Re: Schwerkraft

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Toni-Ketzer

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Sep 17, 2022, 6:57:02 AMSep 17
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Am 17.09.22 um 00:12 schrieb Marianne Poster:
> Was mich seit Jahren interessiert:
>
> Eigentlich müßte man in der Mitte eines Planeten schwerelos
> sein, da ja von dort aus / an diesem Punkte die Schwerkraft
> gleichzeitig in ALLE Richtungen zieht. Weshalb halten dann
> eigentlich Planeten, Sterne, Galaxien zusammen?

Diese Frage samt Ansichtsbeschreibung ignoriert den Zusammenhang.
Auch ein Planetkern besteht primär aus Atomkerne, welche ihrerseits
aufgrund deren Massen auf engsten Raum synchron schwingen. Es ist eben
diese Synchronschwingung welche aus den vielen einzelne Körper
"Atomkerne" im Raum, diese zu einen anderen Körper organisiert.

> Auch bei einsteinscher Gravitationsauslegung der "Beulen" und
> "Vertiefungen" des Raumes durch Schwerkraft gilt dasselbe: Auch
> dann wären die Verformungen nah den Massen, also nie im Zentrum
> konzentriert....

Auch hier diese Ansichtsbeschreibung ignoriert den Zusammenhang.
Lediglich die Ladung sprich kinetische Energie nach dem physikalischen
Grundprinzip "Fallgeschwindigkeit" unterscheidet lediglich die Art eines
Körper. Wobei der Raum selber aufgrund unterschiedlichster
Fallgeschwindigkeiten überhaupt existiert. Das es im Raum eben darum
irgendwelche Beulen, Vertiefungen, Verlagerungen, Expansionen,
Implosionen gibt, das wird zwar nicht unbedingt optisch beobachtet,
jedoch nachvollzogen. Irgendwo tauchen Körper irgendwo auf, diese werden
als Beobachtung archiviert. Irgendwann verschwinden diese wieder, oder
andere Körper erscheinen. Ist es der Krümmung des Raum geschuldet, oder
wurde die Ausdehnung deren Lichtwellen verworfen?

Carla Schneider

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Sep 17, 2022, 9:22:34 AMSep 17
to
Marianne Poster wrote:
>
> Was mich seit Jahren interessiert:
>
> Eigentlich müßte man in der Mitte eines Planeten schwerelos
> sein, da ja von dort aus / an diesem Punkte die Schwerkraft
> gleichzeitig in ALLE Richtungen zieht. Weshalb halten dann
> eigentlich Planeten, Sterne, Galaxien zusammen?

Die Teilchen aus der Mitte des Planeten/Stern koennen nicht entweichen
ohne die Zone des Planeten/Stern zu durchqueren in der ein
starkes Gravitationsfeld herrscht.
Interessanter ist die Frage wie sich so ein Stern ueberhaupt
aus einem Gas bilden kann, was ein ziemlich komplizierter Vorgang
ist:
https://de.wikipedia.org/wiki/Sternentstehung

> Auch bei
> einsteinscher Gravitationsauslegung der "Beulen" und
> "Vertiefungen" des Raumes durch Schwerkraft gilt dasselbe: Auch
> dann wären die Verformungen nah den Massen, also nie im Zentrum
> konzentriert....
Braucht man da nicht.

Thomas 'PointedEars' Lahn

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Sep 20, 2022, 7:37:32 AMSep 20
to
Marianne Poster wrote:
^^^^^^^^^^^^^^^
Falls das nicht Dein richtiger Name sein sollte, dann gib bitte Deinen
richtigen Namen an. Das gilt hier im deutschsprachigen Usenet als höflich
und erhöht daher die Wahrscheinlichkeit für sinnvolle Antworten.

> Eigentlich müßte man in der Mitte eines Planeten schwerelos
> sein, da ja von dort aus / an diesem Punkte die Schwerkraft
> gleichzeitig in ALLE Richtungen zieht.

Das ist im Prinzip richtig. Die Gravitationskräfte gleichen sich in diesem
Punkt aber nur auf jeden Fall dann aus, wenn die Masse-Ansammlung
kugelsymmetrisch ist, da dann für alle von dort entfernten Volumenelemente
dieselbe, nur vom Abstand abhängige Beziehung gilt. Das heisst, jedes
Volumenelement im gleichen Abstand übte dieselbe gravitative Anziehung auf
den Testkörper im Zentrum aus, so dass sich die Gravitationskräfte aufheben.

In der Praxis ist das nicht so: Das Gravitationszentrum von Terra etwa ist
leicht verschieden vom Massezentrum und vom geometrischen Zentrum („Mitte
des Planeten“).

Die Gravitationskraft in diesem Punkt wäre aber auch dann 0, wenn es sich um
ein (personengrosses) Loch im Planeten handeln würde, also dort keine Masse
bzw. (weil das physikalisch nicht möglich ist) im Vergleich zur Person eine
sehr geringe, aber gleich verteilte Masse (z. B. die von Luft) befände.

Theoretisch herleiten lässt sich die Tatsache, dass die Gravitationskraft
innerhalb einer Massenschale 0 ist auch aus dem Gauß’schen Gesetz für die
Gravitation unter Anwendung des Satzes von Gauß (und einiger Annahmen für
das Gravitationsfeld g⃗):

∇ · g⃗ = −4π G ρ,

wobei g⃗ das Gravitationsfeld ist und ρ die Massendichte. Wir können ein
(*dasselbe*) Volumenintegral jeder Seite berechnen, was an der Identität
nichts ändert:

∫∫∫_V d³x⃗ [∇ · g⃗(x⃗)] = −4π G ∫∫∫_V d³x ρ(x⃗)

Auf der linken Seite können wir den Satz von Gauß anwenden. Dadurch wird
aus dem Integral über das Volumen ein Integral über die Fläche, die dieses
Volumen einschliesst. Auf der rechten Seite ergibt sich einfach die
Gesamtmasse bis einschliesslich zum Radius r:

∫∫_∂V d²x⃗ · g⃗(x⃗) = −4π G ∫∫∫_V d³x ρ(x⃗).

Wenn wir Kugelsymmetrie annehmen, ist es hilfreich, als Volumen eine Kugel
anzunehmen und in Kugelkoordinaten zu rechnen. Dann sind die nach aussen
zeigende Flächennormale und der Vektor des Gravitationsfelds zueinander
antiparallel (die Gravitationskraft ist eine Zentripetalkraft, der
entsprechende Vektor zeigt also nach innen). Auf der rechten Seite ergibt
sich einfach die Gesamtmasse bis einschliesslich zum Radius r:

−∫∫_∂V d²r g(r⃗) = −4π G ∫∫∫_V d³r⃗ ρ(r⃗).

[Als Kugelkoordinaten kann man r, θ und φ mit

x = r sin(θ) cos(φ)
y = r sin(θ) sin(φ)
z = r cos(θ)

wählen. Der Radiusvektor ist r⃗ = (x, y, z) [wie man sieht, hat er
tatsächlich die euklidische Norm r, die gewählten Koordinaten sind also
geeignet]. Damit lässt sich die Fläche der Kugel parametrisieren über
das Flächenelement

d²r = dθ dφ |∂r⃗/∂θ × ∂r⃗/∂φ|
= dθ dφ |∂r⃗/∂θ| |∂r⃗/∂φ|
= dθ dφ r · r sin(θ)
= dθ dφ r² sin(θ).

Letztere sehr hilfreiche Vereinfachung (man muss kein Kreuzprodukt
mehr berechnen) ergibt sich, weil |a⃗ × b⃗| = |a⃗| |b⃗| sin[∠(a⃗, b⃗)],
und ∂r⃗/∂θ · ∂r⃗/∂φ = 0, beide Vektoren also senkrecht aufeinander
stehen :)]

⇔ −r² ∫_0^π dθ sin(θ) ∫_0^{2π} g(r) = −4π G M(r)

⇔ −4π r² g(r) = −4π G M(r)

⇔ g(r) = G M(r)/r².

Wenn sich aber nun zwischen dem Zentrum (r' = 0) und r' = r keine Masse
befindet, also für alle r' in diesem Bereich die Massendichte ρ(r') = 0 ist,
dann ist das Integral auf der rechten Seite 0. Es folgt daraus, dass auch
die Stärke des Gravitationsfelds bei diesem Radius r (r < R) null ist:

g(r) = G/r² · M(r) = G/r² · 0 = 0.

> Weshalb halten dann eigentlich Planeten, Sterne, Galaxien zusammen?

Weil sich ihre (makroskopischen) Teilchen gegenseitig anziehen.

> Auch bei einsteinscher Gravitationsauslegung der "Beulen" und
> "Vertiefungen" des Raumes durch Schwerkraft

Diese Darstellung der RaumZEITkrümmung ist falsch. Siehe auch:

Veritasium: “Why Gravity is NOT a Force”
<https://www.youtube.com/watch?v=XRr1kaXKBsU>

> gilt dasselbe: Auch dann wären die Verformungen nah den Massen,
> also nie im Zentrum konzentriert....

Ein einfacher Merksatz der Physik (der zumindest im makroskopischen Fall
richtig ist) lautet: Wo ein Körper ist, kann kein zweiter sein.

Der hypothetische Fall, dass sich in der Mitte eines Himmelskörpers ein
Loch befindet (das dann von der o.g. hypothetischen Person ausgefüllt werden
könnte), tritt praktisch niemals ein, weil Himmelskörper von innen nach
aussen entstehen: Zuerst gibt es eine Materieansammlung, und diese zieht
solange die umgebende Materie an, bis entweder nicht mehr genügend Materie
in der Nähe ist oder die umgebende Materie sich zu schnell bewegt, um auf
die gewachsende Materieansammung zu fallen.


PointedEars
--
“Science is empirical: knowing the answer means nothing;
testing your knowledge means everything.”
—Dr. Lawrence M. Krauss, theoretical physicist,
in “A Universe from Nothing” (2009)

Thomas 'PointedEars' Lahn

unread,
Sep 24, 2022, 7:59:55 PM (9 days ago) Sep 24
to
Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:

> […]
> Theoretisch herleiten lässt sich die Tatsache, dass die Gravitationskraft
> innerhalb einer Massenschale 0 ist auch aus dem Gauß’schen Gesetz für die
> Gravitation unter Anwendung des Satzes von Gauß (und einiger Annahmen für
> das Gravitationsfeld g⃗):
>
> ∇ · g⃗ = −4π G ρ,
>
> wobei g⃗ das Gravitationsfeld ist und ρ die Massendichte. Wir können ein
> (*dasselbe*) Volumenintegral jeder Seite berechnen, was an der Identität
> nichts ändert:
>
> ∫∫∫_V d³x⃗ [∇ · g⃗(x⃗)] = −4π G ∫∫∫_V d³x ρ(x⃗)
>
> Auf der linken Seite können wir den Satz von Gauß anwenden. Dadurch wird
> aus dem Integral über das Volumen ein Integral über die Fläche, die dieses
> Volumen einschliesst. Auf der rechten Seite ergibt sich einfach die
> Gesamtmasse bis einschliesslich zum Radius r:
>
> ∫∫_∂V d²x⃗ · g⃗(x⃗) = −4π G ∫∫∫_V d³x ρ(x⃗).
>
> Wenn wir Kugelsymmetrie annehmen, ist es hilfreich, als Volumen eine Kugel
> anzunehmen und in Kugelkoordinaten zu rechnen. Dann sind die nach aussen
> zeigende Flächennormale und der Vektor des Gravitationsfelds zueinander
> antiparallel (die Gravitationskraft ist eine Zentripetalkraft, der
> entsprechende Vektor zeigt also nach innen). Auf der rechten Seite ergibt
> sich einfach die Gesamtmasse bis einschliesslich zum Radius r:
>
> −∫∫_∂V d²r g(r⃗) = −4π G ∫∫∫_V d³r⃗ ρ(r⃗).
> […]
>
> ⇔ −r² ∫_0^π dθ sin(θ) ∫_0^{2π} g(r) = −4π G M(r)
>
> ⇔ −4π r² g(r) = −4π G M(r)
>
> ⇔ g(r) = G M(r)/r².
>
> Wenn sich aber nun zwischen dem Zentrum (r' = 0) und r' = r keine Masse
> befindet, also für alle r' in diesem Bereich die Massendichte ρ(r') = 0
> ist,
> dann ist das Integral auf der rechten Seite 0. Es folgt daraus, dass auch
> die Stärke des Gravitationsfelds bei diesem Radius r (r < R) null ist:
>
> g(r) = G/r² · M(r) = G/r² · 0 = 0.
>
> […]
>> gilt dasselbe: Auch dann wären die Verformungen nah den Massen,
>> also nie im Zentrum konzentriert....
>
> Ein einfacher Merksatz der Physik (der zumindest im makroskopischen Fall
> richtig ist) lautet: Wo ein Körper ist, kann kein zweiter sein.
>
> Der hypothetische Fall, dass sich in der Mitte eines Himmelskörpers ein
> Loch befindet (das dann von der o.g. hypothetischen Person ausgefüllt
> werden könnte), tritt praktisch niemals ein, weil Himmelskörper von innen
> nach aussen entstehen: Zuerst gibt es eine Materieansammlung, und diese
> zieht solange die umgebende Materie an, bis entweder nicht mehr genügend
> Materie in der Nähe ist oder die umgebende Materie sich zu schnell bewegt,
> um auf die gewachsende Materieansammung zu fallen.

Ergänzend:

Für das Gravitationsfeld *ausserhalb* einer Massenschale spielt die Art, wie
die Masse *innerhalb* der Schale verteilt ist, tatsächlich keine Rolle.
Auch das lässt sich dem Gauß'schen Gesetz (für Ladungen in der Elektrostatik
äquivalent zur 1. Maxwell-Gleichung) bzw. der Lösung der Poisson-Gleichung
für ein radialsymmetrisches Potential entnehmen.

Wir hatten zuvor für eine radialsymmetrische Masseverteilung allgemein
hergeleitet:

r² g(r) = G M(r).

Ist nun r ≥ R, wobei R der äussere Radius ist, an dem die Dichte 0 wird, so
wird daraus

r² g(r) = G M(R) = G M

und wir finden für die Gravitationsbeschleunigung ausserhalb des Körpers
eben die bekannte Tatsache, dass sie proportional zur Masse des
Zentralkörpers und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zu
seinem Massezentrum ist:

g(r) = G M(R) = G M/r²

bzw. vektoriell

g⃗(r) = −G M/r² r⃗/r.

Durch Multiplikation mit der Masse m eines zweiten Körpers ergibt sich das
Newtonsche Gravitationsgesetz:

F = m a = m g(r) = G M m/r²

bzw. vektoriell

F⃗ = m a⃗ = m g⃗(r) = −G M m/r² r⃗/r.

Aus dem Gauß’schen Gesetz für die Gravitationskraft ergibt sich ausserdem
eine Poisson-Gleichung für das Gravitationsfeld, denn wir wissen, dass die
Gravitationskraft eine konservative Kraft ist:

∇ × F⃗ = ∇ × (−G M m/r² r⃗/r) = −G M m (∇ × r⃗/r³).

∇ × r⃗ = (∂_x, ∂_y, ∂_z) × (x, y, z)
= (∂_y z − ∂_z y, ∂_z x − ∂_x z, ∂_x y − ∂_y x)
= 0⃗

⇒ ∇ × F⃗ = ∇ × g⃗ = 0⃗.

Daraus folgt äquivalent über den Satz von Stokes, dass insbesondere
geschlossene Linienintegrale über das Gravitationsfeld 0 sind, also
Linienintegrale über das Feld wegunabhängig sind –

∯_Σ d²r⃗ · (∇ × F⃗) = ∮_∂Σ dr⃗ · F⃗ = 0.

Es muss also ein skalares Gravitationspotential Φ(r⃗) mit g⃗(r⃗) = −∇Φ(r⃗)
geben, so dass es lediglich auf die Endpunkte ankommt:

∮_r⃗₁^r⃗₂ dr⃗ · g⃗(r⃗) = ∮_r⃗₁^r⃗₂ dr⃗ · [−∇Φ(r⃗)]
= −∮_r⃗₁^r⃗₂ dr⃗ · d/dr⃗ Φ(r⃗)
= −/dr⃗ ∮_r⃗₁^r⃗₂ dr⃗ · Φ(r⃗)
= −[Φ(r⃗₂) − Φ(r⃗₁)].
= Φ(r⃗₁) − Φ(r⃗₂).

Somit ergibt sich die Poisson-Gleichung für die Gravitation:

∇ · g⃗ = ∇ · [−∇Φ(r⃗)] = −∇ · [∇Φ(r⃗)] = −ΔΦ = −4π G ρ(r⃗),
⇔ ΔΦ = 4π G ρ(r⃗) =: β(r),

wobei Δ der Laplace-Operator ist. Die allgemeine Lösung ist

Φ(r⃗) = −1/(4π) ∫_ℝ³ d³r⃗' β(r⃗')/(|r⃗ − r⃗'|).

Für ein radialsymmetrisches Potential nimmt die Lösung der Gleichung die
folgende einfache Form an:

Φ(r) = −1/(4π) · M(r)/r − r ∫_r^R dr β(r),

wobei

M(r) ≔ 4π ∫_0^r dr r² β(r),

somit für β(r) = 4π G ρ(r):

Φ(r) = −1/(4π) · M(r)/r − r ∫_r^R dr β(r')
= −1/(4π) · 1/r 4π ∫_0^r dr' r'² β(r') − r ∫_r^R dr' β(r')
= −1/r ∫_0^r' dr r'² 4π G ρ(r') − r ∫_r^R dr' 4π G ρ(r')
= −G/r ∫_0^r dr' r'² 4π ρ(r') − r ∫_r^R dr' 4π G ρ(r')
= −G/r ∰_{0 ≤ r' ≤ r} d³r⃗' ρ(r') − r ∫_r^R dr' 4π G ρ(r').

Das erste Integral liefert wiederum die Masse vom Zentrum bis zum Radius r:

Φ(r) = −G M(r)/r − r ∫_r^R dr' 4π G ρ(r').

Für r ≥ R liefert das erste Integral wiederum die Gesamtmasse und das zweite
Integral ist gleich 0:

Φ(r) = −G/r ∫_V dV ρ(r) − r ∫_r^R dr' 4π G ρ(r') = −G M/r.

⇒ g⃗(r) = −∇Φ(r) = −G M/r² r⃗/r. [Was wir durch Newton schon wussten.]


Das heisst jeweils: Selbst wenn sich in der Mitte eines Himmelskörpers ein
(kleines) Loch befände, so hat das keine Auswirkung auf das Gravitationsfeld
*ausserhalb* des Lochs. Ob es da ein (kleines) Loch gibt (bzw. ein solches
entsteht), ist also tatsächlich für die Entstehung des Himmelskörpers
irrelevant: Bei radialsymmetrischer Verteilung fallen andere Körper genau so
auf ihn als wenn seine gesamte Masse in seinem Zentrum konzentriert wäre.


PointedEars
--
Q: Who's on the case when the electricity goes out?
A: Sherlock Ohms.

(from: WolframAlpha)
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