Divergenz von Kreuzprodukt
Christian Roeer
ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Ich soll die Divergenz von A x B (Kreuzprodukt) berechnen, wobei A und B
jeweils Vektorfelder sind. Dabei bin ich auf folgenden Widerspruch
gestoßen:
Wenn ich den Ausdruck Nabla (A x B) als Spatprodukt betrachte, kann ich
zyklisch vertauschen und erhalte div (A x B) = B (Nabla x A) = B rot A
bzw. div (A x B) = A (B x Nabla) = -A rot B.
Gehe ich aber über die einzelnen Komponenten und rechne die Determinante
|dx a1 b1|
|dy a2 b2|
|dz a3 b3|
aus, komme ich auf dieses Resultat: div (A x B) = B rot A - A rot B.
Welches Ergebnis ist richtig und wo liegt mein Denkfehler?
Danke & Gruß
Christian
--
This equals truth.
Jacob v. Creutzfeldt
> Wenn ich den Ausdruck Nabla (A x B) als Spatprodukt betrachte, kann
> ich zyklisch vertauschen und erhalte div (A x B) = B (Nabla x A) = B
> rot A bzw. div (A x B) = A (B x Nabla) = -A rot B.
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aufgabe/aufgabe293/
> Gehe ich aber über die einzelnen Komponenten und rechne die
> [...]
> aus, komme ich auf dieses Resultat: div (A x B) = B rot A - A rot B.
>
> Welches Ergebnis ist richtig und wo liegt mein Denkfehler?
Ist Nabla denn ein "normaler" Vektor?
MfG
Jacob v. Creutzfeldt
--
| "Wenn man solches geschrieben hat, so schließt es nicht aus, daß
| man nach getanem oder vielmehr vorgesehenem Werk das Bedürfnis
| fühlt, einem gewesenen Freund seine von niederer Eitelkeit einge-
| gebenen Irrtümer zu vergeben."
Christian Roeer
> Ist Nabla denn ein "normaler" Vektor?
hm daran lags wohl.
Wenn ich also zuerst die "Produktregel" anwende und mit div (A x B) = Nabla
(A_ x B) + Nabla (A x B_) weiterrechne, komme ich auf das korrekte Resultat
div (A x B) = A rot B - B rot A.
danke für die schnelle Antwort.
Hendrik van Hees
Hm, manchmal ist der Indexkalkül doch diesem seltsamen Rumgerechne mit dem
Nablaoperator überlegen. Wir hatten in der Experimentalphysikvorlesung
diesen Nablakalkül. Da ist ma nimmer halb wahnsinnig geworden. In der
Theorie kam dann Ricci, und alles war gut, also:
div(A \times B)=\epsilon_{jkl} \partial_{l} (A_j B_k)
=\epsilon_{jkl} [B_k \partial_l A_j + A_j \partial_l B_k]
=B (rot A)-A (rot B)
Dabei habe ich benutzt, daß für ein beliebiges Vektorfeld die Komponenten
der Rotation durch
(rot A)_k = \epsilon_{klm} \partial_l A_m
gegeben sind.
Freilich wurde die ganze Zeit in einem *kartesischen* Koordinatensystem
gerechnet.
--
Hendrik van Hees Fakultät für Physik
Phone: +49 521/106-6221 Universität Bielefeld
Fax: +49 521/106-2961 Universitätsstraße 25
http://theory.gsi.de/~vanhees/ D-33615 Bielefeld
Roland Franzius
>Hallo NG,
>
>ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
>Ich soll die Divergenz von A x B (Kreuzprodukt) berechnen, wobei A und B
>jeweils Vektorfelder sind. Dabei bin ich auf folgenden Widerspruch
>gestoßen:
>Wenn ich den Ausdruck Nabla (A x B) als Spatprodukt betrachte, kann ich
>zyklisch vertauschen und erhalte div (A x B) = B (Nabla x A) = B rot A
>bzw. div (A x B) = A (B x Nabla) = -A rot B.
>
Hier hast du vergessen zu differnzieren. Alles was rechts von nabla
steht unterliegt der Pflicht zur Ableitung
>Gehe ich aber über die einzelnen Komponenten und rechne die Determinante
>
>|dx a1 b1|
>|dy a2 b2|
>|dz a3 b3|
>
>aus, komme ich auf dieses Resultat: div (A x B) = B rot A - A rot B.
>
>Welches Ergebnis ist richtig und wo liegt mein Denkfehler?
>
>Danke & Gruß
>
>Christian
>
>
Entweder benutzt du die Spatproduktregel und die Produktregel für jede
Art von Ableitung
nabla \cdot ( A \times B) =
nabla \times A \cdot B =
B \cdot rot A - A \times \nabla \cdot B
= B rot A - A rot B
oder du machst es gleich richtig mit Differentialformen. Die
Differentialform zu einem Vektorprodukt ist das äußere Produkt der 1-Formen
(\vecA x \vec B) < -- > A /\ B
Da für konstante Volumen-3-Form * konstant und linear ist, also d* = *d,
gilt
*d* A/\B = ** (dA)/\B - ** A/\dB
= B /\ dA - A /\ dB
weil ** = (-1)^(3(3-3))
für 3-Formen in R^3
= B_1 (dA_2/dx_3-dA_3/dx^2 + ... - A_1 dB_2/dx^3 + .... )
dx^1/\dx^2/\dx^3
-> ( B rot A - A rot B ) dV
--
Roland Franzius