Galilei-Invarianz der Schroedingergleichung
Gregor Scholten
Ja, ich weiss, de.sci.physik ist nicht dazu gedacht, meine Hausaufgaben zu
loesen. Aber ich habe da ein echtes Problem, bei dem ich einfach nicht
weiterkomme, und deswegen habe ich mich schweren Herzens dazu entschlossen,
trotzdem danach zu fragen, ob mir vielleicht jemand helfen kann. Ich hoffe, das
wird mir nicht allzu sehr uebel genommen.
Es geht um folgendes:
Es soll gezeigt werden, dass die (1-dim.) Schroedinger-Gleichung
i hquer d/dt psi = - hquer^2 / (2m) d^2/dx^2 psi
invariant ist unter einer Galilei-Trandformation
x' = x - v0*t, t' = t (1)
Im transformierten System soll die Schroedinger-Gleichung also so aussehen:
i hquer d/dt' psi' = - hquer^2 / (2m) d^2/dx'^2 psi' (2)
Die Galilei-Invarianz soll nun in zwei Schritten gezeigt werden:
1) Es soll gezeigt werden, dass sich durch die Transformation (1) folgende
Gleichung ergibt (p_x = -i hquer d/dx):
(i hquer d/dt + 1/2 m v0^2) psi' = 1/(2m) (p_x + m v0)^2 psi' (3)
OK, dieser Schritt ist nicht das Problem, das habe ich noch selbst hinbekommen.
2) Es sollen die Bedingung ermittelt werden, unter denen eine Funktion
psi' = exp(i f(x,t)) psi die Gleichung (3) loest, und es sollen f(x,t) und
damit psi berechnet werden.
Und da komme ich einfach nicht weiter (nach mehrtaegigien Ueberlegungen). Durch
laengeres Herumrechnen erhalte ich fuer f(x,t) eine nichtlineare partielle
Differentialgleichung zweiter Ordnung:
- psi df(x,t)/dt = hquer psi / (2m) ((df(x,t)/dx)^2 - i d^2/dx^2 f(x,t)) + psi
v0 df(x,t)/dx - i hquer / m (d/dt psi) df(x,t)/dx - i v0 d/dx psi
(4)
aber die ist zum Berechnen von f(x,t) viel zu komliziert.
Auf den Aufgabenblatt stand etwas davon, dass sich eine laengere Rechnung durch
die Verwendung des Kommutators [p_x, exp(if)] = hquer exp(if) df/dx vermeiden
liesse, aber auch unter Verwendung dieses Kommutators gelange ich wieder nur zu
Gleichung (4).
In meinen Aufzeichnungen aus der Uebung habe ich dann zufaellig die Gleichung
(p_x + m v0)^2 exp(if) psi = exp(if) (p_x)^2 psi
gefunden. Und obwohl ich keine Ahnung habe, warum diese Gleichung gelten
sollte, habe ich sie dann mal probehalber in (3) eingesetzt:
(i hquer d/dt + 1/2 m v0^2) exp(if) psi = exp(if) (p_x)^2 / (2m) psi
Daraus erhalte ich die Gleichung
hquer psi df/dt = 1/2 m v0^2 exp(-if) (5)
Die ist zwar wesentlich einfacher als (4), aber aus ihr folgt, dass df/dt
proportional zu exp(-if) ist, und ich bezweifle, dass es ueberhaupt eine
Funktion f gibt, die dieses Bedingung erfuellen wuerde. Und selbst wenn, so
wuesste ich dennoch nicht, wie sich Gleichung (5) loesen liesse.
Soweit meine Ueberlegungen. Kann mir jemand bei der Loesung von Schritt 2)
helfen?
Danke im Voraus. :-)
Live long and prosper!
Gregor
--
"If my colleagues and I are right, we may soon be saying good-bye to the idea
that our universe was a single fire-ball created in the big bang."
(Andrej Linde)
Hendrik van Hees
ASCII darzustellen. Ich kuerze mal die partielle Ableitung nach t durch
@_t und die nach x durch @_x ab.
Zu zeigen ist die Galilei-Invarianz der Quantentheorie des freien
Teilchens, d.h. zu jeder Loesung psi(t,x) der freien
Schroedingergleichung
i hbar @_t psi(t,x)=-hbar^2/(2m) @_x^2 psi(t,x) (1)
muss es eine unitaere Transformation U geben, so dass
psi'(t',x') = \int dz U(t,x,z) psi(t,z)
eine Loesung derselben Gleichung in den Galilei-transformierten
Variablen
t'=t und x'=x-v t (2)
ist.
Wir nehmen nun an, dass U durch einen einfachen Phasenfaktor gegeben
ist, was sich erst a posteriori rechtfertigen laesst, d.h. wir muessen
eine reelle Funktion f finden, so dass
psi(t,x)=psi'(t',x') exp[-i f(t,x)]=psi(t,x-v t) exp[-i f(t,x)] (3)
gilt mit einer Funktion psi', die die freie Schroedingergleichung
i hbar @_t' psi'(t',x')=-hbar^2/(2m) @_x'^2 psi'(t',x') (4)
erfuellt.
Setzen wir nun (3) in (1) ein und beachten, dass (4) gelten muss, finden
wir
hbar [@_t f-i v @_x] psi' = hbar^2/(2m) {2 i (@_x f) (@_x psi') + [(@_x
f)^2+i @_x^2 f] psi'}
Damit diese Gleichung identisch fuer alle Loesungen psi' von (4)
erfuellt sein kann, muessen die Faktoren vor psi' und @_x psi'
uebereinstimmen. Das ergibt fuer f
hbar @_t f =hbar^2/(2m) [(@_x f)^2+i @_x^2 f] (5a)
-i v hbar = hbar^2/m i @_x f (5b)
Wir fangen mit (5b) an: Zurechtgekuerzt ergibt sich
@_x f=-m v/hbar,
was nichts anderes heisst, dass
f(t,x)=-m v x/hbar + g(t)
sein muss mit einer willkuerlichen Funktion g, die nur von t abhaengt.
Das in (5a) eingesetzt ergibt die weitere DGL
@_t f=m v^2/(2 hbar) = d_t g
Damit ist aber
g(t)=m v^2 t/(2 hbar) +c
O.B.d.A. koennen wir c=0 setzen, weil dies nur einem konstanten
Phasenfaktor entspricht.
Ein wenig irrefuehrend war also nur der erste Teil der Aufgabe, naemlich
die Trafo ohne Phasenfaktor. So eklige Uebungen macht man aber auch
nicht am Samstagabend ;-))).
Die Tatsache, dass man einen nichttrivialen Phasenfaktor benoetigt, und
sich psi unter Galileiboosts nicht einfach wie ein Skalar transformiert,
zeigt, dass die Galileigruppe in der Quantentheorie nicht durch eine
irreduzible unitaere Darstellung beschreiben laesst. Das haben Inönü und
Wigner in einem beruehmten Paper ganz allgemein gezeigt. Es handelt sich
um eine Strahldarstellung im projektiven Raum des Hilbertraums. Die
Galileigruppe bestimmt also, im Gegensatz zur Poincaregruppe in der
relativistischen Quantentheorie, die nichtrelativistische Quantentheorie
nicht eindeutig. Man muss genau die eben hergeleitete Strahldarstellung
annehmen. Vgl. dazu auch mein Quantentheorieskript.
--
Hendrik van Hees Phone: ++49 6159 71-2755
c/o GSI-Darmstadt SB3 3.162 Fax: ++49 6159 71-2990
Planckstr. 1 mailto:h.va...@gsi.de
D-64291 Darmstadt http://www.gsi.de/~vanhees/index.html
Die kleine Hexe
> Ja, ich weiss, de.sci.physik ist nicht dazu gedacht, meine Hausaufgaben zu
> loesen. Aber ich habe da ein echtes Problem, bei dem ich einfach nicht
> weiterkomme, und deswegen habe ich mich schweren Herzens dazu entschlossen,
> trotzdem danach zu fragen, ob mir vielleicht jemand helfen kann. Ich hoffe, das
> wird mir nicht allzu sehr uebel genommen.
... bin ja nicht die Rumpumpel !!!
>
> Es geht um folgendes:
> Es soll gezeigt werden, dass die (1-dim.) Schroedinger-Gleichung
> i hquer d/dt psi = - hquer^2 / (2m) d^2/dx^2 psi
> invariant ist unter einer Galilei-Trandformation
> x' = x - v0*t, t' = t
> Im transformierten System soll die Schroedinger-Gleichung also so aussehen:
> i hquer d/dt' psi' = - hquer^2 / (2m) d^2/dx'^2 psi'
Aha, im Ruhesystem hat die SGL also die Form (1) und im bewegten System
Form (2).
i hquer d/dt psi(x,t) = p^2 / (2m) psi(x,t) (1)
i hquer d/dt psi'(x',t) = p'^2 / (2m) psi'(x',t) (2)
mit x' = x - v*t UND p' = p - m*v (3).
Hier sind p und p' Operatoren, v die Relativgeschwindigkeit und x, na ja
...
Wenn Du (3) in (2) einsetzt, hast Du sofort:
i hquer d/dt psi'(x-v*t,t) = (p - m*v)^2 / (2m) psi'(x-v*t,t) (4)
Das ist nicht ganz dasselbe, wie von Dir angegeben. Jedenfalls mit
dem Ansatz
psi'(x-v*t, t) = Exp[ i f(x,t) ] * psi(x,t) (5)
in (4) erhaelst Du:
- hquer [d/dt f(x,t)] Exp[i*f(x,t)] * psi(x,t) + i hquer Exp[i*f(x,t)]
d/dt psi(x,t) =
= [ p^2/(2m) - p*v m*v^2 / 2 ] * Exp[i*f(x,t)] * psi(x,t) (6)
Wegen (1) aber heben sich der zweite Summand der linken Seite und der
erste
Summand der rechten Seite in (6) gegenseitig weg. Umgestellt verbleibt
die
Gleichung:
[ d/dt f(x,t) + p*v/hquer - m*v^2/(2*hquer) ] Exp[i*f(x,t)] * psi(x,t)
= 0 (7)
woraus sich f(x,t) ergibt zu:
f(x,t) = 1/hquer ( - p*v*t + m*v^2*t/2 (8)
Das Ergebnis ist dann die operatorwertige Funktion (8), in der die
x-Abhaengigkeit
ueber den Differentialoperator p (in der Ortsdarstellung) reinkommt.
Hilft das ein wenig weiter?
[...]
> Die ist zwar wesentlich einfacher als (4), aber aus ihr folgt, dass df/dt
> proportional zu exp(-if) ist, und ich bezweifle, dass es ueberhaupt eine
> Funktion f gibt, die dieses Bedingung erfuellen wuerde.
[...]
Nun, die Differentialgleichung y'(x) = Exp[ - y(x) ] hat fuer reelles x
offenbar die
Loesung y(x) = ln(x) ( plus C ). Dann duerfte es nicht schwer sein, eine
Loesung
fuer eine Gleichung df/dt = Exp[-if] zu finden.
Die kleine Hexe (Riva, kicher)
Die kleine Hexe
klaer doch noch mal fuer die noch nicht so Fortgeschrittenen die
Begriffe:
> Galileiboosts
> Galileigruppe
> irreduzible unitaere Darstellung
> Strahldarstellung im projektiven Raum des Hilbertraums
> Poincaregruppe
Und verweis jatzt bitte nicht auf irgendwelche WEB-Seiten ! Denn das
haettest
Du dann gleich machen koennen. Aus Gregors Frage ging klar hervor, dass
er eine Uebungsaufgabe rechnet. Und die klang nicht nach Gruppentheorie!
^^^^^^^^^^^^^^
Die kleine Hexe
Hendrik van Hees
noch eine kleine Anmerkung ueber die Hintergruende gemacht. Die Loesung
der Uebungsaufgabe habe ich direkt hingeschrieben, weil sie in der
expliziten Form nicht in meinem Skript steht. Du siehst an dieser
Aufgabe uebrigens, warum Wellenfunktionen fuer solche fundamentalen
Fragestellungen nicht immer die allerbequemste Moeglichkeit sind, sie zu
verstehen, denn die Rechnung ist schon relativ aufwendig, wenn auch
straight forward. Die ganze Rechnerei verdeckt die zugegebenermassen
recht tiefliegenden gruppentheoretischen Hintergruende. Dass ich die
angegeben habe, war keine Boeswilligkeit, ich meine nur, dass
Uebungsaufgaben nicht bloss zum stumpfsinnigen Rechnen verkommen
sollten, sondern Nachdenklichkeit ausloesen sollten. Wie gesagt, Dein
Vorwurf ist nicht gerechtfertigt, denn ich habe die Uebungsaufgabe
vollstaendig vorgerechnet.
Zu Deinen Fragen oben: Transformationen, also bijektive Abbildungen von
einer Menge in eine andere bilden eine Gruppe, d.h. mit ihnen ist auch
ihre Umkehrung eine solche Abbildung und zusammen mit der
Hintereinanderausfuehrung bilden sie die mathematische Struktur einer
Gruppe.
In den meisten Gruppen gibt es Teilmengen, die mit der
Gruppenmultiplikation fuer sich schon eine Gruppe bilden, das sind dann
die Untergruppen der Gruppe.
Die Galileigruppe operiert zunaechst mal auf den Raum-Zeitkoordinaten
und beschreibt Translationen in Raum und Zeit, Drehungen des Raumes und
eben die Boosts (der Begriff ist aus der englischen Literatur entlehnt,
in der deutschen Literatur heisst das meist "spezielle
Galileitransformation", ich finde aber "Galileiboost" griffiger). Eine
Boosttrafo beschreibt den Wechsel von einem Inertialsystem in ein dazu
gleichfoermig geradlinig bewegtes Bezugssystem, das dann ebenfalls ein
Inertialsystem ist. Ein Boost ist gegeben durch
t'=t, x'=x-v t,
wobei v ein konstanter Vektor ist.
Eine Darstellung einer Gruppe G ist eine Menge von umkehrbar eindeutigen
linearen Abbildungen ("Matrizen") in einem Vektorraum H (insbesondere in
einem Hilbertraum), die die Struktur der Gruppe besitzen. Genauer ist es
ein Homomorphismus von der Gruppe G in die Gruppe der Isomorphismen von
H, also
U:G->Iso(H),
so dass fuer alle g1, g2 in G gilt
U(g1 g2)=U(g1) U(g2)
U(g1^(-1))=[U(g1)]^(-1)
Sind alle Abbildungen U unitaere Abbildungen in einem Hilbertraum, so
nennt man die Darstellung unitaer. Im Formalismus der Quantentheorie
sind alle physikalischen Groessen, die man ausrechnen kann invariant
unter unitaeren Transformationen. Eine Symmetriegruppe innerhalb der
Quantentheorie, z.B. die Galileigruppe in der nichtrelativistischen
Formulierung derslben, kann also durch eine unitaere Darstellung
beschrieben werden (muss es aber nicht, wie das Beispiel zeigt).
Die Quantentheorie ist aber noch gegenueber allgemeineren Darstellungen
invariant, denn in keine einzige physikalische Groesse geht ein reiner
Phasenfaktor ein! Die U einer Symmetriegruppe muessen also gar keine
Darstellung bilden, sondern es darf ein beliebiger Phasenfaktor
dazukommen:
U(g1 g2)=exp(i f(g1,g2)) U(g1) U(g2)
Das ist im wesentlichen eine Strahldarstellung. Genaueres findest Du in
meinem Skript. Es ist ein bedeutender Satz (Satz von Bargmann und
Wigner), dass jede Strahldarstellung einer Gruppe zu der unitaeren oder
antiunitaeren Darstellung einer (eventuell erweiterten) Gruppe
"geliftet" werden.
Dieser Satz ist physikalisch hoch bedeutsam: Eine wichtige Anwendung ist
z.B. dass die Drehgruppe nicht die eigentliche quantenmechanische
Realisierung der Rotationen darstellt, sondern eben die SU(2) (alle
halbzahligen Darstellungen sind eben auch moeglich und offensichtlich in
der Natur auch realisiert).
Zum Schluss dieses harten Menues noch: Die Poincaregruppe ist das
Analogon zur Galileigruppe in der speziellen Relativitaetstheorie.
Entschuldige, wenn ich auf meine Skripte verweise, aber das hier in
ASCII umfassend darzustellen ist schlicht unmoeglich ;-)).
Die kleine Hexe
was soll ich da sagen ...
Erst mal Danke fuer die ausfuehrliche Antwort, obgleich
dass nicht das war, was ich wollte: Heute habe ich Hobby
und Beruf, naemlich Hexerei und Theorie, miteinander vereinen koennen.
Das war nicht immer so. Begonnen hatte ich vor langen Jahren mit
Unterricht auf
der EOS-Stufe (heute heisst das Gymnasium) in
der Fachkombination Mathematik/Physik. Aus dieser Zeit stammt meine
feste Ueberzeugung, und da befinde ich mich in bester Gesellschaft, dass
die
einfachsten Erklaerungen die Besten sind.
Und genau in diesem Sinne wollte ich meinen Protest verstanden wissen.
Wenn ich naemlich daran denke, was die Studenten (und Innen) heute in
Praktikum oder Seminar koennen, behaupte ich mal, dass Dein Artikel
schon ziehmlich weit greift ...
Man koennte das ja z.B. sehr schoen anhand der klassischen
Elektrodynamik
(d.h. SRT) auseinander nehmen (siehe J. D. Jackson). Aber ist doch
allenthalben
Stoff von Spezialvorlesungen.
Die Meisten werden eben doch Experimentatoren ... (schmunzel)
Dein Skript lese ich jedenfalls bei Gelegenheit.
Eine Frage will ich jetzt doch noch loswerden: Fuer die Transformationen
innhalb der
Lorentz- oder Pioncare-Gruppe gibt es eine Grenzgeschwindigkeit, die mit
der
Lichtgeschwindigkeit c identifiziert werden kann. Das Problem:
Wie transformiere ich das Strahlungsfeld eines Tschernkov-Elektrons in
seinem
Ruhesystem in das Ruhesystem des Mediums (oder umgekehrt). Hier reicht
voellig der Rahmen der klassischen Elektrodynamik. Mit der "ueblichen"
Lorenztransformation vom Ruhesystem Elektron auf das Ruhesystem Medium
transformiert bekommt man naemlich ein um den Faktor 2 daneben liegendes
Strahlungsfeld. Als "richtiges" Strahlungsfeld bezeichne ich dabei das,
was
man ganz konventionell fuer ein Tscherenkov-Elektron erhaelt.
Bei der Transformation der Felder ueber c hinweg, "passiert" aber
offenbar etwas,
das den falschen Faktor verursacht. Der Einfachheit halber meine ich
hier
mit Medium das Vakuum. Dann spart man sich einige Indizes; die
Mathematik ist dieselbe.
Und das Problem ist zunaechst ein Mathematisches.
Streng genommen kann ich nicht von einem Bezugssystem mit v < c auf ein
solches mit
v > c transformieren. Wenn ich es dennoch taete, und Bloedsinn
rauskaeme, wuerde ich
mich nicht wundern. So aber erhalte ich bis auf den Zahlenfaktor das
bekannt
Strahlungsfeld, respektive Strahlungsleistung. Und das haette ich gern
naeher
verstanden.
Die kleine Hexe
Hendrik van Hees
Post von der kleinen Hexe ;-)). Also hier meine Antwort auf die Frage
nach der Cerenkov Strahlung nochmal fuer alle:
Ein Cerencov-Effekt im Vakuum ist aber ein Widerspruch in sich, das kann
gar nicht funktionieren! Die Lorentztransformationen enthalten ja immer
c_{vac}, also die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Der Cerenkov-Effekt tritt
aber ein, wenn v_{el}>c_{med} ist! Die Transformation geht also mit
c_{vac}, die Phasengeschwindigkeit des Lichtes mit c_{med}. Beim
Cerencoveffekt, hast Du also ein Medium, und das zeichnet ein
Bezugssystem aus!
Gleichwohl kannst Du doch das Strahlungsfeld (ganz klassisch alles, das
Problem wuerde ich sowieso klassisch behandeln, weil Quanteneffekte wohl
kaum eine Rolle spielen) kovariant schreiben, und zwar durch zwei
Tensoren, naemlich einmal (E,B) und einmal (D,H) (das sind dann die
antisymmetrischen Matrizen, wo in den (0k)-Komponenten E bzw. D und in
den (jk)-Komponenten die B stehen, und zwar wie beim Vektorprodukt
verteilt, also z.B. F_{12}=B3 (modulo Vorzeichen je nach Konvention).
Dann schreibst Du Deine Lorentztrafo als Matrix und klatscht sie von
links und rechts an die Tensoren dran, und das muesste doch eigentlich
das Gewuenschte leisten.
Ansonsten guck' Dir mal Sommerfeld, Vorlesungen ueber Theoretische
Physik, Bd. IV (Optik) an. Da steht der Cerenkov-Effekt ausfuehrlich
vorgerechnet drin. Sommerfeld hat den Cerenkov-Effekt schon vor 1905
berechnet, aber da wirklich fuer v>c_{vac} ;-)).
Norbert Dragon
> Transformationen, also bijektive Abbildungen von
> einer Menge in eine andere bilden eine Gruppe
^^^^^^
<Besserwisserei>
Es muss schon eine Selbstabbildung sein, damit man Transformationen,
wie bei Gruppen erforderlich, hintereinander ausfuehren kann.
</Besserwisserei>
Beim Rest von Hendriks ausfuehrlichem Beitrag weiss ich nichts besser.
--
Norbert Dragon
dra...@itp.uni-hannover.de
http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon
Aberglaube bringt Unglück.
Andreas Kabel
> Zu Deinen Fragen oben: Transformationen, also bijektive Abbildungen von
> einer Menge in eine andere
Autsch.
--
Andreas Kabel | aka...@slac.stanford.edu
Stanford Linear Accelerator Center | +1(650)926-5069 (office)
2575 Sand Hill Road, MS 26 | +1(650)926-5368 (fax)
Menlo Park, CA 94025 | +1(650)917-8559 (home)
Gregor Scholten
Kleine Hexe und Hendrik,
Einen ganz herzlichen Dank fuer eure grosszuegige Unterstuetzung, ihr habt mir
wirklich weiter geholfen. :-)
Andreas Kabel
> Andreas Kabel wrote:
> >
> > Hendrik van Hees <h.va...@gsi.de> writes:
> >
> > > Zu Deinen Fragen oben: Transformationen, also bijektive Abbildungen von
> > > einer Menge in eine andere
> >
> > Autsch.
> >
> Nur wer nix postet macht keine Fehler ;-)).
War "Autsch" falsch?
Hendrik van Hees
>
Sehr wahr, es muss natuerlich eine bijektive Abbildung einer Menge in
sich sein, sonst bilden die Abbildungen keine Gruppe.
Hendrik van Hees
> > einer Menge in eine andere
>
>
Nur wer nix postet macht keine Fehler ;-)).
--
Hendrik van Hees
>
> War "Autsch" falsch?
>
Nein, natuerlich nicht, ich musste ja eine dumme Entschuldigung fuer den
Unsinn bringen. Damit Bijektionen eine Gruppe bilden koenne, muessen sie
natuerlich die Menge in sich abbilden. Um es ganz klar zu machen.
Sei Aut(M) die Menge der Bijektionen auf M in sich ("Autmorphismen"),
also
g \in Aut(M) <=> g:M->M bijektiv
Dann bildet Aut(M) zusammen mit der Verkettung
(Hintereinanderausfuehrung, Komposition) eine Gruppe, denn es ist
g_1 o g_2 \in Aut(M), wenn g_1 und g_2 \in Aut(M)
(g_1 o g_2) o g_3=g_1 o (g_2 o g_3) fuer g_1,g_2,g_3 \in Aut(M)
Es existiert 1 \in Aut(M) mit 1 o g=g fuer alle g \in Aut(M), naemlich
id_M (Identitaet auf M)
Zu jedem g \in Aut(M) gibt es ein g' mit g' o g=1, naemlich g'=g^(-1).
Ist M ein Vektorraum oder auch nur ein Modul, gibt es in Aut(M) eine
Untergruppe Aut'(M), naemlich die Menge der bijektiven LINEAREN
Abbildungen von M in sich. Die nennte man in diesem Fall auch einfach
Automorphismen. Ist G eine Gruppe und Phi:G->Aut'(M) ein
Gruppenhomomorphismus, spricht man von einer (linearen) Darstellung der
Gruppe.
Auf unitaeren Vektorraeumen gibt es wieder eine Untergruppe von Aut'(M),
naemlich die unitaere Gruppe U(M). Ein Gruppenhomomorphismus
Phi:G->U(M) heisst unitaere Darstellung der Gruppe.
So jetzt hab' ich mein Missgeschick hoffentlich wieder gut gemacht ;-)).
Raimund Nisius
> This is a multi-part message in MIME format.
[...]
> So jetzt hab' ich mein Missgeschick hoffentlich wieder gut gemacht ;-)).
Sagen wir : "ersetzt" :)
Es war ja auch schon spät.
--
Gruß,
Raimund
Hendrik van Hees
>
> Hendrik van Hees <h.va...@gsi.de> wrote:
>
> > This is a multi-part message in MIME format.
> [...]
> > So jetzt hab' ich mein Missgeschick hoffentlich wieder gut gemacht ;-)).
Bitte? Das kann nicht von mir sein, weil ich keine multi-part messages
in MIME in Newsgroups verschicke ;-).
Horst Laschinsky
> > > This is a multi-part message in MIME format.
> > [...]
> > > So jetzt hab' ich mein Missgeschick hoffentlich wieder gut gemacht ;-)).
>
> Bitte? Das kann nicht von mir sein, weil ich keine multi-part messages
> in MIME in Newsgroups verschicke ;-).
Hihi, das hört sich jetzt fast wie einer von Khaleds "Beweisen" an :-)
SCNR
Ciao,
Horst
Raimund Nisius
> in MIME in Newsgroups verschicke ;-).
So sind'se die Theoretiker: spielen an Geräten rum, von denen sie nix
verstehen - und hinterher wollen sie's nicht gewesen sein! :))
--
Gruß,
Raimund
Uwe Lauth
> Wie transformiere ich das Strahlungsfeld eines Tschernkov-Elektrons in
> seinem Ruhesystem in das Ruhesystem des Mediums (oder umgekehrt).
Meinst du den Poyntingvektor? ExH oder so aehnlich?
Wenn du den direkt transformieren moechtest, der steht im
Energie-Impuls-Tensor (Formel kann ich dir raussuchen).
> was man ganz konventionell fuer ein Tscherenkov-Elektron erhaelt.
Konventionell = Loesung der Maxwell-Gleichungen fuer ein
"ruhendes Medium", D = epsilon E, H = B/mu und eine bewegte Ladung?
Und der nichtkonventionelle Weg waere dann die Loesung im
Ruhesystem des Elektrons (dem gebe ich jetzt den "'")? Dort ist
der inhomogene Teil der Maxwell-Gleichungen zwar im Kopf loesbar
(D'=q*e_r/r^2, H'=0), aber die Materialgleichungen uiuiuiuiui!
Ich habe versucht, E' und B' durch E und B, diese durch D und H
und letztere wieder durch D' und H' auszudruecken, liess es
dann aber beim Ansatz :-) Wenn du das schaffst, kannst
du D' und H' einsetzen und hast das komplette Feld.
[v>c]
> Der Einfachheit halber meine ich hier
> mit Medium das Vakuum. Dann spart man sich einige Indizes; die
> Mathematik ist dieselbe.
*scluck* das liest sich so, als ob du fuer c in sqrt(1-(v/c)^2)
die Ausbreitungsgeschwindigkeit des "Lichts" im Medium setzt :-)
Gruss
Uwe
Gregor Scholten
<Die.kle...@t-online.de> schreibt:
>> Es geht um folgendes:
>> Es soll gezeigt werden, dass die (1-dim.) Schroedinger-Gleichung
>> i hquer d/dt psi = - hquer^2 / (2m) d^2/dx^2 psi
>> invariant ist unter einer Galilei-Trandformation
>> x' = x - v0*t, t' = t
>> Im transformierten System soll die Schroedinger-Gleichung also so aussehen:
>> i hquer d/dt' psi' = - hquer^2 / (2m) d^2/dx'^2 psi'
>
>Aha, im Ruhesystem hat die SGL also die Form (1) und im bewegten System
>Form (2).
>
> i hquer d/dt psi(x,t) = p^2 / (2m) psi(x,t) (1)
>
> i hquer d/dt psi'(x',t) = p'^2 / (2m) psi'(x',t) (2)
>
>mit x' = x - v*t UND p' = p - m*v (3).
HALT!
p' = p - m*v erscheint naheliegend, ist aber falsch!
Tatsaechlich gilt naemlich p' = p !
Es ist ja p = - i hquer d/dx und p' = - i hquer d/dx'
Nun gilt x' = x'(x,t) und t' = t'(x,t)
Daher ist d/dx = (dx'/dx) d/dx' + (dt'/dx) d/dt'
aufgrund von x' = x - v*t und t' = t ist dx'/dx = 1 und dt'/dx = 0
daraus ergibt sich d/dx = d/dx'
und damit p = i hquer d/dx = i hquer d/dx' = p' <=> p = p'
Fuer den Erwartungswert <p'> = <psi'|p'|psi'> muss natuerlich gelten
<p'> = <p> - m*v = <psi|p|psi> - m*v
und dies wird gerade durch den Faktor exp[i f(x,t)] gewaehrleitest, durch den
sich psi und psi' unterscheiden.
>
>Hier sind p und p' Operatoren, v die Relativgeschwindigkeit und x, na ja
>...
>Wenn Du (3) in (2) einsetzt, hast Du sofort:
>
> i hquer d/dt psi'(x-v*t,t) = (p - m*v)^2 / (2m) psi'(x-v*t,t) (4)
>
>Das ist nicht ganz dasselbe, wie von Dir angegeben.
Der Unterschied kommt wahrscheinlich daher, dass du p' = p - m*v angenommen
hast.
Die kleine Hexe
von Gregor Scholten:
[...]
>
> HALT!
> p' = p - m*v erscheint naheliegend, ist aber falsch!
> Tatsaechlich gilt naemlich p' = p !
>
> Es ist ja p = - i hquer d/dx und p' = - i hquer d/dx'
>
> Nun gilt x' = x'(x,t) und t' = t'(x,t)
... t' ist einfach gleich t.
>
> Daher ist d/dx = (dx'/dx) d/dx' + (dt'/dx) d/dt'
... was ich jetzt nicht ganz verstehe.
[...]
>
> Der Unterschied kommt wahrscheinlich daher, dass du p' = p - m*v angenommen
> hast.
Am besten verweise ich Dich auf Landau/Lifschitz Band 3. Da findest Du
die
Aufgabe im Anschluss an Kapitel 17. Da kannst Du auch nachlesen weshalb
p' = p - m*v richtig ist. (Falls die Kapitelnummer nicht stimmen sollte:
Ich habe nur
eine russische Ausgabe greifbar.)
Die kleine Hexe
Die kleine Hexe
von Hendrik van Hees:
>
> Das Posting taucht also doch hier auf. Ich kriege immer auch private
> Post von der kleinen Hexe ;-)).
... tschuldigung, wenn ich poste, dann immer gleichzeitig in den News
UND
per Mail.
[...]
> Ein Cerencov-Effekt im Vakuum ist aber ein Widerspruch in sich, das kann
> gar nicht funktionieren!
Habe ja auch ausdruecklich darauf hingewiesen, dass es sich bei meinem
Hinweis um eine, in dem Zusammenhang legitime, Vereinfachung handelt.
Ein isotropes, homogenes Medium,
als einfachster Fall zur Untersuchung der Tscherenkovstrahlung,
unterscheidet
sich von den Vakuumgleichung doch nur um eine (physikalisch bedeutsame)
Konstante. Will sagen, die Mathematik ist in dem Falle GENAU dieselbe,
wie
im Vakuum. Und die Frage war eine mathematische, die scheinbar mit den
Transformationseigenschaften der Lorentzgruppe zusammenhaengt.
[...]
> Dann schreibst Du Deine Lorentztrafo als Matrix und klatscht sie von
> links und rechts an die Tensoren dran, und das muesste doch eigentlich
> das Gewuenschte leisten.
Tja, genau das tut sie nicht.
>
> Ansonsten guck' Dir mal Sommerfeld, Vorlesungen ueber Theoretische
> Physik, Bd. IV (Optik) an. Da steht der Cerenkov-Effekt ausfuehrlich
> vorgerechnet drin. Sommerfeld hat den Cerenkov-Effekt schon vor 1905
> berechnet, aber da wirklich fuer v>c_{vac} ;-)).
Ich habe vier volle Aktenordner zum Thema; ausserdem kann ich selber
rechnen. ;-) Davon abgesehen, das Problem, dass sich ansprach, ist mit
Sicherheit kein
Rechenfehler. Es taucht tatsaechlich dann auf, wenn man das Coulombfeld
der ruhenden Ladung in das bewegte Bezugssystem des strahlenden
Elektrons
transformiert.
Die kleine Hexe
Hendrik van Hees
>
> Ich habe vier volle Aktenordner zum Thema; ausserdem kann ich selber
> rechnen. ;-) Davon abgesehen, das Problem, dass sich ansprach, ist mit
> Sicherheit kein
> Rechenfehler. Es taucht tatsaechlich dann auf, wenn man das Coulombfeld
> der ruhenden Ladung in das bewegte Bezugssystem des strahlenden
> Elektrons
> transformiert.
Ein sich gleichfoermig geradliniges Elektron strahlt aber nicht! Ich
erinnere mich vage (das vierte Semester mit klassischer E-Dynamik ist
schon 'ne Weile her ;-)) an folgendes: Es gibt da eine (scheinbare)
Diskrepanz zwischen der Rechnung der em. Felder eines solchen geradlinig
bewegten Elektrons nach der Lienard-Wiechertschen Formel und einer, in
der man das Coulombfeld einfach Lorentz-Transformiert. Der scheinbare
Widerspruch loest sich auf, wenn man in beiden Faellen die gleichen
Koordinaten benutzt. Man kann natuerlich auch alles gleich kovariant
aufschreiben. Vielleicht sollte ich mal eine FAQ zur (klassischen)
Strahlung bewegter Teilchen schreiben. Das habe ich nirgends so richtig
schoen zusammengefasst gefunden, vielleicht kannst aber auch Du viel
besser sowas machen, wenn's jetzt schon vier volle Aktenordner sind
;-)).
Gregor Scholten
<Die.kle...@t-online.de> schreibt:
>> p' = p - m*v erscheint naheliegend, ist aber falsch!
>> Tatsaechlich gilt naemlich p' = p !
>>
>> Es ist ja p = - i hquer d/dx und p' = - i hquer d/dx'
>>
>> Nun gilt x' = x'(x,t) und t' = t'(x,t)
>
>... t' ist einfach gleich t.
und deswegen ist dt'/dx = 0 und dt'/dt = 1
>> Daher ist d/dx = (dx'/dx) d/dx' + (dt'/dx) d/dt'
>
>... was ich jetzt nicht ganz verstehe.
Kettenregel: d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x)
lernt man im 11. Schuljahr.
Deswegen gilt z.B.
d/dx exp(if(x,t) = i (df/dx) exp(if(x,t))
Bei einer Funktion mit mehreren Veraenderlichen gilt:
d/dx f(g(x,y),h(x,y)) = (df/dg) dg/dx + (df/dh) dh/dx
(das lernt man freilich nicht im 11. Schuljahr ;-))
vielleicht wird es verstaendlicher, wenn ich die Funktion dahinter schreibe:
d/dx psi' = (dx'/dx) d/dx' psi' + (dt'/dx) d/dt' psi'
und wegen dx'/dx = 1 und dt'/dx = 0 ist das gleich d/dx' psi'
es gilt also d/dx psi' = d/dx' psi'
und damit p psi' = p' psi'
>> Der Unterschied kommt wahrscheinlich daher, dass du p' = p - m*v
>angenommen
>> hast.
>
>Am besten verweise ich Dich auf Landau/Lifschitz Band 3. Da findest Du
>die
>Aufgabe im Anschluss an Kapitel 17. Da kannst Du auch nachlesen weshalb
>p' = p - m*v richtig ist.
und du bist sicher, dass da mit p und p' die Operatoren und nicht die
Erwartungswerte oder die klassischen Impulse gemeint sind?
Hendrik van Hees
Gregor Scholten
schreibt:
>Sagt mal, meine Loesung habt Ihr wohl uebersehen? Na ja ist ja egal...
nein, haben wir nicht. Ich zumindest nicht. Wie kommst du darauf?
Die kleine Hexe
willst Du mich nicht verstehen, oder ... ?
Ich spreche ausdruecklich von einem Tscherenkovelektron. Die strahlen
nun mal auch bei
unbeschleunigter, d.h. geradlinig gleichfoermiger Bewegung. Kannst Du in
jedem besseren
Lehrbuch nachlesen. (Uebrigens gab es fuer diese nicht ganz triviale
Erkenntis in den
dreisiger Jahren einen Nobelpreis. Aber das weisst Du sicher.)
Das ich Dich so konkret gefrag habe, tut mir leid. Wird nicht wieder
vorkommen.
Ist eben sehr speziell, das Problemchen. Was mir aber ueberhaupt nicht
gefaellt:
Du drehst mir die Worte im Munde um! Lies, was ich schrieb, und Du
koenntest
Dir die Haelfte Deiner Texte sparen. Du musstest mir nicht Antworten.
Oder schreib, dass
Du dazu nichts sagen kannst. Waere alles nicht schlimm. Was mich aber
wirklich aergert,
dass Du so tust, als hoere ich das erste Mal was von Physik. Mein
Lieber, ich habe in
theoretischer Physik promoviert ...
Die kleine Hexe
Uwe Lauth
> Ein isotropes, homogenes Medium,
> als einfachster Fall zur Untersuchung der Tscherenkovstrahlung,
> unterscheidet
> sich von den Vakuumgleichung doch nur um eine (physikalisch bedeutsame)
> Konstante. Will sagen, die Mathematik ist in dem Falle GENAU dieselbe,
> wie im Vakuum.
Ich wage zu widersprechen [bei Hexen nicht ungefaehrlich :) ]
Im Ruhesystem des Mediums ist E = D / epsilon, B = mu H.
Bequemerweise im cgs-System, dann sind epsilon und mu nur
die dimensionslosen relativen Konstanten.
"Nur eine Konstante" waere das, wenn epsilon = 1 / mu.
Dann waere der (D,H)-Tensor ein Vielfaches des (E,B)-Tensors.
und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Felder waere c,
weil epsilon * mu = 1.
Meist ist aber mu fast genau 1, waehrend epsilon deutlich groesser
ist als 1. Z.B. in Wasser, wo der Cerenkov-Effekt blau leuchtet.
Die Materialgleichungen im Ruhesystem des Elektrons scheinen mir
sehr kompliziert zu sein. Ich habe anlaesslich dieses Threads versucht,
sie wie folgt herzuleiten, aber zu viel Arbeit wollte ich auch nicht
reinstecken. Das Ruhesystem des Elektrons hat den Strich'.
Gesucht ist der (E',B')-Tensor als Funktion des (H',D')-Tensors.
Bekannt ist (E,B) als Funktion von (H,D): E=D/epsilon, B=mu*H.
Also druecke ich (E',B') durch (E,B) aus (Lorentztrafo),
(E,B) durch (H,D) (Materialkonstanten) und (H,D) wieder
durch (H',D') (inverse Lorentztrafo). Viel Algebra :-)
[...]
> Es taucht tatsaechlich dann auf, wenn man das Coulombfeld
> der ruhenden Ladung in das bewegte Bezugssystem des strahlenden
> Elektrons transformiert.
Ich vermute, es liegt an den Materialgleichungen (s.o.).
Was ist in den Grenzfaellen Konstante -> 1 und v -> 0 ?
Kommt selbst dann der Faktor 2 heraus?
> Die kleine Hexe
Der Uwe
PS kam dieses Posting bei dir an? Bei mir fehlen manchmal welche.