Inwiefern existieren Zahlen (und deren Gesetze)?

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Wolfgang G. G.

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Nov 20, 2001, 9:33:05 AM11/20/01
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Die Antwort ist einfach: Zahlen existieren so konkret wie Tierarten.
Die Zahl 'drei' existiert in derselben Weise wie die Tierart
'Mensch', (mit dem Unterschied, dass Tierarten nur aposteriori bzw.
empirisch, Zahlen hingegen auch apriori gegeben sind.)

Der spöttischen Frage "ist dir schon einmal eine Drei über den Weg
gelaufen?" kann somit mit der Gegenfrage "ist dir schon einmal ein
'Mensch' über den Weg gelaufen?" entgegnet werden.

Über den Weg laufen uns:

- konkrete Menschen und konkrete Dreiergruppen
- konkrete Worte, Zeichen, Zeichnungen: "Mensch", "drei", "3", ...

Nicht über Weg laufen uns:

- Die abstrakten Begriffe (Universalien) 'Mensch' und 'drei'


Die Aussagen "Der Mensch und der Schimpanse haben einen gemeinsamen
Vorfahren" und "2 + 3 = 5" sind somit analog, wobei wir uns Welten
vorstellen können, in denen die erste Aussage nicht gilt, nicht
jedoch Welten, in denen die zweite nicht gilt.


Auszug aus "Physik und Erkenntnistheorie":

"Die mathematische Aussage '7 * 7 = 49' ist Teil der Sprache und
sagt aus: 7 Gruppen zu 7 Einheiten lassen sich immer als 49
Einheiten auffassen. Bei '49' handelt es sich um einen Begriff,
der nicht einfach durch Abstraktion, sondern schematisch
gebildet wird, wobei die Zehnerpotenzen als Basis dienen: Da
sich 49 Einheiten als 4 Gruppen zu 10 Einheiten plus 9 Einheiten
auffassen lassen, benutzt man die Ziffernfolge '49', um
auszudrücken, was auch durch '6 * 8 + 1' gegeben ist.
Schematische Begriffsbildung ist elegant und effizient und
wird in zukünftigen Plansprachen vorherrschen.

Der Begriff '>' lässt sich durch Abstraktion aus paarweisen
Vergleichen bilden. Die Aussage 'Aus A > B und B > C folgt A > C'
ist dann ein synthetisches Urteil apriori. Synthetisch, weil die
Begriffsbildung von '>' nur auf Vergleichen von jeweils zwei
Objekten basiert und hier drei Objekte vorkommen, und apriori,
weil die Aussage nicht empirisch widerlegbar ist, sondern aus
dem abstrakten Begriff (und nicht dem konkreten Zeichen) '>'
folgt. Die Aussage ist somit logisch (d.h. vernünftig), aber
unabhängig von einer axiomatisch-formalen Logik. In solchen
Logiken kommt eine analoge Aussage als konkrete Zeichenfolge
vor. Aber wenn man die Gültigkeit der Aussage mit so einer
Logik begründet, verwechselt man Ursache und Folge. Es lässt
sich ja auch eine Logik konstruieren, in der die Aussage 'Ein
Mond umkreist die Erde' ableitbar ist, z.B. indem man ein
entsprechendes Axiom einführt. Hier ist es offensichtlich
absurd, die Tatsache, dass ein Mond die Erde umkreist, mit
dieser Logik zu begründen."
http://members.lol.li/twostone/a5.html


Die Geschichte der "modernen" Mathematik:

- Normale Begriffsbildung hat zu den Zahlen geführt.
- Die Gesetze der Zahlen ergeben sich auf der Basis der reinen
Anschauung/Vorstellung bei Bildung vernünftiger Begriffe
(wie z.B. 'Primzahl', 'rationale Zahl', '>').
- Zahlengesetze wurden während Jahrtausenden aus der
Erfahrung/Anschauung/Vorstellung abgeleitet und danach als
Axiome, Postulate usw. kodifiziert.
- Zum Schluss wurden solche Kodifizierungen zur Ursache der
Gültigkeit der Zahlengesetze oder gar der Zahlen selber
erklärt (was als "Heiligschriftifizierung" konkreter
mathematischer Theorien bezeichnet werden kann).


Wenn also wirklich Axiomensysteme der letzten zwei Jahrhunderte
die Zahlengesetze begründen würden, wieso konnte die Menschheit
dann schon lange davor zwischen richtigen und falschen Aussagen
über Zahlen unterscheiden?

Auch ist es unmöglich, aus den Peano-Axiomen alleine die Aussage
"7 * 7 = 49" abzuleiten, da die Aussage auch die Begriffsbildungs-
prinzipen des Dezimalsystems voraussetzt.

Ein weiterer Auszug aus "Physik und Erkenntnistheorie":

"Wenn die Gesetze der Zahlen nur angeboren wären, wären sie durch
Änderungen von Hirnstrukturen prinzipiell änderbar. Die Meinung,
diese Gesetze seien nicht apriori gegeben sondern Folge der
Peano-Axiome oder anderer mathematischer Fundierungen, ist
nicht viel vernünftiger als die Meinung, sie seien Folge der
Taschenrechner."

---
http://members.lol.li/twostone/google1.html#kant


Martin Thau

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Nov 20, 2001, 11:01:38 AM11/20/01
to
Man sieht Deinem Gedanken an, wieviel Muehe er Dich gekostet hat. Du hast
dafuer genauso lange gebraucht, wie es gedauert hat, den Text zu
ejakulieren.

Eine weitere Bestaetigung der Regel: je buchstabenreicher desto
inhaltsleerer.


Martin


Cpt. Kirk

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Nov 20, 2001, 4:50:13 PM11/20/01
to
"Martin Thau" <696...@gmx.de> wrote in message news:<9tdunn$mog$05$1...@news.t-online.com>...

Guten Tag!

Mag der Text über Zahlen nun nicht sonderlich viel mit Physik zu tun
haben, so ist er doch korrekt und inhaltsreich! Die Regel je
buchstabenreicher desto inhaltsleerer läßt sich i.ü. widerlegen, wenn
man sich die Definition des Wortes "Information" ansieht. Hierbei wird
einem selteneren Zeichen ein höherer Informationsgehalt zugeordnet.
Die Gesamtinformation einer Nachricht jedoch wächst linear mit der
Anzahl der Zeichen. Da kann man nix machen.

mfg
Cpt. Kirk

Cpt. Kirk

unread,
Nov 20, 2001, 4:52:24 PM11/20/01
to
"Martin Thau" <696...@gmx.de> wrote in message news:<9tdunn$mog$05$1...@news.t-online.com>...

Hallo Welt! Kommt meine Nachricht an?

Herwig Huener & Josella Simone Playton

unread,
Nov 20, 2001, 5:30:44 PM11/20/01
to
2001-11-20 23:33:32 MEZ

"Cpt. Kirk" wrote:
>
> ...


>
> Hallo Welt! Kommt meine Nachricht an?

Wer spricht?

Welt.

--
Herwig Huener webmaster!@!Josella-Simone-Playton.de +49
Josella Simone josella!@!Josella-Simone-Playton.de 8095
Playton http://www.Josella-Simone-Playton.de 2230
GruberStrasse 10 A / D-85655 GrossHelfenDorf / Bayern / EU

Martin Rückert

unread,
Nov 20, 2001, 5:41:53 PM11/20/01
to
Herwig Huener & Josella Simone Playton schrieb:
>
> [...]

Mußt Du jetzt gleich zwei Trolle auf einmal füttern?
<kopfschüttel>

Xpost & Fup2 dsp

Martin

--
Martin Rückert Mailto:martin.r...@gmx.de
GS/IT d-() s+: a C++$ UA++$>++++$ P- L++ E--- W+ N++ o K? w$ !O M-- V
PS++(+++) PE(--) Y+ PGP t+ 5? X(+) R* tv-(+) b+(++) DI(++) D>++ G e>+++
h---- r+++ y?

Peter Zeller

unread,
Dec 6, 2001, 6:11:53 AM12/6/01
to

s. Betreff.

Ich denke, das Problem ist der Existenzbegriff, insbesondere der der
Philosophen. Der ist so wandelbar wie...? Mir fällt kein Vergleich ein.

Peter

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Wolfgang G. G.

unread,
Dec 8, 2001, 6:00:35 PM12/8/01
to
Hendrik van Hees schrieb:

| Meiner Meinung nach sind Zahlen freie Erfindungen des
| menschlichen Geistes, die sich in ihrer Anwendung auf die Realität (also
| die physikalische Welt) [bewähren]

Diese Aussage macht erst einen Sinn, wenn wir "freie Erfindungen"
mit Bedeutung versehen, was nur anschaulich/sinnlich, d.h. an
konkreten Beispielen erfolgen kann, denn Worte haben keine apriori
gültigen Bedeutungen.

Wurde die Zahl 3 so frei erfunden wie ein (funktionsuntüchtiges)
Perpetuum mobile? Wurde sie so frei erfunden wie die Längeneinheit
Zoll? Wurde sie so frei erfunden wie der Reissverschluss? Wurde sie
so frei erfunden wie die Begriffe 'Hand', 'Wasser' oder 'Schmerz'?

Der Begriff 'erfinden' wird für ein kontinuierliches Spektrum mit
den Polen 'entdecken' und 'konstruieren' verwendet, wobei wir die
Attribute 'frei' und 'willkürlich' dem Konstruierten, nicht jedoch
dem Entdeckten zusprechen.

Die Ziffer '3' und das Wort 'drei' sind sicher freie Konstruktionen,
am Begriff '3' hingegen gibt es keine solche Willkürlichkeit.

| und zuweilen sogar in der Finanzwelt (auch eine
| freie Erfindung des menschlichen Geistes) bewähren, letzteres allerdings
| nur, wenn die Leute nicht panikartig handeln, ...

Also wenn ich mir das Geldmengenwachstum der USA der letzten
Jahrzehnte so anschaue, dann bin mich mir nicht sicher, ob die
Anwendung der Zahlen auf das Geld nicht irgendwann auch ohne Panik
problematisch werden könnte. So wuchsen die Schulden in den USA seit
1960 von etwa 700 Milliarden Dollar auf etwa 19'000 Milliarden.
Quelle: http://www.federalreserve.gov/releases/H6/hist/h6hist1.txt


Harald Lochert schrieb:

: Frege sagt in etwa dazu:
:
: Wirkliche Gegenstände können Zahlen nicht sein, denn im Bereich der
: Wirklichkeit gibt es nur objektive-wirkliche Gegenstände, d.h. die
: physischen Gegenstände der "Aussenwelt" (kurz: Dinge) und
: subjektiv-wirkliche Gegenstände (die psychischen Gegenstände der
: "Innenwelt" kurz: (Vorstellungen). Zahlen fallen weder unter die eine
: noch die anderer Kategorie, sondern lassen sich einer dritten Art von
: Gegenständen zuordnen: den objektiv-nichtwirklichen Gegenständen
: Sie sind objektiv bezüglich ihres arithmetischen Gebrauchs und
: nichtwirklich, da nicht (raum-)zeitlich greifbar. "Zahlen sind ewig.",
: also als "ausserzeitlich" anzusehen.

"Nichtwirklich" sind dann auch die anderen abstrakten Begriffe (d.h.
Begriffsintension). Hingegen ist der Begriffsumfang (Extension) von
'3' genauso gegeben (in Form konkreter Wahrnehmungen/Vorstellungen)
wie von 'Tisch' und 'grün'.

Man stelle sich folgende neun Objekte in jeweils rot, grün und blau
vor (was 27 verschiedene Objekte ergibt):

ee eee eeee oo ooo oooo uu uuu uuuu

Jedes Objekt lässt sich dann eindeutig durch drei Eigenschaften
charakterisieren, d.h. einen Buchstaben (e, o oder u), eine Zahl
(2, 3 oder 4) und eine Farbe (rot, grün oder blau).

Obige Frege zugesprochene Sicht impliziert dann wohl:

1) Bei der Unterscheidung gemäss e, o und u handelt es sich eine
Unterscheidung anhand "objektiv-wirklicher Gegenstände"
2) Bei der Unterscheidung gemäss 2, 3 und 4 handelt es sich um
eine Unterscheidung anhand von etwas "Nichtwirklichem"
3) Bei der Unterscheidung gemäss rot, grün und blau handelt es sich
um eine Unterscheidung anhand "subjektiv-wirklicher Gegenstände".


"Karl Wagner" schrieb:

> Ich denke, man untersucht in der Mathematik nicht Gegenstände, auch
> keine Gegenständsbereiche sondern Strukturen. Die Grundmengen sind hier
> völlig leere Schemata: Platzhalter, die vor der Anwendung noch einer
> konkreten Deutung bedürfen, die aber die Mathematik nicht liefern
> kann. [...]

Im gleichen Sinne kann man sagen, dass Physik, Chemie und Biologie
auch nur "Strukturen" bzw. "völlig leere Schemata" untersuchen.
Wissenschaften (mit Ausnahmen wie Geschichte) beschäftigen sich
primär mit allgemeingültigen Aussagen. Und das führt notwendig zur
Anwendung von Platzhaltern bzw. abstrakten Begriffen.

Während wir bei "11^2 = 121" davon absehen, ob es sich um ein Quadrat
mit 11 m Seitenlänge, um 11 Gruppen von je 11 Äpfeln oder sonst etwas
handelt, sehen wir bei "2 H2 + O2 -> 2 H20" von der Isotopenzahl,
Herkunft und Vorgeschichte der Atome/Moleküle ab.

Die Aussagen "(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1" und "Für jede nichtleere Menge
von Säugetierarten gibt es eine Tierart, die letzter gemeinsamer
Vorfahr der Säugetiere der Menge war" verwenden in analoger Weise
Begriffe zweiter Abstraktionsstufe (d.h. Allgemeinbegriffe von
Allgemeinbegriffen):

'n' ('Zahl') steht als Platzhalter für (z.B.) '0', '1', '2' ...

'Säugetierart' steht als Platzhalter für 'Ratte', 'Mensch' usw.


(Es wäre Zeit, dass wir uns, mindestens zum Wohle von Philosophie und
Wissenschaft, an die Konstruktion einer effizienten Plansprache* mit
transparenter Begriffsbildung machen, *die den sprachphilosophischen
Erkenntnissen von mehr als zwei Jahrtausenden Rechung trägt.)

Es gibt keine andere Wissenschaft, die die Realität direkter und
mit grösserer Sicherheit beschreibt, als (vernünftige, einfache)
Mathematik. Wenn empirische Fakten einer mathematischen "Theorie"
widersprechen, dann ist diese "Theorie" falsch und somit nicht
Teil der Mathematik.

---

http://members.lol.li/twostone/google1.html#kant
[Leider schafft groups.google.com nicht nur immer wieder tote Links
durch Änderung des Referenzierungssystems, sondern es verschwinden
seit neuestem nicht nur vereinzelt sondern in Massen Postings]


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