Brechen kanonische Kommutatorrelationen fuer Felder nicht Lorentz-Invarianz?
Denis Besak
Quantenfeldtheorie ergeben hat: Warum postuliert man als kanonische
Kommutatorrelationen fuer Felder sowas wie
[\phi(\vec x,t),\phi(\vec x',t)] = i\delta(\vec x - \vec x'),
obwohl die Bedingung t = t' nicht Lorentz-Invariant ist? Bricht das
nicht die Lorentz-Invarianz der Theorie? Oder anders gefragt: Woher
weiss ich, dass ich das Postulat so formulieren muss und nicht das
zunaechst naeherliegende
[\phi(x),\phi(x')] = i\delta(x - x')
mit Vierervektoren x,x'? Scheck schreibt in seinem Buch, dass die
obige Bedingung trotzdem kovariant ist und man das, wenn man das so
nicht sieht, stattdessen anstelle der Bedingung t = t' die
Kommutatorrelation auf einer raumartigen Hyperflaeche fordern darf.
Das ist mir aber auch nicht klar, wie das gemeint ist.
Danke schonmal!
Denis Besak
Andreas Most
> Wieder mal ne Frage, die sich im Rahmen meiner Tutor-Taetigkeit in der
> Quantenfeldtheorie ergeben hat: Warum postuliert man als kanonische
> Kommutatorrelationen fuer Felder sowas wie
>
> [\phi(\vec x,t),\phi(\vec x',t)] = i\delta(\vec x - \vec x'),
Du meinst wohl sowas wie [\phi,\pi] oder [\phi,\phi^\dag].
[\phi,\phi] verschwindet f�r alle Raumzeitpunkte.
>
> obwohl die Bedingung t = t' nicht Lorentz-Invariant ist? Bricht das
> nicht die Lorentz-Invarianz der Theorie?
Man muss sich vergegenw�rtigen, dass der Kommutator nur bei denselben
Raumzeitpunkten nicht verschwindet. F�r x=x' und t=t' gilt auch f�r die
mit dem Lorentzboost L transformierten Gr��en
L (x,t) = L (x',t')
Die wichtige Aussage der obigen Beziehung ist, dass der Kommutator f�r
raumartige Abst�nde verschwindet.
> Oder anders gefragt: Woher
> weiss ich, dass ich das Postulat so formulieren muss und nicht das
> zunaechst naeherliegende
>
> [\phi(x),\phi(x')] = i\delta(x - x')
Eigentlich ist es
[\phi(x),\pi(y)] = i\Delta(x-y)
Die invariante Funktion \Delta(x) reduziert sich zu \delta(x) f�r
x_0=0, ist aber nicht 0 f�r zeitartige Abst�nde. (Das ist dann gerade
die Mikrokausalit�t)
Der Grund, warum man die Kommutatorbeziehung nicht mit der
vierdimnsionalen Deltafunktion formuliert, ist, dass man die Masse von
vornherein festgelegt hat, Das ist wiederum notwendig, um den h�sslichen
Kommutator [p_0,x_0] = [H,t] zu vermeiden, der verhindern w�rde, dass
die Energie nach unten beschr�nkt und eben quantisiert ist.
(Ich hoffe, dass ist so ungef�hr richtig, was ich aus dem Ged�chtnis
wiedergebe.)
Andreas.
Denis Besak
> Du meinst wohl sowas wie [\phi,\pi] oder [\phi,\phi^\dag].
> [\phi,\phi] verschwindet für alle Raumzeitpunkte.
>
Ups, natuerlich, das zweite ist ein pi und kein phi.
> Der Grund, warum man die Kommutatorbeziehung nicht mit der
> vierdimnsionalen Deltafunktion formuliert, ist, dass man die Masse von
> vornherein festgelegt hat, Das ist wiederum notwendig, um den hässlichen
> Kommutator [p_0,x_0] = [H,t] zu vermeiden, der verhindern würde, dass
> die Energie nach unten beschränkt und eben quantisiert ist.
> (Ich hoffe, dass ist so ungefähr richtig, was ich aus dem Gedächtnis
> wiedergebe.)
>
Kannst du das genauer ausfuehren? Was das mit der Masse und der nach
unten beschraenkten Energie zu tun hat ist mir nicht klar.
Andreas Most
> On 14 Mai, 12:39, Andreas Most <Andreas.M...@nospam.invalid> wrote:
>
>> Du meinst wohl sowas wie [\phi,\pi] oder [\phi,\phi^\dag].
>> [\phi,\phi] verschwindet f�r alle Raumzeitpunkte.
>>
>
> Ups, natuerlich, das zweite ist ein pi und kein phi.
>
>> Der Grund, warum man die Kommutatorbeziehung nicht mit der
>> vierdimnsionalen Deltafunktion formuliert, ist, dass man die Masse von
>> vornherein festgelegt hat, Das ist wiederum notwendig, um den h�sslichen
>> Kommutator [p_0,x_0] = [H,t] zu vermeiden, der verhindern w�rde, dass
>> die Energie nach unten beschr�nkt und eben quantisiert ist.
>> (Ich hoffe, dass ist so ungef�hr richtig, was ich aus dem Ged�chtnis
>> wiedergebe.)
>>
>
> Kannst du das genauer ausfuehren? Was das mit der Masse und der nach
> unten beschraenkten Energie zu tun hat ist mir nicht klar.
Ich bin mir nicht sicher, wie korrekt meine Aussage dazu ist.
Jedenfalls ist es schon in der nichtrelativistischen QM nicht m�glich,
einen Zeitoperator zu definieren, weil sonst die Energie nicht nach
unten beschr�nkt w�re, da ein Operator T Generator f�r
Energieverschiebungen w�re. Deswegen wird t nur als Parameter
verwendet.
Dem kann in einer relativistischen Theorie Rechnung getragen werden,
wenn die P^\mu nicht als unabh�ngige Operatoren angesehen werden sondern
ihnen �ber die Massenformel eine Beziehung zugeordnet wird:
H = P_0 = \vec{P}^2 +m^2
Jedefalls werden in Quantenfeldtheorien Felder mit vorgegebener Masse
betrachtet. Vielleicht hilft Dir noch Abschnitt 3.4 in Hendriks Skript
weiter: http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/publ/lect.pdf
Andreas.
Norbert Dragon
> H = P_0 = \vec{P}^2 +m^2
H = Wurzel(m^2 + p^2)
ist lesbarer und richtiger.
--
Aberglaube bringt Ungl�ck
Andreas Most
> * Andreas Most schreibt:
>
>> H = P_0 = \vec{P}^2 +m^2
>
> H = Wurzel(m^2 + p^2)
>
> ist lesbarer und richtiger.
Ups. Danke f�r die Korrektur.
Ich hatte schon Widerspruch ob meiner tollpatschigen Darstellung
erwartet...
Andreas.
Norbert Dragon
> Ich hatte schon Widerspruch ob meiner tollpatschigen Darstellung
> erwartet...
Ach was, weder toll noch patsch, sondern hilfreich.
Denis Besak
> Jedenfalls ist es schon in der nichtrelativistischen QM nicht möglich,
> einen Zeitoperator zu definieren, weil sonst die Energie nicht nach
> unten beschränkt wäre, da ein Operator T Generator für
> Energieverschiebungen wäre. Deswegen wird t nur als Parameter
> verwendet.
In der nichtrelativistischen QM sehe ich darin auch kein Problem, in
der relativistischen Formulierung stoert es mich aber irgendwie schon.
Eigentlich komisch, dass mir das nicht frueher schon mal aufgefallen
ist sondern erst jetzt, wo ich die Tutortaetigkeit zum Anlass nehme
endlich mal eine Kurzzusammenfassung der QFT (aehnlich zum van
Hees'schen Skript wenn auch anders aufgebaut) zu schreiben... *g*
> Jedefalls werden in Quantenfeldtheorien Felder mit vorgegebener Masse
> betrachtet. Vielleicht hilft Dir noch Abschnitt 3.4 in Hendriks Skript
> weiter:http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/publ/lect.pdf
"It should be kept in mind that the Poisson brackets are only defined
for functionals at one instant
of time. That means that a Poisson bracket makes only sense if the
quantities entering have equal
time arguments."
Vielleicht stelle ich mich ja echt doof an, aber: Warum? Warum kann
ich keine verallgemeinerten Poissonklammern definieren bei denen ueber
d^4 x statt ueber d^3 x integriert wird? Wenn das wirklich nur so
definiert werden kann weil es sonst ein allgemeines Prinzip verletzt,
dann waere gemaess Korrespondenzprinzip klar, dass man die
Kommutatorrelation bei gleicher Zeit fordern muss.
Bzgl. der Masse finde ich in dem Abschnitt nichts, und auch im Anhang
B hab ich das nicht gefunden.
Andreas Most
> On 14 Mai, 14:58, Andreas Most <Andreas.M...@nospam.invalid> wrote:
>
>> Jedenfalls ist es schon in der nichtrelativistischen QM nicht
>> m�glich, einen Zeitoperator zu definieren, weil sonst die Energie
>> nicht nach unten beschr�nkt w�re, da ein Operator T Generator f�r
>> Energieverschiebungen w�re. Deswegen wird t nur als Parameter
>> verwendet.
>
> In der nichtrelativistischen QM sehe ich darin auch kein Problem, in
> der relativistischen Formulierung stoert es mich aber irgendwie schon.
> Eigentlich komisch, dass mir das nicht frueher schon mal aufgefallen
> ist sondern erst jetzt, wo ich die Tutortaetigkeit zum Anlass nehme
> endlich mal eine Kurzzusammenfassung der QFT (aehnlich zum van
> Hees'schen Skript wenn auch anders aufgebaut) zu schreiben... *g*
Das Problem ist, dass man im Lagrange- und Hamiltonformalismus einen
Parameter festlegen muss, der die Bewegungsgleichungen beschreibt.
Dies bricht aber nur scheinbar die Raumzeitsymmetrie, weil das Ergebnis
immer noch h�bsch lorentzinvariant bleibt.
>> Jedefalls werden in Quantenfeldtheorien Felder mit vorgegebener Masse
>> betrachtet. Vielleicht hilft Dir noch Abschnitt 3.4 in Hendriks
>> Skript weiter:
>> http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/publ/lect.pdf
>
> "It should be kept in mind that the Poisson brackets are only defined
> for functionals at one instant of time. That means that a Poisson
> bracket makes only sense if the quantities entering have equal time
> arguments."
>
> Vielleicht stelle ich mich ja echt doof an, aber: Warum? Warum kann
> ich keine verallgemeinerten Poissonklammern definieren bei denen ueber
> d^4 x statt ueber d^3 x integriert wird?
Naja, in der Stringtheorie wird so was �hnliches gemacht, indem
tats�chlich die Quantisierungsvorschrift
[X^m, P^n] = i g^mn
gefordert wird. Daraus erh�lt man dann eben auch ein Massenspektrum.
(Dabei ist die Eigenzeit tau der freie Parameter im Hamiltonformalismus)
Das kann man zwar auch f�r Punktteilchen so machen (siehe
z.B. Polchinski - String Theory, Cambridge University Press 1998),
aber man erh�lt kein diskretes Massenspektrum daraus. Deswegen muss die
Masse festgelegt werden und deswegen sind die Raumzeitkoordinaten nicht
v�llig unabh�ngig voneinander.
> Wenn das wirklich nur so definiert werden kann weil es sonst ein
> allgemeines Prinzip verletzt, dann waere gemaess Korrespondenzprinzip
> klar, dass man die Kommutatorrelation bei gleicher Zeit fordern muss.
Das Korrespondenzprinzip ist eigentlich nur eine Richtlinie, mit der man
die Quantisierungsvorschrift erraten kann. Man kann nicht beliebige
Poissonklammerausdr�cke hernehmen, und dort Kommutatoren einsetzen.
(Siehe http://www.mth.kcl.ac.uk/~streater/lostcauses.html#XVI)
> Bzgl. der Masse finde ich in dem Abschnitt nichts, und auch im Anhang
> B hab ich das nicht gefunden.
Leider habe ich zu dem Thema auch noch nichts gefunden.
Was ich hier wiedergebe, stammt haupts�chlich aus Diskussionen mit
Norbert Dragon hier auf d.s.p. und aus meinen Versuchen, die kanonische
Quantisierung der Stringtheorie zu verstehen.
(Mit o.g. Quantisierungsvorschrift gibt es noch einen kleinen Haken bei
der Konstruktion des Hilbertraumes f�r Strings, da in der Norm der
Zust�nde eine Deltafunktion �brigbleibt. Bislang habe ich dazu auch nur
die Darstellung von Polchinski gefunden)
Andreas.
Denis Besak
>
> Das Problem ist, dass man im Lagrange- und Hamiltonformalismus einen
> Parameter festlegen muss, der die Bewegungsgleichungen beschreibt.
> Dies bricht aber nur scheinbar die Raumzeitsymmetrie, weil das Ergebnis
>
Also Lagrange ist doch manifest kovariant?! Aber bei Hamilton hast du
wohl recht, da ist die Zeitableitung irgendwie ausgezeichnet wegen der
Abhaengigkeit von pi = \partial_t \phi. Also kann man sagen dass dies
letztlich der Grund fuer die Sonderrolle der Zeit ist, dass man den
Hamiltonformalismus benutzt und dieser eben nicht mehr manifest
kovariant ist sondern (zumindest augenscheinlich) Zeit und Ort
unterschiedlich behandelt? Und dass sich das deswegen auch in den
geforderten Kommutatorregeln widerspiegeln muss? Das waere eine
Erklaerung mit der ich wohl zufrieden waere. :-) (Dann wuesste ich nur
noch gerne, was Scheck mit seiner Formulierung auf der raumartigen
Hyperflaeche meint.)
> aber man erhält kein diskretes Massenspektrum daraus. Deswegen muss die
> Masse festgelegt werden und deswegen sind die Raumzeitkoordinaten nicht
> völlig unabhängig voneinander.
OK, das ist mir allerdings voellig neu. Aber vielleicht muss ich das
ja auch gar nicht mehr so genau verstehen. In Stringtheorie bin ich
sowieso nicht bewandert. *g*
> Das Korrespondenzprinzip ist eigentlich nur eine Richtlinie, mit der man
> die Quantisierungsvorschrift erraten kann. Man kann nicht beliebige
> Poissonklammerausdrücke hernehmen, und dort Kommutatoren einsetzen.
Ja gut, stimmt schon. Eigentlich ist das ja auch rueckwaerts gedacht,
man muesste von der Quantentheorie ausgehen und den klassischen Limes
bilden anstatt die Quantentheorie aus selbigem rekonstruieren zu
wollen. Die Normalordnung wird einem ja auch nicht vom
Korrespondenzprinzip geliefert.
Hendrik van Hees
> In der nichtrelativistischen QM sehe ich darin auch kein Problem, in
> der relativistischen Formulierung stoert es mich aber irgendwie schon.
> Eigentlich komisch, dass mir das nicht frueher schon mal aufgefallen
> ist sondern erst jetzt, wo ich die Tutortaetigkeit zum Anlass nehme
> endlich mal eine Kurzzusammenfassung der QFT (aehnlich zum van
> Hees'schen Skript wenn auch anders aufgebaut) zu schreiben... *g*
Es ist klar, daß a priori der kanonische Formalismus erst einmal die
Lorentzinvarianz zu brechen scheint. In Wirklichkeit tut er das
natürlich nicht, denn man konstruiert sich ja die Quantentheorie gerade
so, daß auf dem Hilbertraum eine Strahldarstellung der eigentlich
orthochronen Poincaregruppe existiert, und das ist gerade die in der
Natur realisierte Poincareinvarianz (die schwache WW verletzt die
diskreten Symmetrien P, T, CP, also ist es nur die eigentlich
orthochrone Gruppe, die realisiert sein muß).
Viel wichtiger noch ist, daß observable Größen, also in der Vakuum-QFT
S-Matrixelemente (bzw. deren Absolutbetragsquadrate) Poincare-invariant
sind. Dazu benötigt man die Forderung der Mikrokausalität, also das
Vertauschen lokaler Observablen (wie Energie-, Impuls-, Drehimpuls-,
Ladungsdichten) auf raumartigen Abständen, und das ist für die
physikalisch relevanten unitären irreduziblen Darstellungen der
Poincaregruppe und die resultierenden Feldoperatoren elementarer
Teilchen und folglich auch für beliebige Vielteilchenzustände erfüllt.
Das alles findet sich in schönster Klarheit in Weinberg, QT of Fields,
Vol. I ausgearbeitet.
> Vielleicht stelle ich mich ja echt doof an, aber: Warum? Warum kann
> ich keine verallgemeinerten Poissonklammern definieren bei denen ueber
> d^4 x statt ueber d^3 x integriert wird? Wenn das wirklich nur so
> definiert werden kann weil es sonst ein allgemeines Prinzip verletzt,
> dann waere gemaess Korrespondenzprinzip klar, dass man die
> Kommutatorrelation bei gleicher Zeit fordern muss.
Definieren kannst Du viel. Nur welche physikalische Bedeutung sollen
solche Klammern haben? Natürlich folgen allgemeinere Kommutatoren aus
der Zeitentwicklung der Operatoren aus denen für gleiche Zeiten. So
findest Du in älteren Lehrbüchern die allgemeinen Kommutatoren von
Feldoperatoren und kanonischen Feldimpulsoperatoren berechnet. Sehr
ausführlich ist das im (leider total veralteten) Bd. 6 der
Pauli-Lectures vorgerechnet.
>
> Bzgl. der Masse finde ich in dem Abschnitt nichts, und auch im Anhang
> B hab ich das nicht gefunden.
Du wirst dort nur finden, daß die physikalisch interessanten
Darstellungen gerade die zu Teilchen mit m^2>0 und m^2=0 sind, und daß
beide durchaus unterschiedliche Charakteristiken haben.
Die an sich mathematisch interessante Frage eines Ortsoperators für
masselose Teilchen mit Spin, halte ich vom pragmatischen Standpunkt für
physikalisch relativ überflüssig. Ein Photon beispielsweise ist imho
dort, wo es detektiert wird, und der Ort dieses Registrierungsprozesses
ist durch den Meßapparat festgelegt. Da der Meßapparat nicht masselos
sondern gar makroskopisch ist, stellt die Definition einer
Ortsobservablen (mit der immer vorhandenen Ungenauigkeit!) kein Problem
dar ;-).
--
Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universität Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/
Hendrik van Hees
> Also Lagrange ist doch manifest kovariant?! Aber bei Hamilton hast du
> wohl recht, da ist die Zeitableitung irgendwie ausgezeichnet wegen der
> Abhaengigkeit von pi = \partial_t \phi. Also kann man sagen dass dies
> letztlich der Grund fuer die Sonderrolle der Zeit ist, dass man den
> Hamiltonformalismus benutzt und dieser eben nicht mehr manifest
> kovariant ist sondern (zumindest augenscheinlich) Zeit und Ort
> unterschiedlich behandelt? Und dass sich das deswegen auch in den
> geforderten Kommutatorregeln widerspiegeln muss? Das waere eine
> Erklaerung mit der ich wohl zufrieden waere. :-) (Dann wuesste ich nur
> noch gerne, was Scheck mit seiner Formulierung auf der raumartigen
> Hyperflaeche meint.)
Das Problem mit dem Lagrangeformalismus (z.B. im Pfadintegralzugang)
ist, daß Du damit nicht problemlos quantisieren kannst. Du willst z.B.
eine unitäre S-Matrix haben, und das ist durch die Selbstadjungiertheit
des Hamiltonoperators und die Mikrokausalität gewährleistet.
Wenn Du einfach naiv die Lagrangesche Form des Pfadintegrals für eine
klassische Feldtheorie anschreibst, geht das oft gut, aber eben nicht
immer. Du mußt also immer mit dem Hamiltonschen Pfadintegral anfangen
und dann sorgfältig die kanonisch konjugierten Feldimpulse
ausintegrieren, um zur korrekten Lagrangeschen Version zu gelangen. In
meinem Skript ist das für Eichtheorien (abelsche und nichtabelsche) ein
wenig erkläutert. Da geht aber bei hinreichend gutmütigen Eichungen die
naive Lagrangepfadintegralquantisierung gut. Es geht nicht mehr gut,
wenn man z.B. chirale effektive Modelle betrachtet. Vgl. auch dazu
Weinberg, QT of Fields (ich weiß nicht mehr ob in I oder II).
Norbert Dragon
> Die an sich mathematisch interessante Frage eines Ortsoperators f�r
> masselose Teilchen mit Spin, halte ich vom pragmatischen Standpunkt f�r
> physikalisch relativ �berfl�ssig. Ein Photon beispielsweise ist imho
> dort, wo es detektiert wird, und der Ort dieses Registrierungsprozesses
> ist durch den Me�apparat festgelegt. Da der Me�apparat nicht masselos
> sondern gar makroskopisch ist, stellt die Definition einer
> Ortsobservablen (mit der immer vorhandenen Ungenauigkeit!) kein Problem
> dar ;-).
Wo die Theorie nicht pa�t, nimmt man halt das Experiment?
Widerlegt das nicht die Theorie?
Kennst Du eine Me�anordnung, die zur Zeit t feststellt, wo sich das
Photon im Einteilchenzustand Psi befindet? Ich nicht. Ich kenne nur
Apparate, die darauf warten, ob ein Photon hier oder da innerhalb
einer Me�dauer auf einer Fl�che eintrifft.
Entspricht solch einem Apparat ein Ortsoperator (X, Y, Z) mit drei
kommutierenden Komponenten, die mit (P_x, P_y, P_z) Heisenbergsche
Vertauschungsrelationen erf�llen?
Norbert Dragon
> Also Lagrange ist doch manifest kovariant?! Aber bei Hamilton hast du
> wohl recht, da ist die Zeitableitung irgendwie ausgezeichnet wegen der
> Abhaengigkeit von pi = \partial_t \phi. [...]
Poincar�- Symmetrie in der Quantenmechanik zeigt sich nicht an diesen
oder jenen eleganten Formalismus, sondern einzig daran, ob im
Hilbertraum eine unit�re Darstellung des mit der Eins zusammenh�ngenden
Teils der �berlagerung der Poincar�-Gruppe existiert, wobei P^0 der
Hamiltonoperator ist.
Mit welch bizarren und unsymmetrischen Konstruktionen auch immer man
solch eine unit�re Darstellung konstruiert: f�r alle physikalischen
Vorg�nge existieren die Poincar�-transformierten Vorg�nge, die von
transformierten Beobachtern genauso gesehen werden wie die
urspr�nglichen Vorg�nge vom urspr�nglichen Beobachter.
Hendrik van Hees
> * Hendrik van Hees schreibt:
>
>> Die an sich mathematisch interessante Frage eines Ortsoperators f�r
>> masselose Teilchen mit Spin, halte ich vom pragmatischen Standpunkt f�r
>> physikalisch relativ �berfl�ssig. Ein Photon beispielsweise ist imho
>> dort, wo es detektiert wird, und der Ort dieses Registrierungsprozesses
>> ist durch den Me�apparat festgelegt. Da der Me�apparat nicht masselos
>> sondern gar makroskopisch ist, stellt die Definition einer
>> Ortsobservablen (mit der immer vorhandenen Ungenauigkeit!) kein Problem
>> dar ;-).
>
> Wo die Theorie nicht pa�t, nimmt man halt das Experiment?
> Widerlegt das nicht die Theorie?
Der Erfolg jeder physikalischen Theorie wird an ihrem Erfolg gemessen,
Experimente/Beobachtungstatsachen korrekt wiederzugeben.
>
> Kennst Du eine Me�anordnung, die zur Zeit t feststellt, wo sich das
> Photon im Einteilchenzustand Psi befindet? Ich nicht. Ich kenne nur
> Apparate, die darauf warten, ob ein Photon hier oder da innerhalb
> einer Me�dauer auf einer Fl�che eintrifft.
Aber genau das sage ich doch: Wenn der Me�apparat "hier" und "jetzt" ein
Photon registriert, war da ein Photon. Wenn die Theorie (in dem Fall die
QED) die entsprechende Z�hlrate bei vorgegebener Pr�paration des Photons
korrekt beschreibt, ist doch alles fein. Wozu brauche ich da noch einen
Ortsoperator? Ganz normale QED tut's doch!
>
> Entspricht solch einem Apparat ein Ortsoperator (X, Y, Z) mit drei
> kommutierenden Komponenten, die mit (P_x, P_y, P_z) Heisenbergsche
> Vertauschungsrelationen erf�llen?
Nein, warum auch?
Max Pain
> >> masselose Teilchen mit Spin, halte ich vom pragmatischen Standpunkt für
> >> physikalisch relativ überflüssig. Ein Photon beispielsweise ist imho
> >> dort, wo es detektiert wird, und der Ort dieses Registrierungsprozesses
> >> sondern gar makroskopisch ist, stellt die Definition einer
> >> Ortsobservablen (mit der immer vorhandenen Ungenauigkeit!) kein Problem
> >> dar ;-).
>
> > Widerlegt das nicht die Theorie?
>
> Der Erfolg jeder physikalischen Theorie wird an ihrem Erfolg gemessen,
> Experimente/Beobachtungstatsachen korrekt wiederzugeben.
>
>
>
> > Photon im Einteilchenzustand Psi befindet? Ich nicht. Ich kenne nur
> > Apparate, die darauf warten, ob ein Photon hier oder da innerhalb
>
> Aber genau das sage ich doch: Wenn der Meßapparat "hier" und "jetzt" ein
> Photon registriert, war da ein Photon. Wenn die Theorie (in dem Fall die
> korrekt beschreibt, ist doch alles fein. Wozu brauche ich da noch einen
> Ortsoperator? Ganz normale QED tut's doch!
>
>
>
> > Entspricht solch einem Apparat ein Ortsoperator (X, Y, Z) mit drei
> > kommutierenden Komponenten, die mit (P_x, P_y, P_z) Heisenbergsche
>
> Nein, warum auch?
> Wenn die englischen Sänger \" Roxy Music \" ihr Bedürfnis \" Love is the
> Drug and I need the score .... \" millionenfach verbreiten, dann wird
> das sicher öfters auch von Kindern mitgesungen - man will ja Freunde
> haben.
>
> ..........
>
> Ich habe jetzt dummerweise die Angela Merkel hier als \" Ostdeutsche
> Sau \" bezeichnet - hoffentlich äfft das niemend nach !
Mit Nachhaltigkeit möchte ich hier auch vor aller Welt klarstellen,
daß ich Vladimir Putin NIE als dreckigen Schwanz bezeichnet habe,
weder schriftlich noch mündlich.
Höchstens den Frank Walter Steinmeier !
Denis Besak
giessen.de> wrote:
>
> Definieren kannst Du viel. Nur welche physikalische Bedeutung sollen
> solche Klammern haben?
Was fuer eine physikalische Bedeutung haben denn die normalen Poisson-
Klammern?! Das ist doch nur ein mathematisches Konstrukt um die
Bewegungsgleichungen moeglichst elegant formulieren zu koennen. (So
hab ich es jedenfalls kennengelernt, kann natuerlich sein dass da
eigentlich noch weitaus mehr dahintersteckt.)
Denis Besak
> * Denis Besak schreibt:
>
> > Also Lagrange ist doch manifest kovariant?! Aber bei Hamilton hast du
> > wohl recht, da ist die Zeitableitung irgendwie ausgezeichnet wegen der
> > Abhaengigkeit von pi = \partial_t \phi. [...]
>
> oder jenen eleganten Formalismus, sondern einzig daran, ob im
> Teils der Überlagerung der Poincaré-Gruppe existiert, wobei P^0 der
> Hamiltonoperator ist.
>
> Mit welch bizarren und unsymmetrischen Konstruktionen auch immer man
> Vorgänge existieren die Poincaré-transformierten Vorgänge, die von
> transformierten Beobachtern genauso gesehen werden wie die
>
Ja, stimmt wohl, die Maxwellgleichungen in der Formulierung mit
elektrischen und magnetischen Feldern sind ja auch kovariant obwohl
man es ihnen nicht ansieht, so muss man das wohl auch hier betrachten.
Die Frage waere dann hoechstens, ob man es auch manifest kovariant
umformulieren koennte indem man z.B. ganz auf die Hamiltonfunktion
verzichtet und nur Lagrange nimmt. Aber das wurde oben ja schon
beantwortet, dass es wohl i.a. nicht geht.
Danke an alle fuer die hilfreichen Ausfuehrungen! :-)
Arnold Neumaier
> Warum postuliert man als kanonische Kommutatorrelationen fuer Felder sowas wie
> [\phi(\vec x,t),\phi(\vec x',t)] = i\delta(\vec x - \vec x'),
> obwohl die Bedingung t = t' nicht Lorentz-Invariant ist? Bricht das
> nicht die Lorentz-Invarianz der Theorie?
> On 14 Mai, 14:58, Andreas Most <Andreas.M...@nospam.invalid> wrote:
>
>> Jedenfalls ist es schon in der nichtrelativistischen QM nicht m�glich,
>> einen Zeitoperator zu definieren, weil sonst die Energie nicht nach
>> unten beschr�nkt w�re, da ein Operator T Generator f�r
>> Energieverschiebungen w�re. Deswegen wird t nur als Parameter
>> verwendet.
>
> In der nichtrelativistischen QM sehe ich darin auch kein Problem, in
> der relativistischen Formulierung stoert es mich aber irgendwie schon.
Und zu Recht. Hier gibt es n"amlich durchaus etwas zu verstehen.
Die gesuchte Poincare-invariante Form der kanonischen
Kommutatorrelation f"ur ein nichtrelativistisches Skalarfeld findet
man z.B. in Peskin/Schroeder (2.53), und die f"ur ein beliebiges Feld
in Weinberg I, p.202 unten und Kontext. (Durch Ableiten ergeben sich
dann weitere Kommutatorrelationen.)
Um zu zeigen, dass und wie die Relation erf"ullt werden kann, muss man
das Feld dann allerdings konstruieren, und das geht (in der g"angigen
Instant-Form) eben "uber eine explizite Darstellung in einem Ruhsystem.
Die sieht immer nichtrelativistisch aus, weil ein
Ruhsystem zwangsl"aufig die Poincare-Invarianz bricht.
In den weniger g"angigen Front- und Punkt-Formen sieht alles
v"ollig anders aus, aber das kovariante Ergebnis ist genau dasselbe.
(Die Front-Form ist z.B. f"ur nichtperturbative Rechnungen
in der QCD sehr n"utzlich, um Teilchenmassen vorherzusagen.)
Mit der kovarianten Formulierung anzufangen, wie Weinberg es macht,
hat daher den grossen Vorzug der Allgemeinheit.
> Warum kann ich keine verallgemeinerten Poissonklammern definieren,
> bei denen ueber d^4 x statt ueber d^3 x integriert wird?
Es gibt zwar Versuche, die theoretische Physik auf einer Poissonklammer
mit einem 4D Integral aufzubauen, aber die sind nie weit gekommen,
weil sie nur auf Eleganz beruhen und Mehrk"orperproblemen nicht
wirklich angemessen sind. Es gibt n'amlich ernsthafte Probleme mit
dem nichtrelativistischen Limes, der ja in die traditionelle Mechanik
m"unden muss. Nur im Fall eines einzelnen Teilchen sind die
brauchbar - aber da ist der kovariante Fall fast trivial.
Wenn man konstruktiv vorgehen will, muss man in einer bestimmten
Basis arbeiten.
Die Poissonklammer definiert die infinitesimale "Anderung einer
Gr"osse bei "Anderung einer ausgezeichneten Zeit. Je nachdem,
wie man die Zeit auszeichnet, erh"alt man daher unterschiedliche
(aber f"ur ein kovariantes Problem isomorphe) Poissonklammern.
Kovariante Poissonklammern enthalten daher einen freien 4-Vektor
als Parameter, der die Richtung der gew"ahlten Zeit anzeigt.
Siehe etwa
J.E. Marsden, R. Montgomery, P.J. Morrison, and W.B. Thompson,
Covariant Poisson brackets for classical fields,
Ann. Phys. 169 (1986), 29�48.
Im "ubrigen ist die Poissonklammer nicht nur ein elegantes
mathematisches Konstrukt, sondern zentral f"ur das Verst"andnis
der theoretischen Physik als Ganzes. Den Hintergrund findet man
zum Beispiel im Buch
Arnold Neumaier and Dennis Westra,
Classical and Quantum Mechanics via Lie algebras,
Cambridge University Press, to appear.
arXiv:0810.1019
Arnold Neumaier
Hendrik van Hees
> Es gibt zwar Versuche, die theoretische Physik auf einer
> Poissonklammer mit einem 4D Integral aufzubauen, aber die sind nie
> weit gekommen, weil sie nur auf Eleganz beruhen und
> Mehrk"orperproblemen nicht wirklich angemessen sind. Es gibt
> n'amlich ernsthafte Probleme mit dem nichtrelativistischen Limes,
> der ja in die traditionelle Mechanik m"unden muss. Nur im Fall eines
> einzelnen Teilchen sind die brauchbar - aber da ist der kovariante
> Fall fast trivial.
Es paï¿œt ja nicht so ganz hierher. Die nichtrelativistische QT ist aber
auch nicht ganz kosher. Jedenfalls fand ich das folgende Paper zur
Massensuperauswahlregel sehr schï¿œn (ein Kollege meinte
nur "cool" ;-)):
http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.87.100405
Ich bin mir nicht sicher (weil gerade am Institut), aber vielleicht
ist der Link hier zum freien Download gedacht (irgendwie heikel wegen
Copyright...):
http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/greenberger_prl_87_100405_01.pdf
--
Hendrik van Hees Institut fï¿œr Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universitï¿œt Gieï¿œen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gieï¿œen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/
Andreas Most
> Kovariante Poissonklammern enthalten daher einen freien 4-Vektor
> als Parameter, der die Richtung der gew"ahlten Zeit anzeigt.
> Siehe etwa
> J.E. Marsden, R. Montgomery, P.J. Morrison, and W.B. Thompson,
> Covariant Poisson brackets for classical fields,
> Ann. Phys. 169 (1986), 29–48.
Das Paper kenne ich nicht. Ich lese gerade ein anderes zu dem Thema:
"Covariant canonical quantization" von Hippel und Wolfahrt
Eur. Phys. J. C 47, 861-872 (2006)
Sie ersetzen den freien Parameter in der Quantisierung mit den
Diracmatrizen.
Andreas.
Arnold Neumaier
> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> writes:
>
>> Kovariante Poissonklammern enthalten daher einen freien 4-Vektor
>> als Parameter, der die Richtung der gew"ahlten Zeit anzeigt.
>> Siehe etwa
>> J.E. Marsden, R. Montgomery, P.J. Morrison, and W.B. Thompson,
>> Covariant Poisson brackets for classical fields,
>> Ann. Phys. 169 (1986), 29–48.
>
> Das Paper kenne ich nicht.
Naja, ich hab's zitiert, damit man es kennenlernen kann.
Hier gibt es eine Onlinekopie:
http://www.cds.caltech.edu/~marsden/bib/1986/07-MaMoMoTh1986/MaMoMoTh1986.pdf
Bei Marsden et al. gilt, wie es sich f"ur eine Poissonklammer geh"ort,
die Jakobi-Identit"at.
> Ich lese gerade ein anderes zu dem Thema:
> "Covariant canonical quantization" von Hippel und Wolfahrt
> Eur. Phys. J. C 47, 861-872 (2006)
> Sie ersetzen den freien Parameter in der Quantisierung mit den
> Diracmatrizen.
... von von Hippel und Wohlfahrt
Sie definieren eine Poissonklammer, die Differentialformen als Werte
annimmt, und schreiben dann: ''In general, it changes the number of
indices and with it the tensor structure defined by its arguments.
This obstructs the usefulness of this bracket definition, as
valuable properties of the Poisson bracket are lost. This applies
in particular to the important Jacobi identity, which provides
the algebra of phase space functions with the structure of a
Lie algebra.''
Die Marsden et al. Poissonklammer bekommen sie dann in (12)
(zitiert nach dem preprint hep-th/0509199), nach Kontraktion
mit einem die Zeit repr"asentierenden Vektorfeld, wodurch effektiv
eine Dimension entfernt wird.
Aber offenbar kennen sie die Literatur nicht besonders gut, da sie
die obige Arbeit (Google Scholar listet 27 Zitate) nicht zitieren,
obwohl sie seht interessant ist und viele praktisch n"utzliche
Beispiele liefert statt nur Spekulationen "uber die Quantisierung
der Gravitation.
Arnold Neumaier
Andreas Most
> Andreas Most schrieb:
>> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> writes:
>>
>>> Kovariante Poissonklammern enthalten daher einen freien 4-Vektor
>>> als Parameter, der die Richtung der gew"ahlten Zeit anzeigt.
>>> Siehe etwa
>>> J.E. Marsden, R. Montgomery, P.J. Morrison, and W.B. Thompson,
>>> Covariant Poisson brackets for classical fields,
>>> Ann. Phys. 169 (1986), 29–48.
>>
>> Das Paper kenne ich nicht.
>
> Naja, ich hab's zitiert, damit man es kennenlernen kann.
> Hier gibt es eine Onlinekopie:
> http://www.cds.caltech.edu/~marsden/bib/1986/07-MaMoMoTh1986/MaMoMoTh1986.pdf
>
> Bei Marsden et al. gilt, wie es sich f"ur eine Poissonklammer geh"ort,
> die Jakobi-Identit"at.
Danke für den Link
>> Ich lese gerade ein anderes zu dem Thema:
>
>> "Covariant canonical quantization" von Hippel und Wolfahrt
>> Eur. Phys. J. C 47, 861-872 (2006)
>> Sie ersetzen den freien Parameter in der Quantisierung mit den
>> Diracmatrizen.
>
> ... von von Hippel und Wohlfahrt
>
> Sie definieren eine Poissonklammer, die Differentialformen als Werte
> annimmt, und schreiben dann: ''In general, it changes the number of
> indices and with it the tensor structure defined by its arguments.
> This obstructs the usefulness of this bracket definition, as
> valuable properties of the Poisson bracket are lost. This applies
> in particular to the important Jacobi identity, which provides
> the algebra of phase space functions with the structure of a
> Lie algebra.''
>
> Die Marsden et al. Poissonklammer bekommen sie dann in (12)
> (zitiert nach dem preprint hep-th/0509199), nach Kontraktion
> mit einem die Zeit repr"asentierenden Vektorfeld, wodurch effektiv
> eine Dimension entfernt wird.
Dadurch wird aber wieder die Jakobiidentität gewonnen. Ich sehe nicht,
was das Entfernen einer Dimension, wie Du es bezeichnest, für einen
Nachteil haben sollte.
Inwiefern repräsentieren denn die Diracmatrizen die Zeit?
> Aber offenbar kennen sie die Literatur nicht besonders gut, da sie
> die obige Arbeit (Google Scholar listet 27 Zitate) nicht zitieren,
> obwohl sie seht interessant ist und viele praktisch n"utzliche
> Beispiele liefert statt nur Spekulationen "uber die Quantisierung
> der Gravitation.
Die Literatur kenne ich tatsächlich nicht. Ich dachte, ich
erwähne es hier mal. Sorry, wenn ich Dich damit gelangweilt habe.
Andreas.
Arnold Neumaier
Klar; dadurch wird die Klammer von Marsden et al. wiedergewonnen.
> Ich sehe nicht,
> was das Entfernen einer Dimension, wie Du es bezeichnest, für einen
> Nachteil haben sollte.
Hat keinen, sondern ist n"otig. Man hat also doch wieder nur eine 3D
Poissonklammer (und nicht die in einer fr"uheren Mail angedachte 4D
Klammer). Der Phasenraum ist nach wie vor 6-dimensional und nicht
8-dimensional.
> Inwiefern repräsentieren denn die Diracmatrizen die Zeit?
Mit Dirac-Matrizen hat (12) zun"achst nichts zu tun.
In (12) ist t^a ein beliebiges Vektorfeld. W"ahlt man es konstant
als (1,0,0,0), so bekommt man die normale Poissonklammer mit
ausgezeichneter Zeit zur"uck, und die vor (16b) definierten
Impulse werden die normalen Impulse. Ein allgemeines zeitartiges
Vektorfeld ist die koordinatenfreie kovariante Verallgemeinerung
davon. (Man braucht N(d)=-1, also zeitartiges t^a, um die kanonischen
Kommutatorrelationen (16c) zu bekommen.)
In (23) wird dann t "uber Diracmatrizen spezialisiert, ohne die
Kovarianz zu brechen, was f"ur Spin 1/2 m"oglich ist. Aber das
scheint mir nicht allgemein genug - weder Maxwell noch Klein-Gordon
kann man so erhalten; also wohl auch keine QED und kein Standardmodell.
(Eq. (55) ist Klein-Gordon, aber die Herleitung da hat m.E. nichts
mit dem Vorigen zu tun; auch die sp"atere ''Herleitung'' des
Standardmodells scheint bloss ein Taschenspielertrick zu sein.)
Und man bekommt nach Quantisierung anscheinend auch keinen Hilbertraum;
siehe (44), sondern nur einen indefiniten Kreinraum.
>> Aber offenbar kennen sie die Literatur nicht besonders gut, da sie
>> die obige Arbeit (Google Scholar listet 27 Zitate) nicht zitieren,
>> obwohl sie sehr interessant ist und viele praktisch n"utzliche
>> Beispiele liefert statt nur Spekulationen "uber die Quantisierung
>> der Gravitation.
>
> Die Literatur kenne ich tatsächlich nicht.
Ich hatte 'sie' klein geschrieben und meinte damit, grammatisch korrekt,
Hippel und Wohlfahrt, und nicht 'Sie"!
> Ich dachte, ich
> erwähne es hier mal. Sorry, wenn ich Dich damit gelangweilt habe.
Keineswegs.
Arnold Neumaier
Arnold Neumaier
> Arnold Neumaier wrote:
>
>> Es gibt zwar Versuche, die theoretische Physik auf einer
>> Poissonklammer mit einem 4D Integral aufzubauen, aber die sind nie
>> weit gekommen, weil sie nur auf Eleganz beruhen und
>> Mehrk"orperproblemen nicht wirklich angemessen sind. Es gibt
>> n'amlich ernsthafte Probleme mit dem nichtrelativistischen Limes,
>> der ja in die traditionelle Mechanik m"unden muss. Nur im Fall eines
>> einzelnen Teilchen sind die brauchbar - aber da ist der kovariante
>> Fall fast trivial.
>
> Es paï¿œt ja nicht so ganz hierher. Die nichtrelativistische QT ist aber
> auch nicht ganz kosher. Jedenfalls fand ich das folgende Paper zur
> Massensuperauswahlregel sehr schï¿œn (ein Kollege meinte
> nur "cool" ;-)):
>
> http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.87.100405
Bin jetzt dazu gekommen, das Paper zu lesen. Es zeigt Grenzen
der nichtrelativistischen QT auf, betrachtet als nichtrelativistischer
Limes einer relativiatischen Theorie, weil manchmat Terme O(v/c)
auftreten,. die weit weniger vernachl"assigbaar sind als die
typischeren O((v/c)^2).
Aber es ist ja wohlbekannt, dass die nichtrelativistische QT eine
Approximation ist, die nur im Grenzfall c-->inf exakt ist.
Dass manche qualitativen Eigenschaften einer Theorie im
singul"aren Grenzfall nicht mehr vorhanden sind (die Autoren diskutieren
Superpositionen von massenzust"anden) ist auch nichts Ungew"ohnliches.
Die nichtrelativistische QT aber deshalb nicht koscher zu schimpfen,
geht m.E. zu weit.
Sonst w"aren ART, QED und Standardmodell alle nicht koscher, weil
sie sicher auch nur Approximationen an die noch nicht gefundene,
alles verbindende Theorie sind.
Arnold Neumaier
Lothar Wiese
> Hendrik van Hees schrieb:
...
>> Es paï¿œt ja nicht so ganz hierher. Die nichtrelativistische QT ist aber
>> auch nicht ganz kosher. Jedenfalls fand ich das folgende Paper zur
>> Massensuperauswahlregel sehr schï¿œn (ein Kollege meinte
>> nur "cool" ;-)):
>>
>> http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.87.100405
>> http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/greenberger_prl_87_100405_01.pdf
>>
>
> Bin jetzt dazu gekommen, das Paper zu lesen. Es zeigt Grenzen
> der nichtrelativistischen QT auf, betrachtet als nichtrelativistischer
> Limes einer relativiatischen Theorie, weil manchmat Terme O(v/c)
> auftreten,. die weit weniger vernachl"assigbaar sind als die
> typischeren O((v/c)^2).
>
> Aber es ist ja wohlbekannt, dass die nichtrelativistische QT eine
> Approximation ist, die nur im Grenzfall c-->inf exakt ist.
> Dass manche qualitativen Eigenschaften einer Theorie im
> singul"aren Grenzfall nicht mehr vorhanden sind (die Autoren diskutieren
> Superpositionen von massenzust"anden) ist auch nichts Ungew"ohnliches.
>
> Die nichtrelativistische QT aber deshalb nicht koscher zu schimpfen,
> geht m.E. zu weit.
>
> Sonst w"aren ART, QED und Standardmodell alle nicht koscher, weil
> sie sicher auch nur Approximationen an die noch nicht gefundene,
> alles verbindende Theorie sind.
Ist eigentlich "Lucha, Schï¿œberl, Die starke Wechselwirkung: eine
Einfï¿œhrung in nichtrelativistische Potentialmodelle" von vor zwanzig
Jahren noch aktuell? Mir gefallen die Ideen, weil sie sich in mein
Modell mit diskreten Objekten gut einfï¿œgen.
Gibt es eine ï¿œhnlich einfache Zusammenfassung in Deutsch mï¿œglicherweise
kostenlos online?
MfG
Lothar W.
aus witze.net:
Der Dekan an die Fakultï¿œt fï¿œr Physik: "Warum braucht Ihr immer so viel
Geld fï¿œr Labore, teure Ausstattung und so was? Warum kï¿œnnt Ihr nicht
einfach wie die Mathematiker sein? Die brauchen nur Geld fï¿œr Stifte,
Papier und Papierkï¿œrbe. Oder besser noch wie die Philosophie-Fakultï¿œt.
Die brauchen nur Geld fï¿œr Stifte und Papier!"
Arnold Neumaier
> Arnold Neumaier schrieb:
>> Aber es ist ja wohlbekannt, dass die nichtrelativistische QT eine
>> Approximation ist, die nur im Grenzfall c-->inf exakt ist.
>> Dass manche qualitativen Eigenschaften einer Theorie im
>> singul"aren Grenzfall nicht mehr vorhanden sind (die Autoren
>> diskutieren Superpositionen von massenzust"anden) ist auch nichts
>> Ungew"ohnliches.
>>
>
> Ist eigentlich "Lucha, Schï¿œberl, Die starke Wechselwirkung: eine
> Einfï¿œhrung in nichtrelativistische Potentialmodelle" von vor zwanzig
> Jahren noch aktuell? Mir gefallen die Ideen, weil sie sich in mein
> Modell mit diskreten Objekten gut einfï¿œgen.
>
> Gibt es eine ï¿œhnlich einfache Zusammenfassung in Deutsch mï¿œglicherweise
> kostenlos online?
Aktuell sind die Angaben der Particle Data Group (leider auf Englisch).
Das aktuelle Quarkmodell, das f"ur das Hadronenspektrum verwendet wird,
wird in
http://pdg.lbl.gov/2008/reviews/rpp2008-rev-quark-model.pdf
beschrieben und ist nicht allzu weit von dem in Lucha/Sch"oberl
beschriebenen. Allerdings sind diese Modelle nur einfache dynamische
Approximationen an viel komplexere Quanteunfeldtheorien,
und man braucht letztere zur korrekten Berechnung von
Streuquerschnitten, etc..
Arnold Neumaier
Lothar Wiese
...
>>
>> Gibt es eine ï¿œhnlich einfache Zusammenfassung in Deutsch
>> mï¿œglicherweise kostenlos online?
>
> Aktuell sind die Angaben der Particle Data Group (leider auf Englisch).
> Das aktuelle Quarkmodell, das f"ur das Hadronenspektrum verwendet wird,
> wird in
> http://pdg.lbl.gov/2008/reviews/rpp2008-rev-quark-model.pdf
> beschrieben und ist nicht allzu weit von dem in Lucha/Sch"oberl
> beschriebenen. Allerdings sind diese Modelle nur einfache dynamische
> und man braucht letztere zur korrekten Berechnung von
> Streuquerschnitten, etc..
Danke, es ist fï¿œr mich lesbar und erscheint mir als brauchbare
ï¿œbersicht. Da scheinbar immer noch nichtrelativistische Potentialmodelle
fï¿œr eine erste Annï¿œherung akzeptabel sind, kann ich vorerst dem enormen
Aufwand der Quantenfeldtheorie ausweichen. Mir geht es ja noch nicht um
quantitative Vergleichbarkeit mit echten Messwerten.
MfG
Lothar W.
Andreas Most
> Andreas Most schrieb:
>> Dadurch wird aber wieder die Jakobiidentit�t gewonnen.
>
> Klar; dadurch wird die Klammer von Marsden et al. wiedergewonnen.
Verwenden Marsden et al. bei der Quantisierung etwa die Diracmatrizen?
>
>
>> Ich sehe nicht,
>> was das Entfernen einer Dimension, wie Du es bezeichnest, f�r einen
>> Nachteil haben sollte.
>
> Hat keinen, sondern ist n"otig. Man hat also doch wieder nur eine 3D
> Poissonklammer (und nicht die in einer fr"uheren Mail angedachte 4D
> Klammer). Der Phasenraum ist nach wie vor 6-dimensional und nicht
> 8-dimensional.
>
>
>> Inwiefern repr�sentieren denn die Diracmatrizen die Zeit?
>
> Mit Dirac-Matrizen hat (12) zun"achst nichts zu tun.
>
> In (12) ist t^a ein beliebiges Vektorfeld. W"ahlt man es konstant
> als (1,0,0,0), so bekommt man die normale Poissonklammer mit
> ausgezeichneter Zeit zur"uck, und die vor (16b) definierten
> Impulse werden die normalen Impulse. Ein allgemeines zeitartiges
> Vektorfeld ist die koordinatenfreie kovariante Verallgemeinerung
> davon. (Man braucht N(d)=-1, also zeitartiges t^a, um die kanonischen
> Kommutatorrelationen (16c) zu bekommen.)
Eigentlich beweist das genau die Kovarianz der Poissonklammer, was die
Frage des OP beantwortet...
>
> In (23) wird dann t "uber Diracmatrizen spezialisiert, ohne die
> Kovarianz zu brechen, was f"ur Spin 1/2 m"oglich ist. Aber das
> scheint mir nicht allgemein genug - weder Maxwell noch Klein-Gordon
> kann man so erhalten; also wohl auch keine QED und kein Standardmodell.
> (Eq. (55) ist Klein-Gordon, aber die Herleitung da hat m.E. nichts
> mit dem Vorigen zu tun; auch die sp"atere ''Herleitung'' des
> Standardmodells scheint bloss ein Taschenspielertrick zu sein.)
Ich kann mich nicht des Eindrucks erwehren, dass Du den Sinn des
Papers von v. Hippel und Wohlfahrt nicht verstanden hast. Im Gegensatz
zu Marsden et al. betrachten sie hier Parameterraum und Targetraum mit
unterschiedlicher Dimensionalit�t. F�r die Klein-Gordon-Gleichung hat
man x^m = x^m(tau), d.h. der Parameterraum ist eindimensional.
Interessant wird das Ganze vermutlich f�r die Stringtheorie, in der
die Koordinatenfelder von zwei Parametern abh�ngen.
X^m = X^m(tau,sigma)
Die Implikationen dazu sind mir aber noch nicht klar.
Andreas.
Arnold Neumaier
> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> writes:
>
>> Andreas Most schrieb:
>>> Dadurch wird aber wieder die Jakobiidentit�t gewonnen.
>> Klar; dadurch wird die Klammer von Marsden et al. wiedergewonnen.
>
> Verwenden Marsden et al. bei der Quantisierung etwa die Diracmatrizen?
Nein, sie machen bloss klassische Feldtheorie; bei ihnen ist das t^a
in (12) von H/W ein klassisches Vektorfeld.
>>> Ich sehe nicht,
>>> was das Entfernen einer Dimension, wie Du es bezeichnest, f�r einen
>>> Nachteil haben sollte.
>> Hat keinen, sondern ist n"otig. Man hat also doch wieder nur eine 3D
>> Poissonklammer (und nicht die in einer fr"uheren Mail angedachte 4D
>> Klammer). Der Phasenraum ist nach wie vor 6-dimensional und nicht
>> 8-dimensional.
>>
>>> Inwiefern repr�sentieren denn die Diracmatrizen die Zeit?
>> Mit Dirac-Matrizen hat (12) zun"achst nichts zu tun.
>>
>> In (12) ist t^a ein beliebiges Vektorfeld. W"ahlt man es konstant
>> als (1,0,0,0), so bekommt man die normale Poissonklammer mit
>> ausgezeichneter Zeit zur"uck, und die vor (16b) definierten
>> Impulse werden die normalen Impulse. Ein allgemeines zeitartiges
>> Vektorfeld ist die koordinatenfreie kovariante Verallgemeinerung
>> davon. (Man braucht N(d)=-1, also zeitartiges t^a, um die kanonischen
>> Kommutatorrelationen (16c) zu bekommen.)
>
> Eigentlich beweist das genau die Kovarianz der Poissonklammer, was die
> Frage des OP beantwortet...
Nicht wirklich, weil die Poissonklammer ja von der Wahl von t^a
abh"angt.
Man k"onnte n"amlich _jede_ nichtrelativistische Theorie in diesem
Sinn Lorentz-kovariant machen, wenn man so ein zus"atzliches Feld
t^a einf"uhrt, und daf"ur sorgt, dass f"ur t^a=(1,0,0,0) die
originale Theorie herauskommt.
>> In (23) wird dann t "uber Diracmatrizen spezialisiert, ohne die
>> Kovarianz zu brechen, was f"ur Spin 1/2 m"oglich ist.
Damit bekommt man nun wirklich eine kovariante Poissonklammer,
denn jetzt transformiert t^a kanonisch.
> Aber das
>> scheint mir nicht allgemein genug - weder Maxwell noch Klein-Gordon
>> kann man so erhalten; also wohl auch keine QED und kein Standardmodell.
>> (Eq. (55) ist Klein-Gordon, aber die Herleitung da hat m.E. nichts
>> mit dem Vorigen zu tun; auch die sp"atere ''Herleitung'' des
>> Standardmodells scheint bloss ein Taschenspielertrick zu sein.)
>
> Ich kann mich nicht des Eindrucks erwehren, dass Du den Sinn des
> Papers von v. Hippel und Wohlfahrt nicht verstanden hast. Im Gegensatz
> zu Marsden et al. betrachten sie hier Parameterraum und Targetraum mit
> unterschiedlicher Dimensionalit�t. F�r die Klein-Gordon-Gleichung hat
> man x^m = x^m(tau), d.h. der Parameterraum ist eindimensional.
Der Parameterraum jeder Hamiltonschen Dynamik
df/dtau = {f,H}
ist eindimensional. Das unterscheidet also Hippel nicht von Marsden.
In (12) gibt es keinen Unterschied; in (23) dann schon.
Im "ubrigen ist eine kovariante hamiltonsche Theorie f"ur einzelne
Teilchen wohlbekannt; siehe z.B. Kapitel 5 in Band 1 von Thirring's
Mathematischer Physik.
Die Schwierigkeiten treten erst bei Mehrteilchensystemen auf.
Arnold Neumaier
Andreas Most
> Andreas Most schrieb:
>> Eigentlich beweist das genau die Kovarianz der Poissonklammer, was die
>> Frage des OP beantwortet...
>
> Nicht wirklich, weil die Poissonklammer ja von der Wahl von t^a
> abh"angt.
>
> Man k"onnte n"amlich _jede_ nichtrelativistische Theorie in diesem
> Sinn Lorentz-kovariant machen, wenn man so ein zus"atzliches Feld
> t^a einf"uhrt, und daf"ur sorgt, dass f"ur t^a=(1,0,0,0) die
> originale Theorie herauskommt.
In einer nichtrelativistischen Theorie transfomriert allerdings
(,)_a nicht �ber die Lorentztransformation. Deswegen w�re auch
(,)_a t^a nicht kovariant.
> Der Parameterraum jeder Hamiltonschen Dynamik
> df/dtau = {f,H}
> ist eindimensional. Das unterscheidet also Hippel nicht von Marsden.
In der Stringtheorie gibt es zwei Parameter, von denen die Felder
abh�ngen, n�mlich sigma und tau:
X^m = X^m(tau,sigma)
Von Hippel und Wohlfahrt verallgemeinern hier den Hamiltonformalismus
derart, dass man sich nicht auf einen der beiden Parameter festlegen
muss.
Andreas.
Arnold Neumaier
>>> Eigentlich beweist das genau die Kovarianz der Poissonklammer, was die
>>> Frage des OP beantwortet...
>> Nicht wirklich, weil die Poissonklammer ja von der Wahl von t^a
>> abh"angt.
>>
>> Man k"onnte n"amlich _jede_ nichtrelativistische Theorie in diesem
>> Sinn Lorentz-kovariant machen, wenn man so ein zus"atzliches Feld
>> t^a einf"uhrt, und daf"ur sorgt, dass f"ur t^a=(1,0,0,0) die
>> originale Theorie herauskommt.
>
> In einer nichtrelativistischen Theorie transformiert allerdings
> (,)_a nicht �ber die Lorentztransformation. Deswegen w�re auch
> (,)_a t^a nicht kovariant.
???
Die nichtrelativitische Schr"odingergleichung
i hquer d/dt psi(\x,t) = \p^2/2m psi (\x,t)
(1)
(\x = fett x = 3D Ortskoordinaten, \p = fett p = 3D Impulsoperator)
sieht formal kovariant aus, wenn man sie mit 4D Ortskoordinaten x,
4D Impulsen p_a und einem Feld t^a mit t_a t^a = -1 als
t^a p_a psi(x) = (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a) psi(x) (2)
schreibt, und die "ublichen Transfromationsgesetze f"ur Tensoren
benutzt. Lorentztransformationen "andern nichts an der Gleichung,
aber "andern den Wert von t^a.
(2) ist aber einfach die nichtrelativitische Schr"odingergleichung
in einem beliebigen Koordinatensystem hingeschrieben: F"ur
t^a = (1,\0), x = (t,\x) und p_a = (i hquer d/dt, \p) erh"alt man
(1) aus (2).
(2) ist also keineswegs eine kovariante Dynamik, obwohl es auf
den ersten Blick so aussieht.
Nebenbei bemerkt:
Analog kann man auch Diffeomorphismeninvarianz k"unstlich erzeugen,
ohne dass man dadurch irgend etwas gewinnt; siehe etwa
http://lanl.arxiv.org/pdf/hep-th/9204055 .
>> Der Parameterraum jeder Hamiltonschen Dynamik
>> df/dtau = {f,H}
>> ist eindimensional. Das unterscheidet also Hippel nicht von Marsden.
>
> In der Stringtheorie gibt es zwei Parameter, von denen die Felder
> abh�ngen, n�mlich sigma und tau:
>
> X^m = X^m(tau,sigma)
>
> Von Hippel und Wohlfahrt verallgemeinern hier den Hamiltonformalismus
> derart, dass man sich nicht auf einen der beiden Parameter festlegen
> muss.
"Uber Stringtheorie sage ich lieber nichts. Ihr Wert f"ur die Physik
ist noch nicht erwiesen.
Arnold Neumaier
Andreas Most
> Die nichtrelativitische Schr"odingergleichung
> i hquer d/dt psi(\x,t) = \p^2/2m psi (\x,t) (1)
> (\x = fett x = 3D Ortskoordinaten, \p = fett p = 3D Impulsoperator)
> sieht formal kovariant aus, wenn man sie mit 4D Ortskoordinaten x,
> 4D Impulsen p_a und einem Feld t^a mit t_a t^a = -1 als
> t^a p_a psi(x) = (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a) psi(x) (2)
> schreibt, und die "ublichen Transfromationsgesetze f"ur Tensoren
> benutzt. Lorentztransformationen "andern nichts an der Gleichung,
> aber "andern den Wert von t^a.
>
> (2) ist aber einfach die nichtrelativitische Schr"odingergleichung
> in einem beliebigen Koordinatensystem hingeschrieben: F"ur
> t^a = (1,\0), x = (t,\x) und p_a = (i hquer d/dt, \p) erh"alt man
> (1) aus (2).
Hmmm. Dem kann ich nicht ganz folgen. Wenn ich die rechte Seite von
(2) ausmultipliziere bleibt mir insbesondere eine zweite Ableitung
nach der Zeit �brig, die in (1) nicht enthalten ist, ganz abgesehen
von einem c^2 in der Gleichung. Au�erdem sind Deine x und p_a nicht
lorentzkovaiant, womit Dein Argument hinf�llig ist.
> "Uber Stringtheorie sage ich lieber nichts. Ihr Wert f"ur die Physik
> ist noch nicht erwiesen.
Naja, immerhin von mathematischen Standpunkt kann es interessant sein,
solche Verallgemeinerungen des Hamiltonformalismus zu betrachten.
Andreas.
Arnold Neumaier
> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> writes:
>
>> Die nichtrelativitische Schr"odingergleichung
>> i hquer d/dt psi(\x,t) = \p^2/2m psi (\x,t) (1)
>> (\x = fett x = 3D Ortskoordinaten, \p = fett p = 3D Impulsoperator)
>> sieht formal kovariant aus, wenn man sie mit 4D Ortskoordinaten x,
>> 4D Impulsen p_a und einem Feld t^a mit t_a t^a = -1 als
>> t^a p_a psi(x) = (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a) psi(x) (2)
>> schreibt, und die "ublichen Transfromationsgesetze f"ur Tensoren
>> benutzt. Lorentztransformationen "andern nichts an der Gleichung,
>> aber "andern den Wert von t^a.
>>
>> (2) ist aber einfach die nichtrelativitische Schr"odingergleichung
>> in einem beliebigen Koordinatensystem hingeschrieben: F"ur
>> t^a = (1,\0), x = (t,\x) und p_a = (i hquer d/dt, \p) erh"alt man
>> (1) aus (2).
>
> Hmmm. Dem kann ich nicht ganz folgen. Wenn ich die rechte Seite von
> (2) ausmultipliziere bleibt mir insbesondere eine zweite Ableitung
> nach der Zeit �brig, die in (1) nicht enthalten ist, ganz abgesehen
> von einem c^2 in der Gleichung.
F"ur t^a=(1 0 0 0) passiert das nicht; da bekommt man genau (1) zur"uck.
Andreerseits bekommt man auch 2. Ableitungen und c^2, wenn man (1) in
beliebigen, Raum und Zeit mischenden Koordinaten darstellt.
Ist umgekehrt t^a ein beliebiges zeitartiges Feld, so kann man
es mittels einem Diffeomorphismus auf den Fall t^a=(1 0 0 0)
"uberf"uhren. Da (2) diffeomorphismeninvariant ist, ist das
eine erlaubte Transformation, die (2) in (1) "uberf"uhrt.
Also sind die nichtrelativistische Form (1) und die kovariante
Form (2) v"ollig "aquivalent.
Hippel et al. machen mit der Poisson-Klammer nichts anderes.
Erst wenn sie t^a Operatorwertig machen, passiert dort etwas Neues.
> Au�erdem sind Deine x und p_a nicht
> lorentzkovaiant, womit Dein Argument hinf�llig ist.
Dch, das sind sie in (2) per Definitionem.
Arnold Neumaier
Andreas Most
> Andreas Most schrieb:
>> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> writes:
>>
>>> Die nichtrelativitische Schr"odingergleichung
>>> i hquer d/dt psi(\x,t) = \p^2/2m psi (\x,t) (1)
>>> (\x = fett x = 3D Ortskoordinaten, \p = fett p = 3D Impulsoperator)
>>> sieht formal kovariant aus, wenn man sie mit 4D Ortskoordinaten x,
>>> 4D Impulsen p_a und einem Feld t^a mit t_a t^a = -1 als
>>> t^a p_a psi(x) = (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a) psi(x) (2)
>>> schreibt, und die "ublichen Transfromationsgesetze f"ur Tensoren
>>> benutzt. Lorentztransformationen "andern nichts an der Gleichung,
>>> aber "andern den Wert von t^a.
>>>
>>> (2) ist aber einfach die nichtrelativitische Schr"odingergleichung
>>> in einem beliebigen Koordinatensystem hingeschrieben: F"ur
>>> t^a = (1,\0), x = (t,\x) und p_a = (i hquer d/dt, \p) erh"alt man
>>> (1) aus (2).
>>
>> Hmmm. Dem kann ich nicht ganz folgen. Wenn ich die rechte Seite von
>> (2) ausmultipliziere bleibt mir insbesondere eine zweite Ableitung
>> nach der Zeit �brig, die in (1) nicht enthalten ist, ganz abgesehen
>> von einem c^2 in der Gleichung.
>
> F"ur t^a=(1 0 0 0) passiert das nicht; da bekommt man genau (1) zur"uck.
Wenn die rechte Seite ausmultipliziert wird steht dort u.a. ein Term
p^a p_a = m^2 c^2
oder hast Du eine andere Definition f�r das Skalarprodukt?
Oder schreibst Du es so:
p^a p_a = hquer^2 d^2/dt^2 + \p^2 c^2
Dann hast Du eine zweite Ableitung nach der Zeit, die nicht in (1)
auftritt, und eben ein c^2.
> Andreerseits bekommt man auch 2. Ableitungen und c^2, wenn man (1) in
> beliebigen, Raum und Zeit mischenden Koordinaten darstellt.
>
> Ist umgekehrt t^a ein beliebiges zeitartiges Feld, so kann man
> es mittels einem Diffeomorphismus auf den Fall t^a=(1 0 0 0)
> "uberf"uhren. Da (2) diffeomorphismeninvariant ist, ist das
> eine erlaubte Transformation, die (2) in (1) "uberf"uhrt.
>
> Also sind die nichtrelativistische Form (1) und die kovariante
> Form (2) v"ollig "aquivalent.
Ich sprach von Lorentztransformationen. Ist (2) invariant, wenn p_a
und t_a Lorentztransformiert werden?
> Hippel et al. machen mit der Poisson-Klammer nichts anderes.
> Erst wenn sie t^a Operatorwertig machen, passiert dort etwas Neues.
Hippel et al. formulieren den Hamilton als Skalar im Gegensatz zur
klassischen Formulierung, in der H die Nullkomponente des
Energie-Impuls-Vektors ist.
>> Au�erdem sind Deine x und p_a nicht
>> lorentzkovaiant, womit Dein Argument hinf�llig ist.
>
> Dch, das sind sie in (2) per Definitionem.
Was f�r eine Definition?
Andreas.
Arnold Neumaier
> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> writes:
>
>> Andreas Most schrieb:
>>> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> writes:
>>>
>>>> Die nichtrelativitische Schr"odingergleichung
>>>> i hquer d/dt psi(\x,t) = \p^2/2m psi (\x,t) (1)
>>>> (\x = fett x = 3D Ortskoordinaten, \p = fett p = 3D Impulsoperator)
>>>> sieht formal kovariant aus, wenn man sie mit 4D Ortskoordinaten x,
>>>> 4D Impulsen p_a und einem Feld t^a mit t_a t^a = -1 als
>>>> t^a p_a psi(x) = (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a) psi(x) (2)
>>>> schreibt, und die "ublichen Transfromationsgesetze f"ur Tensoren
>>>> benutzt. Lorentztransformationen "andern nichts an der Gleichung,
>>>> aber "andern den Wert von t^a.
>>>>
>>>> (2) ist aber einfach die nichtrelativitische Schr"odingergleichung
>>>> in einem beliebigen Koordinatensystem hingeschrieben: F"ur
>>>> t^a = (1,\0), x = (t,\x) und p_a = (i hquer d/dt, \p) erh"alt man
>>>> (1) aus (2).
>>> Hmmm. Dem kann ich nicht ganz folgen. Wenn ich die rechte Seite von
>>> (2) ausmultipliziere bleibt mir insbesondere eine zweite Ableitung
>>> nach der Zeit �brig, die in (1) nicht enthalten ist, ganz abgesehen
>>> von einem c^2 in der Gleichung.
>> F"ur t^a=(1 0 0 0) passiert das nicht; da bekommt man genau (1) zur"uck.
>
> Wenn die rechte Seite ausmultipliziert wird steht dort u.a. ein Term
>
> p^a p_a = m^2 c^2
Woher soll diese relation denn kommen? Sie gilt doch nur f"ur ein freies
Teilchen!
p_a ist proportional zur Ableitung nach x^a, daher vereinfacht sich
p^a p_a normalerweise nicht, sondern ergibt ein Vielfaches des
D'Alembert-Operators.
F"ur t^a=(1 0 0 0) ist t^b p_b = p_0, also p_a-t^b p_b t_a = (0,\p),
und man bekommt (1), ohne dass man etwas Ausmultiplizieren muss. Aber
wenn man ausmultipliziert und anschliessend Terme zusammensortiert,
bekommt man selbstverst"andlich dasselbe!
>> Andrerseits bekommt man auch 2. Ableitungen und c^2, wenn man (1) in
>> beliebigen, Raum und Zeit mischenden Koordinaten darstellt.
>>
>> Ist umgekehrt t^a ein beliebiges zeitartiges Feld, so kann man
>> es mittels einem Diffeomorphismus auf den Fall t^a=(1 0 0 0)
>> "uberf"uhren. Da (2) diffeomorphismeninvariant ist, ist das
>> eine erlaubte Transformation, die (2) in (1) "uberf"uhrt.
>>
>> Also sind die nichtrelativistische Form (1) und die kovariante
>> Form (2) v"ollig "aquivalent.
>
> Ich sprach von Lorentztransformationen. Ist (2) invariant, wenn p_a
> und t_a Lorentztransformiert werden?
Nat"urlich. Sei eta_ab die Lorentzmetrik, und L_a^b eine
Lorentztransformation. Dann ist
L_a^c eta_cd L_b^d = eta_ab,
p_a = eta_ab p^b,
t_a = eta_ab t^b.
p^a und t^a werden lorentztransfromiert zu
P^a =
und man kann leicht nachrechnen, dass (2) mit P,T statt p,t sich auf
das alte (2) vereinfacht.
>
>> Hippel et al. machen mit der Poisson-Klammer nichts anderes.
>> Erst wenn sie t^a Operatorwertig machen, passiert dort etwas Neues.
>
> Hippel et al. formulieren den Hamilton als Skalar im Gegensatz zur
> klassischen Formulierung, in der H die Nullkomponente des
> Energie-Impuls-Vektors ist.
Ist P^a der Energie-Impuls-Vektor, so ist H = t_a P^a f"ur t^a=(1,0,0,0)
der normale hamiltonoperator H=P-0, aber f"ur beliebige t^a, die
sich mittransformieren wird H ein Skalar.
Es passiert oben in (1)-->(2) also genau dasselbe wie bei Hippel et al.
Man kann in (2) auch wie bei Hippel et al. t^a := gamma^a setzen
und erh"alt eine neue Dynamik, die nun nat"urlich nicht mehr mit
der nichtrelativisischen "aquivalent ist.
Die wesentliche Neuerung von Hippel et al. gegen"uber Marsden et al.
ist also genau diese Substitution.
>>> Au�erdem sind Deine x und p_a nicht
>>> lorentzkovaiant, womit Dein Argument hinf�llig ist.
>> Dch, das sind sie in (2) per Definitionem.
>
> Was f�r eine Definition?
Die "ubliche Definition f"ur das Herunterziehen von Indices,
oben nochmals explizit hingeschrieben.
Dadurch werden alle Ausdr"ucke lorentzinvariant, in der sich die Indices
nach Einsteinsummation paarweise "uber gleiche obere und untere Indices
alle aufheben.
Arnold Neumaier
Andreas Most
Die Schr�dingergleichung gilt u.a. auch f�r freie Teilchen. Im �brigen
kann man auch f�r gebundene Teilchen eine solche Gr��e angeben.
> p_a ist proportional zur Ableitung nach x^a, daher vereinfacht sich
> p^a p_a normalerweise nicht, sondern ergibt ein Vielfaches des
> D'Alembert-Operators.
Mindestens in relativistischen Feldtheorien ist es so, wie man z.B. an
der Klein-Gordon-Gleichung sieht.
> F"ur t^a=(1 0 0 0) ist t^b p_b = p_0, also p_a-t^b p_b t_a = (0,\p),
> und man bekommt (1), ohne dass man etwas Ausmultiplizieren muss. Aber
> wenn man ausmultipliziert und anschliessend Terme zusammensortiert,
> bekommt man selbstverst"andlich dasselbe!
Ok, die zweite Ableitung nach der Zeit k�rzt sich tats�chlich. Das war
mir entgangen. Allerdings begehst Du einen Fehler beim Herunterziehen
des Index von p^a einen Fehler. F�r
p^a = (E, \p)
ist
p_a = (-E, \p c^2)
in Deiner merkw�rdigen Notation.
>>> Andrerseits bekommt man auch 2. Ableitungen und c^2, wenn man (1) in
>>> beliebigen, Raum und Zeit mischenden Koordinaten darstellt.
>>>
>>> Ist umgekehrt t^a ein beliebiges zeitartiges Feld, so kann man
>>> es mittels einem Diffeomorphismus auf den Fall t^a=(1 0 0 0)
>>> "uberf"uhren. Da (2) diffeomorphismeninvariant ist, ist das
>>> eine erlaubte Transformation, die (2) in (1) "uberf"uhrt.
>>>
>>> Also sind die nichtrelativistische Form (1) und die kovariante
>>> Form (2) v"ollig "aquivalent.
>>
>> Ich sprach von Lorentztransformationen. Ist (2) invariant, wenn p_a
>> und t_a Lorentztransformiert werden?
>
> Nat"urlich. Sei eta_ab die Lorentzmetrik, und L_a^b eine
> Lorentztransformation. Dann ist
> L_a^c eta_cd L_b^d = eta_ab,
Wie kommst Du auf das zweite Gleichheitszeichen?
> p_a = eta_ab p^b,
> t_a = eta_ab t^b.
> p^a und t^a werden lorentztransfromiert zu
> P^a =
Ist gleich ... ???
> und man kann leicht nachrechnen, dass (2) mit P,T statt p,t sich auf
> das alte (2) vereinfacht.
Bitte rechne das mal vor. Insbesondere dass, wenn Du L^a_b p^b und
L^a_b t^b in (2) einsetzt, genau wieder (2) erh�lst.
Das kann allein deswegen schon nicht f�nktionieren, weil die
Schr�dingergleichung invariant unter Galileitransformationen nicht
aber unter Lorentztransformationen ist.
>>> Hippel et al. machen mit der Poisson-Klammer nichts anderes.
>>> Erst wenn sie t^a Operatorwertig machen, passiert dort etwas Neues.
>>
>> Hippel et al. formulieren den Hamilton als Skalar im Gegensatz zur
>> klassischen Formulierung, in der H die Nullkomponente des
>> Energie-Impuls-Vektors ist.
>
> Ist P^a der Energie-Impuls-Vektor, so ist H = t_a P^a f"ur t^a=(1,0,0,0)
> der normale hamiltonoperator H=P-0, aber f"ur beliebige t^a, die
> sich mittransformieren wird H ein Skalar.
>
> Es passiert oben in (1)-->(2) also genau dasselbe wie bei Hippel et al.
Nein. Denn Hippel et al. gehen schon von verallgemeinerten Impulsen
aus, die gem�� der Lorentztransformationen zu transformieren sind.
Dein p^a ist keine solche Gr��e.
> Man kann in (2) auch wie bei Hippel et al. t^a := gamma^a setzen
> und erh"alt eine neue Dynamik, die nun nat"urlich nicht mehr mit
> der nichtrelativisischen "aquivalent ist.
>
> Die wesentliche Neuerung von Hippel et al. gegen"uber Marsden et al.
> ist also genau diese Substitution.
Tja, das hatte ich bereits gesagt. Sch�n, dass Du mir jetzt endlich
zustimmst.
>>>> Au�erdem sind Deine x und p_a nicht
>>>> lorentzkovaiant, womit Dein Argument hinf�llig ist.
>>> Dch, das sind sie in (2) per Definitionem.
>>
>> Was f�r eine Definition?
>
> Die "ubliche Definition f"ur das Herunterziehen von Indices,
> oben nochmals explizit hingeschrieben.
>
> Dadurch werden alle Ausdr"ucke lorentzinvariant, in der sich die
> Indices nach Einsteinsummation paarweise "uber gleiche obere und
> untere Indices
> alle aufheben.
Wenn ich die Kilogrammpreise f�r �pfel, Birnen, Orangen und Kiwis in
einen Vierervektor packe, sind sie damit auch nicht automatisch ein
relativistischer Vierervektor.
Andreas.
Andreas Most
> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> writes:
>> Nat"urlich. Sei eta_ab die Lorentzmetrik, und L_a^b eine
>> Lorentztransformation. Dann ist
>> L_a^c eta_cd L_b^d = eta_ab,
>
> Wie kommst Du auf das zweite Gleichheitszeichen?
Ups. Streich die Frage.
Fragw�rdig ist dagegen, wie Du eigentlich p^a transformieren willst
und was die obige Gleichung damit zu tun hat.
Andreas.
Arnold Neumaier
Aber der obige Ansatz gilt allgemein.
> Im �brigen
> kann man auch f�r gebundene Teilchen eine solche Gr��e angeben.
Diese Relation ist f"ur gebundene Teilchen falsch; also darf man sie
im Allgemeinfall nicht verwenden.
>> p_a ist proportional zur Ableitung nach x^a, daher vereinfacht sich
>> p^a p_a normalerweise nicht, sondern ergibt ein Vielfaches des
>> D'Alembert-Operators.
>
> Mindestens in relativistischen Feldtheorien ist es so, wie man z.B. an
> der Klein-Gordon-Gleichung sieht.
???
Die Klein-Gordon-Gleichung ist keine Quantenfeldtheorie, und
als klassische Theorie hat das obige p_a nicht die Bedeutung
eines Impulses.
Vereinfacht man die Klein-Gordon-Gleichung als klassische Theorie unter
Ber"ucksichtigung der Quantenrelation p^a p_a = m^2 c^2, so findet man
nur die triviale Identit"at p_0^2 = p_0^2.
>> F"ur t^a=(1 0 0 0) ist t^b p_b = p_0, also p_a-t^b p_b t_a = (0,\p),
>> und man bekommt (1), ohne dass man etwas Ausmultiplizieren muss. Aber
>> wenn man ausmultipliziert und anschliessend Terme zusammensortiert,
>> bekommt man selbstverst"andlich dasselbe!
>
> Ok, die zweite Ableitung nach der Zeit k�rzt sich tats�chlich. Das war
> mir entgangen. Allerdings begehst Du einen Fehler beim Herunterziehen
> des Index von p^a einen Fehler. F�r
>
> p^a = (E, \p)
>
> ist
>
> p_a = (-E, \p c^2)
>
> in Deiner merkw�rdigen Notation.
Ja. Oder p_a = (E, -\p c^2). Ich bin die Notation mit Signatur +---
gewohnt, was das andere Vorzeichen erkl"art, und habe "ubersehen,
dass Hippel et al es andersherum machen.
\p f"ur Fett p ist wirklich merk-w"urdig, weil sehr bequem,
>>>> Andrerseits bekommt man auch 2. Ableitungen und c^2, wenn man (1) in
>>>> beliebigen, Raum und Zeit mischenden Koordinaten darstellt.
>>>>
>>>> Ist umgekehrt t^a ein beliebiges zeitartiges Feld, so kann man
>>>> es mittels einem Diffeomorphismus auf den Fall t^a=(1 0 0 0)
>>>> "uberf"uhren. Da (2) diffeomorphismeninvariant ist, ist das
>>>> eine erlaubte Transformation, die (2) in (1) "uberf"uhrt.
>>>>
>>>> Also sind die nichtrelativistische Form (1) und die kovariante
>>>> Form (2) v"ollig "aquivalent.
>>> Ich sprach von Lorentztransformationen. Ist (2) invariant, wenn p_a
>>> und t_a Lorentztransformiert werden?
>> Nat"urlich. Sei eta_ab die Lorentzmetrik, und L_a^b eine
>> Lorentztransformation. Dann ist
>> L_a^c eta_cd L_b^d = eta_ab, (*)
>
> Wie kommst Du auf das zweite Gleichheitszeichen?
weil eine Lorentztransformatio per Definitionem die Metrik
erh"alt. Siehe etwa Weinberg, Vol. 1, (2.3.5).
>
>> p_a = eta_ab p^b,
>> t_a = eta_ab t^b.
>> p^a und t^a werden lorentztransfromiert zu
>> P^a =
>
> Ist gleich ... ???
P^a = L^a_b p^b, T^a = L^a_b t^b
>> und man kann leicht nachrechnen, dass (2) mit P,T statt p,t sich auf
>> das alte (2) vereinfacht.
>
> Bitte rechne das mal vor. Insbesondere dass, wenn Du L^a_b p^b und
> L^a_b t^b in (2) einsetzt, genau wieder (2) erh�ltst.
Aus allen x^a y_a fallen die Lorentzterme bei der Transformation
wegen (*) weg. Da alle Indices paarweise vorkommen, ist die gesamte
gleichung lorentzinvariant.
Z.B. ist
T^b P_b = T^b eta_bc P^c = L^b_d t^d eta_bc L^c_e p^e
= t^d eta_de p^e = t^d p_d = t^b p_b,
und alles andere geht analog.
> Das kann allein deswegen schon nicht f�nktionieren, weil die
> Schr�dingergleichung invariant unter Galileitransformationen nicht
> aber unter Lorentztransformationen ist.
(2) ist ja nur f"ur t^a=(1,0,0,0) die Schr"odingergleichung, f"ur
andere t^a nicht!
Der Witz ist ja, dass die Relation t^a=(1,0,0,0) nur f"ur Rotationen
erhalten bleibt, und unter diesen ist die schr"odingergleichung ja
invariant.
>>>> Hippel et al. machen mit der Poisson-Klammer nichts anderes.
>>>> Erst wenn sie t^a Operatorwertig machen, passiert dort etwas Neues.
>>> Hippel et al. formulieren den Hamilton als Skalar im Gegensatz zur
>>> klassischen Formulierung, in der H die Nullkomponente des
>>> Energie-Impuls-Vektors ist.
>> Ist P^a der Energie-Impuls-Vektor, so ist H = t_a P^a f"ur t^a=(1,0,0,0)
>> der normale hamiltonoperator H=P-0, aber f"ur beliebige t^a, die
>> sich mittransformieren wird H ein Skalar.
>>
>> Es passiert oben in (1)-->(2) also genau dasselbe wie bei Hippel et al.
>
> Nein. Denn Hippel et al. gehen schon von verallgemeinerten Impulsen
> aus, die gem�� der Lorentztransformationen zu transformieren sind.
> Dein p^a ist keine solche Gr��e.
Doch. P^a = L^a_b p^b. So gilt es "uberall, wo man Viererkoordinaten
verwendet, also auch bei Marsden et al. und bei mir.
>> Man kann in (2) auch wie bei Hippel et al. t^a := gamma^a setzen
>> und erh"alt eine neue Dynamik, die nun nat"urlich nicht mehr mit
>> der nichtrelativisischen "aquivalent ist.
>>
>> Die wesentliche Neuerung von Hippel et al. gegen"uber Marsden et al.
>> ist also genau diese Substitution.
>
> Tja, das hatte ich bereits gesagt. Sch�n, dass Du mir jetzt endlich
> zustimmst.
Das hatte ich auch bereits (am 25. Mai um 16:48) gesagt.
>>>>> Au�erdem sind Deine x und p_a nicht
>>>>> lorentzkovaiant, womit Dein Argument hinf�llig ist.
>>>> Dch, das sind sie in (2) per Definitionem.
>>> Was f�r eine Definition?
>> Die "ubliche Definition f"ur das Herunterziehen von Indices,
>> oben nochmals explizit hingeschrieben.
>>
>> Dadurch werden alle Ausdr"ucke lorentzinvariant, in der sich die
>> Indices nach Einsteinsummation paarweise "uber gleiche obere und
>> untere Indices
>> alle aufheben.
>
> Wenn ich die Kilogrammpreise f�r �pfel, Birnen, Orangen und Kiwis in
> einen Vierervektor packe, sind sie damit auch nicht automatisch ein
> relativistischer Vierervektor.
Wenn man aber dazusagt, dass sie sich so transformieren sollen,
ist das eine Definition. Es mag ja die Bedeutung von Birnen und Orangen
in andern Bezugssystemen "andern, aber das tut die Herleitung der
Poissonklammer (12) von Hippel et al. auch! Sie fangen nichtkovariant
an, und verlangen einfach das Transformationsverhalten, um etwas
Kovariantes zu bekommen.
Arnold Neumaier
Arnold Neumaier
Andreas Most
> Andreas Most schrieb:
>>>> p^a p_a = m^2 c^2
>>> Woher soll diese relation denn kommen? Sie gilt doch nur f"ur ein
>>> freies Teilchen!
>>
>> Die Schr�dingergleichung gilt u.a. auch f�r freie Teilchen.
>
> Aber der obige Ansatz gilt allgemein.
In (1) hast Du kein Potential angegeben, also sind es freie Teilchen.
>> Im �brigen
>> kann man auch f�r gebundene Teilchen eine solche Gr��e angeben.
>
> Diese Relation ist f"ur gebundene Teilchen falsch; also darf man sie
> im Allgemeinfall nicht verwenden.
Falsch w�re es dann, dieses m als Masse oder gar Erhaltungsgr��e zu
deklarieren. Ein Lorentzskalar bliebe es trotzdem.
>>> p_a ist proportional zur Ableitung nach x^a, daher vereinfacht sich
>>> p^a p_a normalerweise nicht, sondern ergibt ein Vielfaches des
>>> D'Alembert-Operators.
>>
>> Mindestens in relativistischen Feldtheorien ist es so, wie man z.B. an
>> der Klein-Gordon-Gleichung sieht.
>
> ???
>
> Die Klein-Gordon-Gleichung ist keine Quantenfeldtheorie, und
Das ist schon Haarspalterei. Relativistische Quantentheorien gibt es
praktisch nicht als Einteilchentheorien.
> als klassische Theorie hat das obige p_a nicht die Bedeutung
> eines Impulses.
Interessant. Du packst Energie und Impuls in einen Vierervektor und
behauptest dann, es h�tte nicht die Bedeutung eines (Vierer-)Impulses?
> Vereinfacht man die Klein-Gordon-Gleichung als klassische Theorie
> unter Ber"ucksichtigung der Quantenrelation p^a p_a = m^2 c^2, so
> findet man nur die triviale Identit"at p_0^2 = p_0^2.
???
Das ist doch gerade die Klein-Gordon-Gleichung, n�mlich
(p^a p_a - m^2 c^2) psi = 0
> Ja. Oder p_a = (E, -\p c^2). Ich bin die Notation mit Signatur +---
> gewohnt, was das andere Vorzeichen erkl"art, und habe "ubersehen,
> dass Hippel et al es andersherum machen.
Wenn Du t^a t_a = -1 setzt, hast Du offensichtlich die Signatur -+++
gew�hlt.
> \p f"ur Fett p ist wirklich merk-w"urdig, weil sehr bequem,
Merkw�rdig ist hier, wie Du die c setzt.
>> Bitte rechne das mal vor. Insbesondere dass, wenn Du L^a_b p^b und
>> L^a_b t^b in (2) einsetzt, genau wieder (2) erh�ltst.
>
> Aus allen x^a y_a fallen die Lorentzterme bei der Transformation
> wegen (*) weg. Da alle Indices paarweise vorkommen, ist die gesamte
> gleichung lorentzinvariant.
Auf dumme Fragen gibt es nat�rlich nur dumme Antworten...
Das Problem ist, dass das Transformationsverhalten von
(i hquer d/dt, \p) eben nicht relativistisch ist. Es einfach zu
definieren hat nichts mit Physik zu tun.
>>> Es passiert oben in (1)-->(2) also genau dasselbe wie bei Hippel et al.
>>
>> Nein. Denn Hippel et al. gehen schon von verallgemeinerten Impulsen
>> aus, die gem�� der Lorentztransformationen zu transformieren sind.
>> Dein p^a ist keine solche Gr��e.
>
> Doch. P^a = L^a_b p^b. So gilt es "uberall, wo man Viererkoordinaten
> verwendet, also auch bei Marsden et al. und bei mir.
Bei Dir eben nicht, weil die p^a nicht Lorentztransformieren
>>> Man kann in (2) auch wie bei Hippel et al. t^a := gamma^a setzen
>>> und erh"alt eine neue Dynamik, die nun nat"urlich nicht mehr mit
>>> der nichtrelativisischen "aquivalent ist.
>>>
>>> Die wesentliche Neuerung von Hippel et al. gegen"uber Marsden et al.
>>> ist also genau diese Substitution.
>>
>> Tja, das hatte ich bereits gesagt. Sch�n, dass Du mir jetzt endlich
>> zustimmst.
>
> Das hatte ich auch bereits (am 25. Mai um 16:48) gesagt.
Die muss mir entgangen sein, denn in Deinem Beitrag vom 25. Mai gehst
Du darauf nicht ein.
>> Wenn ich die Kilogrammpreise f�r �pfel, Birnen, Orangen und Kiwis in
>> einen Vierervektor packe, sind sie damit auch nicht automatisch ein
>> relativistischer Vierervektor.
>
> Wenn man aber dazusagt, dass sie sich so transformieren sollen,
> ist das eine Definition. Es mag ja die Bedeutung von Birnen und Orangen
> in andern Bezugssystemen "andern, aber das tut die Herleitung der
> Poissonklammer (12) von Hippel et al. auch! Sie fangen nichtkovariant
> an, und verlangen einfach das Transformationsverhalten, um etwas
> Kovariantes zu bekommen.
Wo fangen denn Hippel et al. denn nicht kovariant an? Sie f�hren eine
kovariante Poissonklammer ein und einen verallgemeinerten Hamiltonian,
der lorentzinvariant ist. Da wird nichts kovariant definiert, was es
vorher nicht schon war.
Andreas.
Arnold Neumaier
> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> writes:
Konzentrieren wir uns lieber auf das Wesentliche:
>>>> Man kann in (2) auch wie bei Hippel et al. t^a := gamma^a setzen
>>>> und erh"alt eine neue Dynamik, die nun nat"urlich nicht mehr mit
>>>> der nichtrelativisischen "aquivalent ist.
>>>>
>>>> Die wesentliche Neuerung von Hippel et al. gegen"uber Marsden et al.
>>>> ist also genau diese Substitution.
>>> Tja, das hatte ich bereits gesagt. Sch�n, dass Du mir jetzt endlich
>>> zustimmst.
>> Das hatte ich auch bereits (am 25. Mai um 16:48) gesagt.
>
> Die muss mir entgangen sein, denn in Deinem Beitrag vom 25. Mai gehst
> Du darauf nicht ein.
Dort schrieb ich:
''In (23) wird dann t "uber Diracmatrizen spezialisiert, ohne die
Kovarianz zu brechen, was f"ur Spin 1/2 m"oglich ist.''
> Wo fangen denn Hippel et al. denn nicht kovariant an? Sie f�hren eine
> kovariante Poissonklammer ein
Hippels Poissonklammer (12) in http://arxiv.org/pdf/hep-th/0509199
ist genausosehr oder genausowenig kovariant wie mein (2), da t^a
ein _beliebiges_ Vektorfeld ist. Spezialisiert man zu t^a=(1,0,0,0),
so ergibt sich die "ubliche nichtrelativistische Poissonklammer.
> und einen verallgemeinerten Hamiltonian,
> der lorentzinvariant ist. Da wird nichts kovariant definiert, was es
> vorher nicht schon war.
Genauso kann ich mit dem 4D kovarianten Impulsoperator p^a und
einem Lorentzskalar m den verallgemeinerten Hamiltonoperator
H = (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a)/2m (A)
definieren, der manifest lorentzinvariant ist, und dann die
kovariante Quantendynamik
t^a p_a psi(x) = H psi(x) (B)
postulieren, was meine Formel (2) ergibt.
Oder mit dem 4D kovarianten klassischen Impulsvektor p^a
und einem Lorentzskalar m die verallgemeinerte Hamiltonfunktion
H = (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a)/2m (C)
definieren, die manifest lorentzinvariant ist, und dann die
kovariante klassische Dynamik
i hquer t^a Nabla_a q^b = dH/dp^b, (D)
i hquer t^a Nabla_a p^b = -dH/dq^b. (E)
postulieren.
Ich fange also kovariant an, ohne etwas kovariant zu definieren,
was es vorher nicht schon war,
Trotzdem ergibt die Spezialisierung t^a=(1,0,0,0) die Dynamik eines
nichtrelativistischen freien Teilchens, quantenmechnaisch im Fall
(B) und klassisch im Fall (D),(E).
Und nicht ganz zuf"allig sind (D) und (E) im Wesentlichen gerade
die Spezialisierung von Hippels (17ab) f"ur das kovariante H aus (C).
Arnold Neumaier
Macher des Zeitgeistes
Denis - Max Pain hat wieder mal die Vorlesung gestört.
Oder ?
Also ich persönlich fühle mich wiederum von diesen 41
Diskussionsbeiträgen
extrem gestört, weil ...
.... ja weil die Diskussion EIN BULLE ANGEFANGEN HAT !
( Sicherheitsdienst vom Max Planck Institut, ich kann's beweisen !
( Im Gegensatz zu Euch Behinderten ! ))
Andreas Most
> Andreas Most schrieb:
>>>>> Die wesentliche Neuerung von Hippel et al. gegen"uber Marsden et al.
>>>>> ist also genau diese Substitution.
>>>> Tja, das hatte ich bereits gesagt. Sch锟絥, dass Du mir jetzt endlich
>>>> zustimmst.
>>> Das hatte ich auch bereits (am 25. Mai um 16:48) gesagt.
>>
>> Die muss mir entgangen sein, denn in Deinem Beitrag vom 25. Mai gehst
>> Du darauf nicht ein.
>
> Dort schrieb ich:
> ''In (23) wird dann t "uber Diracmatrizen spezialisiert, ohne die
> Kovarianz zu brechen, was f"ur Spin 1/2 m"oglich ist.''
Die Bedeutung hast Du aber scheinbar nicht begriffen.
>> Wo fangen denn Hippel et al. denn nicht kovariant an? Sie f锟絟ren eine
>> kovariante Poissonklammer ein
>
> Hippels Poissonklammer (12) in http://arxiv.org/pdf/hep-th/0509199
> ist genausosehr oder genausowenig kovariant wie mein (2), da t^a
> ein _beliebiges_ Vektorfeld ist. Spezialisiert man zu t^a=(1,0,0,0),
> so ergibt sich die "ubliche nichtrelativistische Poissonklammer.
"nichtrelativistisch" macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn. In
einer relativistischen Theorie ist nat锟絩lich auch die Poissonklammer
ein relativistischer Ausdruck.
So beliebig ist t_a dann auch nicht, denn t_a ist ein Vektor im
Parameterraum mit Minkowskimetrik. Verj锟絥gt man damit Hippels
verallgemeinerte Poissonklammer, erh锟絣t man eine neue, invariante
Poissonklammer. Im Gegensatz dazu ist Deine Gleichung (2) ziemlich
sinnlos, weil Dein Impulsvektor keine kovariante Gr锟斤拷e ist. Auch nicht
durch blo锟絜 Definition.
>> und einen verallgemeinerten Hamiltonian,
>> der lorentzinvariant ist. Da wird nichts kovariant definiert, was es
>> vorher nicht schon war.
>
> Genauso kann ich mit dem 4D kovarianten Impulsoperator p^a und
> einem Lorentzskalar m den verallgemeinerten Hamiltonoperator
> H = (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a)/2m (A)
> definieren, der manifest lorentzinvariant ist, und dann die
> kovariante Quantendynamik
> t^a p_a psi(x) = H psi(x) (B)
> postulieren, was meine Formel (2) ergibt.
Da ist nicht kovariant. p_a transformiert nichtrelativistsich:
\p -> \p' = \p - m \v
E -> E' = \p'^2/2m
Andreas.
Macher des Zeitgeistes
> Arnold Neumaier <Arnold.Neuma...@univie.ac.at> writes:
> > Andreas Most schrieb:
> >>>>> Die wesentliche Neuerung von Hippel et al. gegen"uber Marsden et al.
> >>>>> ist also genau diese Substitution.
> >>>> zustimmst.
> >>> Das hatte ich auch bereits (am 25. Mai um 16:48) gesagt.
>
> >> Die muss mir entgangen sein, denn in Deinem Beitrag vom 25. Mai gehst
> >> Du darauf nicht ein.
>
> > Dort schrieb ich:
> > ''In (23) wird dann t "uber Diracmatrizen spezialisiert, ohne die
> > Kovarianz zu brechen, was f"ur Spin 1/2 m"oglich ist.''
>
> Die Bedeutung hast Du aber scheinbar nicht begriffen.
>
> >> kovariante Poissonklammer ein
>
> > Hippels Poissonklammer (12) inhttp://arxiv.org/pdf/hep-th/0509199
> > ist genausosehr oder genausowenig kovariant wie mein (2), da t^a
> > ein _beliebiges_ Vektorfeld ist. Spezialisiert man zu t^a=(1,0,0,0),
> > so ergibt sich die "ubliche nichtrelativistische Poissonklammer.
>
> "nichtrelativistisch" macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn. In
> ein relativistischer Ausdruck.
>
> So beliebig ist t_a dann auch nicht, denn t_a ist ein Vektor im
> verallgemeinerte Poissonklammer, erhält man eine neue, invariante
> Poissonklammer. Im Gegensatz dazu ist Deine Gleichung (2) ziemlich
> durch bloße Definition.
>
> >> und einen verallgemeinerten Hamiltonian,
> >> der lorentzinvariant ist. Da wird nichts kovariant definiert, was es
> >> vorher nicht schon war.
>
> > Genauso kann ich mit dem 4D kovarianten Impulsoperator p^a und
> > einem Lorentzskalar m den verallgemeinerten Hamiltonoperator
> > H = (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a)/2m (A)
> > definieren, der manifest lorentzinvariant ist, und dann die
> > kovariante Quantendynamik
> > t^a p_a psi(x) = H psi(x) (B)
> > postulieren, was meine Formel (2) ergibt.
>
> Da ist nicht kovariant. p_a transformiert nichtrelativistsich:
>
> \p -> \p' = \p - m \v
> E -> E' = \p'^2/2m
>
> Andreas.
Es gibt für Physiker Gründe, sich über Denis aufzuregen :
Eine Frage ist kein Thema !!
Heute fragte ein Vater seine Tochter Julia :
" Julia, Julia, willst Du nicht Deine Schuhe anziehen, Du steigst doch
( auf der Wiese
im Münchner Englichen Garten ) immer wieder in den Vogeldreck hinnein.
"
Kindererziehung ist schwierig, Physik zu lehren wohl noch
schwieriger !
Im Studium WAR ES MIR NICHT GESTATTET, eine Frage zu stellen.
Extrem ärgerlich, daß hier jeder seine Schwachsinnsfragen stellt, und
dann
frecherweise auch noch das Wort " Felder " in den Mund nimmt !
Macher des Zeitgeistes
> > Andreas Most schrieb:
> >>>>> Die wesentliche Neuerung von Hippel et al. gegen"uber Marsden et al.
> >>>>> ist also genau diese Substitution.
> >>>> zustimmst.
> >>> Das hatte ich auch bereits (am 25. Mai um 16:48) gesagt.
>
> >> Die muss mir entgangen sein, denn in Deinem Beitrag vom 25. Mai gehst
> >> Du darauf nicht ein.
>
> > Dort schrieb ich:
> > ''In (23) wird dann t "uber Diracmatrizen spezialisiert, ohne die
> > Kovarianz zu brechen, was f"ur Spin 1/2 m"oglich ist.''
>
> Die Bedeutung hast Du aber scheinbar nicht begriffen.
>
> >> kovariante Poissonklammer ein
>
> > Hippels Poissonklammer (12) inhttp://arxiv.org/pdf/hep-th/0509199
> > ist genausosehr oder genausowenig kovariant wie mein (2), da t^a
> > ein _beliebiges_ Vektorfeld ist. Spezialisiert man zu t^a=(1,0,0,0),
> > so ergibt sich die "ubliche nichtrelativistische Poissonklammer.
>
> "nichtrelativistisch" macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn. In
> ein relativistischer Ausdruck.
>
> So beliebig ist t_a dann auch nicht, denn t_a ist ein Vektor im
> verallgemeinerte Poissonklammer, erhält man eine neue, invariante
> Poissonklammer. Im Gegensatz dazu ist Deine Gleichung (2) ziemlich
>
> >> und einen verallgemeinerten Hamiltonian,
> >> der lorentzinvariant ist. Da wird nichts kovariant definiert, was es
> >> vorher nicht schon war.
>
> > Genauso kann ich mit dem 4D kovarianten Impulsoperator p^a und
> > einem Lorentzskalar m den verallgemeinerten Hamiltonoperator
> > H = (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a)/2m (A)
> > definieren, der manifest lorentzinvariant ist, und dann die
> > kovariante Quantendynamik
> > t^a p_a psi(x) = H psi(x) (B)
> > postulieren, was meine Formel (2) ergibt.
>
> Da ist nicht kovariant. p_a transformiert nichtrelativistsich:
>
> \p -> \p' = \p - m \v
> E -> E' = \p'^2/2m
>
> Andreas.
Also Andreas,
soviel ich weiß gibt der Kommutator den Eigenwert des Operators
wieder.
Ich kann mich auch täuschen - vor 28 Jahren mußte ich da mal ein
Referat halten, in Englisch.
Ich habe da so radegebrecht, daß der Assistent sagte : Herr D. das ist
weder correct Englisch noch proper Englisch.
Aber bei Heisenberg wars noch schlimmer, hörte ich.
Du verwendest bei Impulsen die Masse m, und die Neuerung von Hippel
kenne ich nicht.
Wie nachzulesen lehne ich die QM ab - UND ICH HAB DEN SCHEIN !
Arnold Neumaier
>>> kovariante Poissonklammer ein
>> Hippels Poissonklammer (12) in http://arxiv.org/pdf/hep-th/0509199
>> ist genausosehr oder genausowenig kovariant wie mein (2), da t^a
>> ein _beliebiges_ Vektorfeld ist. Spezialisiert man zu t^a=(1,0,0,0),
>> so ergibt sich die "ubliche nichtrelativistische Poissonklammer.
>
> "nichtrelativistisch" macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn. In
> ein relativistischer Ausdruck.
>
> So beliebig ist t_a dann auch nicht, denn t_a ist ein Vektor im
> Parameterraum mit Minkowskimetrik.
Genauso wie bei mir in (2).
Aber wir wiederholen uns nur noch, und ich beende daher die Diskussion.
Arnold Neumaier
Andreas
> Aber wir wiederholen uns nur noch, und ich beende daher die Diskussion.
Sind Dir die Argumente ausgegangen? Kannst Du meine Behauptung "uber
das Transformationsverhalten von p^a widerlegen?
Deine Aussage, p^a sei (Lorentz-)kovariant, weil Du ihn mit 4
Komponenten
hinschreibst und eine Minkowskimetrik anwendest, ist physikalisch
nicht haltbar.
Andreas.
Arnold Neumaier
> On Jun 16, 11:22 am, Arnold Neumaier wrote:
>> Aber wir wiederholen uns nur noch, und ich beende daher die Diskussion.
> Sind Dir die Argumente ausgegangen?
Nein, aber ich predige ungerne tauben Ohren.
F"ur pure Rechthaberei-Spiele ist mir die Zeit zu schade.
Weder ich noch Sie lernen noch etwas aus einer Fortsetzung
der Diskussion.
> Kannst Du meine Behauptung "uber
> das Transformationsverhalten von p^a widerlegen?
> Deine Aussage, p^a sei (Lorentz-)kovariant, weil Du ihn mit 4
> Komponenten
> hinschreibst und eine Minkowskimetrik anwendest, ist physikalisch
> nicht haltbar.
Ich wiederhole hier gerne nochmal im Zusammenhang, mit Verbesserungen
der Details, was ich bisher schon verstreut gesagt hatte.
Wenn das nichts kl"art, dann n"utzen auch weitere Wiederholungen nichts;
denn dann reden wir nur aneinander vorbei. Das ist also mein letzter
Versuch.
Wie Hippel et al. auf S.3 unten in http://arxiv.org/pdf/hep-th/0509199
(und jetzt in seiner Notation) betrachte ich eine geometrisch
wohldefinierte klassische diffeomorphismeninvariante Theorie auf einem
4-dimensionalen Minkowskiraum mit Signatur -+++. Ich benutze seine
kovariante Poissonklammer (16a-c), spezialisiert auf N(4)=-1.
Seine resultierende kovariante klassische Dynamik (17a-b) reduziert
sich wegen (16) auf
t^a Nabla_a q^b = dH/dp^b, (A)
t^a Nabla_a p^b = -dH/dq^b. (B)
Hierbei ist t^a ein 4-Vektorfeld mit t^at_a=-1.
Der einzige Unterschied zu seiner Theorie ist, dass ich nicht das
Lorentzinvariante H aus (6) verlange, sondern ein beliebiges
Lorentzinvariantes H erlaube. Das "andert nichts an der Kovarianz der
resultierenden Theorie, erh"oht aber ihre Allgemeinheit.
(Hippel macht in seiner Herleitung von (16-17) von (6) keinerlei
Gebrauch.)
Bis jetzt ist alles manifest kovariant, und es gibt keinerlei Zweifel
"uber das Transformationsverhalten von p^a oder anderer 4-Vektoren.
Nun betrachte ich speziell die Theorie mit
H = t^a p_a + (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a)/2m + k/2 q^aq_a, (C)
wobei k>0 und m>0 Lorentz-Skalare sind. Offensichtlich ist H
Lorentzinvariant, also ist es Hippel's Dynamik in meiner
Verallgemeinerung f"ur diese Wahl von H ebenfalls.
Um die entstandene spezielle Theorie zu verstehen, betrachte ich sie
in einem speziellen Koordinatensystem.
Wegen der Diffeomorphismeninvarianz, der Lorentzinvarianz und der
Zeitartigkeit von t^a kann ich das Koordinatensystem zumindest lokal
so w"ahlen, dass
t^a=(-1,0,0,0) (D)
ist. Hier w"ahlen wir der Einfachheit halber Einheiten, in denen c=1
ist; sonst treten hier und sp"ater noch verschiedene Faktoren c auf.
In diesem Koordinatensystem identifizieren wir im Minkowskiraum wie
"ublich eine Zeitkoordinate t=x_0 und drei Raumkoordinaten
(x_1,x_2,x_3). Mit der Notation
p^a=(p^0,\p), \p=(p^1,p^2,p^3)=(p_1,p_2,p_3)
wird
p_a=(-p^0,\p), t^a p_a = p^0, p_a-t^b p_b t_a = (0,\p),
und analoges gilt f"ur andere Ausdr"ucke.
In diesem Koordinatensystem sieht ein lokaler Beobachter die
Dynamik, die sich aus (A-C) durch die Spezialisierung (D) ergibt,
also aus (C) zun"achst
H = \p^2/2m + k/2 (-q_0^2 + \q^2). (C1)
aus (A) dann
Nabla_0 q^0 = dH/dp^0 = 0, (A0)
Nabla_0 \q = dH/d\p = \p/m, (A1)
und aus (B)
Nabla_0 p^0 = -dH/dq^0 = k q_0, (B0)
Nabla_0 \p = -dH/d\q = -k\q. (B1)
Hier ist Nabla_0 die Ableitung nach der Zeitkoordinate im Minkowskiraum.
(A0) und (B0) sagen q^0=const, p^0 = k t q_0 + const; p^0 fungiert
also im Wesentlichen als Zeitmesser f"ur den lokalen Beobachter.
(A1) und (B1) sind genau die Gleichungen f"ur einen 3-dimensionalen
harmonischen Oszillator.
Die Theorie beschreibt also (aus der Sicht unseres ausgezeichneten
Beobachters) einfach ein nichtrelativistisches Teilchen in einer
harmonisch oszillierenden Bewegung.
Ganz allgemein gibt es in Hippel's klasischer Dynamik (16-17),
solange n"amlich t^a ein klassisches (nicht operatorwertiges) Feld
ist, immer einen solchen ausgezeichneten Beobachter, f"ur den
die Dynamik (A-B) eine besonders einfache, nichtrelativistische Form
annimmt, weil t^a=(1,0,0,0) ist.
Umgekehrt kann man jedes 3-dimensionale nichtrelativistische
klassiwsche rotations- und spiegelsymmetrische Hamiltonsche System
als solche ausgezeichnete kovariante Dynamik verstehen. Die zugeh"orige
Hamiltonfunktion H_0(\p,\q) kann dann n"amlich nur von den inneren
Produkten \p^2,\q^2 und \p dot \q abh"angen, also gibt es eine Funktion
E(...) mit
H_0(\p,\q) = E(\p^2,\q^2,\p dot \q).
Ersetzen von \p^2 und \q^2 durch die Minkowskiquadrate von
p_a-t^b p_b t_a und q_a-t^c p_c t_a und von \p dot \q durch deren
Minkowskiprodukt ergibt dann eine kovariante Hamiltonfunktion H(p,q),
und eine der obigen "ahnliche Analyse zeigt, dass der ausgezeichnete
Beobachter genau die urspr"ungliche rotationsssymmetrische Dynamik
sieht.
Arnold Neumaier
Norbert Dragon
> Wie Hippel et al. auf S.3 unten in http://arxiv.org/pdf/hep-th/0509199
> (und jetzt in seiner Notation) betrachte ich eine geometrisch
> wohldefinierte klassische diffeomorphismeninvariante Theorie auf einem
> 4-dimensionalen Minkowskiraum mit Signatur -+++.
Ich habe ein wenig von der Diskussion verfolgt und mich jetzt mit dem
Papier besch�ftigt.
Was ist eine "geometrisch wohldefinierte Theorie" anderes als
vorweggenommenes Eigenlob?
Gibt es in geometrisch wohldefinierten Theorien Wirkungen mit
Chern-Simons-Termen, die Hippel nicht bedenkt?
St�rt, da� Hippels Hamilton-Funktion schon im einfachsten Fall des
skalaren Feldes nicht definit und nicht defniert ist?
Sei Hippels Mannigfaltigkeit Sigma der Minkowski-Raum in kartesischen
Koordinaten,
H_Skalar_Hippel = (d_t phi)^2 - (d_x phi)^2 - (d_y phi)^2 - (d_z phi)^2
+ m^2 phi^2
ist nicht definit, denn die r�umlichen Ableitungen tragen mit falschem
Vorzeichen bei.
H_Skalar_Hippel ist schlecht definiert, denn die partiellen
Ableitungen von phi ergeben nicht etwa d_x phi, sondern eine Funktion
d_x phi = f_x(phi, p)
der Impulse und der Felder. Von diesen Constraints habe ich nichts
bei der Herleitung der Bewegungsgleichungen gelesen, die so erfolgen,
als g�be es die Constraints nicht.
> Ich benutze seine
> kovariante Poissonklammer (16a-c), spezialisiert auf N(4)=-1.
Wie leitet man nach Variablen ab, die durch mehr Constraints
eingeschr�nkt sind, als sich Hippel tr�umen l��t?
--
Aberglaube bringt Ungl�ck
Andreas
> Andreas schrieb:
>
> > On Jun 16, 11:22 am, Arnold Neumaier wrote:
> Wie Hippel et al. auf S.3 unten inhttp://arxiv.org/pdf/hep-th/0509199
> (und jetzt in seiner Notation) betrachte ich eine geometrisch
> wohldefinierte klassische diffeomorphismeninvariante Theorie auf einem
> 4-dimensionalen Minkowskiraum mit Signatur -+++. Ich benutze seine
> kovariante Poissonklammer (16a-c), spezialisiert auf N(4)=-1.
Hier überspringst Du einen wesentlichen Punkt. Was ist Dein
Parameterraum?
Bei Hippel werden die Koordinaten q_i in (1) als Funktionen der
sigma_a
ausgedrückt. Das wäre in der Stringtheorie z.B. X^m = X^m(tau, sigma).
> Seine resultierende kovariante klassische Dynamik (17a-b) reduziert
> sich wegen (16) auf
> t^a Nabla_a q^b = dH/dp^b, (A)
> t^a Nabla_a p^b = -dH/dq^b. (B)
> Hierbei ist t^a ein 4-Vektorfeld mit t^at_a=-1.
>
> Der einzige Unterschied zu seiner Theorie ist, dass ich nicht das
> Lorentzinvariante H aus (6) verlange, sondern ein beliebiges
> Lorentzinvariantes H erlaube. Das "andert nichts an der Kovarianz der
> resultierenden Theorie, erh"oht aber ihre Allgemeinheit.
> (Hippel macht in seiner Herleitung von (16-17) von (6) keinerlei
> Gebrauch.)
Wie leitest Du (17) ohne Benutzung von (6) her?
Für (17) sind die Beziehungen in (7) relevant, die direkt aus (6)
folgen.
> Bis jetzt ist alles manifest kovariant, und es gibt keinerlei Zweifel
> "uber das Transformationsverhalten von p^a oder anderer 4-Vektoren.
Solange Du den Parameterraum nicht definiert hast, ist das
Transformationsverhalten unklar.
> Nun betrachte ich speziell die Theorie mit
> H = t^a p_a + (p_a-t^b p_b t_a)(p^a-t^c p_c t^a)/2m + k/2 q^aq_a, (C)
> wobei k>0 und m>0 Lorentz-Skalare sind. Offensichtlich ist H
> Lorentzinvariant, also ist es Hippel's Dynamik in meiner
> Verallgemeinerung f"ur diese Wahl von H ebenfalls.
Da ist nichts offensichtlich. Wieso sollte die q^a q_a
lorentzinvariant
sein, wenn die q_a in den Bewegungsgleichungen weiter unten mit
der Galileitransformation transformiert werden müssen?
Wo ist der zweite Index für p? (Einer für den Parameterraum und einer
für den Zielraum. Siehe Hippels Gleichungen (1) und (5))
Verstehe ich es richtig, dass t^a ein Vektorfeld sein soll, d.h t^a
ist
eine Funktion der sigma_a (des noch zu spezifizierenden
Parameterraums)?
In diesem Fall gelten aber die Gleichungen (17) nicht mehr, weil bei
dessen
Herleitung explizit davon ausgegangen wird, dass H nur eine Funktion
der
Koordinaten und der Impulse ist.
> Um die entstandene spezielle Theorie zu verstehen, betrachte ich sie
> in einem speziellen Koordinatensystem.
> Wegen der Diffeomorphismeninvarianz, der Lorentzinvarianz und der
> Zeitartigkeit von t^a kann ich das Koordinatensystem zumindest lokal
> so w"ahlen, dass
> t^a=(-1,0,0,0) (D)
> ist. Hier w"ahlen wir der Einfachheit halber Einheiten, in denen c=1
> ist; sonst treten hier und sp"ater noch verschiedene Faktoren c auf.
>
> In diesem Koordinatensystem identifizieren wir im Minkowskiraum wie
> "ublich eine Zeitkoordinate t=x_0 und drei Raumkoordinaten
> (x_1,x_2,x_3). Mit der Notation
> p^a=(p^0,\p), \p=(p^1,p^2,p^3)=(p_1,p_2,p_3)
> wird
> p_a=(-p^0,\p), t^a p_a = p^0, p_a-t^b p_b t_a = (0,\p),
> und analoges gilt f"ur andere Ausdr"ucke.
>
> In diesem Koordinatensystem sieht ein lokaler Beobachter die
> Dynamik, die sich aus (A-C) durch die Spezialisierung (D) ergibt,
> also aus (C) zun"achst
> H = \p^2/2m + k/2 (-q_0^2 + \q^2). (C1)
Was ist aus dem ersten Term t^a p_a in (C) geworden?
> aus (A) dann
> Nabla_0 q^0 = dH/dp^0 = 0, (A0)
> Nabla_0 \q = dH/d\p = \p/m, (A1)
> und aus (B)
> Nabla_0 p^0 = -dH/dq^0 = k q_0, (B0)
> Nabla_0 \p = -dH/d\q = -k\q. (B1)
> Hier ist Nabla_0 die Ableitung nach der Zeitkoordinate im Minkowskiraum.
>
> (A0) und (B0) sagen q^0=const, p^0 = k t q_0 + const; p^0 fungiert
> also im Wesentlichen als Zeitmesser f"ur den lokalen Beobachter.
> (A1) und (B1) sind genau die Gleichungen f"ur einen 3-dimensionalen
> harmonischen Oszillator.
>
> Die Theorie beschreibt also (aus der Sicht unseres ausgezeichneten
> Beobachters) einfach ein nichtrelativistisches Teilchen in einer
> harmonisch oszillierenden Bewegung.
Wie vereinbarst Du das mit Deiner obigen (impliziten) Behauptung, dass
q^a eine kovariante Größe ist? q^a kann nicht gleichzeitig lorentz-
und
galileitransformieren.
Wie ist übrigens der Zusammenhang zwischen q^a und x^a (die Du oben
ganz unschuldig eingeführt hast, um die Zusammensetzung der p^a zu
rechtfertigen)?
Andreas.
Andreas
> Stört, daß Hippels Hamilton-Funktion schon im einfachsten Fall des
> skalaren Feldes nicht definit und nicht defniert ist?
>
> Sei Hippels Mannigfaltigkeit Sigma der Minkowski-Raum in kartesischen
> Koordinaten,
>
> H_Skalar_Hippel = (d_t phi)^2 - (d_x phi)^2 - (d_y phi)^2 - (d_z phi)^2
> + m^2 phi^2
>
> ist nicht definit, denn die räumlichen Ableitungen tragen mit falschem
> Vorzeichen bei.
Wie kommst Du auf diese Vorzeichen, wenn die Metrik (-,+++) ist?
Und muss H tatsächlich definit sein?
> H_Skalar_Hippel ist schlecht definiert, denn die partiellen
> Ableitungen von phi ergeben nicht etwa d_x phi, sondern eine Funktion
>
> d_x phi = f_x(phi, p)
>
> der Impulse und der Felder. Von diesen Constraints habe ich nichts
> bei der Herleitung der Bewegungsgleichungen gelesen, die so erfolgen,
> als gäbe es die Constraints nicht.
Ich sehe nicht, woraus Du das schließt. Dieser "Constraint" ist doch
gerade die
gesuchte Bewegungsgleichung.
Andreas.
Norbert Dragon
>* Norbert Dragon schrieb:
>> St�rt, da� Hippels Hamilton-Funktion schon im einfachsten Fall des
>> skalaren Feldes nicht definit und nicht defniert ist?
>> Sei Hippels Mannigfaltigkeit Sigma der Minkowski-Raum in kartesischen
>> Koordinaten,
>> H_Skalar_Hippel = (d_t phi)^2 - (d_x phi)^2 - (d_y phi)^2 - (d_z phi)^2
>> � � � � � � � � � + m^2 phi^2 �
>> ist nicht definit, denn die r�umlichen Ableitungen tragen mit falschem
>> Vorzeichen bei.
> Wie kommst Du auf diese Vorzeichen, wenn die Metrik (-,+++) ist?
Bei Hippel ist H die Legendre-Konjugierte bez�glich aller partiellen
Ableitungen, nicht nur der Zeitableitung.
H = Summe_m (d_x^m phi) dL / d(d_x^m phi) - L
Der Operator (d_x^m phi) d / d(d_x^m phi) z�hlt einfach die Potenzen der
abgeleiteten Felder, das sind zwei bei
(d_t phi)^2 - (d_x phi)^2 - (d_y phi)^2 - (d_z phi)^2
und Null bei - m^2 phi^2. Zieht man davon L ab, so erh�lt man die obige
Funktion H.
Im Hamiltonformalismus, wie ihn der Rest der Welt betreibt, wird die
Hamiltonfunktion nur bez�glich der Zeitableitungen Legendre-konjugiert.
Dort stimmt das Vorzeichen von (d_t phi)^2 in der Lagrangefunktion und
der Hamiltonfunktion �berein, die Vorzeichen von (d_x phi)^2,
(d_y phi)^2 und (d_z phi)^2 sind hingegen in H und L entgegengesetzt.
Das Integral d^3 x �ber die Hippelsche Hamiltondichte ist keine
Erhaltungsgr��e.
> Und muss H tats�chlich definit sein?
Wenn es die Energiedichte einer Erhaltungsgr��e sein soll, ja!
>> H_Skalar_Hippel ist schlecht definiert, denn die partiellen
>> Ableitungen von phi ergeben nicht etwa �d_x phi, sondern eine Funktion
>> d_x phi = f_x(phi, p)
>> der Impulse und der Felder. Von diesen Constraints habe ich nichts
>> bei der Herleitung der Bewegungsgleichungen gelesen, die so erfolgen,
>> als g�be es die Constraints nicht.
> Ich sehe nicht, woraus Du das schlie�t. Dieser "Constraint" ist doch
> gerade die gesuchte Bewegungsgleichung.
Durch Legendre-Transformation erreicht man nicht alle Punkte (phi, p)
des Phasenraumes, sondern nur eine Hyperfl�che. H und andere
Phasenraumfunktionen sind Funktionen dieser Hyperfl�che, �hnlich wie
die Kugelfl�chenfunktionen Funktionen der Kugeloberfl�che sind.
Die partiellen Ableitungen wie d / dp differenzieren l�ngs Kurven, die
aus dieser Fl�che herausf�hren. So wie die Ableitung nach der
kartesischen Koordinate z nicht auf Funktionen der Kugeloberfl�che
definiert werden k�nnen, sowenig sind Ableitungen nach den Impulsen
auf der Hyperfl�che definiert.
Dirac hat dieses Problem f�r Eichtheorien formuliert und gel�st,
Hippel scheint es zu �bersehen.
Arnold Neumaier
> * Arnold Neumaier schreibt:
>
>> Wie Hippel et al. auf S.3 unten in http://arxiv.org/pdf/hep-th/0509199
>> (und jetzt in seiner Notation) betrachte ich eine geometrisch
>> wohldefinierte klassische diffeomorphismeninvariante Theorie auf einem
>> 4-dimensionalen Minkowskiraum mit Signatur -+++.
>
> Ich habe ein wenig von der Diskussion verfolgt und mich jetzt mit dem
>
> St�rt, da� Hippels Hamilton-Funktion schon im einfachsten Fall des
> skalaren Feldes nicht definit und nicht defniert ist?
Die Arbeit
J.E. Marsden, R. Montgomery, P.J. Morrison, and W.B. Thompson,
Covariant Poisson brackets for classical fields,
Ann. Phys. 169 (1986), 29�48.
http://www.cds.caltech.edu/~marsden/bib/1986/07-MaMoMoTh1986/MaMoMoTh1986.pdf
ist jedenfalls ordentlich geschrieben.
Arnold Neumaier
Arnold Neumaier
und ist _viel_ interessanter als Hippel et al..
Letztere Arbeit interessiert mich eigentlich gar nicht so, und ich habe
sie auch nur oberfl"achlich gelesen (viel zu wenig Zeit...).
Arnold Neumaier
Norbert Dragon
>* Norbert Dragon schrieb:
>> St�rt, da� Hippels Hamilton-Funktion schon im einfachsten Fall des
>> skalaren Feldes nicht definit und nicht defniert ist?
> Die Arbeit
> J.E. Marsden, R. Montgomery, P.J. Morrison, and W.B. Thompson,
> Covariant Poisson brackets for classical fields,
> Ann. Phys. 169 (1986), 29?48.
> http://www.cds.caltech.edu/~marsden/bib/1986/07-MaMoMoTh1986/MaMoMoTh1986.pdf
> ist jedenfalls ordentlich geschrieben.
Ich nehme das als Zustimmung zu dem Urteil, da� Hippels Papier
fragw�rdig ist.
Ist Marsden besser?
Er definiert eine Ableitung eines Funktionals der Feldst�rken
F_mn = d_m A_n - d_n A_m
nach den Feldst�rken. Nun ist aber das Funktional
S = Integral d^4x F_mn d_k S^kmn = 0 ,
wenn Randterme nicht beitragen und S^kmn antisymmetrisch unter
Paarvertauschungen von Indizes ist,
S^kmn = - S^mkn = - S^knm ,
denn die Variablen F_mn erf�llen die Identit�t
d_k F_mn + d_m F_nk + d_n F_km = 0 .
Die Ableitung dieser Null hingegen ist nach Marsden, wenn S^kmn
nicht von F_mn abh�ngt,
delta Null / delta F_mn = d_k S^kmn .
Ordentlich? Welche Papiere soll ich noch nachsehen?
Roland Franzius
Ich w�rde erstmal weiterhin mit Marsden versuchen, die kanonische
Feldtheorie zu verstehen. Mir scheint da ein Verst�ndnisfehler vorzuliegen.
Bist du ernstlich der Meinung, dass die Existenz einer
Submannigfaltigkeit der S-station�ren Felder den kanonischen Kalk�l auf
der uneingeschr�nkten symplektischen Mannigfaltigkeit obstruiert?
Erinnert stark an den immer wieder erhobenen Einwand, dass man x und p
nicht unabh�ngig w�hlen kann, da p-mv=0.
Aber genau gesagt, wei� ich nicht einmal, auf welchen Absatz in der
Arbeit die Bemerkung zielen sollte.
--
Roland Franzius
Macher des Zeitgeistes
> Norbert Dragon schrieb:
>
>
>
>
>
> > * Arnold Neumaier schreibt:
>
> >> * Norbert Dragon schrieb:
>
> >>> skalaren Feldes nicht definit und nicht defniert ist?
>
> >> Die Arbeit
>
> >> J.E. Marsden, R. Montgomery, P.J. Morrison, and W.B. Thompson,
> >> Covariant Poisson brackets for classical fields,
> >> Ann. Phys. 169 (1986), 29?48.
>
> >> ist jedenfalls ordentlich geschrieben.
>
> > Ich nehme das als Zustimmung zu dem Urteil, daß Hippels Papier
> > fragwürdig ist.
>
> > Ist Marsden besser?
>
> > Er definiert eine Ableitung eines Funktionals der Feldstärken
>
> > F_mn = d_m A_n - d_n A_m
>
>
> > S = Integral d^4x F_mn d_k S^kmn = 0 ,
>
> > wenn Randterme nicht beitragen und S^kmn antisymmetrisch unter
> > Paarvertauschungen von Indizes ist,
>
> > S^kmn = - S^mkn = - S^knm ,
>
>
> > d_k F_mn + d_m F_nk + d_n F_km = 0 .
>
> > Die Ableitung dieser Null hingegen ist nach Marsden, wenn S^kmn
>
> > delta Null / delta F_mn = d_k S^kmn .
>
> > Ordentlich? Welche Papiere soll ich noch nachsehen?
>
> Feldtheorie zu verstehen. Mir scheint da ein Verständnisfehler vorzuliegen.
>
> Bist du ernstlich der Meinung, dass die Existenz einer
> der uneingeschränkten symplektischen Mannigfaltigkeit obstruiert?
>
> Erinnert stark an den immer wieder erhobenen Einwand, dass man x und p
>
> Aber genau gesagt, weiß ich nicht einmal, auf welchen Absatz in der
> Arbeit die Bemerkung zielen sollte.
>
> --
>
>
> - Zitierten Text anzeigen -
Die Lorentzinvarianz ist zwar Lehrstoff ( Kumi ), für mich aber kein
besonderes Argument.
Die Lorentztransformation soll das Verhältnis zwischen massiven und
masselosen Teilchen beleuchten, und .........
........... und da müssen hier doch alle zugeben : Die Higgstheorie
ist doch echt ein Witz, oder ?
Andreas
> * Andreas Most schreibt:
> > Wie kommst Du auf diese Vorzeichen, wenn die Metrik (-,+++) ist?
>
> Bei Hippel ist H die Legendre-Konjugierte bezüglich aller partiellen
> Ableitungen, nicht nur der Zeitableitung.
>
> H = Summe_m (d_x^m phi) dL / d(d_x^m phi) - L
>
> Der Operator (d_x^m phi) d / d(d_x^m phi) zählt einfach die Potenzen der
> abgeleiteten Felder, das sind zwei bei
>
> (d_t phi)^2 - (d_x phi)^2 - (d_y phi)^2 - (d_z phi)^2
>
> und Null bei - m^2 phi^2. Zieht man davon L ab, so erhält man die obige
> Funktion H.
Ok. Hatte ich übersehen.
> Im Hamiltonformalismus, wie ihn der Rest der Welt betreibt, wird die
> Hamiltonfunktion nur bezüglich der Zeitableitungen Legendre-konjugiert.
> Dort stimmt das Vorzeichen von (d_t phi)^2 in der Lagrangefunktion und
> der Hamiltonfunktion überein, die Vorzeichen von (d_x phi)^2,
> (d_y phi)^2 und (d_z phi)^2 sind hingegen in H und L entgegengesetzt.
>
> Das Integral d^3 x über die Hippelsche Hamiltondichte ist keine
> Erhaltungsgröße.
>
> > Und muss H tatsächlich definit sein?
>
> Wenn es die Energiedichte einer Erhaltungsgröße sein soll, ja!
Hippels Hamiltonian kann schon per Definition keine Energiedichte
sein, da sie im Gegensatz zum üblichen Hamiltonformalismus eine
skalare Größe ist.
Ob es in ihrem Formalismus notwendig wäre, dass H eine Erhaltungsgröße
ist oder positiv definit, ist mir nicht klar.
Ich will hier nicht Hippel et al. verteidigen. Nur sind mir Arnolds
und Deine
Einwände nicht klar.
> >> H_Skalar_Hippel ist schlecht definiert, denn die partiellen
> >> Ableitungen von phi ergeben nicht etwa d_x phi, sondern eine Funktion
> >> d_x phi = f_x(phi, p)
> >> der Impulse und der Felder. Von diesen Constraints habe ich nichts
> >> bei der Herleitung der Bewegungsgleichungen gelesen, die so erfolgen,
> >> als gäbe es die Constraints nicht.
> > Ich sehe nicht, woraus Du das schließt. Dieser "Constraint" ist doch
> > gerade die gesuchte Bewegungsgleichung.
>
> Durch Legendre-Transformation erreicht man nicht alle Punkte (phi, p)
> des Phasenraumes, sondern nur eine Hyperfläche.
Ich war immer der Meinung, dass im Hamiltonformalismus für H=H
(q_i,p_i)
die q_i und p_i unabhängige Variablen sind. Daran ändert auch keine
Legendre-Transformation etwas, denn in der Lagrangefunktion sind
auch q_i und dq_i/dt unabhängig.
Wodurch ist denn bei Hippel diese Hyperfläche gegeben (nicht aber
im üblichen Hamiltonformalismus)?
Andreas.
Norbert Dragon
>* Norbert Dragon schrieb:
> Hatte ich �bersehen.
Ich habe in einigen Dingen Routine.
> Ich will hier nicht Hippel et al. verteidigen. Nur sind mir Arnolds
> und Deine Einw�nde nicht klar.
Einw�nde habe ich von Arnold nicht geh�rt. Er wechselt nur zu anderen
Publikationen, die er solange als fundiert bezeichnet, bis ich
mathematische Widerspr�che zeige.
> Ich war immer der Meinung, dass im Hamiltonformalismus f�r H=H
> (q_i,p_i)
> die q_i und p_i unabh�ngige Variablen sind.
Das Problem zeigt sich erst in der Feldtheorie.
Dort sind phi(x) und pi(x) die unabh�ngigen Variablen, wobei
x = x_1, x_2, x_3
eine Schicht gleicher Zeit, eine Cauchy-Fl�che, parametrisieren.
Auf diesen Variablen wirken die r�umlichen Ableitungen frei,
das hei�t insbesondere, da�
d_1 phi, d_2 phi und d_3 phi
nicht f�r alle Felder phi Funktionen der Impulse und Felder sind.
Anders bei Hippel. Bei ihm ist
d_i phi = f_i(phi, pi)
Daher sind die Felder phi nicht frei variierbar, es gibt keine
Variation, die nur phi, nicht aber pi, lokal �ndert und an den
R�ndern verschwindet. Das unterstellt man aber beim Wirkungsprinzip.
Macher des Zeitgeistes
> * Andreas Most schreibt:
>
> >* Norbert Dragon schrieb:
>
> Ich habe in einigen Dingen Routine.
>
> > Ich will hier nicht Hippel et al. verteidigen. Nur sind mir Arnolds
>
> Einwände habe ich von Arnold nicht gehört. Er wechselt nur zu anderen
> Publikationen, die er solange als fundiert bezeichnet, bis ich
>
> > Ich war immer der Meinung, dass im Hamiltonformalismus für H=H
> > (q_i,p_i)
> > die q_i und p_i unabhängige Variablen sind.
>
> Das Problem zeigt sich erst in der Feldtheorie.
>
>
> x = x_1, x_2, x_3
>
>
> Auf diesen Variablen wirken die räumlichen Ableitungen frei,
> das heißt insbesondere, daß
>
> d_1 phi, d_2 phi und d_3 phi
>
> Anders bei Hippel. Bei ihm ist
>
> d_i phi = f_i(phi, pi)
>
> Daher sind die Felder phi nicht frei variierbar, es gibt keine
> Rändern verschwindet. Das unterstellt man aber beim Wirkungsprinzip.
>
> --
> Aberglaube bringt Unglück
>
> www.itp.uni-hannover.de/~dragon
Sicher darf man als Tutor nicht falsches sagen - oder ?
Andreas
> * Andreas Most schreibt:
>
> >* Norbert Dragon schrieb:
>
> Ich habe in einigen Dingen Routine.
Weiß ich...
> > Ich will hier nicht Hippel et al. verteidigen. Nur sind mir Arnolds
> > und Deine Einwände nicht klar.
>
> Einwände habe ich von Arnold nicht gehört. Er wechselt nur zu anderen
> Publikationen, die er solange als fundiert bezeichnet, bis ich
> mathematische Widersprüche zeige.
Er behauptete, dass man Beliebiges kovariant hinschreiben kann, was
er sogleich mit der Schrödingergleichung tat, wobei er u.a. das
Transformationsverhalten seines willkürlich konstruierten
Vierervektors
übersah.
Aber ich verstehe schon, dass das nicht wirklich ein Einwand ist.
> > Ich war immer der Meinung, dass im Hamiltonformalismus für H=H
> > (q_i,p_i)
> > die q_i und p_i unabhängige Variablen sind.
>
> Das Problem zeigt sich erst in der Feldtheorie.
>
> Dort sind phi(x) und pi(x) die unabhängigen Variablen, wobei
>
> x = x_1, x_2, x_3
>
> eine Schicht gleicher Zeit, eine Cauchy-Fläche, parametrisieren.
>
> Auf diesen Variablen wirken die räumlichen Ableitungen frei,
> das heißt insbesondere, daß
>
> d_1 phi, d_2 phi und d_3 phi
>
> nicht für alle Felder phi Funktionen der Impulse und Felder sind.
> Anders bei Hippel. Bei ihm ist
>
> d_i phi = f_i(phi, pi)
>
> Daher sind die Felder phi nicht frei variierbar, es gibt keine
> Variation, die nur phi, nicht aber pi, lokal ändert und an den
> Rändern verschwindet. Das unterstellt man aber beim Wirkungsprinzip.
Muss phi an den Rändern verschwinden damit die Euler-Lagrange
Gleichungen
gelten? Gilt das Wirkungsprinzip nicht, wenn man die Lagrangedichte
über ein
endliches Raumzeitgebiet integriert oder periodische Randbedingungen
setzt?
Letzteres wird ja z.B. bei der klassischen Behandlung von
geschlossenen Strings
gemacht. Zudem wollen Hippel et al. diesen Formalismus ja auch nicht
auf
Feldtheorien ansetzen, sondern auf die sog. erste Quantisierung.
Andreas.
Norbert Dragon
>* Dragon schrieb:
>>> Ich will hier nicht Hippel et al. verteidigen. Nur sind mir Arnolds
>>> und Deine Einw�nde nicht klar.
>> Einw�nde habe ich von Arnold nicht geh�rt. Er wechselt nur zu anderen
>> Publikationen, die er solange als fundiert bezeichnet, bis ich
>> mathematische Widerspr�che zeige.
> Er behauptete, dass man Beliebiges kovariant hinschreiben kann, was
> er sogleich mit der Schr�dingergleichung tat, wobei er u.a. das
> Transformationsverhalten seines willk�rlich konstruierten Vierervektors
> �bersah.
Man kann alles m�gliche hinschreiben und mit der Bezeichnung "kovariant"
adeln, solange man nicht die Bedeutung dieses Wortes kl�rt.
Ich verwende das Wort "kovariant" f�r Objekte, auf denen eine Gruppe
linear wirkt, und invariant f�r Objekte, die von der Gruppe auf sich
abgebildet werden. Zum Beispiel sind kartesische Koordinaten von Punkten
unter Drehungen kovariant, ein Kreis um den Ursprung oder der Abstand
zum Ursprung ist invariant.
Ob man die Zeitrichtung auszeichnet oder ein zeitartiges, konstantes
Vektorfeld einf�hrt, ist einerlei. Beides bricht zun�chst die
Lorentzinvarianz der Theorie in dem Sinne, da� Lorentztransformationen
zu anderen Theorien f�hren. Genauere Betrachtung kann dann, mu� aber
nicht, zeigen, da� die m�glichen Zust�nde und Zeitentwicklungen der
Theorien umkehrbar aufeinander abgebildet werden k�nnen. Dann liegt
eine Lorentzinvariante Theorie vor.
> Muss phi an den R�ndern verschwinden damit die Euler-Lagrange
> Gleichungen gelten? Gilt das Wirkungsprinzip nicht, wenn man die
> Lagrangedichte �ber ein endliches Raumzeitgebiet integriert oder
> periodische Randbedingungen setzt?
Die elementaren Bewegungsgleichungen der Physik besagen, da� die
physikalisch durchlaufenen Bahnen jedes Paar von (gen�gend benachbarten)
Punkten so verbinden, da� auf dieser Bahnkurve die Wirkung kleiner als
auf allen anderen denkbaren, differenzierbaren Verbindungskurven sind.
Die Wirkung ist daher extremal unter solchen Variationen, die f�r jedes
Paar von betrachteten Randpunkten diese Punkte nicht variieren.
Das Paar von Randpunkten wird oft schamhaft verschwiegen, die Notation
unterstellt unterschwellig, da� diese Randpunkte zur Zeit
t = plusminus Unendlich
liegen. Das ist schon bei jedem Teilchen falsch, das sich frei bewegt.
Denn dort ist die Wirkung nicht definiert
Wirkung = Integral dt 1/2 m v^2 = Unendlich
und kann nicht variiert werden.
Bei der offenen Saite ergibt sich aus der st�rkeren Forderung, da� die
Wirkung auch invariant unter Variationen der r�umlichen Randpunkte
der Saite sei, da� dort Energie und Impuls erhalten sind.
Aber auch bei der offenen Saite ist die Wirkung nur invariant unter
solchen Variationen, die f�r ein Paar von Zeitpunkten identisch
verschwinden.
> Letzteres wird ja z.B. bei der klassischen Behandlung von
> geschlossenen Strings gemacht. Zudem wollen Hippel et al.
> diesen Formalismus ja auch nicht auf
> Feldtheorien ansetzen, sondern auf die sog. erste Quantisierung.
Hippel untersucht Feldtheorien auf einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit.
Da schon seine klassische Mechanik mit mathematisch widerspr�chlichen
Konstruktionen arbeitet, habe ich nicht weitergelesen.
In wichtigen Arbeiten fallen Fehler auf.
Roland Franzius
http://arxiv.org/pdf/hep-th/0509199 reproduziert nur den allgemein
bekannten kanonischen Formalismus wie er zB mit invariantem Hamiltonian
H=p^2 und kovariantem Impulsfeld im Kontrast zu dem mit H=p_0
durchzuf�hren ist.
Die aufgef�hrten Randbedingungen des Variationsprinzips besagen, dass
die Mannigfaltigkeit Sigma zeitlich zwischen zwei Cauchyfl�chen liegen
muss und dass die Felder entweder im raumartig unendlichen abfallen, die
Mannigfaltigkeit r�umlich endlich ist, oder die Felder auf R�ndern mit
Zeitrichtung feste Randwerte haben.
Den Ansatz erkenne ich f�r freie Felder als die �bliche kanonische
Feldtheorie mit H=p^2/2=m^2/2, wie sie zB durchgehend im
Misner/Thorne/Wheeler benutzt wird. Das best�tigen die Autoren in V.
Discussion, wo sie das Schema auf Weyl und de Donder zur�ckf�hren.
Da Fredenhagen als Diskussionpartner aufgef�hrt ist, wird der Rest wohl
kaum gegen den Sachverstand versto�en. Aber man kann die Arbeit auch
gern Satz f�r Satz durchgehen, um zu sehen, wenn �berhaupt, wo Fehler
stecken.
--
Roland Franzius
Andreas
> * Andreas schreibt:
>
> > Muss phi an den Rändern verschwinden damit die Euler-Lagrange
> > Gleichungen gelten? Gilt das Wirkungsprinzip nicht, wenn man die
> > periodische Randbedingungen setzt?
>
> Die elementaren Bewegungsgleichungen der Physik besagen, daß die
> physikalisch durchlaufenen Bahnen jedes Paar von (genügend benachbarten)
> Punkten so verbinden, daß auf dieser Bahnkurve die Wirkung kleiner als
> auf allen anderen denkbaren, differenzierbaren Verbindungskurven sind.
>
> Paar von betrachteten Randpunkten diese Punkte nicht variieren.
Klar.
Falsch gestellte Frage meinerseits...
Ich hatte nicht verstanden, warum bei einer Variation von phi
die pi_i lokal unverändert bleiben müssen. Für die physikalischen
Bahnen ist ja dL/d pi_i = 0 und deshalb ist die Variation der
Wirkung für eine Variation der phi um diese eine Funktion von
delta phi und delta (d_i phi) allein wie es sich gehört.
> Das Paar von Randpunkten wird oft schamhaft verschwiegen, die Notation
> unterstellt unterschwellig, daß diese Randpunkte zur Zeit
>
> t = plusminus Unendlich
>
> liegen. Das ist schon bei jedem Teilchen falsch, das sich frei bewegt.
> Denn dort ist die Wirkung nicht definiert
>
> Wirkung = Integral dt 1/2 m v^2 = Unendlich
>
> und kann nicht variiert werden.
Hippel integriert über den Parameterraum Sigma, der keineswegs
unendlich groß sein muss.
> Bei der offenen Saite ergibt sich aus der stärkeren Forderung, daß die
> Wirkung auch invariant unter Variationen der räumlichen Randpunkte
> der Saite sei, daß dort Energie und Impuls erhalten sind.
>
> Aber auch bei der offenen Saite ist die Wirkung nur invariant unter
> solchen Variationen, die für ein Paar von Zeitpunkten identisch
> verschwinden.
Ich verstehe den Zusammenhang dieser beiden Absätze nicht, bzw.
welchen Schluß Du aus der Existenz von Erhaltungsgrößen und der
Notwendigkeit, dass die Variation der phi an den Rändern verschwinden
muss, ziehst.
> > Letzteres wird ja z.B. bei der klassischen Behandlung von
> > geschlossenen Strings gemacht. Zudem wollen Hippel et al.
> > diesen Formalismus ja auch nicht auf
> > Feldtheorien ansetzen, sondern auf die sog. erste Quantisierung.
>
> Hippel untersucht Feldtheorien auf einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit.
> Da schon seine klassische Mechanik mit mathematisch widersprüchlichen
> Konstruktionen arbeitet, habe ich nicht weitergelesen.
>
> In wichtigen Arbeiten fallen Fehler auf.
Ich bezweifele, dass dies eine wirklich wichtige Arbeit ist, weil mir
einige
Schlussfolgerungen suspekt erscheinen. Trotzdem würde ich gerne
die von Dir erwähnten Fehler verstehen.
Andreas.
Andreas
> Da Fredenhagen als Diskussionpartner aufgeführt ist, wird der Rest wohl
> kaum gegen den Sachverstand verstoßen. Aber man kann die Arbeit auch
> gern Satz für Satz durchgehen, um zu sehen, wenn überhaupt, wo Fehler
> stecken.
Was mich an dieser Stelle interessieren würde, ist, ob ihre
Poissonklammer
{.,.} = {.,.}_a t^a
nach der Quantisierung "kovarianter" wird, wenn man in die t^a die
Diracmatrizen statt wie sonst üblich (1,0,0,0) einsetzt.
Und ob ihr Ansatz zur Wahscheinlichkeitsinterpretation über Str"ome
statt über die Norm des Hilbertraums, die hier nicht definit ist,
legitim ist.
Andreas.
Hendrik van Hees
> Klar.
> Falsch gestellte Frage meinerseits...
> Ich hatte nicht verstanden, warum bei einer Variation von phi
> die pi_i lokal unverï¿œndert bleiben mï¿œssen. Fï¿œr die physikalischen
> Bahnen ist ja dL/d pi_i = 0 und deshalb ist die Variation der
> Wirkung fï¿œr eine Variation der phi um diese eine Funktion von
> delta phi und delta (d_i phi) allein wie es sich gehï¿œrt.
Das wird in den Lehrbï¿œchern oft nicht so deutlich dargestellt. Es ist
ein grundlegender Unterschied zwischen dem Hamiltonschen Prinzip der
kleinsten Wirkung im Lagrange- und Hamiltonformalismus. Im
Hamiltonformalismus werden die kanonischen Impulse unabhï¿œngig von den
generalisierten Koordinaten variiert. Entsprechend sind die
kanonischen Transformationen, also die Symplektomorphismen auf dem
Phasenraum, umfangreicher als die Punkttransformationen im
Lagrangeformalismus.
--
Hendrik van Hees Institut fï¿œr Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universitï¿œt Gieï¿œen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gieï¿œen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/
Andreas
giessen.de> wrote:
> Andreas wrote:
> > Klar.
> > Falsch gestellte Frage meinerseits...
> > Ich hatte nicht verstanden, warum bei einer Variation von phi
> > Bahnen ist ja dL/d pi_i = 0 und deshalb ist die Variation der
> > delta phi und delta (d_i phi) allein wie es sich gehört.
>
> Das wird in den Lehrbüchern oft nicht so deutlich dargestellt.
Gibt es ein Lehrbuch, in dem das deutlich genug dargestellt wird?
> Es ist
> ein grundlegender Unterschied zwischen dem Hamiltonschen Prinzip der
> kleinsten Wirkung im Lagrange- und Hamiltonformalismus. Im
> Hamiltonformalismus werden die kanonischen Impulse unabhängig von den
> generalisierten Koordinaten variiert. Entsprechend sind die
> kanonischen Transformationen, also die Symplektomorphismen auf dem
> Phasenraum, umfangreicher als die Punkttransformationen im
> Lagrangeformalismus.
Ich stehe da immer noch auf dem Schlauch.
Im Lagrangeformalismus verschwindet bei einer Variation der
generalisierten
Koordinaten ja nicht automatisch die Variation der Ableitungen.
Warum sollte also die Variation der generalisierten Impulse
verschwinden
und wo wird das bei der Herleitung der Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen
benötigt?
Andreas.
Hendrik van Hees
> Gibt es ein Lehrbuch, in dem das deutlich genug dargestellt wird?
Weiￜ nicht. Ich hatte lange kein Lehrbuch zur Mechanik mehr in der
Hand. Mein Favorit fï¿œr alle klassische Physik ist nach wie vor
A. Sommerfeld, Lehrbuch der Theoretischen Physik, 6Bde., Harri Deutsch
Mein eigener Versuch, die Mechanik darzustellen, findet sich in der
FAQ. Hier ist der Abschnitt ï¿œber die Hamiltonschen kanonischen Gln.:
http://theory.gsi.de/%7Evanhees/faq/mech/node30.html
> Ich stehe da immer noch auf dem Schlauch.
> Im Lagrangeformalismus verschwindet bei einer Variation der
> generalisierten
> Koordinaten ja nicht automatisch die Variation der Ableitungen.
Im Lagrangeformalismus sind nur die Generalisierten Koordinaten q frei
zu variieren, wobei die Randbedingungen
\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0 (1)
zu berï¿œcksichtigen sind. Die Zeit wird nicht mitvariiert (genau wie
bei den virtuellen Verrï¿œckungen im d'Alembertschen Prinzip).
Die Variationen von \dot{q} hï¿œngen mit denen von \delta q durch
\delta \dot{q}=d/dt \delta q(t) (2)
zusammen. Sie sind also nicht frei zu variieren, sondern hï¿œngen eben
durch diese Formel mit den Variationen der q zusammen.
In der Hamiltonschen Formulierung werden sind hingegen die \delta q
und die \delta p voneinander unabhï¿œngig variiert, wobei die \delta q
den Randbedingungen (1) unterworfen werden und die \delta p vï¿œllig
frei zu variieren sind.
> Warum sollte also die Variation der generalisierten Impulse
> verschwinden
> und wo wird das bei der Herleitung der Hamiltonschen
> Bewegungsgleichungen
> benï¿œtigt?
Die Variation der generalisierten Impulse verschwindet nicht. Wieso
sollte sie? Sie werden ja gerade unabhï¿œngig variiert.
In der Hamiltonschen Formulierung ist das Wirkungsfunktional (im
folgenden laufen die t-Integrale von t1 bis t2):
S[q,p]=\int dt [dot{q} p-H(q,p)]
und die Variation
\delta S=\int dt [(dot{q}-\partial_p H) delta p +
p d/dt \delta q - \partial_q H delta q]
=\int dt [(dot{q}-\partial_p H) delta p
-(\dot{p}+\partial_q H) delta q],
wobei wir im letzten Schritt unter Benutzung der Randbedingungen (1)
partiell integriert haben. Da die delta q und delta p voneinander
unabhï¿œngig zu variieren sind, folgen die Hamiltonschen kanonischen
Gln. aus der Stationaritï¿œtsbedingung
\delta S=0 => \dot{q}=\partial_p H, \dot{p}=-\partial_q{H}.
Roland Franzius
> On Jun 25, 1:59 pm, Hendrik van Hees <Hendrik.vanH...@theo.physik.uni-
> giessen.de> wrote:
>> Andreas wrote:
>>> Klar.
>>> Falsch gestellte Frage meinerseits...
>>> Ich hatte nicht verstanden, warum bei einer Variation von phi
>>> Bahnen ist ja dL/d pi_i = 0 und deshalb ist die Variation der
>>> delta phi und delta (d_i phi) allein wie es sich geh�rt.
>> Das wird in den Lehrb�chern oft nicht so deutlich dargestellt.
>
> Gibt es ein Lehrbuch, in dem das deutlich genug dargestellt wird?
Goldstein zB.
>
>> Es ist
>> ein grundlegender Unterschied zwischen dem Hamiltonschen Prinzip der
>> kleinsten Wirkung im Lagrange- und Hamiltonformalismus. Im
>> Hamiltonformalismus werden die kanonischen Impulse unabh�ngig von den
>> generalisierten Koordinaten variiert. Entsprechend sind die
>> kanonischen Transformationen, also die Symplektomorphismen auf dem
>> Phasenraum, umfangreicher als die Punkttransformationen im
>> Lagrangeformalismus.
>
> Ich stehe da immer noch auf dem Schlauch.
> Im Lagrangeformalismus verschwindet bei einer Variation der
> generalisierten
> Koordinaten ja nicht automatisch die Variation der Ableitungen.
> Warum sollte also die Variation der generalisierten Impulse
> verschwinden
> und wo wird das bei der Herleitung der Hamiltonschen
> Bewegungsgleichungen
> ben�tigt?
Das Hamiltonsche Variationsprinzip
delta int_t_0^t ds (p(s) dq(s)/ds -H(p(s),q(s))) = 0
bezieht sich auf ein System von 2n Funnktionen s-> (p(s),q(s)), die nur
noch durch die symplektische Struktur der n Paare (q_n, p_n)
eingeschr�nkt sind.
Zur Ableitung der kanonischen Bewegungsgleichungen muss nur eine
partielle Integration von dt p dq/dt -> - dp/dt dq durchgef�hrt werden,
w�hrend die Variation der dp ja schon dasteht.
Damit kann man bis auf die Beziehung durch die Bewegungsgleichungen die
p's v�llig nach Gusto, sprich l�sungsfreundlich, w�hlen. Das entspricht
dem Eichfreiheitsgrad der Impulse in ihrer Beziehung zu den
Geschwindigkeitn mit einem Gradientenfeld in v=dH/dp , dessen Variation
in x an den Endpunkten also nicht vom Weg abh�ngt.
--
Roland Franzius
Andreas
> Andreas schrieb:
>
> > On Jun 25, 1:59 pm, Hendrik van Hees <Hendrik.vanH...@theo.physik.uni-
> > giessen.de> wrote:
> >> Andreas wrote:
> >>> Klar.
> >>> Falsch gestellte Frage meinerseits...
> >>> Ich hatte nicht verstanden, warum bei einer Variation von phi
> >>> Bahnen ist ja dL/d pi_i = 0 und deshalb ist die Variation der
> >>> delta phi und delta (d_i phi) allein wie es sich gehört.
>
> > Gibt es ein Lehrbuch, in dem das deutlich genug dargestellt wird?
>
> Goldstein zB.
...und auch Landau-Lifschitz. Aber eigentlich meinte ich den
Unterschied
zu Feldtheorien, falls dort Besonderheiten gibt, die die
Punktmechanik
nicht betreffen.
>>> Es ist
>>> ein grundlegender Unterschied zwischen dem Hamiltonschen Prinzip der
>>> kleinsten Wirkung im Lagrange- und Hamiltonformalismus. Im
>>> Hamiltonformalismus werden die kanonischen Impulse unabhängig von den
>>> generalisierten Koordinaten variiert. Entsprechend sind die
>>> kanonischen Transformationen, also die Symplektomorphismen auf dem
>>> Phasenraum, umfangreicher als die Punkttransformationen im
>>> Lagrangeformalismus.
>
>> Ich stehe da immer noch auf dem Schlauch.
>> Im Lagrangeformalismus verschwindet bei einer Variation der
>> generalisierten
>> Koordinaten ja nicht automatisch die Variation der Ableitungen.
>> Warum sollte also die Variation der generalisierten Impulse
>> verschwinden
>> und wo wird das bei der Herleitung der Hamiltonschen
>> Bewegungsgleichungen
>> benötigt?
>
> Das Hamiltonsche Variationsprinzip
>
> delta int_t_0^t ds (p(s) dq(s)/ds -H(p(s),q(s))) = 0
>
> bezieht sich auf ein System von 2n Funnktionen s-> (p(s),q(s)), die nur
> noch durch die symplektische Struktur der n Paare (q_n, p_n)
> eingeschränkt sind.
>
> Zur Ableitung der kanonischen Bewegungsgleichungen muss nur eine
> partielle Integration von dt p dq/dt -> - dp/dt dq durchgeführt werden,
> während die Variation der dp ja schon dasteht.
>
> Damit kann man bis auf die Beziehung durch die Bewegungsgleichungen die
> p's völlig nach Gusto, sprich lösungsfreundlich, wählen. Das entspricht
> dem Eichfreiheitsgrad der Impulse in ihrer Beziehung zu den
> Geschwindigkeitn mit einem Gradientenfeld in v=dH/dp , dessen Variation
> in x an den Endpunkten also nicht vom Weg abhängt.
Ok, danke auch an Hendrik für seine Erklärung. Das war mir eigentlich
so auch bekannt und hatte aber oben Lagrange- und Hamiltonformalismus
sinnfrei durcheinandergewürfelt.
Nur verstehe ich Norberts Einwand immer noch nicht ganz.
Bei Hippel sind die verallgemeinerten Impulse
p_i^a = dL/ d(dx^i/d sigma^a)
d.h. dessen Hamiltonian ist neben der x_i auch Funktion von p_i^a
während es im klassischen Formalismus eben nur x_i und p_i^0
ist. Können alle x_i und p_i^a als unabhängig betrachtet werden
bei der Anwendung des Hamiltonschen Prinzips, oder gibt es da
Probleme wie Norbert es angedeutet hat, d.h. bei beliebigen
Variationen der p_i^a könnten die Bedingungen delta x_i = 0
an den Rändern nicht eingehalten werden?
Andreas.
Norbert Dragon
> Nur verstehe ich Norberts Einwand immer noch nicht ganz.
> Bei Hippel sind die verallgemeinerten Impulse
> p_i^a = dL/ d(dx^i/d sigma^a)
> d.h. dessen Hamiltonian ist neben der x_i auch Funktion von p_i^a
> w�hrend es im klassischen Formalismus eben nur x_i und p_i^0
> ist. K�nnen alle x_i und p_i^a als unabh�ngig betrachtet werden
> bei der Anwendung des Hamiltonschen Prinzips, oder gibt es da
> Probleme wie Norbert es angedeutet hat, d.h. bei beliebigen
> Variationen der p_i^a k�nnten die Bedingungen delta x_i = 0
> an den R�ndern nicht eingehalten werden?
Man kann nicht x_i(sigma) variieren und die p_i^a konstant halten,
wenn
d_sigma^a x_i
Funktionen der x und p sind.
Andreas
> * Andreas Most schreibt:
>
> > Nur verstehe ich Norberts Einwand immer noch nicht ganz.
> > Bei Hippel sind die verallgemeinerten Impulse
> > p_i^a = dL/ d(dx^i/d sigma^a)
> > d.h. dessen Hamiltonian ist neben der x_i auch Funktion von p_i^a
> > ist. Können alle x_i und p_i^a als unabhängig betrachtet werden
> > bei der Anwendung des Hamiltonschen Prinzips, oder gibt es da
> > Probleme wie Norbert es angedeutet hat, d.h. bei beliebigen
> > an den Rändern nicht eingehalten werden?
>
> Man kann nicht x_i(sigma) variieren und die p_i^a konstant halten,
> wenn
>
> d_sigma^a x_i
>
> Funktionen der x und p sind.
Dieser Zusammenhang besteht doch erst durch die Bewegungsgleichung:
d_sigma_a x^i = dH/dp_i^a
Dies ist im üblichen Hamiltonformalismus doch auch so, dass der
Phasenraum der Hamiltonfunktion eingeschränkt ist, sobald man
sich über die Bewegungsgleichungen auf die physikalisch
möglichen Lösungen festgelegt hat.
Oder meinst Du einen anderen Zusammenhang?
Andreas.
Norbert Dragon
>* Norbert Dragon schrieb:
>> Man kann nicht x_i(sigma) variieren und die p_i^a konstant halten,
>> wenn
>> d_sigma^a x_i
>> Funktionen der x und p sind.
> Dieser Zusammenhang besteht doch erst durch die Bewegungsgleichung:
> d_sigma_a x^i = dH/dp_i^a
Die Hamiltonfunktion ist nur auf der Hyperfl�che definiert, auf
der dieser Zusammenhang gilt. Da ihr Wert au�erhalb der Hyperfl�che
nicht bestimmt ist, kann man diesen Zusammenhang nicht aus einem
Variationsprinzip ableiten.
Im vereinfachten Beispiel einer Funktion auf der Kugeloberfl�che kann
man auch nicht nach x, y, z ableiten, weil auf der Kugeloberfl�che
der Zusammenhang x^2 + y^2 + z^2 = 1 besteht. Wer argumentiert, da�
sich die Gleichung
x^2 + y^2 + z^2 = 1
aus der Bedingung ergibt, da�
f(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2 - 1)^2 * g(x/y, z/Wurzel(x^2+y^2))
extremal sei, braucht die Funktion f _au�erhalb_ der Kugelschale.
Durch Legendre-Transformation wird nicht der gesamte erweiterte
Phasenraum erreicht, sondern nur die Hyperfl�che, in der die
Nebenbedingungen
d_sigma_a x^i = dH/dp_i^a
gelten. H ist au�erhalb dieser Fl�che nicht definiert.
> Dies ist im �blichen Hamiltonformalismus doch auch so,
Im �blichen Hamiltonformalismus ist die Legendre-Transformation
von (x, x_punkt) auf (x,p) lokal invertierbar.
Hingegen sind in Theorien mit einer Eichsymmetrie die Menge der Punkte
im Phasenraum (x,p), die man durch Legendre-Transformation von
(x,x_Punkt) erreicht, nur noch eine Hyperfl�che. Was dies f�r die
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen bedeutet, hat Dirac Anfang der
1950er Jahre untersucht.
man Dirac Constraint
Andreas
> * Andreas Most schreibt:
>
> >* Norbert Dragon schrieb:
> >> Man kann nicht x_i(sigma) variieren und die p_i^a konstant halten,
> >> wenn
> >> d_sigma^a x_i
> >> Funktionen der x und p sind.
> > Dieser Zusammenhang besteht doch erst durch die Bewegungsgleichung:
> > d_sigma_a x^i = dH/dp_i^a
>
> der dieser Zusammenhang gilt. Da ihr Wert außerhalb der Hyperfläche
> nicht bestimmt ist, kann man diesen Zusammenhang nicht aus einem
> Variationsprinzip ableiten.
Ein weiterer Versuch es zu verstehen.
Bleiben wir mal beim Beispiel des skalaren Feldes. Dann ist die
Lagrangedichte
L = -1/2 g^mn d_m phi d_n phi - m^2 phi^2
eine Funktion von phi und der d_m phi. Im üblichen Hamiltonformalismus
wird nur die Nullkomponente von d_m phi Legendre-transformiert.
Hippel transformiert dagegen alle vier Komponenten.
Die Hamiltondichte ist dann nur eine Funktion der
pi^m = dL / d(d_m phi)
und nicht mehr abhängig von d_x phi, d_y phi und d_z phi, wie
im üblichen Formalismus.
Dein Einwand würde nur dann einen Sinn ergeben, wenn man
d_x phi, d_y phi und d_z phi nicht frei wählen könnte. Dann wüsste
ich allerdings nicht, wie man aus einem Variationsprinzip die
Euler-Lagrange Gleichungen für Lagrangedichten herleiten soll.
> Im vereinfachten Beispiel einer Funktion auf der Kugeloberfläche kann
> man auch nicht nach x, y, z ableiten, weil auf der Kugeloberfläche
> der Zusammenhang x^2 + y^2 + z^2 = 1 besteht. Wer argumentiert, daß
> sich die Gleichung
>
> x^2 + y^2 + z^2 = 1
>
> aus der Bedingung ergibt, daß
>
> f(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2 - 1)^2 * g(x/y, z/Wurzel(x^2+y^2))
>
> extremal sei, braucht die Funktion f _außerhalb_ der Kugelschale.
>
> Durch Legendre-Transformation wird nicht der gesamte erweiterte
> Phasenraum erreicht, sondern nur die Hyperfläche, in der die
> Nebenbedingungen
>
> d_sigma_a x^i = dH/dp_i^a
>
> gelten. H ist außerhalb dieser Fläche nicht definiert.
>
> > Dies ist im üblichen Hamiltonformalismus doch auch so,
>
> Im üblichen Hamiltonformalismus ist die Legendre-Transformation
> von (x, x_punkt) auf (x,p) lokal invertierbar.
Warum ist die Abbildung (phi, d_m phi) auf (phi, pi^m) nicht lokal
invertierbar? (Lagrange -> Hamilton über p^m = dL/d(d_m phi) und
Hamilton -> Lagrange über dH/dp^m = d_m phi)
> Hingegen sind in Theorien mit einer Eichsymmetrie die Menge der Punkte
> im Phasenraum (x,p), die man durch Legendre-Transformation von
> (x,x_Punkt) erreicht, nur noch eine Hyperfläche. Was dies für die
> Hamiltonschen Bewegungsgleichungen bedeutet, hat Dirac Anfang der
> 1950er Jahre untersucht.
>
> man Dirac Constraint
Das ist mir nicht bekannt. Worauf beziehst Du Dich?
Andreas.
Andreas
Hmm, habe gerade das Buch "Gauge Mechanics" von
L. Mangiarotti und G. Sardanashvily entdeckt. Das werde ich
wohl bei Gelegenheit mal lesen muessen, um zu verstehen, was Du
meinst.
Andreas.
Norbert Dragon
> Norbert Dragon schrieb:
> Bleiben wir mal beim Beispiel des skalaren Feldes. Dann ist die
> Lagrangedichte
> L = -1/2 g^mn d_m phi d_n phi - m^2 phi^2
> eine Funktion von phi und der d_m phi. Im �blichen Hamiltonformalismus
> wird nur die Nullkomponente von d_m phi Legendre-transformiert.
> Hippel transformiert dagegen alle vier Komponenten.
> Die Hamiltondichte ist dann nur eine Funktion der
> pi^m = dL / d(d_m phi)
> und nicht mehr abh�ngig von d_x phi, d_y phi und d_z phi, wie
> im �blichen Formalismus.
> Dein Einwand w�rde nur dann einen Sinn ergeben, wenn man
> d_x phi, d_y phi und d_z phi nicht frei w�hlen k�nnte.
Man kann nicht die Abbildungen
phi: x |--> phi(x)
und
pi_1 : x |--> d_1 phi(x)
unabh�ngig w�hlen und, wie beim Variationsprinzip erforderlich,
phi um ein delta phi ver�ndern und dabei pi_1 unver�ndert
lassen.
Was soll die Variationsableitung des Funktionals
Wirkung[phi, pi_1, pi_2, ....] = Integral dt dx (pi_1(t,x))^2
nach phi sein, was ist die Variationsableitung nach pi_1?
> Warum ist die Abbildung (phi, d_m phi) auf (phi, pi^m) nicht lokal
> invertierbar?
(phi, pi_m) sind Elemente aus dem Raum der f�nfkomponentigen,
differenzierbaren Funktionen, (phi, d_m phi) ist aus dem Unterraum
derjenigen Funktionen, deren vier letzte Komponenten die Ableitungen
der ersten Komponente ist. Die Komponenten d_m phi erf�llen identisch
d_n d_m phi = d_m d_n phi
Im Raum der f�nfkomponentigen Funktionen gilt nicht
d_m pi_n = d_n pi_m .
Selbst wenn die Gleichung f�r eine f�nfkomponentige Funktion gilt, so
gibt es in jeder Umgebung Funktionen, die diese Integrabilit�tsbedingung
nicht erf�llen.
>> man Dirac Constraint
> Das ist mir nicht bekannt. Worauf beziehst Du Dich?
Auf das f�nfte Zitat im Literaturverzeichnis von
Norbert Dragon, The Relativistic String,
Lecture Notes in Physics, 37 (1975) 331 -- 351
Andreas
> * Andreas Most schreibt:
>
> > Norbert Dragon schrieb:
> > Bleiben wir mal beim Beispiel des skalaren Feldes. Dann ist die
> > Lagrangedichte
> > L = -1/2 g^mn d_m phi d_n phi - m^2 phi^2
> > wird nur die Nullkomponente von d_m phi Legendre-transformiert.
> > Hippel transformiert dagegen alle vier Komponenten.
> > Die Hamiltondichte ist dann nur eine Funktion der
> > pi^m = dL / d(d_m phi)
> > im üblichen Formalismus.
> > d_x phi, d_y phi und d_z phi nicht frei wählen könnte.
>
> Man kann nicht die Abbildungen
>
> phi: x |--> phi(x)
>
> und
>
> pi_1 : x |--> d_1 phi(x)
>
> phi um ein delta phi verändern und dabei pi_1 unverändert
> lassen.
Das ist doch gar nicht erforderlich. Den Zusammenhang von pi_m
und d_m phi müssen doch erst die Bewegungsgleichungen liefern.
Bei Deiner Argumentation könnte man schon im klassischen Fall
einer Hamiltonfunktion
H(x,p) = p^2 / 2m + V(x)
nicht x und p unabhängig wählen, weil p = m dx/dt gelten muss.
> Was soll die Variationsableitung des Funktionals
>
> Wirkung[phi, pi_1, pi_2, ....] = Integral dt dx (pi_1(t,x))^2
>
> nach phi sein, was ist die Variationsableitung nach pi_1?
Wie wäre es mit
delta Wirkung = Integral dt dx 2pi_1(t,x) delta pi_1
für diese etwas ungewöhnliche Lagrangefunktion.
> > Warum ist die Abbildung (phi, d_m phi) auf (phi, pi^m) nicht lokal
> > invertierbar?
>
> (phi, pi_m) sind Elemente aus dem Raum der fünfkomponentigen,
> differenzierbaren Funktionen, (phi, d_m phi) ist aus dem Unterraum
> derjenigen Funktionen, deren vier letzte Komponenten die Ableitungen
> der ersten Komponente ist. Die Komponenten d_m phi erfüllen identisch
>
> d_n d_m phi = d_m d_n phi
>
> Im Raum der fünfkomponentigen Funktionen gilt nicht
>
> d_m pi_n = d_n pi_m .
>
> Selbst wenn die Gleichung für eine fünfkomponentige Funktion gilt, so
> gibt es in jeder Umgebung Funktionen, die diese Integrabilitätsbedingung
> nicht erfüllen.
Die Bewegungsgleichungen sollen das liefern.
Für H = H(phi, pi_m) mit unabhängigen phi und pi_m
lautet das Variationsprinzip
0 = delta Wirkung(phi, pi_m)
= delta Integral d^4 x (pi^m d_m phi - H(phi, pi_m)
= Integral d^4 x (pi^m delta d_m phi + d_m phi delta pi^m
- dH/d phi delta phi - dH/d pi_m delta pi_m)
Der erste Term kann durch partielle Integration umgeformt werden:
Integral d^4 x pi^m delta d_m phi = Integral_Rand dA_m p^m delta phi
- Integral d^4 x d_m pi^m delta phi
Das Integral über den Rand ist 0, weil delta phi = 0 auf dem Rand
gefordert wird. Damit ist dann
0 = delta Wirkung = Integral d^4 x ((-dH/d phi - d_m pi^m) delta phi
+ (-dH /d pi^m + d_m phi) delta
pi^m
Soweit stimmst Du mir hoffentlich zu.
Unter der Annahme, dass delta phi und delta pi^m unabhängig gewählt
werden können, lauten die Bewegungsgleichungen
dH/d phi = -d_m pi^m
dH/d pi^m = d_m phi
Für unser skalares Feld
H = pi^m pi_m/2 + V(phi)
bedeutet das dann
d_m pi^m = -dV/d phi
d_m phi = pi_m
Die zweite Gleichung liefert genau den gewünschten
Zusammenhang zwischen den d_m phi und pi_m für die
physikalischen Lösungen.
> >> man Dirac Constraint
> > Das ist mir nicht bekannt. Worauf beziehst Du Dich?
>
> Auf das fünfte Zitat im Literaturverzeichnis von
>
> Norbert Dragon, The Relativistic String,
>
> Lecture Notes in Physics, 37 (1975) 331 -- 351
Danke für den Link. Interessant, mit was Du Dich schon alles
beschäftigt hast. Ich wusste nicht, dass man den relativistischen
String auch mit einem Lagrangian, der eine Wurzel enthält,
quantisieren
kann.
Mir ist ehrlich gesagt der Sinn des Dirac Constraints nicht ganz klar.
Dirac bezieht sich auf Zwangsbedingungen der Form
Phi_m(q_n, p_n) = 0
will damit aber eine Beschränkung zwischen den dq_n/dt und den p_n
beschreiben. Nun dient aber der Hamiltonformalismus doch gerade dazu,
die Abhängigkeit von den Ableitungen der generalisierten Koordinaten
zu
eliminiernen, um durch Einführen zusätzlicher Variablen
Bewegungsgleichungen zu erhalten, die nur erste Ableitungen enthalten.
Allerdings weiss ich nicht, ob das wie im eindimensionalen Fall einer
klassischen Lagrangefunktion auch Vorteile für die Lagrangedichte von
Feldern bringt.
Andreas.
Norbert Dragon
>* Norbert Dragon schrieb:
>> Man kann nicht die Abbildungen
>> phi: x |--> phi(x)
>> und
>> pi_1 : x |--> d_1 phi(x)
>> unabh�ngig w�hlen und, wie beim Variationsprinzip erforderlich,
>> phi um ein �delta phi �ver�ndern und dabei pi_1 unver�ndert
>> lassen.
> Das ist doch gar nicht erforderlich. Den Zusammenhang von pi_m
> und d_m phi m�ssen doch erst die Bewegungsgleichungen liefern.
Nein. Die Hamiltondichte ist nur auf der Hyperfl�che
pi_1 = d_1 phi
definiert. Demnach kann man die Wirkung nicht nach phi und nach
pi_1 ableiten.
> Bei Deiner Argumentation k�nnte man schon im klassischen Fall
> einer Hamiltonfunktion
> H(x,p) = p^2 / 2m + V(x)
> nicht x und p unabh�ngig w�hlen, weil p = m dx/dt gelten muss.
Nein. H(x,p) ist f�r alle (x,p) wohldefiniert
>> Was soll die Variationsableitung des Funktionals
>> Wirkung[phi, pi_1, pi_2, ....] = Integral dt dx (pi_1(t,x))^2
>> nach phi sein, was ist die Variationsableitung nach pi_1?
> Wie w�re es mit
> delta Wirkung = Integral dt dx 2pi_1(t,x) delta pi_1
> f�r diese etwas ungew�hnliche Lagrangefunktion.
Das ist unvertr�glich mit d_1 phi = pi_1, denn die
Variationsableitung nach phi ergibt
- 2 d_1 d_1 phi und ist ungleich 2 pi_1
>> Selbst wenn die Gleichung f�r eine f�nfkomponentige Funktion gilt, so
>> gibt es in jeder Umgebung Funktionen, die diese Integrabilit�tsbedingung
>> nicht erf�llen.
> Die Bewegungsgleichungen sollen das liefern.
> F�r H = H(phi, pi_m) mit unabh�ngigen phi und pi_m
> lautet das Variationsprinzip
> 0 = delta Wirkung(phi, pi_m)
> = delta Integral d^4 x (pi^m d_m phi - H(phi, pi_m)
> = Integral d^4 x (pi^m delta d_m phi + d_m phi delta pi^m
> - dH/d phi delta phi - dH/d pi_m delta pi_m)
Erf�llen die delta phi und delta pi_m die Identit�t
d_m delta phi = delta pi_m ?
Durch Legendre-Konjugation erh�lt man nur Funktionale
auf der Hyperfl�che, die die Constraints identisch erf�llen, nicht aber
Funktionale von mehr Variablen, die unabh�ngig varriert werden
k�nnen und die durch die Bewegungsgleichungen auf die Hyperfl�che
eingeschr�nkt werden.
> Der erste Term kann durch partielle Integration umgeformt werden:
> Integral d^4 x pi^m delta d_m phi = Integral_Rand dA_m p^m delta phi
> - Integral d^4 x d_m pi^m delta phi
> Das Integral �ber den Rand ist 0, weil delta phi = 0 auf dem Rand
> gefordert wird. Damit ist dann
> 0 = delta Wirkung = Integral d^4 x ((-dH/d phi - d_m pi^m) delta phi
> + (-dH /d pi^m + d_m phi) delta
> pi^m
> Soweit stimmst Du mir hoffentlich zu.
Ich stimme Dir zu, falls phi und pi_m unabh�ngige Variable sind.
Sie sind es aber nicht, falls sie Lagendre-konjugiert zu den
urspr�nglichen Variablen sind.
> Unter der Annahme, dass delta phi und delta pi^m unabh�ngig gew�hlt
> werden k�nnen, lauten die Bewegungsgleichungen
> dH/d phi = -d_m pi^m
> dH/d pi^m = d_m phi
> F�r unser skalares Feld
> H = pi^m pi_m/2 + V(phi)
> bedeutet das dann
> d_m pi^m = -dV/d phi
> d_m phi = pi_m
Der Zusammenhang zum Funktional
W[phi]= Integral dx (1/2 eta^mn d_m phi d_n phi - V(phi)
ist keine Legendre-Konjugation, sondern das Hinzuf�gen eines
Hilfsfeldes pi_m
w[phi, pi_m] = Integral dx
eta^mn d_m phi pi_n - V(phi)-1/2 eta^mn pi_m pi_n
= Integral dx
-1/2 eta^mn (pi_m - d_m phi)(pi_n - d_n phi)
+1/2 eta^mn d_m phi d_n phi - V(phi)
Diese Wirkung als Hamiltonsche Formulierung des Bewegungsproblems
auszugeben, ist Ro�t�uscherei.
> Mir ist ehrlich gesagt der Sinn des Dirac Constraints nicht ganz klar.
> Dirac bezieht sich auf Zwangsbedingungen der Form
> Phi_m(q_n, p_n) = 0
> will damit aber eine Beschr�nkung zwischen den dq_n/dt und den p_n
> beschreiben.
Nein. Die Zeit t parametrisiert eine Bahn im Phasenraum. Sie hat nichts
zu tun mit den Ortskoordinaten, die in Feldtheorien die verschiedenen
Freiheitsgrade benennen.
Die Constraints beschr�nken den Phasenraum auf eine Hyperfl�che, auf
denen sie erf�llt sind. Funktionen auf dieser Hyperfl�che kann man
nicht nach allen q und p partiell ableiten. Demnach sind
Poisson-Klammern zun�chst nicht definiert. Dirac zeigt, wie man
abge�nderte Klammern definieren kann, die Dirac-Klammern, die
nur von Ableitungen in der Hyperfl�che Gebrauch machen.
Andreas Most
> * Andreas Most schreibt:
>
>>* Norbert Dragon schrieb:
>
>>> Man kann nicht die Abbildungen
>
>>> phi: x |--> phi(x)
>
>>> und
>
>>> pi_1 : x |--> d_1 phi(x)
>
>>> unabh�ngig w�hlen und, wie beim Variationsprinzip erforderlich,
>>> phi um ein �delta phi �ver�ndern und dabei pi_1 unver�ndert
>>> lassen.
>
>> Das ist doch gar nicht erforderlich. Den Zusammenhang von pi_m
>> und d_m phi m�ssen doch erst die Bewegungsgleichungen liefern.
>
> Nein. Die Hamiltondichte ist nur auf der Hyperfl�che
>
> pi_1 = d_1 phi
>
> definiert. Demnach kann man die Wirkung nicht nach phi und nach
> pi_1 ableiten.
>
>> Bei Deiner Argumentation k�nnte man schon im klassischen Fall
>> einer Hamiltonfunktion
>
>> H(x,p) = p^2 / 2m + V(x)
>
>> nicht x und p unabh�ngig w�hlen, weil p = m dx/dt gelten muss.
>
> Nein. H(x,p) ist f�r alle (x,p) wohldefiniert
Die Logik kann ich nicht nachvollziehen, dass
H(phi, pi^n) = pi^2 + V(phi)
nur f�r Gradientenfelder pi^n definiert ist, weil
pi_n = d_n phi
gilt, aber
H(x,p) = p^2 / 2m + V(x)
f�r alle (x,p) definiert ist, obwohl die Legendre-Transformation den
Hamilton nur f�r p = m dx/dt definiert.
[...]
>>> Selbst wenn die Gleichung f�r eine f�nfkomponentige Funktion gilt, so
>>> gibt es in jeder Umgebung Funktionen, die diese Integrabilit�tsbedingung
>>> nicht erf�llen.
>
>> Die Bewegungsgleichungen sollen das liefern.
>> F�r H = H(phi, pi_m) mit unabh�ngigen phi und pi_m
>> lautet das Variationsprinzip
>
>> 0 = delta Wirkung(phi, pi_m)
>> = delta Integral d^4 x (pi^m d_m phi - H(phi, pi_m)
>> = Integral d^4 x (pi^m delta d_m phi + d_m phi delta pi^m
>> - dH/d phi delta phi - dH/d pi_m delta pi_m)
>
> Erf�llen die delta phi und delta pi_m die Identit�t
>
> d_m delta phi = delta pi_m ?
>
> Durch Legendre-Konjugation erh�lt man nur Funktionale
> auf der Hyperfl�che, die die Constraints identisch erf�llen, nicht aber
> Funktionale von mehr Variablen, die unabh�ngig varriert werden
> k�nnen und die durch die Bewegungsgleichungen auf die Hyperfl�che
> eingeschr�nkt werden.
Welche Hyperfl�che? Die
pi^n = dL / d (d_n phi) = d^n phi
sind 4 unabh�ngige Funktionen der d^n phi und unterliegen also keinem
Dirac Constraint. (Im Gegensatz zum elektromagnetischen Feld, wo es
statt 16 nur 6 unabh�ngige Impulse gibt, weil dL/d(d_n A_m)=F^mn
schiefsymmetrisch ist (siehe Marsden))
>> Der erste Term kann durch partielle Integration umgeformt werden:
>
>> Integral d^4 x pi^m delta d_m phi = Integral_Rand dA_m p^m delta phi
>> - Integral d^4 x d_m pi^m delta phi
>
>> Das Integral �ber den Rand ist 0, weil delta phi = 0 auf dem Rand
>> gefordert wird. Damit ist dann
>
>> 0 = delta Wirkung = Integral d^4 x ((-dH/d phi - d_m pi^m) delta phi
>> + (-dH /d pi^m + d_m phi) delta
>> pi^m
>
>> Soweit stimmst Du mir hoffentlich zu.
>
> Ich stimme Dir zu, falls phi und pi_m unabh�ngige Variable sind.
> Sie sind es aber nicht, falls sie Lagendre-konjugiert zu den
> urspr�nglichen Variablen sind.
Dann sind auch p und x in H = p^2/2m + V(x) nicht unabh�ngig, weil sie
zu x und dx/dt die Legendre-konjugierten Variablen sind.
>> Unter der Annahme, dass delta phi und delta pi^m unabh�ngig gew�hlt
>> werden k�nnen, lauten die Bewegungsgleichungen
>
>> dH/d phi = -d_m pi^m
>> dH/d pi^m = d_m phi
>
>> F�r unser skalares Feld
>
>> H = pi^m pi_m/2 + V(phi)
>
>> bedeutet das dann
>
>> d_m pi^m = -dV/d phi
>> d_m phi = pi_m
>
> Der Zusammenhang zum Funktional
>
> W[phi]= Integral dx (1/2 eta^mn d_m phi d_n phi - V(phi)
>
> ist keine Legendre-Konjugation, sondern das Hinzuf�gen eines
> Hilfsfeldes pi_m
>
> w[phi, pi_m] = Integral dx
> eta^mn d_m phi pi_n - V(phi)-1/2 eta^mn pi_m pi_n
> = Integral dx
> -1/2 eta^mn (pi_m - d_m phi)(pi_n - d_n phi)
> +1/2 eta^mn d_m phi d_n phi - V(phi)
>
> Diese Wirkung als Hamiltonsche Formulierung des Bewegungsproblems
> auszugeben, ist Ro�t�uscherei.
Ist dann die Herleitung der Bewegungsgleichungen im klassischen Fall
eines Hamilton H(x,p) �ber
delta W(x,p) = delta Integral dt (p dx/dt - H(x,p))
= delta Integral dt ((dx/dt - dH/dp) delta p
- (dp/dt + dH/dx) delta x)
ebenfalls Ro�t�uscherei und nur das Hinzuf�gen eines Hilfsfeldes p?
>> Mir ist ehrlich gesagt der Sinn des Dirac Constraints nicht ganz klar.
>> Dirac bezieht sich auf Zwangsbedingungen der Form
>
>> Phi_m(q_n, p_n) = 0
>
>> will damit aber eine Beschr�nkung zwischen den dq_n/dt und den p_n
>> beschreiben.
>
> Nein. Die Zeit t parametrisiert eine Bahn im Phasenraum. Sie hat nichts
> zu tun mit den Ortskoordinaten, die in Feldtheorien die verschiedenen
> Freiheitsgrade benennen.
>
> Die Constraints beschr�nken den Phasenraum auf eine Hyperfl�che, auf
> denen sie erf�llt sind. Funktionen auf dieser Hyperfl�che kann man
> nicht nach allen q und p partiell ableiten. Demnach sind
> Poisson-Klammern zun�chst nicht definiert. Dirac zeigt, wie man
> abge�nderte Klammern definieren kann, die Dirac-Klammern, die
> nur von Ableitungen in der Hyperfl�che Gebrauch machen.
Dazu muss es aber auch Hyperfl�chen
f_i(phi, pi^n) = 0
geben. Die Bedingung d_m p_n = d_n p_m liefert aber keine solche
Hyperfl�che und ist auch erst eine Folgerung aus den
Bewegungsgleichungen.
Andreas.
Hendrik van Hees
> Die Logik kann ich nicht nachvollziehen, dass
>
> H(phi, pi^n) = pi^2 + V(phi)
>
> nur für Gradientenfelder pi^n definiert ist, weil
>
> pi_n = d_n phi
>
> gilt, aber
>
> H(x,p) = p^2 / 2m + V(x)
>
> für alle (x,p) definiert ist, obwohl die Legendre-Transformation den
> Hamilton nur für p = m dx/dt definiert.
Ich habe den Faden verloren, aber hier nochmal meine Meinung. Vielleicht
hilft's ja. Für ein reguläres System ohne constraints sind in der
Hamiltonschen Fassung des Hamiltonschen Prinzips die generalisierten
Koordinaten x und die dazugehörigen kanonisch konjugierten Impulse
unabhängig zu variieren (wobei die x fixierten Randbedingungen zu
genügen haben und die p überhaupt frei sind) und H entsprechend eine
Funktion der voneinander unabhängigen Phasenraumvariablen x und p (i.a.
auch evtl. noch explizit von der Zeit, die im Hamiltonschen Prinzip
nicht mitvariiert wird). Die Poissonklammern sind ebenfalls auf dem
Phasenraum (x,p) definiert und definieren eine lokal-symplektische
Struktur. Die Symmetrietransformationen des Phasenraums sind die
lokalen Symplektomorphismen aka. kanonische Transformationen. Die sind
weit umfassender als Punkttransformationen.
Das ändert sich, wenn das System Constraints besitzt. Den Formalismus
dazu hat Dirac entwickelt, und der ist relativ kompliziert und läßt
sich besser in einem Buch nachlesen als daß ich ihn mühsam hier in
ASCII übertrage. Gut dafür ist z.B. Itzykson, Zuber QFT oder Weinberg,
QT of Fields Vol I.
--
Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universität Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/
Roland Franzius
> Andreas Most wrote:
>
>> Die Logik kann ich nicht nachvollziehen, dass
>>
>> H(phi, pi^n) = pi^2 + V(phi)
>>
>>
>> pi_n = d_n phi
>>
>> gilt, aber
>>
>> H(x,p) = p^2 / 2m + V(x)
>>
>> Hamilton nur fï¿œr p = m dx/dt definiert.
>
> Ich habe den Faden verloren, aber hier nochmal meine Meinung. Vielleicht
> Hamiltonschen Fassung des Hamiltonschen Prinzips die generalisierten
> unabhï¿œngig zu variieren (wobei die x fixierten Randbedingungen zu
> genï¿œgen haben und die p ï¿œberhaupt frei sind) und H entsprechend eine
> Funktion der voneinander unabhï¿œngigen Phasenraumvariablen x und p (i.a.
> auch evtl. noch explizit von der Zeit, die im Hamiltonschen Prinzip
> nicht mitvariiert wird). Die Poissonklammern sind ebenfalls auf dem
> Phasenraum (x,p) definiert und definieren eine lokal-symplektische
> Struktur. Die Symmetrietransformationen des Phasenraums sind die
> lokalen Symplektomorphismen aka. kanonische Transformationen. Die sind
> weit umfassender als Punkttransformationen.
>
> dazu hat Dirac entwickelt, und der ist relativ kompliziert und lￜￜt
> sich besser in einem Buch nachlesen als daￜ ich ihn mￜhsam hier in
> ASCII ï¿œbertrage. Gut dafï¿œr ist z.B. Itzykson, Zuber QFT oder Weinberg,
> QT of Fields Vol I.
>
Es gibt kein zuverlï¿œssiges Buch ï¿œber klassische kanonische Feldtheorie.
Diracs Bï¿œchlein habe ich auch, da geht es um kanonische Quantisierung
unter Nebenbedingungen, wie man auch Constraints auf deutsch nennt.
Die Quantisierung unter Nebenbedingungen ist zB im Fall des
elektromagnetischen Feldes mit der Aufgabe der Nebenbedingungen auf
Operatorebene und Ersatz durch Bedingungen fï¿œr die Erwartungswerte in
eingeschrï¿œnkten Zustandsrï¿œumen in den 60ern aufgeklï¿œrt worden. Ich kenne
aber auch niemanden, der das mathematisch ï¿œber Wortblasen hinaus richtig
versteht; weil es nicht weiterfï¿œhrend ist, wird es nur in den
Einfï¿œhrungstexten referiert.
An der Vorstellung, man mï¿œsse ein zwingend zuverlï¿œssiges
Variationsprinzip zur Ableitung der kanomischen Bewegungsgleichungen fï¿œr
Felder besitzen, ist so ziemlich alles falsch.
Wie schon Courant/Hilbert in Bd II im Kapitel ï¿œber partielle
Differntialgleichungen bemerken, ist die Eulersche Uraltidee der
Variation fï¿œr Felder unter Aufgabe der Vorstellung, das Extremum mï¿œssen
angenommen werden, durch Hilberts Arbeiten zwar irgendwie gerettet worden.
Das Randwert/Anfangswertproblem fï¿œr partielle Differentialgleichungen,
besonders der hyperbolischen, ist viel zu komplex in Hinsicht auf
Definition von Funktionenklassen, freie Wahl von Toplogie und Metrik und
Aussortierung von Familien, die dicht in der Umgebung einer angestrebten
Lï¿œsung liegen.
Jedenfalls ist die Vorstellung, das kanonische Hamiltonsche
Variationsprinzip fï¿œr kanonische Feldpaar-Multipletts
{ phi_alpha (x),pi_alpha(x)} mit Werten in Vektorrï¿œumen oder Gruppen
mï¿œsse von vornherein irgendwelche globalen Differentialgleichungen 1.
Ordnung als Nebenbedingung erfï¿œllen, wï¿œhrend das Variationsprinzip
allein auf die kanonischen Bewegungsgleichunen ziele, ein am Prinzip der
Nutzung symplektischer Strukturen vorbeigehende Nebenbedingung.
Sie schrï¿œnkt genau so wie im Fall der Punktmechanik die Gruppe der
kanonischen Kontakt-Feldtransformationen auf die evidenten, aus der
Diffeomorphismengruppe x holonome Basistransformationen bestehenden
Feldtransformationen im Amplitudenraum ein.
Es ist nicht undumm, das Variationsprinzip zu formulieren als ein rein
algebraisches Rechenschema mit formalen Termen in einem normierten Raum
mit abzï¿œhlbarer Basis von Versuchsfunktionen, der als Tangentialraum im
Punkt der anderweitig per Existenzbeweis sichergestellten Lï¿œsung
angeheftet ist.
Dann kann man die ï¿œblichen Hilbertraum-Verfahren in gegebener Basis
anwenden und argumentieren, dass das Schema auch in Rï¿œumen
ï¿œberabzï¿œhlbarer Dimension Bedeutung besitzen kï¿œnnte.
Ganz saubere Methoden dafï¿œr existieren halt wie immer in der Mathematik
nur fï¿œr positive Metrik und Einschrï¿œnkung auf ziemlich glatte Rï¿œnder mit
glatten Randwerten.
--
Roland Franzius
Andreas Most
> Andreas Most wrote:
>
>> Die Logik kann ich nicht nachvollziehen, dass
>>
>> H(phi, pi^n) = pi^2 + V(phi)
>>
>> nur f�r Gradientenfelder pi^n definiert ist, weil
>>
>> pi_n = d_n phi
>>
>> gilt, aber
>>
>> H(x,p) = p^2 / 2m + V(x)
>>
>> f�r alle (x,p) definiert ist, obwohl die Legendre-Transformation den
>> Hamilton nur f�r p = m dx/dt definiert.
>
> Ich habe den Faden verloren, aber hier nochmal meine Meinung.
Macht nichts. ;-)
Wir drehen uns seit ca. 4 Beitr�gen im Kreis...
> Vielleicht
> hilft's ja. F�r ein regul�res System ohne constraints sind in der
> Hamiltonschen Fassung des Hamiltonschen Prinzips die generalisierten
> Koordinaten x und die dazugeh�rigen kanonisch konjugierten Impulse
> unabh�ngig zu variieren (wobei die x fixierten Randbedingungen zu
> gen�gen haben und die p �berhaupt frei sind) und H entsprechend eine
> Funktion der voneinander unabh�ngigen Phasenraumvariablen x und p (i.a.
> auch evtl. noch explizit von der Zeit, die im Hamiltonschen Prinzip
> nicht mitvariiert wird). Die Poissonklammern sind ebenfalls auf dem
> Phasenraum (x,p) definiert und definieren eine lokal-symplektische
> Struktur. Die Symmetrietransformationen des Phasenraums sind die
> lokalen Symplektomorphismen aka. kanonische Transformationen. Die sind
> weit umfassender als Punkttransformationen.
Das ist mir schon klar. Offensichtlich ist dann f�r beliebiges
(x(t),p(t)) nicht notwendigerweise mehr
L(x) = p dx/dt - H(x,p)
gegeben. Beispiel x(t) = v, p(t) = 2mv
=> p dx/dt - H = 3m/2 (dx/dt)^2 - V(x) =/= L(x)
Im Fall des verallgemeinerten Formalismus, wie es z.B. bei Marsden et
al. dargestellt wird, wobei z.B. f�r ein skalares Feld die Impulse
pi^n = dL/d(d phi/dx^n)
definiert werden, verlangt Norbert aber, dass pi^n wie die d phi/dx^n
Gradientenfelder sind, d.h. dass
d pi^n/dx^m = d pi^m/dx^n
gelten soll. Dieser Logik kann ich nicht folgen.
> Das �ndert sich, wenn das System Constraints besitzt. Den Formalismus
> dazu hat Dirac entwickelt, und der ist relativ kompliziert und l��t
> sich besser in einem Buch nachlesen als da� ich ihn m�hsam hier in
> ASCII �bertrage.
Norbert hat mir die Referenz gegeben (P.A.M. Dirac, Generalized
Hamiltonian Dynamics, Proc. Roy. Soc. A246, 326 (1958))
Dies ist aber im Fall eines skalaren Feldes mit
L = 1/2 eta^mn d_m phi d_n phi - V(phi)
nicht gegeben, weil
pi^n = dL / d_n phi = d_n phi
4 unabh�ngige Funktionen der d_n phi liefert und somit keine
Nebenbedingungen im Diracschen Sinn liefert. Anders sieht das im Fall
des elektromagnetischen Feldes aus, wo
pi^mn = dL/d(dA_m/dx^n) = F^mn
antisymmetrisch ist.
> Gut daf�r ist z.B. Itzykson, Zuber QFT oder Weinberg,
> QT of Fields Vol I.
Da muss ich meinen Itzykson/Zuber und Weinberg nochmal durchgehen. Ich
wusste nicht, dass auch Dirac Constraints behandelt werden... ;-)
Andreas.
Andreas Most
> Jedenfalls ist die Vorstellung, das kanonische Hamiltonsche
> Variationsprinzip f�r kanonische Feldpaar-Multipletts
> { phi_alpha (x),pi_alpha(x)} mit Werten in Vektorr�umen oder Gruppen
> m�sse von vornherein irgendwelche globalen Differentialgleichungen
> 1. Ordnung als Nebenbedingung erf�llen, w�hrend das Variationsprinzip
> allein auf die kanonischen Bewegungsgleichunen ziele, ein am Prinzip
> der Nutzung symplektischer Strukturen vorbeigehende Nebenbedingung.
Falls ich diesen Absatz richtig verstanden habe (wobei ich nicht genau
wei�, was symplektisch bedeutet, zu dessen Verst�ndnis ich mit der
Mathematik von Differentialformen noch nicht vertraut genug bin),
beantwortet es meine Frage...
Andreas.
Norbert Dragon
>* Norbert Dragon schrieb:
> Welche Hyperfl�che? Die
> pi^n = dL / d (d_n phi) = d^n phi
> sind 4 unabh�ngige Funktionen der d^n phi und unterliegen also keinem
> Dirac Constraint.
Vier unabh�ngige Funktionen p_n : R^4 --> R^4
unterliegen nicht den Einschr�nkungen
d_n p_m = d_m p_n
Im Raum der Abbildungen (phi, p_0, p_1, p_2, p_3): R^4 --> R^5 sind die
Funktionen (phi, d_0 phi, d_1 phi, d_2 phi, d_3 phi) eine Hyperfl�che.
>> Ich stimme Dir zu, falls phi und pi_m unabh�ngige Variable sind.
>> Sie sind es aber nicht, falls sie Lagendre-konjugiert zu den
>> urspr�nglichen Variablen sind.
> Dann sind auch p und x in H = p^2/2m + V(x) nicht unabh�ngig, weil sie
> zu x und dx/dt die Legendre-konjugierten Variablen sind.
Nein. Hier handelt es sich um zwei diskrete Variable, x und x_Punkt,
die invertierbar auf x und p abgebildet werden.
Bei einer Feldtheorie hat man kontinuierlich viele Variable phi, phi_Punkt
phi: R^3 --> R , x |--> phi(x)
phi_Punkt: R^3 --> R , x |--> phi_Punkt(x)
die invertierbar oder nicht auf phi und pi abgebildet werden k�nnen, und die
mit der Zeit t ihre Werte �ndern. Bei phi(t), pi(t) handelt es
sich um eine Bahn im Phasenraum der Funktionen von R^3 --> R^2
>> Der Zusammenhang zum Funktional
>> W[phi]= Integral dx (1/2 eta^mn d_m phi d_n phi - V(phi)
>> ist keine Legendre-Konjugation, sondern das Hinzuf�gen eines
>> Hilfsfeldes pi_m
>> w[phi, pi_m] = Integral dx
>> eta^mn d_m phi pi_n - V(phi)-1/2 eta^mn pi_m pi_n
>> = Integral dx
>> -1/2 eta^mn (pi_m - d_m phi)(pi_n - d_n phi)
>> +1/2 eta^mn d_m phi d_n phi - V(phi)
>> Diese Wirkung als Hamiltonsche Formulierung des Bewegungsproblems
>> auszugeben, ist Ro�t�uscherei.
> Ist dann die Herleitung der Bewegungsgleichungen im klassischen Fall
> eines Hamilton H(x,p) �ber
> delta W(x,p) = delta Integral dt (p dx/dt - H(x,p))
> = Integral dt ((dx/dt - dH/dp) delta p
> - (dp/dt + dH/dx) delta x)
> ebenfalls Ro�t�uscherei und nur das Hinzuf�gen eines Hilfsfeldes p?
H(x, p) ist die Legendre-Konjugierte von L(x, x_punkt). Davon ist bei
w(phi, pi_m) nicht die Rede.
> Dazu muss es aber auch Hyperfl�chen
> f_i(phi, pi^n) = 0
> geben. Die Bedingung d_m p_n = d_n p_m liefert aber keine solche
> Hyperfl�che
Im Raum
F={p: p ist differenzierbare Funktion R^4 --> R^4}
der differenzierbaren, vierkomponentigen Funktionen bilden die
Funktionen, die
d_m p_n = d_n p_m
erf�llen, eine Hyperfl�che.
Norbert Dragon
> weil
> pi^n = dL / d_n phi = d_n phi
> 4 unabh�ngige Funktionen der d_n phi liefert
(phi, pi) sind Koordinaten eines Punktes im Phasenraum, dabei sind
phi und pi in der Feldtheorie Funktionen von R^3. Dies ist zu
unterscheiden von einer Bahn im Phasenraum,
Gamma: R --> Phasenraum, t |--> (phi(t), pi(t)) .
Die Gleichung
(pi_0, pi_1, ...) = (d_0 phi, d_1 phi, ...)
definiert eine Untermenge von Funktionen und daher eine Hyperfl�che
im Raum der Funktionen.
Andreas Most
> Andreas Most <Andrea...@nospam.invalid> writes:
>>Falls ich diesen Absatz richtig verstanden habe (wobei ich nicht genau
>>wei�, was symplektisch bedeutet, zu dessen Verst�ndnis ich mit der
>>Mathematik von Differentialformen noch nicht vertraut genug bin),
>>beantwortet es meine Frage...
>
> Eine Bilinearform ist symplektisch, wenn sie alternierend und
> nichtausgeartet ist.
Ja, danke.
http://de.wikipedia.org/wiki/Symplektischer_Raum
http://de.wikipedia.org/wiki/Symplektische_Mannigfaltigkeit
sind da auch hilfreich. Mir fehlt da allerdings noch der Zusammenhang,
bzw. welche Bedeutung die Bilinearform
omega = dq_i /\ dp_i
im Hamiltonformalismus hat. Und da ich mit Differentialformen (noch)
nicht so schlafwandlerisch umgehen kann, braucht das Verst�ndnis
etwas...
Andreas.
Roland Franzius
> Andreas Most <Andrea...@nospam.invalid> writes:
>> sind da auch hilfreich. Mir fehlt da allerdings noch der Zusammenhang,
>> bzw. welche Bedeutung die Bilinearform
>> omega = dq_i /\ dp_i
>> im Hamiltonformalismus hat.
>
>
> Ich stelle mir einen Punkt im Phasenraum mit den Koordinaten
> (q,p) vor.
>
> Bei einem Pendel (harmonischer Oszillator) gibt der Gradient
> der Energie an diesem Punkt die Geschwindigkeit der Bewegung
> im Phasenraum an, aber er zeigt in die falschen Richtung.
> Nicht in die Richtung des Phasenflusses, sondern er mu� noch
> um 90 Grad in eine bestimmte Richtung gedreht werden - und
> daf�r wird die symplektische Struktur verwendet.
>
> Es w�rde mich interessieren, ob jemand diese Vermutung von
> mir best�tigen oder verwerfen kann.
Das ist treffend beobachtet, trifft man selten hier;-(
Deine Beobachtung beschreibt aber den Effekt des zus�tzlichen
Hamiltonformalsimus der Dynamik, nicht die grundlegende symplektische
Struktur ohne Dynamik.
Die ist ziemlich allgemein, kennt keine Energie, keinen hamiltonschen
Fluss, sondern beschreibt nur die funktionale Abh�ngigkeit von Paaren
von Variablen, die sich in einem Vektorraum analog zu den
Legendre-konjugierten Gr��en
dx/dt und p = m dx/dt = d(1/m (dx/dt)^2)/d(dx/dt)
im Tangentialraum verhalten sollen.
Da man in der Mechanik mit Orten und Geschwindigkeiten resp Impulsen im
Sinne von Anfangsbedingungen "hantiert", ohne R�cksicht auf irgendwelche
Bewegungsgleichungen, braucht man einen Apparat, der die 2n Anfangswerte
{ x0, p0 = m v0 } einer beliebigen Funktion der L�sungen (welcher
Bewegungsgleichungen auch immer)
(t,x0,p0) -> (q(t,x0,pi), p(t,x0,po)= LT^-1(d/dt q(t,x0,p0)))
zu identifizieren in der Lage ist. Dabei ist LT die
Legendretransformation zB Festlegung einer als geometrisch invariant
unter einen bestimmten Symmetrie festgelegten Lagrangefunktion ist.
Zu diesem Zweck gibt es Poissonklammern. Diese definieren zweierlei beim
Differenzieren: Was sind unabh�ngige Variable? ( {A, B }=0 ), und was
sind Variablenpaare, die im Zeitverlauf auf L�sungstrajektorien eine von
der Dynamik vorgegebene lineare Abh�ngigkeit im Tangentialraum als
Koordinatendifferential und konjugierter Impuls besitzen {p,q} = 1
Wenn ich dann eine Funktion f(p,q)= 3 p^2 q + 2/q hinschreibe, bedeutet
die Lie-Poisson-Ableitung {f,p) = 6 p^q und {f,q} = 3 p^2 -2/q^2, dass
ich mit solchen Ableitungen die Struktur der Terme beschreiben und
umgekehrt im Integrationsprozess Funktionen mit Respekt vor der
symplektischen Paarungsstruktur aufbauen kann, ohne eine Dynamik
fixieren zu m�ssen.
Typische Beispiele sind die in der Funktions-Algebra �ber dem phasenraum
generierten Funktionen p^2, |x| und L = r x p, die v�llig unabh�ngig von
der Dynamik Differentialbeziehungen erf�llen m�ssen.
So gilt immer
{f(p^2),L}=0 und {f(|x|,L}=0
in dem Sinn, dass ich solche Gr��en als unabh�ngige kanonische Variable
w�hlen darf.
Der symplektische Teil der Geometrie bezieht sich auf alles, was man aus
der symplektischen Form, im normierten Fall
G(e_i,e_k) =0 , G(p_i,p_k)= 0 G(e_i, p_k) =delta_ik
an Eigenschaften ableiten kann.
Die Familie der kanonisch gepaarten Differentialformprodukte bildet eine
spezielle Unteralgebra in der geraden �u�eren Algebra der
antisymmetrischen �u�eren Produkte dp/\ dq �ber dem Phasenraum, in der
alle kanonisch gepaarten Produkte von Differentialformen unabh�ngig von
der Lagrangefunktion in jeder Potenz zeitlich konstant und invariant
unter kanonischen (besser symplektischen) Transformationen sind.
Erst diese von Liouville und Poincare entdeckte Eigenschaft macht den
Phasenraum zu dem, was er als Tr�ger von invarianten Integrations- und
Wahrscheinlichkeitsmassen in der statistischen Mechanik ist.
Das hei�t, der differentielle Phasenraum generiert, unabh�ngig von einer
speziellen Systemdynamik, einen invarianten Darstellungsraum der
"unabh�ngigen" Variablen (p,q) als B�ndel der Tangentialr�ume, n�mlich
der Paarungen (p_i,q_i), die sp�ter zu Koordinaten und Geschwindigkeiten
in L�sungen in einer speziellen Dynamik werden sollen und der daraus,
durch Verketten von differenzierbaren Funktionen von 2n oder weniger
Variablen und des Zeitparameters t, gebauten Funktionsalgebra.
Die Mechanik eines speziellen dynamischen Systems wird dann fixiert
durch Vorgabe einer Hamiltonfunktion �ber dem Phasenraum
(p,q)->H(p,q,t)
mit der Zeit als externem Kurvenparameter. Dies ist im einfachsten Fall
eine quadratische Form �ber der p-Projektion und eine Potentialfunktion
�ber der Koordinatenprojektion
Und dann gilt f�r den Hamiltonschen Fluss (die Vorstellung bewegter
Punktwolken unabh�ngiger Einzelsysteme mit Dichte rho(p(t),q(t),t) im
Phasenraum)
das was du gesagt hast:
(d/dt)(p)
(q) = {{ 0,-H_q}} (p)
{{ H_p,0)} (q)
dh die Geschwindigkeit dieses Bewegungsflusses ist lokal in jedem Punkt
eine pi/2 Drehung und mit nachfolgender Streckung/Schrumpfung in jedem
2d-symplektischen Unterraum des Tangentialraums, wenn beide Ableitungen
positiv sind. Sonst gibts halt Sattelpunkte mit exponentiellem Wachsen
und Schrumpfen in den beiden Richtungen, aber immer unter
2d-Volumenerhaltung.
Leider bringt diese Einsicht nicht viel f�r die L�sungstheorie, weil mit
der Zeitentwicklung ja gerade die Unterr�ume sich auch zeitlich
mitdrehen.
Daf�r ist der Einblick in die Symmetrie und die Einsch�tzung des
Langzeitverhaltens dynamischer Systeme ohne symplektische Geometrie
undenkbar.
--
Roland Franzius
Ilja Schmelzer
> Andreas Most <Andreas.M...@nospam.invalid> writes:
> >sind da auch hilfreich. Mir fehlt da allerdings noch der Zusammenhang,
> >bzw. welche Bedeutung die Bilinearform
> >omega = dq_i /\ dp_i
> >im Hamiltonformalismus hat.
>
>
> Ich stelle mir einen Punkt im Phasenraum mit den Koordinaten
> (q,p) vor.
>
> Bei einem Pendel (harmonischer Oszillator) gibt der Gradient
> der Energie an diesem Punkt die Geschwindigkeit der Bewegung
> im Phasenraum an, aber er zeigt in die falschen Richtung.
> um 90 Grad in eine bestimmte Richtung gedreht werden - und
>
> Es würde mich interessieren, ob jemand diese Vermutung von
> mir bestätigen oder verwerfen kann.
Als Vorstellung ist es gut.
Von der Struktur her gesehen fehlt dem Phasenraum jedoch eine
natuerliche Definition des Abstandes zwischen Punkten: Mit
sqrt(x^2+p^2) muesste man Groessen mit verschiedenen Einheiten
addieren. Also ist im Phasenraum auch kein Winkel 90^o definiert.
Wo es keine Metrik gibt, muss man auch sauber zwischen
Gradienten (Kovektoren) und Richtungen (Vektoren) unterscheiden.
Es gibt also keine "Richtung" in die der "Gradient" zeigt, und er
hat auch keinen Betrag, der die "Geschwindigkeit" angeben wuerde.
Fuehrt man aber eine Metrik g_ij dx^idx^j ein, dann kann man
beide Strukturen (Metrik und symplektische Struktur) zu einer
komplexen Struktur z=x+ip vereinigen. Die Rotation um 90^o
wird dann zur Multiplikation mit i, und alles andere stimmt auch.
Die symplektische Struktur ist gewissermassen das, was uebrigbleibt,
wenn man feststellt, dass Dein Bild fuer verschiedene Metriken stimmt,
aber die Metrik im Phasenraum selbst nichts mit der Physik zu tun hat
und deshalb aus der Beschreibung zu verschwinden hat.
Arnold Neumaier
> Mir fehlt da allerdings noch der Zusammenhang,
> bzw. welche Bedeutung die Bilinearform
>
> omega = dq_i /\ dp_i
>
> im Hamiltonformalismus hat.
Hier k"onnte Section 12.1 meines Buchs
Arnold Neumaier, Dennis Westra
Classical and Quantum Mechanics via Lie algebras
http://lanl.arxiv.org/abs/0810.1019
weiterhelfen. Dort wird gezeigt, wie eine symplektische Form
auf kanonische Weise eine Poissonklammer (12.7) induziert,
und im n"achsten Abschnitt wird dann der Hamiltonformalismus
entwickelt.
Arnold Neumaier
Andreas Most
> * Andreas Most schreibt:
>> Ist dann die Herleitung der Bewegungsgleichungen im klassischen Fall
>> eines Hamilton H(x,p) �ber
>
>> delta W(x,p) = delta Integral dt (p dx/dt - H(x,p))
>> = Integral dt ((dx/dt - dH/dp) delta p
>> - (dp/dt + dH/dx) delta x)
>
>> ebenfalls Ro�t�uscherei und nur das Hinzuf�gen eines Hilfsfeldes p?
>
> H(x, p) ist die Legendre-Konjugierte von L(x, x_punkt). Davon ist bei
> w(phi, pi_m) nicht die Rede.
Genau davon ist die Rede, n�mlich dass ein verallgemeinerter Hamiltonian
�ber die Legendre-Transformation
H(phi, pi_m) = p^n d_n phi - L(phi, d_m phi)
definiert wird.
Aber wir sollten die Diskussion beenden. Letztendlich sind diese
erweiterten Metheoden des Hamiltonformalismus nicht auf meinen Mist
gewachsen, und Du wirst mich nicht davon �berzeugen k�nnen, dass man den
Hamiltonformalismus nur dazu verwenden darf, um die Zeitentwicklung zu
beschreiben, und dass Marsden et al. oder auch Mangiarotti et al. ein
kleiner Denkfehler unterlaufen ist.
Andreas.
Andreas Most
> Andreas Most <Andrea...@nospam.invalid> writes:
>>sind da auch hilfreich. Mir fehlt da allerdings noch der Zusammenhang,
>>bzw. welche Bedeutung die Bilinearform
>>omega = dq_i /\ dp_i
>>im Hamiltonformalismus hat.
>
> Ich glaube, da� ich mir das einmal so �berlegt habe:
>
> Ich stelle mir einen Punkt im Phasenraum mit den Koordinaten
> (q,p) vor.
>
> Bei einem Pendel (harmonischer Oszillator) gibt der Gradient
> der Energie an diesem Punkt die Geschwindigkeit der Bewegung
> im Phasenraum an, aber er zeigt in die falschen Richtung.
> Nicht in die Richtung des Phasenflusses, sondern er mu� noch
> um 90 Grad in eine bestimmte Richtung gedreht werden - und
> daf�r wird die symplektische Struktur verwendet.
Ok, danke. Das hat schonmal einen kleinen Knoten bei mir gel�st, auch
wenn mir die Syntax immer noch nicht ganz klar ist.
omega repr�sentiert also die Matrix ((0,-1),(1,0)) im eindimensionalen
Fall. (Mir war entgangen, dass dq und dp die Basisvektoren des
Kotangentialraums sind) Das hei�t in Vektorschreibweise gilt also
omega * grad H(q,p) = d/dt (q,p)
Wie schreibt man denn das als Differentialform?
Andreas.
Andreas Most
> Diese Arbeit hat vielleicht schon jemand f�r uns
> erledigt. Ich finde n�mlich in einer Quelle:
>
> #
> X_H := -w (dH)
>
> auf Seite 15 (PDF-Seite 16) in
>
> http://www.physik.uni-leipzig.de/~behn/HaugKlaiber.pdf
>
> Dort sollten auch die dort verwendeten Symbole erkl�rt sein,
> und ich glaube, da� diese Quelle ganz gut lesbar ist und
> Du dort weitere Erkl�rungen dazu finden kannst.
Vielen Dank f�r den Link. Das erkl�rt, wie man aus einer 2-Form und
einer 1-Form wieder eine 1-Form macht. :)
(Deshalb tue ich mich mit dem Formenkalk�l so schwer, weil man f�r Dinge,
die man in Komponentenschreibweise einfach hinschreibt, "hundert"
verschiedene, neue Schreibweisen im Formenkalk�l einf�hren muss.
Zwar ist dann alles sch�n koordinatenunabh�ngig, aber ein Ausdruck wie *F
h�ngt dann doch wieder von der gew�hlten Metrik ab...)
Andreas.
GarryPlotter111
> Andreas Most <Andreas.M...@nospam.invalid> writes:
> >die man in Komponentenschreibweise einfach hinschreibt, "hundert"
> >Zwar ist dann alles schön koordinatenunabhängig, aber ein Ausdruck wie *F
> >hängt dann doch wieder von der gewählten Metrik ab...)
>
> Es ist auch auch eine reichere, feinere Sprache, da mit jedem
> Ausdruck der Typ das mathematischen Objektes genauer bestimmt ist.
>
> Dies hilft es, Fehler leichter zu finden, beziehungsweise zu
> vermeiden.
>
> Im R³ hat beispielsweise eine Einsform genauso viele
> Koordinaten wie eine Zweiform oder ein Vektor.
>
> Wenn man aufgrund eines Fehlers eine Einsform mit einer
> Zweiform gleichsetzt, dann wird man dies in
> Koordinatenschreibweise nicht gleich merken, da links /und/
> rechts ein Zahlentripel steht. Macht man sich aber im
> Formenkalkül den Typ der Objekt bewußt, sieht man den Fehler
> sofort /und/ man kriegt auch noch das
> »Transformationsverhalten« kostenlos dazu geliefert, das
> bei Matrixen oder Spalten- oder Zeilenvektor noch
> getrennt dazu angegeben werden muß.
>
> /Wenn/ eine Abhängigkeit von einer Metrik physikalisch relevant
> ist, /dann/ sollte sie auch in der Notation explizit vorkommen
> und erkennbar sein, wie etwa bei der Verwendung des
> Sternoperators. Schade ist es nur, wenn etwas, das in
> Wirklichkeit invariant ist in einer Form geschrieben wird, an
> der man das zunächst nicht erkennen kann (also in
> Koordinaten).
Das hätte ich nicht gedacht, daß der Andreas Most es tatsächlich wagt,
meine Vorlesung zu kritisieren.
Für was arbeiten wir Lehrer eigentlich ?
Die Schüler wissen immer alles besser.
Also :
Welcher Kommutator führt beim H - Atom erstmal auf die Kummer'sche
Differentialgleichung ?
Dann, und NUR DANN kann einer erstmal relativistische Korrekturen
anbringen.
Diese sind 0.01 Prozent der ursprünglichen Energiewerte.
Der Radius des außen e- geht mit n*n ( n aus n ).
Wie weit befindet sich das e- vom Kerne entfernt, wenn n gleich 10
hoch 10 hoch 100000000000 ist ?
( Ähhhhh WOW ........... das e- schießt aus dem Universum
heraus !!!! ..... weird ).
Andreas Most
> Andreas Most <Andrea...@nospam.invalid> writes:
>>(Deshalb tue ich mich mit dem Formenkalk�l so schwer, weil man f�r Dinge,
>>die man in Komponentenschreibweise einfach hinschreibt, "hundert"
>>verschiedene, neue Schreibweisen im Formenkalk�l einf�hren muss.
>>Zwar ist dann alles sch�n koordinatenunabh�ngig, aber ein Ausdruck wie *F
>>h�ngt dann doch wieder von der gew�hlten Metrik ab...)
>
> Es ist auch auch eine reichere, feinere Sprache, da mit jedem
> Ausdruck der Typ das mathematischen Objektes genauer bestimmt ist.
>
> Dies hilft es, Fehler leichter zu finden, beziehungsweise zu
> vermeiden.
>
> Im R� hat beispielsweise eine Einsform genauso viele
> Koordinaten wie eine Zweiform oder ein Vektor.
>
> Wenn man aufgrund eines Fehlers eine Einsform mit einer
> Zweiform gleichsetzt, dann wird man dies in
> Koordinatenschreibweise nicht gleich merken, da links /und/
> rechts ein Zahlentripel steht. Macht man sich aber im
> Formenkalk�l den Typ der Objekt bewu�t, sieht man den Fehler
> sofort /und/ man kriegt auch noch das
> �Transformationsverhalten� kostenlos dazu geliefert, das
> bei Matrixen oder Spalten- oder Zeilenvektor noch
> getrennt dazu angegeben werden mu�.
>
> /Wenn/ eine Abh�ngigkeit von einer Metrik physikalisch relevant
> ist, /dann/ sollte sie auch in der Notation explizit vorkommen
> und erkennbar sein, wie etwa bei der Verwendung des
> Sternoperators. Schade ist es nur, wenn etwas, das in
> Wirklichkeit invariant ist in einer Form geschrieben wird, an
> der man das zun�chst nicht erkennen kann (also in
> Koordinaten).
Verwirrend sind auch die verschiedenen Schreibweisen der verschiedenen
Autoren. Zum Beispiel bei der Definition des Skalarprodukts als
Richtungsableitung einer Funktion f in einem Punkt X habe ich es in
einem Buch gefunden als
df(X) = <df, X> = X f
Anderswo schreibt man auch mal X[f] oder wie bei Arnold X df.
F�r das Beispiel mit dem Drehen des Energieflusses fand ich auch die
Formulierung
i_{X_H} w = dH
wobei das i genau die ... Hmmm. Mist! Habe ich schon wieder vergessen.
Auch sehe ich nicht unbedingt das Transformationsverhalten den Formen
an. Im Tensorkalk�l brauche ich da nur die auf die oberen und unteren
Indizes zu schauen, um auf das Transformationsverhalten zu schlie�en.
Ehrlich gesagt ist das Formenkalk�l f�r mich nicht sehr intuitiv. Im
Zweifelsfall muss ich es mir dann doch in Komponentenschreibweise
hinschreiben, um zu verstehen, worum es geht...
Andreas.
Norbert Dragon
> Verwirrend sind auch die verschiedenen Schreibweisen der verschiedenen
> Autoren. Zum Beispiel bei der Definition des Skalarprodukts als
> Richtungsableitung einer Funktion f in einem Punkt X habe ich es in
> einem Buch gefunden als
> df(X) = <df, X> = X f
Verwirrend ist nur, diese Formelzeichen als Skalarprodukt zu lesen,
es handelt sich um das Anwenden einer linearen Abbildung df auf den
Vektor X.
Vektoren und duale Vektoren k�nnen so verschieden sein wie Waren
und Preise: aus ihnen wird an der Kasse der Zahlbetrag.
> Anderswo schreibt man auch mal X[f] oder wie bei Arnold X df.
Da df dual zu X ist, ist X dual zu df. Und da df an jedem Punkt
die �quivalenzklasse aller Funktionen bezeichnet, die f�r jeden
Vektor X, den man auf sie anwendet, dasselbe ergeben, h�ngt X[f]
nur von df ab und kann als X df geschrieben werden.
> F�r das Beispiel mit dem Drehen des Energieflusses fand ich auch die
> Formulierung
> i_{X_H} w = dH
> wobei das i genau die ... Hmmm. Mist! Habe ich schon wieder vergessen.
i_X
bezeichnet das Anwenden des Vektorfeldes X als erstes Argument auf die
Zweiform w, man erh�lt so eine Einsform. Sie ist der Einsform dH
gleich, wenn X_H der Hamiltonsche Flu� ist, das hei�t tangential ist an
die L�sungskurven der Hamiltonschen Gleichungen.
> Auch sehe ich nicht unbedingt das Transformationsverhalten den Formen
> an. Im Tensorkalk�l brauche ich da nur die auf die oberen und unteren
> Indizes zu schauen, um auf das Transformationsverhalten zu schlie�en.
Welche Indizes schreibst Du f�r Spin-Wellenfunktionen psi?
Sie transformieren als Halbdichten
psi'(x') = U(x') * Wurzel(|det (dx/dx')|) psi(x(x'))
Dabei kann eine unit�re Matrix U auftreten, die zur Transformation x(x')
geh�rt. So etwas tritt beispielsweise bei Helizit�tszust�nden auf.