomt om Fermat
havde et bevis.
Mvh
Martin
Bertel Lund Hansen
Jesper Stocholm skrev:
>Vi er kommet til at diskutere nogle af antikkens problemer, Jeg mener at
>bl.a. cirklens kvadratur og vinklens tredeling stadig er uløste,
Ikke nok med det. Det kan bevises, at de er uløselige.
>Mht de første to, kunne jeg godt tænke mig at vide hvilket remedier man må
>bruge til at løse problemerne (passer og lineal)
Netop - det er dog tilladt at supplere med en blyant.
--
Venlig hilsen, Bertel
wilstrup
Bertel Lund Hansen skrev i meddelelsen
<3536762d...@news.image.dk>...
>Jesper Stocholm skrev:
>
>>Vi er kommet til at diskutere nogle af antikkens problemer,
Jeg mener at
>>bl.a. cirklens kvadratur og vinklens tredeling stadig er
uløste,
>
>Ikke nok med det. Det kan bevises, at de er uløselige.
>
Kunne du ikke tænke dig at vise os det bevis? :-)
(rolig, nu -jeg er såmænd blot nysgerrig!)
Med venlig hilsen - Best Wishes
Arne H. Wilstrup
Jakob Stoklund Olesen
wilstrup <w...@image.dk> wrote:
> Bertel Lund Hansen skrev i meddelelsen
> <3536762d...@news.image.dk>...
> >Jesper Stocholm skrev:
> > >Vi er kommet til at diskutere nogle af antikkens problemer, Jeg mener
> > >at bl.a. cirklens kvadratur og vinklens tredeling stadig er uløste,
> >Ikke nok med det. Det kan bevises, at de er uløselige.
> Kunne du ikke tænke dig at vise os det bevis? :-)
Nu hedder jeg ikke Bertel, men jeg har lige læst mit algebrapensum om
Galoisteori.
Først `spillereglerne' for passer-og-lineal konstruktioner:
Et punkt kan konstrueres hvis og kun hvis det er et skæringspunkt mellem to
linier, to cirkler eller en linie og en cirkel.
En linie kan tegnes som linien der går gennem to punkter. (Linier er
uendelig lange i begge ender)
En cirkel kan tegnes med centrum i et punkt og et andet punkt på
periferien.
Det er altså snyd at bruge linealen eller passeren til at måle med, og man
må heller ikke tegne tangenter til cirkler osv.
Det er naturligvis en rekursiv definition, så for at komme nogen vegne er
man nødt til at starte med to vilkårlige punkter.
Galoisteori handler om legemer og deres udvidelser. Her kan vi nøjes med
dellegemer af C, de komplekse tal, dvs delmængder af C, som er lukkede
under de fire regningsarter +,-,*,/. Eksempler er Q, R (men ikke Z, N).
Vi tænker på papiret som den komplekse plan, hvor de to punkter vi starter
med er 0 og 1. Linien gennem 0 og 1 bliver så den reelle akse og cirklen
gennem 0 med radius ud til 1 bliver then complekse enhedscirkel.
Nu bliver ligningen for cirklen med centrum a og b på periferien
|z-a|^2 = |a-b|^2 ==> (z-a)(~z-~a)-(a-b)(~a-~b) = 0
(~ betegner kompleks konjugation, ~(x+iy) = x-iy )
Linien gennem c og d har ligningen
(z-c) ~(d-c) = ~(z-c) (d-c)
Ved at kombinere disse ligninger finder man at et skæringspunkt mellem
linien og cirklen er rod i et monisk andengradspolynomium
x^2 + Bx + A = 0
Hvor A og B er konstanter dannet af de oprindelige punkter og rationelle
tal.
Det samme gælder for skæringen mellem to linier eller to cirkler
Lad os nu se på mængden at punkter, som kan konstrueres. Det er nemt at se
at alle de rationelle tal (Q) kan konstrueres. Alle andre punkter
fremkommer som rødder til andengradsligninger med koefficienter, som
allerede er konstrueret. Specielt kan man kun konstruere algebraiske tal,
dvs tal som er rod i et rationelt polynomium.
Lad os nu se på de oprindelige problemer.
Cirklens kvadratur: Lav et kvadrat med samme areal som en givet cirkel.
Vi kan WLOG (without loss of generality) antage at cirklen har centrum i 0
og raduis en. Vi skal så lave et kvadrat med sidelængden kvadratrod pi. Men
kvadratrod pi er transcendental (dvs ikke algebraisk), så det kan ikke
konstrueres, og dermed kan man heller ikke lave et kvadrat med den
sidelængde.
Vinklens tredeling: Lav en vinkel der er en tredjedel af en givet vinkel.
Man kan ikke lave en vinkel på pi/9 (20°), dvs man kan ikke tredele en
vinkel på pi/3 (60°). Et modstridsbevis:
Hvis vi har lavet en vinkel på pi/9, så kan vi også lave tallet cos(pi/9)
ved at projicere et punkt på den ene del af vinklen ned på den anden del.
Vi har formlen
cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)
Da cos(pi/3) = 1/2 har vi altså konstrueret en rod, R=2cos(pi/9) i
polynomiet
x^3 - 3x - 1 = 0
Det er et algebraisk (hel-)tal, så vi kan ikke bruge argumentet fra før. I
stedet kan man med Galiosteori sige, at legemsudvidelsen Q -> Q[R] har grad
3, og det betyder at R ikke kan konstrueres da man kun kan konstruere
udvidelser af lige grad. (Som rødder i andengradspolynomier).
Kubens fordobling: Lav en kube med det dobbelte volumen af en givet kube.
Dette svarer til at konstruere kubikrod 2, om sidelængde. Dette tal er rod
i ligningen
x^3 - 2 = 0
Som er et irredicibelt polynomium over Q. Som før får man en udvidelse af
grad 3, som altså ikke er lovligt.
Gauß' sætning, som Martin fortalte om kan også vises på tilsvarende måde.
Den regulær n-kant kan konstrueres hvis og kun hvis
n=2^s p1 p2 ... pn
Hvor p1, ... , pn er Fermat primtal
Jeg ved godt, at alt det her ikke giver særlig meget mening hvis man ikke
har set det før, men det skulle give en ide om hvad der foregår.
Galoisteori er temmelig kompliceret, så I skal være glade for at blive
sparet for det.
/stoklund
--
Jakob Stoklund Olesen, PGP nøgle-ID: 0x4f06279d
Studerende ved Matematisk institut, Århus Universitet
http://www.mi.aau.dk/~stoklund/
Bo Warming
In article <352e0...@news.k-net.dk>, stoc...@pop.k-net.dk says...
> Vi er kommet til at diskutere nogle af antikkens problemer, Jeg mener at
> kommet en del i modvind over dette. Har jeg ret, eller er jeg galt på den.
> Er der andre af disse problemer - og her tænker jeg ikke på Fermats sætning
> m.m ?
>
> bruge til at løse problemerne (passer og lineal)
>
kvadraturberegne.
Og Fermat er da ren juleleg.
Hvordan er dette beskæftigelsesterapi blevet så opreklameret ?
Vandhjul og krigsmakiner, blider m.m. var antikkens problemer.
Og guldvægtfyldeberegning.
Kom destillation fra Kina ?
Jonas Kongslund
>Galoisteori handler om legemer og deres udvidelser. Her kan vi nøjes med
>dellegemer af C, de komplekse tal, dvs delmængder af C, som er lukkede
>under de fire regningsarter +,-,*,/. Eksempler er Q, R (men ikke Z, N).
Hvad menes der med at delmængderne er lukkede under de fire
regningsarter?
Kunne du ikke forklare lidt mere om legemer og gruppeteori?
>Galoisteori er temmelig kompliceret, så I skal være glade for at blive
>sparet for det.
Det skyldes at Galois aldrig var særlig god til at lave
mellemregninger. Af samme årsag dumpede han flere gange til
optagelseprøve på en eller anden form for polyteknisk anstalt. Den
allersidste gang han dumpede blev han så sur at han fyrede et kridt
ind i hovedet på censor.
Torben Simonsen
Jonas Kongslund wrote:
>
[snip]
> Det skyldes at Galois aldrig var særlig god til at lave
> mellemregninger. Af samme årsag dumpede han flere gange til
> optagelseprøve på en eller anden form for polyteknisk anstalt. Den
> allersidste gang han dumpede blev han så sur at han fyrede et kridt
> ind i hovedet på censor.
Galois - var det ikke også ham, der døde meget ung i en eller anden
fjollet duel - eller forveksler jeg ham med en anden?
-- Torben.
--
|| Torben Simonsen | Let your spirit | mailto:s...@isa.dknet.dk ||
|| Fredericiagade 6 | stay unbroken, may | http://isa.dknet.dk/~sim ||
|| DK-9000 Aalborg | you not be deterred | phone: +45 9812 0830 ||
|| Denmark. | - Peter Gabriel | mobile: +45 4027 6331 ||
Per Erik Rønne
Torben Simonsen <s...@isa.dknet.dk> wrote:
> Galois - var det ikke også ham, der døde meget ung i en eller anden
> fjollet duel - eller forveksler jeg ham med en anden?
Groliers Electronic Encyclopaedia:
"Galois, Evariste
{gahl-wah', ay-vah-reest'}
Evariste Galois, a Frenchman, b. Oct. 25, 1811, d. May 31, 1832, made
significant contributions to several branches of mathematics, including
algebra, number theory, and group theory. In 1829 he published his
first paper on continued fractions, followed by a paper that dealt with
the impossibility of solving the general quintic (fifth-degree) EQUATION
by algebraic means alone. This led to Galois theory, a branch of
mathematics dealing with the general solution of equations. Galois was
killed in a duel.
Arthur Schlissel"
--
Per Erik Rønne
E-mail: xer...@diku.edu.dk
Homepage: http://www.diku.dk/students/xerxes
Remove '.edu' before e-mail [anti-spam]
Jesper Stocholm
Torben Simonsen wrote in message <35315B3F...@isa.dknet.dk>...
>> optagelseprøve på en eller anden form for polyteknisk anstalt. Den
det var ikke "en eller anden" polyteknisk læreanstalt ... det var Ecole
Polytechnique i Paris (jeg er ikke sikker på stavemåden).
Jeg har også hørt om "myterne" omkring Galois. Efter sigende var han et
ualmindeligt matematisk geni. Han lavede nogle matematiske beviser (jeg kan
ikke huske hvilke) som han sendte til Gauss ... der dog smed dem væk. Det
forholdt sig endda så uheldigt, at han blev anklaget for at have kigget på
en eller andens kone (måske Gauss' ???) og blev udfordret til duel på døden.
Natten inden sad han så i sin celle og nedskrev de formler som Gauss havde
smidt ud.
Nuvel ... det er jo bare myter, og han døde ganske sikkert af et eller andet
almindeligt på den tid, fx syfilis :o) !
Jesper
>
>Galois - var det ikke også ham, der døde meget ung i en eller anden
>fjollet duel - eller forveksler jeg ham med en anden?
>
Jakob Stoklund Olesen
In article <35353beb....@news.inet.tele.dk>,
Jonas Kongslund <gn...@post8.tele.dk> wrote:
> On Sat, 11 Apr 1998 15:44:14 +0200, Jakob Stoklund Olesen
> <stok...@mi.aau.dk> wrote:
> >Galoisteori handler om legemer og deres udvidelser. Her kan vi nøjes
> >med dellegemer af C, de komplekse tal, dvs delmængder af C, som er
> >lukkede under de fire regningsarter +,-,*,/. Eksempler er Q, R (men
> >ikke Z, N).
> Hvad menes der med at delmængderne er lukkede under de fire
> regningsarter?
Det betyder, at man `bliver indenfor mængden' når man regner med tal fra
den. Hvis F er et dellegeme af C og a,b i F har man altså at a+b, a-b og
a*b også ligger i F. Hvis b ikke er nul også a/b.
> Kunne du ikke forklare lidt mere om legemer og gruppeteori?
Gruppeteori er et eksempel på det vigtigste værktøj i moderne matematik,
abstraktion. Hvis man har to forskellige ting, som på en eller anden måde
opfører sig ens, så prøver man at lave en teori for det de har til fælles.
En gruppe består af en mængde G og en komposition #: G x G --> G, som
opfylder følgende aksiomer:
1) Der findes et element, e, så a#e = e#a = a for alle a i G. e kaldes det
neutrale element.
2) For alle a,b,c i G gælder (a#b)#c = a#(b#c). Den associative lov.
3) For alle a i G findes et inverst element inv(a) så
a#inv(a) = e = inv(a)#a
Gruppen kaldes abelsk eller kommutativ hvis der også gælder
4) a#b = b#a for alle a,b i G
Det neutrale element er entydigt: hvis e' også virker som neutralt element
har vi:
e' = e#e' = e (brug først e som neutralt, så e')
Den inverse element er entydigt. Hvis a#b = e = b'#a har vi
a#b = e ==> b'#(a#b) = b'#e ==> (b'#a)#b = b' ==> e#b = b'
==> b = b'
En delmængde H af G kaldes en undergruppe af G hvis den selv er en gruppe
med kompositionen fra G. dvs
0) a#b er i H for alle a,b i H. Ellers er # ikke en komposition på H.
1) e er i H
2) [altid opfyldt]
3) inv(a) er i H for alle a i H
Opgave: Vis at H er en undergruppe af G hvis og kun hvis H ikke er tom og
a#inv(b) er i H for alle a,b i H.
Gruppebegrebet er en abstraktion af utrolig mange ting. Nogle eksempler:
*) Z, Q, R, C er abelske grupper mht. addition. a#b = a+b, e=0, inv(a) =
-a. Z er en undergruppe af Q, Q af R og R af C.
*) nZ = `n-tabellen' er en undergruppe af Z mht addition.
*) Q+, R+, C+ er abelske grupper mht multiplikation, a#b=a*b, e=1, inv(a) =
1/a. Z+ = N er ikke en gruppe, da der ikke findes inverse elementer.
*) Permutationerne af en mængde (dvs bijektive funktioner M --> M) danner
en gruppe med identitetsafbildningen som neutralt element og sammensætning
af funktioner som komposition. Dvs (f#g)(x) = f(g(x)). Denne gruppe er
normalt ikke abelsk. Hvis M har n elementer får permutationsgruppen n!
elementer, og gruppen kaldes for den symmetriske gruppe (S_n eller Sigma_n)
*) Isometrier af planen, dvs translationer, rotationer, spejlinger og deres
sammensætninger. Denne gruppe er en undergruppe af planens
permutationsgruppe. Mængden af rotationer er en undergruppe ligesom mængden
af translationer er det. Hvis man sammensætter to spejlinger får man en
rotation, så mængden af spejlinger er ikke en undergruppe.
*) Diedergrupper. Mængden af spejlinger og rotationer, som flytter en
regulær n-kant over i sig selv har 2n elementer.
*) Matrixgrupper. De invertible n x n matricer ( GL_n(R) ) danner en gruppe
med matrixmultiplikation som komposition. Fysikere ynder at snakke om
undergrupper heraf.
*) Z/nZ = Z_n. Hvis man identificerer restklasser modulo n får man stadig
en gruppe mht. addition. Hvis n er et primtal, og man fjerner 0 får man
også en gruppe mht. multiplikation.
Man kan vise mange ting om grupper, udelukkende ved at bruge aksiomerne, og
det man viser gælder så for alle mængder, som opfylder gruppeaksiomerne.
Det er dog mest endelige grupper, som giver spændende resultater, og hvis
man vil videre skal vi bruge noget mere struktur, eller flere aksiomer.
Man kan lave et vektorrum, som er en abelsk gruppe hvor man også kan
skalere elementerne.
Man kan lave en topologisk gruppe, hvor man giver betydning til begrebet
åbne og lukkede delmængder, og dermed til kontinuerte funktioner osv.
Man kan indføre en ekstra komposition, og dermed få en ring:
En ring, R, er en abelsk gruppe med kompositon +. [Man plejer at skrive
kompositionen i abelske grupper som + og det neutrale element som 0. Det
betyder ikke nødvendigvis at vi snakker om tal her.]
Desuden har man endnu en komposition, * : R x R --> R, som opfylder
1) Der findes et neutralt element 1, så 1*a = a*1 = a for alle a
2) Den associative lov gælder for *: a*(b*c) = (a*b)*c
3) Den distributive lov:
fra venstre: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)
fra højre: (a+b)*c = (a*c) + (b*c)
Ringen kaldes kommutativ hvis der gælder
4) a*b = b*a. [ a+b = b+a skal altid gælde]
Vi har altså næsten en gruppe mht. *, men ikke helt, der mangler et inverst
element. Den kan man ikke indføre generelt pga. den distributive lov:
0*a = (0+0)*a = 0*a + 0*a ==>
0*a - 0*a = 0*a + 0*a - 0*a = 0*a ==>
0*a = 0
Så man kan altså ikke finde et inverst element til 0, fordi
a = 1*a = (inv(0)*0)*a = inv(0)*(0*a) = inv(0)*0 = 1 (eller 0)
Hvis der findes et inverst element til alle elementer undtagen 0 kaldes
ringen for en divisionsring. En kommutativ divisionsring kaldes et legeme.
Hvis man fjerner 0-elementet fra et legeme får man en gruppe mht. *
Nu kommer de fleste eksempler til at være med tal:
*) Z, Q, R, C er alle kommutative ringe. Q, R, C er legemer.
*) Z+, Q+, R+ er kommutative ringe hvis man tager 0 med.
*) Mængden af n x n matricer danner en ring med matrixmultiplikation som *.
Denne ring er ikke kommutativ.
*) Z/nZ = Z_n er en endelig kommutativ ring. Det bliver et legeme hvis og
kun hvis n er et primtal. Det kan vises, at alle endelige legemer har p^n
elementer for p et primtal, og de vil indeholde Z/pZ som dellegeme.
*) Formelle polynomier på formen a_nX^n + a_(n-1) X^(n-1) + ... a_1X + a_0
hvor a_i'erne er elementer fra en (kommutativ) ring danner igen en
(kommutativ) ring.
*) Mængden af funktioner f: M --> R, hvor R er en ring danner igen en ring.
Læg mærke til forskellen på et formelt polymium og et polynomium betragtet
som funktion. Med ringen Z/2Z = {0,1} kan man lave polymoniet
p(X) = X^3 + X
Vi har p(0) = 0^3 + 0 = 0 og p(1) = 1^3 + 1 = 1 + 1 = 0, men p er ikke
nul-polymoniet, betragtet som formelt polynomium.
Q er som sagt et dellegeme af C. Man kan få meget interessant ud af at
studere de dellegemer der ligger imellem, dvs dellegemer af C, som
indeholder Q.
f.eks. Q[i] = {r + is | r, s er i Q} er et sådant, idet
1/(r+is) = (r-is)/(r^2+s^2) tilhører Q[i]
eller Q[sqrt(2)] = { r + s sqrt(2) | r, s fra Q } thi
1/(r+s sqrt(2)) = (r-s sqrt(2))/(r^2-2s^2) ligger i Q[sqrt(2)]
Bemærk at r^2-2s^2 ikke er nul, hvis det var ville (r/s)^2 = 2, men sqrt(2)
er ikke rationel.
Galoisteori handler om disse udvidelser og deres egenskaber. (Man kan også
lave Galoisteori om generelle legemsudvidelser, men det skal man ikke bruge
til geometriproblemerne).
Carsten Svaneborg
Jakob Stoklund Olesen wrote:
En ordentlig omgang algebra :*)
> *) Matrixgrupper. De invertible n x n matricer ( GL_n(R) ) danner en gruppe
> med matrixmultiplikation som komposition. Fysikere ynder at snakke om
> undergrupper heraf.
Disse grupper bruges til at beskrive symmetri egenskaber af felter,
og ordensparametre i systemer med faseovergange.
Mængden af orthogonale grupper kaldes O(N) og er matricer hvis
inverse matrix M^-1 er identiske med matricen selv transponeret M^t.
Mængden af unitære (komplekse) NxN matricer kaldes U(N), unitær
betyder at den inverse matrix er identisk med matrixen selv
tranposeret (spejlet i diagonalen, så det nederst venstre felt bliver
til det øverste højre felt) og kompleks konjugeret
(z=x+iy så er z*=x-iy den konjugerede).
Nogle eksempler:
O(1)=(I,-I) beskriver flip operationer, op<->ned
O(2) beskriver rotationer og spejlinger i 2D.
U(1) beskriver rotationer i det komplekseplan.
Ved at lime et S foran kaldes gruppen for Speciel og det er når
determinanten af alle matricer er =1, man kan derfor vise/indse
at SO(2)=U(1) med = menes der at grupperne er isomorphe, men i den
første er elementerne 2x2 matricer og i den anden et komplekst tal.
Tricket med disse grupper er at ethvert element kan skrives
M = exp(i sum_j a_j(M) T_j) (en Lie algebra)
(Her bruges definitionen exp(M)=sum_j M^j/j! )
Her er a_j(M) matricen M's "koordinater" i basen T_j.
Og T_j er et set af hermiteske matricer. Som opfylder
[T_a,T_b] = T_aT_b - T_bT_a = i Sum_c f(a,b,c) T_c
hvor f(a,b,c) er et sæt af konstanter.
Og T_a,T_b matricerne kan vælges så Trace(T_a T_b) = 1 hvis a=n
0 ellers.
0 i
F.x for O(2) er der en T og den er T= -i 0
1 -v
Altså fås M=exp(ivT) = v 1 til første orden, og dette er
netop en infinitimal rotations matrix. med resten skulle man
gerne få cos(v) -sin(v)
M= sin(v) cos(v)
Nå nok matematik og notation, og ligninger.
Det viser sig at griber man fat i Dirac ligningen, der er en
relativistisk kvantemekanisk beskrivelse af elektroner og
positroner (en generalisering af Schrödinger lign.), og
kræver at ligningen ikke skal ændre sig når man ganger feltet,
der beskriver elektroner og positroner (spin op/spin ned),
med et stedafhængigt element fra U(1), så får man på magisk
vis !^5 tryllet det elektromagnetiske felt frem, samt
feltets vekselvirkning med ladninger, man kunne sige at
valget af U(1) symmetrien giver Maxwell ligningerne.
Dette er en voldsom success, en ligning for elektroner og
positroner, en antagelse om en symmetri, og haps har man
de elektromagnetiske felt ligninger. Så man prøver igen
denne gang med et SU(3) color felt og Dirac ligningen, og
haps har man quarkernes vekselvirkninger (gluoner etc.), og
bruger man istedet U(1)XSU(2) får man svage og elektromagnetiske
vekselvirkninger.
Faktisk er antallet af gauge partikler identisk med antallet
af T_i'erne i den gruppe man bruger. Der er en i U(1),
derfor har vi kun en foton, 4 i U(1)xSU(2) derfor er der
i de svage vekselvirkninger en foton, og tre gauge bosoner
W+,W-,Z0. Der er 8 i SU(3) derfor er der 8 gluoner.
Alt i alt kan man åbenbart skrive de elektromagnetiske,
svage og stærke vekselvirkninger som gruppen SU(3)xSU(2)xU(1)
(standard modellen) idet denne gruppe beskriver transformations
egenskaberne ved de kendte partikler, dog efterlades spørgsmålet
om gravitationen, man kunne også spørge om det altid har været
denne gruppe, eller om tidligt efter big bang at der har været
en anden gruppe, der så er spontant symmetri brudt til overstående,
f.x kunne SU(5) symmetri bryde ned til ovenstående, SU(5) ville
så også beskrive overgange mellem leptoner og quarker, dog på
denne simple gruppe opgives pga. idet den forudsiget at protonen
har en levetid på ca. 10^31 år, men et sådan henfald er endnu
ikke observeret (og det er ikke så svært at samle nok
protoner til at man burde kunne måle nogle henfald i løbet af
et par år), så det er et åbent spøgsmål.
Foruden disse symmetri grupper i kvantefeltteori, findes også
grupper der beskriver rum og tids translation, der i klassisk
fysik giver ophav til impuls og energi bevarelse, rotatationser
der giver ophav angulært moment bevarelse, tids flip operationer,
der giver paritet, og endeligt lorentz transformationer
(Poincaré algebraen), der giver disses relativistiske
generalizationer.
Og faktisk er f.x generatoren for rum translation opererende ikke
i 3D, men i Hilbert rummet af bølgefunktioner, præcist operatoren
der repræsentere impuls momentet i kvantemekanik, tidstranslation
af hilbert rummet givet Hamilton operatoren der repræsentere
energi, osv. osv.
For translationer er det let, de kan taylor udvikles som
f(x+a)= f(x) + df(x)/dx a + d^2 f(x)/dx^2 a^2/2 + ..
= exp(ia (-i d/dx) ) f(x)
Og P=-i*d/dx er netop impuls operatoren i QM.
Så symmetrier har en ret essentiel betydning i fysik, og
siden at symmetrierne beskrives ved gruppe teori har dette
også en betydelig interesse.
--
from zqex Salespersons please use the backdoor \dev\null
**********************************************************************
* Darwinism or Christianity? *
* Well remember Christianity is only a theory *
**********************************************************************
* Homepage: http://www.fys.ku.dk/~zqex/c.cgi *
**********************************************************************
Maz H. Spork
gn...@post8.tele.dk (Jonas Kongslund) writes:
>For at citere noget af bogens omslag:
>"Simon Singh beskriver ikke kun dette utrolige og sensationelle stykke
>videnskabshistorie fra vor egen tid, men leverer også en fængslende
>beretning om matematikkens historie. Fermats Store Sætning er en bog
>om mennesker slid og stræben, uden andre motiver end den rene trang
>til at forstå - skrevet levende og forståeligt uden tekniske
>vendinger."
Så er det vist ikke noget for Bo Warming...
Mvh
Maz
Axel Hammerschmidt
On Sat, 11 Apr 1998 16:27:15 GMT, bowa...@bigfoot.com (Bo Warming)
wrote:
> In article <352e0...@news.k-net.dk>, stoc...@pop.k-net.dk says...
> > Vi er kommet til at diskutere nogle af antikkens problemer, Jeg mener at
> > bl.a. cirklens kvadratur og vinklens tredeling stadig er uløste, men jeg er
> > kommet en del i modvind over dette. Har jeg ret, eller er jeg galt på den.
> > Er der andre af disse problemer - og her tænker jeg ikke på Fermats sætning
> > m.m ?
> >
> > Mht de første to, kunne jeg godt tænke mig at vide hvilket remedier man må
> > bruge til at løse problemerne (passer og lineal)
> >
> Men der er jo gode teknologiske bl.a. klippe metoder til at tredele og
> kvadraturberegne.
> Og Fermat er da ren juleleg.
> Hvordan er dette beskæftigelsesterapi blevet så opreklameret ?
Hmm! Jesper Stocholm kunne med fordel læse bogen: Cirklens kvadratur,
Vinklens tredeling, Terningens fordobling, Fra oldtidens geometri til
moderne algebra af Jesper Lutzen, systime 1985.
Bogen er (dengang) skrevet bl.a. med henblik på det valgfrie emne på
gymnasiets matematiske-fysiske gren.
Jesper kunne også gøre lidt mer' ud af problemformuleringen, efter min
mening.
Axel.
Crypto Skills
https://cryptodigitalskills.com/product/bitcoin-hacking-tools/
The cryptocurrency-miner, a multi-component threat comprised of different Perl and Bash scripts, miner binaries, the application hider Xhide, and a scanner tool, propagates by scanning vulnerable machines and brute-forcing (primarily default) credentials.
Bitcoin hack, miners attempt to locate Bitcoin through solving complex mathematical problems. Blockchain could be the technology that the cryptocurrency is performed on. It is often a ledger that’s publicly distributed and records every Bitcoin transaction.
Are You in search of a sophisticated software that can hack through any Crypto currency Wallet ?
https://cryptodigitalskills.com/product/bitcoin-hacking-tools/
your all in one Bitcoin Hacking tools is now available kindly place your order today and get refunds of all stolen Funds instantly …
Once Your Order is Confirmed we are going to grant you unlimited access into our Premium Bitcoin Hacking tools.
https://cryptodigitalskills.com/product/bitcoin-hacking-tools/
https://cryptodigitalskills.com/product/buy-jasminer-x4/
https://cryptodigitalskills.com/product/hack-a-bitcoin-private-key/
https://cryptodigitalskills.com/product/bitcoin-mining/
https://cryptodigitalskills.com/product/recover-lost-btc-wallet/
Why do bitcoins get stolen?
Most security discrepancies in the cryptocurrency space can be attributed to individuals and websites not taking the correct precautionary measures. Stolen funds are usually the result of storing cryptocurrencies in places that are simply not secure.
For example, a “hot wallet” is any cryptocurrency wallet connected to the internet or “online” in some way. Hot wallets are either wallets on desktops or mobile devices as well as wallets hosted on exchanges without state-of-the-art security measures in place. A hot wallet may also refer to wallet private keys that are carelessly stored on a compromised, hackable device.
Stolen funds are usually the result of storing cryptocurrencies in places that are simply not secure.
The hack of Mt.Gox is probably the prime example of poor security and the biggest theft of cryptocurrencies. Mt. Gox was an exchange founded in Japan and redeployed into a Bitcoin Exchange in 2010. Owing to insufficient safety measures, hackers managed to steal more than 850,000 BTC. The hack of Mt. Gox is the largest hack since the emergence of Bitcoin and led to the bankruptcy of the exchange in 2014.
https://cryptodigitalskills.com/product/goldshell-hs-box/
https://cryptodigitalskills.com/product/recover-btc-private-key-hack/
https://cryptodigitalskills.com/product/make-watch-only-btc-becomes-spendable/
https://cryptodigitalskills.com/product/generate-btc-private-key/
https://cryptodigitalskills.com/product/purchase-goldshell-lb-box/
https://cryptodigitalskills.com/product/transfer-fake-btc/
https://cryptodigitalskills.com/product/goldshell-ck-box/
https://cryptodigitalskills.com/product/goldshell-x-ugwan-ugw800-pro/
https://cryptodigitalskills.com/product/bitcoin-hacking-tools/
https://cryptodigitalskills.com/product/purchase-whatsminer-m30s/
https://cryptodigitalskills.com/product/purchase-bitmain-antminer-s19j-90/
https://cryptodigitalskills.com/product/purchase-top-quality-antminer-l3/
https://cryptodigitalskills.com/product/training-young-hackers/
Order Crypto Wallet Cracker absolutely .
https://cryptodigitalskills.com/btc-softwares/
bitcoin-hacking
crypto-miner
free-bitcoin
free-btc
cryptohack
bitcoin-bruteforce
bitcoin-wallet-cracker
walletminer
btc-miner
btc-cracker
crypto-hack
crypto-free
bitcoin-wallet-recovery-tool
bitcoin-hacking-tools
bitcoin-hacking-free