Wieso muss die Wellenfunktion stetig sein?
Peter Straka
ich lerne gerade für meine Prüfung in Quantenmechanik und frage mich:
Warum muss in einem Kastenpotential die Eigenfunktion stetig sein?
Und warum muss sogar die erste Ableitung stetig sein, wenn die Wände
nicht unendlich hoch sind?
Vielen Dank schon mal im Voraus!
Benjamin Schulz
Mathematisch: Weil sich die Loesung der zugehoerigen
Differentialgleichungen als Wellenfunktion beschreiben laesst (bei der
das der Fall ist).
Physikalisch: Eine nichtstetige Aufenthalts-Wahrscheinlichkeitsdichte
macht einfach wenig Sinn. Schau dir einfach mal einen Doppelspalt an. Da
wirst du auch eine Intensitaetsverteilung auf dem Film erkennen, die
kontinuierlich ist.
Hendrik van Hees
> Hallo,
> ich lerne gerade für meine Prüfung in Quantenmechanik und frage mich:
> Warum muss in einem Kastenpotential die Eigenfunktion stetig sein?
> Und warum muss sogar die erste Ableitung stetig sein, wenn die Wände
> nicht unendlich hoch sind?
Betrachten wir in der Tat den Kasten mit endlich hohen Intervallen. Ich
nehme an, Du meinst die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators, welcher
in der Ortsdartellung (\hbar=1) lautet
H=-\partial_x^2/(2m)+V(x)
Dieser Operator soll nach Definition selbstadjungiert auf einem dichten
Unteraum des L^2(R,C) sein. Dazu können wir den Schwarzschen Raum S
nehmen, also den Raum der Funktionen, welche schneller fallen als jede
Potenz und beliebig oft stetig differenzierbar sind.
Dieser Raum ist allemal dicht definiert, d.h. für jede L^2-Funktion kann
eine Folge aus S gefunden werden, welche im Sinne der L^2-Norm gegen
diese Funktion konvergiert.
Du kannst auch leicht nachrechnen, daß für psi_1, psi_2 \in S gilt
<psi_1|H psi_2>=<H psi_1|psi_2>,
d.h. daß H hermitesch ist. Weiter ist mit psi \in S auch H psi \in S und
folglich H sogar selbstadjungiert.
Das mag alles übertrieben pingelig sein (die Mathematiker werden
allerdings finden, daß es noch viel zu ungenau ist ;-)), aber da
versteht man wenigstens, was los ist.
Bei unendlich hohen Wänden wird's übrigens witzig. Da kann man nicht nur
eine, sondern sogar beliebig viele selbstadjungierte Realisierungen von
H finden, die sich alle durch die Randbedingungen (an den Rändern des
Topfes) unterscheiden.
Für genaueres, schau Dir das folgende didaktische Paper von Bonneau an:
--
Hendrik van Hees Fakultät für Physik
Phone: +49 521/106-6221 Universität Bielefeld
Fax: +49 521/106-2961 Universitätsstraße 25
http://theory.gsi.de/~vanhees/ D-33615 Bielefeld
Jochen Grebing
> Warum muss in einem Kastenpotential die Eigenfunktion stetig sein?
> Und warum muss sogar die erste Ableitung stetig sein, wenn die Wände
> nicht unendlich hoch sind?
Hallo,
eine 'handwaving' Erklärung:
Die Stetigkeit ist afair nötig, damit die Wellenfunktion
quadratintegrabel ist. Und das muss sie sein, damit die
Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen irgendwo im Raum befindet,
auf 1 normiert werden kann, bzw. endlich ist.
Gruß, Jochen
Hendrik van Hees
> Die Stetigkeit ist afair nötig, damit die Wellenfunktion
> quadratintegrabel ist. Und das muss sie sein, damit die
> Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen irgendwo im Raum befindet,
> auf 1 normiert werden kann, bzw. endlich ist.
Keineswegs. Man kann gar Funktionen auf Lebesgue-Nullmengen beliebig
abändern, ohne daß sie ihre L^2-Eigenschaften verlieren.
Norbert Dragon
> Warum muss in einem Kastenpotential die Eigenfunktion stetig sein?
> Und warum muss sogar die erste Ableitung stetig sein, wenn die Wände
> nicht unendlich hoch sind?
Integriere die Eigenwertgleichungleichung
d^2/dx^2 Psi(x) = const * (V(x) - E) Psi(x)
über ein kleines Intervall, das die Sprungstelle einschließt.
Ist die Sprungstelle bei x=0 und reicht das Intervall von - epsilon/2 bis
+ epsilon/2 ergibt das Integral über die linke Seite
d/dx Psi(epsilon/2) - d/dx Psi(-epsilon/2)
Die rechte Seite ist integrabel, denn |Psi|^2 ist integrabel,
und verschwindet, wenn mit epsilon gegen Null geht. Also ist
die linke Seite, der Unstetigkeitssprung der Ableitung von Psi, Null.
Nochmaliges Integrieren ergibt auf der linken Seite den
Unstetigkeitssprung von Psi. Er verschwindet, weil die rechte Seite
im Grenzfall Epsilon gegen Null verschwindet.
Kürzer: wäre Psi(x) an einer Stelle unstetig, so hätte d Psi / dx dort
eine Delta-Funktionssingularität und d^2 Psi / dx^2 eine Singularität
wie die Ableitung der Delta-Funktion. Solch eine Singularität kommt
aber auf der rechten Seite der Eigenwertgleichung nicht vor.
--
dra...@itp.uni-hannover.de
www.itp.uni-hannover.de/~dragon
Aberglaube bringt Unglück
Peter Straka
Hendrik, du erklärst zwar, dass der Hamiltonoperator selbstadjungiert
ist, aber nicht warum die Eigenfunktion stetig sein muss. Trotzdem,
der Link zu Bonneau war sehr informativ, vielen Dank! Übrigens
studiere ich Mathematik (seit drei Jahren, und die Prüfung ist nur im
Nebenfach) und hab eigentlich schon Funktionalanalysis gehört, aber
zum Schwartzschen Raum sind wir irgendwie noch nicht gekommen. Macht
man das vielleicht in einer fortgeschritteneren Vorlesung?
Norberts Erklärung sieht mir irgendwie am klarsten und am einfachsten
aus. Ist Hendrik eigentlich auch damit einverstanden?
Auf jeden Fall vielen Dank euch allen.
Hendrik van Hees
Norberts Erklärung ist korrekt, aber sie setzt meine Erklärung voraus,
denn da wird ja der Hamiltonian in der Ortsdarstellung auf
Wellenfunktionen (also auf Spektralzerlegungen von Zustandsvektoren)
angewandt.
Als Mathematiker sollte Dir klarer sein als mir, daß es in
unendlichdimensionalen Hilberträumen darauf ankommt, den
Definitionsbereich eines (wesentlich) selbstadjungierten Operators zu
betrachten.
Die Funktionalanalysisvorlesungen der Mathematiker setzen oft andere
Schwerpunkte. Die Hilberträume sind für Mathematiker heutzutage wohl
auch nicht so interessant, vom theoretischen Standpunkt aus, weil sie
ziemlich einfach in ihrer Struktur und wohlerforscht sind.
Man kann die Quantentheorie natürlich vollständig im Hilbertraum
formulieren. Das hat J. von Neumann bereits 1932 vollendet dargestellt.
Dafür ist der zweite Teil seines berühmten Buches, welches seine
Interpretation der QT behandelt, eher verwirrend als erhellend und kann
nur als hard core Copenhagian bezeichnet werden.
Einfacher wird die moderne Formulierung im "rigged Hilbert space", wo
die sorglosen Manipulationen der Physiker mit "verallgemeinerten
Eigenvektoren" (die ich in meinem QM-Skript ja auch benutze)
mathematisch begründet werden. Das ist sehr hübsch in
L. Ballentine, Quantum Mechanics
dargestellt. Dort finden sich auch Hinweise auf mathematische Bücher.