Drehimpuls Quantenzahlen und deren Wahrscheinlichkeit
Nils Chr. Brause
ich habe eine Wellenfunktion
psi(x,y,z) = C(xy + yz + zx)e^(-ar^2)
gegeben.
Laut Aufgabenstellung soll ich herausfinden, welche Werte der
Quantenzahlen l und m bei einer Messung von L^2 ud L_z angenommen werden
können und mit welcher Wahrscheinlichkeit.
AFAIK bekommt man die l als Eigenwerte der Gleichung
L^2 psi = hbar^2 l(l+1) psi.
und die m sind dann
m = -l, ..., 0, ... l
Wie aber bekomme ich die Wahrscheinlichkeiten heraus?
Dazu habe ich in meinen Aufzeichnungen leider nichts finden können.
Danke im Voraus.
MfG
Nils Chr. Brause
Norbert Dragon
> ich habe eine Wellenfunktion
> psi(x,y,z) = C(xy + yz + zx)e^(-ar^2)
> gegeben.
> Laut Aufgabenstellung soll ich herausfinden, welche Werte der
> Quantenzahlen l und m bei einer Messung von L^2 ud L_z angenommen werden
> können und mit welcher Wahrscheinlichkeit.
> AFAIK bekommt man die l als Eigenwerte der Gleichung
> L^2 psi = hbar^2 l(l+1) psi.
> und die m sind dann
> m = -l, ..., 0, ... l
> Wie aber bekomme ich die Wahrscheinlichkeiten heraus?
Grundgleichung der Quantenmechanik: Gleichung 1.1
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/qm/node3.html
Wenn der Zustand psi mit einem Apparat A vermessen wird, dann ist
w(i, A, psi) = |<Lambda_i|psi>|^2
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der i-te Meßwert angezeigt wird.
Dabei ist Lambda_i der normierte Eigenzustand zum i-ten Meßwert.
Du brauchst die normierten Eigenfunktionen zu L^2 und L_z auf der
Kugelfläche, mußt den Faktor
C (xy + yz + zx) = C *
sin^2 theta cos phi sin phi + cos theta sin theta (cos phi + sin phi)
auf der Kugelschale normieren
C^2 Integral d(cos theta) d(phi) (xy + yz + zx)^2 = 1
(dabei wird cos theta von -1 bis +1 und phi von 0 bis 2 pi integriert),
und das Skalarprodukt mit den Eigenzuständen berechnen.
Da xy + yz + zx quadratisch, harmonisch und invariant unter einer
Drehung um die z-Achse um pi ist, gibt es nur Beiträge mit
l = 2, und m = 2, 0, -2.
Wenn ihr noch keine Kugelflächenfunktionen zur Verfügung habt, kann die
Bemerkung helfen, daß
(x + i y)^k f(r) eine Funktion mit l = k und m = l ist, von der man durch
Absteigen mit L_- zu Funktionen Y_lm mit m < l kommt.
Seite 55
http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/qm.ps.gz oder
http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/qm.pdf
--
Aberglaube bringt Unglück
Ulrich Wilhelm
.
>
> Du brauchst die normierten Eigenfunktionen zu L^2 und L_z auf der
> Kugelfläche, mußt den Faktor
>
seit wann loesen wir hier hausaufgaben aus qm1?
ich denke der "poster" haette mehr von ein paar tipps, als wenn ers einfach
abpinselt....
--
Ulrich
===============================
-Wenn ein Hund redet, ist es egal was er sagt!
-Igal T.
Nils Chr. Brause
> Du brauchst die normierten Eigenfunktionen zu L^2 und L_z auf der
> Kugelfläche, mußt den Faktor
>
> C (xy + yz + zx) = C *
>
> sin^2 theta cos phi sin phi + cos theta sin theta (cos phi + sin phi)
>
> auf der Kugelschale normieren
D.h. ich muss die Wellenfunktion als Funktion der Kugelflächenfunktionen
(= Eigenfunktionen von L^2 und L_z) ausdrücken (Das steht in der Aufgabe
weiter höher)?
Norbert Dragon wrote:
> Da xy + yz + zx quadratisch, harmonisch und invariant unter einer
> Drehung um die z-Achse um pi ist, gibt es nur Beiträge mit
> l = 2, und m = 2, 0, -2.
Wenn ich die Wellenfunktion als Funktion der Kugelflächenfunktionen
ausdrücke, bekomme ich Linearkompinationen aus Y_21, Y_2-1, Y_22 und
Y_2-2. Dass müsste doch heißen, dass hier l = 2 und m = -2, -1, 1, 2
sein kann, oder?
Norbert Dragon wrote:
> Grundgleichung der Quantenmechanik: Gleichung 1.1
>
> http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/qm/node3.html
>
> Wenn der Zustand psi mit einem Apparat A vermessen wird, dann ist
>
> w(i, A, psi) = |<Lambda_i|psi>|^2
>
> die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der i-te Meßwert angezeigt wird.
>
> Dabei ist Lambda_i der normierte Eigenzustand zum i-ten Meßwert.
Wenn ich z.B. |<Y_22|psi>|^2 berechne, bekomme ich sehr lange Terme in
Abhängigkeit von r, theta und phi. Ist die Wahrscheinlichkeit
tatsächlich von r, theta und phi abhängig, oder sollte ich eine Zahl
bekommen?
Vielen Dank für Ihre Hilfe!
Norbert Dragon
>* Norbert Dragon schrieb:
> D.h. ich muss die Wellenfunktion als Funktion der Kugelflächenfunktionen
> (= Eigenfunktionen von L^2 und L_z) ausdrücken (Das steht in der Aufgabe
> weiter höher)?
Ja.
>> Da xy + yz + zx quadratisch, harmonisch und invariant unter einer
>> Drehung um die z-Achse um pi ist, gibt es nur Beiträge mit
>> l = 2, und m = 2, 0, -2.
> Wenn ich die Wellenfunktion als Funktion der Kugelflächenfunktionen
> ausdrücke, bekomme ich Linearkompinationen aus Y_21, Y_2-1, Y_22 und
> Y_2-2. Dass müsste doch heißen, dass hier l = 2 und m = -2, -1, 1, 2
> sein kann, oder?
Die Beiträge von Y_2,1 und Y_2,-1 ändern unter Drehungen um die z-Achse
um den Winkel phi = pi ihr Vorzeichen, exp i m phi = exp +-i pi = -1,
das Polynom xy + yz + zx hingegen geht dabei in sich über. Es hat daher
keine Y_2,1- und Y_2,-1-Beiträge.
> Wenn ich z.B. |<Y_22|psi>|^2 berechne, bekomme ich sehr lange Terme in
> Abhängigkeit von r, theta und phi.
1) Es reicht, das Skalarprodukt auf der Oberfläche der Einheitskugel
auszurechnen, r spielt keine Rolle.
2) Für Skalarprodukte <Y_lm | Y_LM > gibt es Orthogonalitätsrelationen.
Norbert Dragon
>* Norbert Dragon schrieb:
> D.h. ich muss die Wellenfunktion als Funktion der Kugelflächenfunktionen
> (= Eigenfunktionen von L^2 und L_z) ausdrücken (Das steht in der Aufgabe
> weiter höher)?
Ja.
> Wenn ich z.B. |<Y_22|psi>|^2 berechne, bekomme ich sehr lange Terme in
> Abhängigkeit von r, theta und phi.
1) Es reicht, das Skalarprodukt auf der Oberfläche der Einheitskugel
auszurechnen, r spielt keine Rolle.
2) Für Skalarprodukte <Y_lm | Y_LM > gibt es Orthogonalitätsrelationen.
--
Aberglaube bringt Unglück