Poliedros Pdf

[Alexia Borson]

Lospoliedros uniformes pueden ser regulares (si tambin son transitivos con respecto a caras y aristas), cuasirregulares (si son transitivos con respecto a sus aristas pero no con respecto a sus caras) o semirregulares (si no son transitivos de aristas ni de caras). No es necesario que la configuracin de caras y de vrtices sea convexa, por lo que muchos de los poliedros uniformes tambin son poliedros estrellados.

Los poliedros conjugados de los poliedros uniformes son figuras isoedrales (es decir, isodricas), presentan figuras de vrtice regulares, y generalmente se clasifican en paralelo con su poliedro dual (uniforme). El dual de un poliedro regular es regular, mientras que el dual de un slido de Arqumedes es un slido de Catalan.

Hay algunas generalizaciones del concepto de poliedro uniforme. Si se descarta el supuesto de conectividad, se obtienen slidos compuestos uniformes, que se pueden considerar como la unin de poliedros (como por ejemplo, el compuesto de 5 cubos). Si se deja de lado la condicin de que la configuracin del poliedro no sea degenerada, se obtienen los llamados poliedros uniformes degenerados, que requieren una definicin ms general del concepto de poliedro.Grnbaum (1994) dio una definicin bastante complicada de poliedro, mientras queMcMullen y Schulte (2002) dio una definicin ms simple y general: en su terminologa, un poliedro es un politopo abstracto bidimensional con una realizacin tridimensional no degenerada. Aqu, politopo abstracto es el conjunto de sus caras que satisfacen varias condiciones, una realizacin es una funcin desde sus vrtices a algn espacio, y la realizacin se llama no degenerada si dos caras distintas del politopo abstracto tienen realizaciones distintas.

Los poliedros uniformes convexos se pueden nombrar mediante operaciones de construccin de Wythoff sobre una forma regular. Para ms detalle, ms adelante se dan los poliedros uniformes convexos por su construccin de Wythoff dentro de cada grupo de simetra.

Dentro de la construccin de Wythoff, hay repeticiones creadas por formas de simetra ms baja. El cubo es un poliedro regular y un prisma cuadrado. El octaedro es un poliedro regular y un antiprisma triangular. El octaedro tambin es un tetraedro rectificado. Muchos poliedros se repiten a partir de diferentes fuentes de construccin y estn coloreados de manera diferente.

La construccin de Wythoff se aplica igualmente a poliedros uniformes y teselados uniformes en la superficie de una esfera, por lo que se dan imgenes de ambos. Los mosaicos esfricos incluyen el conjunto del hosoedro y del diedro, que son poliedros degenerados.

Junto con los prismas y su grupo diedral, el proceso de construccin esfrico de Wythoff agrega dos clases regulares que se degeneran como poliedros: el diedro y el hosoedro, el primero con solo dos caras, y el segundo con solo dos vrtices. El truncamiento del hosoedro regular crea los prismas.

(La esfera no se corta, solo se corta el teselado). (En una esfera, una arista es el arco de un crculo mximo, el camino ms corto, entre sus dos vrtices. Por lo tanto, un digno cuyos vrtices no estn opuestos polarmente es plano: parece una arista)

La simetra tetradrica est representada por un tringulo fundamental con un vrtice con dos simetras de reflexin y dos vrtices con tres simetras de reflexin, representado por el smbolo (3 3 2). Tambin puede estar representado por el grupo de Coxeter A2 o [3,3], as como por el diagrama de Coxeter-Dynkin: .

La simetra octadrica est representada por un tringulo fundamental (4 3 2) contando las reflexiones en cada vrtice. Tambin se puede representar con el grupo de Coxeter B2 o [4,3], as como con el diagrama de Coxeter-Dynkin: .

La simetra icosadrica est representada por un tringulo fundamental (5 3 2) contando las reflexiones en cada vrtice. Tambin se puede representar mediante el grupo de Coxeter G2 o [5,3], as como por un diagrama de Coxeter-Dynkin: .

El grupo diedral de la esfera genera dos conjuntos infinitos de poliedros uniformes (prismas y antiprismas,) y dos conjuntos infinitos ms de poliedros degenerados, el hosoedro y el diedro que existen como teselas en la esfera.

La simetra didrica o diedral est representada por un tringulo fundamental (p 2 2) contando las reflexiones en cada vrtice. Tambin puede estar representado por el grupo de Coxeter I2 (p) o [n, 2], as como por un diagrama de Coxeter-Dynkin prismtico: .

A continuacin se muestran las primeras cinco simetras didricas: D2 ... D6. La simetra diedral Dp tiene orden 4n, representa las caras de una bipirmide, y en la esfera como una lnea del ecuador y n lneas de longitud igualmente espaciadas.

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