Phasenbrechungsindex
Henning Moll
Den Gruppenbrechungsindex kann man nach der Formel von Barrel und Sears
berechnen.
Nun habe ich etwas von einem Phasenbrechungsindex gehoert.
Was muss ich darunter verstehen?
Kann mir jemand dazu Formeln angeben?
Gruss
Henning
Die kleine Hexe
Hi,
als Phasenbrechungsindex bezeichnet man das Verhältnis von
Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes in
dem betreffenden Medium. Phasenbrechungsindex und "gewöhnlicher"
Brechungsindex habe also die gleiche Bedeutung.
In den meisten Lehrbüchern zur Physik findet sích nur die kürzere
Bezeichnung "Brechungsindex", weil man dort i.d.R. über eine Besprechung der
Brechungsgesetze anhand einer ebenen monochromatischen Welle nicht hinaus
geht. In Lehrbüchern zur Lichtwellenleitertechnik aber steht von Anfang an
die Ausbreitung von Wellenpaketen im Vordergrund. Um hier Verwechslungen des
"gewöhnlichen" Brechungsindexes mit dem neu hinzutretenden
Gruppenbrechungsindex auszuschließen, bezeichnet man ihn gnauer als
Phasenbrechungsindex.
Die kleine Hexe
Henning Moll
Fuer den Gruppenbrechungsindex habe ich die formel von Barrel & Sears:
(ngr - 1)*1E06 = 287.604 + 3 * 1.6288/lam^2 + 5 * 0.0136/lam^4
Ok.
Fuer den Phasenbrechungsindex habe ich mir (durch Rueckwaertsrechnen
einer Aufgabe) nun diese Formel hergeleitet:
(nph - 1)*1E06 = 287.604 + 1 * 1.6288/lam^2 + 1 * 0.0136/lam^4
Die Koeffizienten mit den Werten 3 bzw. 5 wurden also einfach durch '1'
ersetzt. Ist das richtig?
Wenn nicht, ist das vielleicht was anderes Bedeutsames???
Gruss
Henning
Die kleine Hexe
von Henning Moll:
Hi,
die Formel von Barrel und Sears kenne ich nicht. Die Aufgabe, die Du
gerechnet hast, auch nicht. Schreib mir doch letztere und für erstere die
Quelle. Um zu verstehen, was ein Phasen- bzw. Gruppenbrechungsindex ist,
brauchst Du allerdings weder das eine, noch das andere.
Bereitet sich eine elektromagnetische Welle (Radiowellen, Licht,
Röntgenstrahlen, etc.) in einem Stoff aus, ist ihre
Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit c. Im
einfachsten Fall ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium, die
Phasengeschwindigkeit vph, gerade der n-te Teil von c:
vph = c / n.
mit konstantem n. Hier heißt n der Brechungsindex, genauer, der
Phasenbrechungsindex des Mediums. Die Phasengeschwindigkeit ist größer oder
kleiner c, je nachdem der Brechungsindex kleiner oder größer eins ist. Für
die meisten Substanzen ist der Brechungsindex größer eins, im Vakuum genau
eins. Für viele Stoffe hängt der Brechungsindex von der Wellenlänge lam der
betreffenden Welle ab: n = n(lam) und zwar auf materialspezifische, im allg.
recht komplizierte Weise. Deswegen nähert man den wellenlängenabhängigen
Verlauf des Brechungsindex durch die als Sellmeier-Reihe bekannte Formel
n^2(lam) = 1 + a1*lam^2 / (lam^2 - b1) + a2*lam^2 / (lam^2 - b2) + a3*lam^2
/ (lam^2 - b3)
deren Parameter a1, a2, a3, b1, b2, b3 dem Experiment zu entnehmen sind, an.
(Mal ganz ehrlich: Mit soviel Parametern kann man fast jeden Kurvenverlauf
hinbiegen.)
Ein Wellenpaket, das aus mehreren solchen ebenen monochromatischen Wellen,
d.h. Wellen verschiedener Wellenlänge und Frequenz, besteht, breitet sich in
einem Medium mit der Gruppengeschwindigkeit vgr aus: vgr = 1 / (d k / d
omega). k bezeichnet die Wellenzahl und omega die Frequenz. Die
Gruppengeschwindigkeit kann sich von der mittleren Phasengeschwindigkeit der
einzelnen Wellen des Packetes erheblich unterscheiden. Für
elektromagnetische Wellen kann die Formel für die Gruppengeschwindigkeit so
umgeschrieben werden, daß sie derjenigen für die Phasengeschwindigkeit
ähnelt:
vgr = c / [ n(lam) - lam*( d n(lam) / d lam ) ]
In Analogie zur obigen Formel bezeichnet man jetzt den Nenner ebenfalls als
Brechungsindex, genauer den Gruppenbrechungsindex:
ngr(lam) = n(lam) - lam*( d n(lam) / d lam )
Natürlich hat man sofort wieder das Problem der (unbekannten)
Wellenlängenabhängigkeit. Ein Weg wäre, die letzte Gleichung auf beiden
Seiten mit n(lam) zu multiplizieren.
n(lam)*nrg(lam) = n(lam)^2 - ( lam / 2 )*(d n(lam)^2 / d^2 lam)
Mit Hilfe der Sellmeier-Reihe kann jetzt der Gruppenbrechungsindex berechnet
werden. Ein anderer Weg: Die Sellmeier-Reihe nach Potenzen der Wellenlänge
lam entwickeln. Wenn man sich das aufschreibt, sieht man, daß alle Glieder
mit ungeraden Potenzen in lam wegfallen. Man hat z.B.
n(lam) = c1 + c2*lam^2 + c3 / lam^2
nrg(lam) = c1 - c2*lam^2 + 3*c3 / lam^2
Die neuen Koeffizienten können entweder über die a1-b3 der Sellmeier-Reihe
ausgerechnet werden, oder aber man passt sie direkt den Meßergebnissen an.
Ich nehme jetzt an, daß die Barrel-Sears-Formel genau so eine
Potenzreihen-Entwicklung ist mit der Aufgabenstellung angepaßten
Koeffizienten. Angenommen ich hätte die obige Entwicklung weiter getrieben,
wäre das nächste Glied nämlich c4 / lam^4. Wenn dann noch c2=0, steht die
Barrel-Sears-Formel fast schon da. Daß Du bei Deiner Rückrechnung 3 gegen 1
ersetzt, ist klar, denn wenn c2=0 stimmen die ersten beiden Glieder in der
Entwicklung für n(lam) und ngr(lam) bis auf den Faktor drei überein. Das
nächste nicht verschwindende Glied unterscheidet sich aber gerade um den
Faktor 5. Ich habe mir zwar nicht die Mühe gemacht, das aufzuschreiben.
Aber, wenn Du die 5 ausgerechnet hast, bin ich mir sicher, daß es so ist,
denn die 3 stimmt schließlich auch. Ein Vorzeichen scheint allerdings schon
verloren gegangen zu sein.
Uff !!! Schwitz :-)
Die kleine Hexe