1) problema del emulador
¿Comprobaste que realmente no se conecta internet usando el navegador que viene por defecto en el emu?
si no te permite navegar a ninguna página y si estas en windows revisa en la configuración del firewall, que no se este bloqueando el emulador y si hay antivirus desactivalo momentamente para ver si es uno de esos.
Sino podrías usar genymotion o bluestacks que ademas los vas a notar mas rápidos que los emus de google
2 archivos en rojo
los de los archivos que aparecen que no estan no te entendí, asumo que te remarca en rojo algunos archivos quizás por temas del análisis del código, y sin captura o log es muy difícil saber que pasa exactamente, podría ser errores de código, o que la maquina no tiene suficientes recursos y tarda en actualizar y quitar el resaltado, tenes que darle tiempo al análisis inicial a que finalice y observar los logs de A. Studio para encontrar una pista. Cuando se abre el proyecto en la barra de status te indica en comienzo del análisis del proyecto esto lleva su tiempo y conviene esperar a que termine completamente antes de empezara codificar, si no termina nunca es porque la maquina no tiene recursos o bien hay un problema en instalación de A. Studio. Me ha pasado alguna que otra vez que se arruina algo en la instalación de A. studio (la mayoría de las veces después alguna actualización del mismo) y al no poder haberlo arreglado opte por salvar los proyectos y borrar y re-instalar A studio de cero pero esto la verdad es la ultima opción a tomar