Rotation im n-Dim Raum
Vogel
In einem 3D-Raum existiert f�r einen K�rper immer nur eine (momentane)
Drehachse.
Der mathemnatische Beweis l�uft wohl dahinaus, dass die Kombination von
Drehungen eine lineare Operation ist, in dem Sinne das jede beliebige
Kombination nur einen Endwert liefert.
D1 x D2 x...x Dn -> V
>
Wie ist das im N-Dim Raum?
>
Ich vermute, dass es das gleiche ist, da der Beweis nicht
dimensionsabh�ngig ist.
>
--
Selber denken macht klug.
Rosmarin Hilscher
> In einem 3D-Raum existiert für einen Körper immer nur eine (momentane)
> Drehachse.
> Der mathemnatische Beweis läuft wohl dahinaus, dass die Kombination von
> Drehungen eine lineare Operation ist, in dem Sinne das jede beliebige
> Kombination nur einen Endwert liefert.
> D1 x D2 x...x Dn -> V
>
> Wie ist das im N-Dim Raum?
>
> Ich vermute, dass es das gleiche ist, da der Beweis nicht
>
>
>
> --
> Selber denken macht klug.
Ich meinte früher : Wann ist eine Symetrieachse des sich drehenden
Körpers eine Drehachse ?
Michael
> Drehachse.
> Der mathemnatische Beweis läuft wohl dahinaus, dass die Kombination von
> Drehungen eine lineare Operation ist, in dem Sinne das jede beliebige
> Kombination nur einen Endwert liefert.
> D1 x D2 x...x Dn -> V
>
> Wie ist das im N-Dim Raum?
>
> Ich vermute, dass es das gleiche ist, da der Beweis nicht
Gab's da nicht einen mathematischen Haken mit dem Kreuzprodukt?
Ich habe vage in Erinnerung, daß das nur in 3D funktioniert.
Gruß
Michael
Michael
Wenn er sich um die Symetrieachse dreht.
SCNR
Gruß
Michael
Roland Franzius
>> Drehachse.
>> Der mathemnatische Beweis l�uft wohl dahinaus, dass die Kombination von
>> Drehungen eine lineare Operation ist, in dem Sinne das jede beliebige
>> Kombination nur einen Endwert liefert.
>> D1 x D2 x...x Dn -> V
>>
>> Wie ist das im N-Dim Raum?
>>
>> Ich vermute, dass es das gleiche ist, da der Beweis nicht
>
> Gab's da nicht einen mathematischen Haken mit dem Kreuzprodukt?
Ja, selbstverst�ndlich ist Drehung um Achsen in R�umen mit Dimension >3
eine offenbar unsinnige Idee. Die "Achse" ist der Raum der
Eigenvektoren einer Drehung.
--
Roland Franzius
Arnold Neumaier
Nicht ganz unsinnig, sondern nur halb:
> Die "Achse" ist der Raum der
> Eigenvektoren einer Drehung.
Nicht ganz richtig, sondern nur halb:
Die Achse ist der Raum der Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
Dieser Raum kann immer dann 1-dimensional sein, wenn N ungerade ist.
Drehungen haben Eigentwerte +-1 und Determinante 1, also ist die
Dimension des Eigenraums zu -1 gerade, und die des Eigenraums zu 1
kongruent zu N modulo 2. In geraden Dimensionen N (also z.B. in der
Ebene, d.h. f"ur N=2) gibt es also keine Drehungen mit einer Drehachse.
F"ur N=3 hat jede nichttriviale Drehung einen 1D Eigenraum zu 1,
da dessen Dimension 1 oder 3 sein muss, und drei Eigenwerte 1 bei
einer normalen Matrix (und orthogonale Matrizen sind normal)
nur bei der Identit"at vorkommen.
F"ur N=5 hat jede nichttriviale Drehung einen 1D oder 3D Eigenraum
zu 1, und beides kommt vor. Es gibt also Drehungen im 5-dimensionalen
raum, die eine Drehachse habe, und solche, die keine haben.
Arnold Neumaier
Gregor Scholten
wrote:
> > Die "Achse" ist der Raum der
> > Eigenvektoren einer Drehung.
>
> Nicht ganz richtig, sondern nur halb:
>
> Die Achse ist der Raum der Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
diese Angabe ist unvollständig. Eigenvektoren und Eigenwerte gehören
stets zu einem Operator bzw. einer Matrix. Welche ist das in diesem
Fall? Die Drehmatrix?
Gerald Knizia
> In einem 3D-Raum existiert f�r einen K�rper immer nur eine (momentane)
Rotationensachsen kann man nur Drehungen innerhalb zweidimensionaler Ebenen
zuordnen (Ebenennormale). Im 3D-Raum sind das alle moeglichen momentanen
Drehungen, allgemein ist das aber nicht so.
Die allgemeine momentane Rotation im n-dimensionalen Raum laesst sich einen
beliebigen antisymmetrische linearen Operator auf diesem Raum
repraesentieren. Den Drehoperator bekommt man dann als
exp(Drehwinkel * die antisymmertrische Matrix)
Im dreidimensionalen gibt es eine naheliegende, eindeutige Bijektion
zwischen allen antisymmetrischen Matrizen und allen Vektoren, so dass man
die Matrix auch vektorartig (d.h., als Rotationsache) interpretieren kann.
--
- C. Gerald Knizia/cgk | #28673212 | this mail was made with intention.
Theo Wollenleben
> On 2 Jul., 15:04, Arnold Neumaier <Arnold.Neuma...@univie.ac.at>
> wrote:
>>> Die "Achse" ist der Raum der
>>> Eigenvektoren einer Drehung.
>> Nicht ganz richtig, sondern nur halb:
>>
>> Die Achse ist der Raum der Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
>
> stets zu einem Operator bzw. einer Matrix. Welche ist das in diesem
> Fall? Die Drehmatrix?
Eine Drehung wird durch einen linearen Operator beschrieben. Allerdings
war die Ursprungsfrage nach der momentanen Drehachse. Deswegen m�sste
man eigentlich den Nullraum eines antisymmetrischen Matrix untersuchen,
wie Gerald bereits bemerkte. Es gelten entsprechende Aussagen wie f�r
Drehoperatoren: Antisymmetrische Matrizen haben ein gerade Anzahl
imagin�rer Eigenwerten, welche sich zu Paaren komplex konjugierter
Eigenwerten zusammenfassen lassen, und Eigenwert null. Der Nullraum hat
also modulo 2 dieselbe Dimension wie der gesamte Raum. F�r ungerade
Dimension gibt es also mindestens eine Achse, die momentan ruht. F�r
gerade Dimension kann es nicht genau eine Achse geben, welche ruht, da
der Nullraum gerade Dimension hat.
Siehe: http://en.wikipedia.org/wiki/Skew-symmetric_matrix#Spectral_theory
Arnold Neumaier
> On 2 Jul., 15:04, Arnold Neumaier <Arnold.Neuma...@univie.ac.at>
> wrote:
>>> Die "Achse" ist der Raum der
>>> Eigenvektoren einer Drehung.
>> Nicht ganz richtig, sondern nur halb:
>>
>> Die Achse ist der Raum der Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
>
> Fall? Die Drehmatrix?
Ja.
Vogel
news:h2i4ov$li8$02$1...@news.t-online.com:
Der Sinn k�nnte ja sein um etwas zu widerlegen.
Kannst du das mal n�her erl�utern? Was soll daran unsinnig sein?
>
> Die "Achse" ist der Raum der Eigenvektoren einer Drehung.
>
Ok, mathematisch v�llig einleuchtend.
Warum soll das f�r Dim>3 nicht gehen?
Just Pronto
Was du vermutlich meinst, n�mlich, da� im R^3 ein um einen
1-dimensionalen Unterraum (eine Gerade, "Achse") rotierendes
3d-Objekt dies auch im R^n, n<3 tun kann, genau so, wie eine
im R^2 um ihren (1d-) Mittelpunkt rotierende Kreisscheibe dies
weiterhin im R^3 tun kann, das geht sicherlich, denn dieser l��t
sich als auch Schichtung unendlich vieler R^2's ansehen, von denen
man nur eine einzelne Schicht betrachtet. Aber das ist eben wohl
nicht gemeint, sondern vielleicht eher eine verallgemeinerte Sicht
der Teilr�ume in euklidischen R�umen mit d>3, hier der Idee "Achse".
von "Achse".
Vogel
news:4A4CB069...@univie.ac.at:
> Roland Franzius schrieb:
>> Michael schrieb:
>>> On 30 Jun., 12:45, Vogel <vo...@hotmail.com> wrote:
>>>> In einem 3D-Raum existiert f�r einen K�rper immer nur eine
>>>> (momentane) Drehachse.
>>>> Der mathemnatische Beweis l�uft wohl dahinaus, dass die Kombination
>>>> von Drehungen eine lineare Operation ist, in dem Sinne das jede
>>>> beliebige Kombination nur einen Endwert liefert.
>>>> D1 x D2 x...x Dn -> V
>>>>
>>>> Wie ist das im N-Dim Raum?
>>>>
>>>> Ich vermute, dass es das gleiche ist, da der Beweis nicht
>>>> dimensionsabh�ngig ist.
>>>
>>> Gab's da nicht einen mathematischen Haken mit dem Kreuzprodukt?
>>> Ich habe vage in Erinnerung, da� das nur in 3D funktioniert.
>>
>> Ja, selbstverst�ndlich ist Drehung um Achsen in R�umen mit
>> Dimension>3 eine offenbar unsinnige Idee.
>
> Nicht ganz unsinnig, sondern nur halb:
>
>> Die "Achse" ist der Raum der
>> Eigenvektoren einer Drehung.
>
> Nicht ganz richtig, sondern nur halb:
>
> Die Achse ist der Raum der Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
> Dieser Raum kann immer dann 1-dimensional sein, wenn N ungerade ist.
>
> Drehungen haben Eigentwerte +-1 und Determinante 1,
>
Ok, einleuchtend. Bei einer Drehung ist die Skalierung gleich 1.
+/- ist die links/rechts Konvention?
>
> also ist die
> Dimension des Eigenraums zu -1 gerade, und die des Eigenraums zu 1
> kongruent zu N modulo 2.
>
Da kommt man wie drauf?
>
> In geraden Dimensionen N (also z.B. in der
> Ebene, d.h. f"ur N=2) gibt es also keine Drehungen mit einer
> Drehachse.
>
Gibt es da im 4D-Minkowskiraum nicht auch Drehungen mit einer 1D-Achse?
>
> F"ur N=3 hat jede nichttriviale Drehung einen 1D Eigenraum zu 1,
> da dessen Dimension 1 oder 3 sein muss, und drei Eigenwerte 1 bei
> einer normalen Matrix (und orthogonale Matrizen sind normal)
> nur bei der Identit"at vorkommen.
>
> F"ur N=5 hat jede nichttriviale Drehung einen 1D oder 3D Eigenraum
> zu 1, und beides kommt vor. Es gibt also Drehungen im 5-dimensionalen
> raum, die eine Drehachse habe, und solche, die keine haben.
>
Im 5D gibt es also auch eine Drehung mit einem 3D-Eigenraum.
Es gibt also einen 3D-Unterraum der invariant gegen�ber der Drehung ist.
Es bleibt also nur noch ein B�ndel von 2D Ebenen �brig, welches die Drehung
vollf�hrt.
Da kann es aber doch eine momentane Drehachse geben.
>
K�nnte man sich das irgendwie intuitiv vorstellen?
Drehmomente, Tr�gheitsmomente?
Just Pronto
> Im 5D gibt es also auch eine Drehung mit einem 3D-Eigenraum.
> Es gibt also einen 3D-Unterraum der invariant gegen�ber der Drehung ist.
> Es bleibt also nur noch ein B�ndel von 2D Ebenen �brig, welches die Drehung
> vollf�hrt.
> Da kann es aber doch eine momentane Drehachse geben.
Ja ... aber du hast den Begriff der Achse ja schon selbst generalisiert,
als Teilraum, der invariant bez�glich der Rotationsmatrix ist.
> K�nnte man sich das irgendwie intuitiv vorstellen?
> Drehmomente, Tr�gheitsmomente?
Eine im R^2 rotierende Kreisscheibe kann im R^3 trudeln, aber(!)
nein, die Matehematik kennt zur Zeit wohl noch keine energetischen
Erhaltungss�tze, die �ber die "�blichen" Konzepte der Gleichheit,
�hnlichkeit und Symmetrie hinausgehen ;)
Vogel
news:y4fduco7gh0d.1x...@40tude.net:
> weiterhin im R^3 tun kann, das geht sicherlich, ...
>
Ja so meine ich das, aber f�r n>3.
Wie aus der Antwort von Neumaier hervorgeht, gibt es in R�umen ungerader
Dimension immer ein 1D-Eigenraum/Unterraum um der invariant ist gegen�ber
der Drehoperation, also als Drehachse gelten kann.
Warum das in R�umen gerader Dimension nicht geht, muss ich noch
nachvollziehen.
>
> denn dieser l��t
> sich als auch Schichtung unendlich vieler R^2's ansehen,...
>
Eben.
>
> von denen
> man nur eine einzelne Schicht betrachtet. Aber das ist eben wohl
> nicht gemeint, sondern vielleicht eher eine verallgemeinerte Sicht
> der Teilr�ume in euklidischen R�umen mit d>3, hier der Idee "Achse".
> von "Achse".
>
Gemeint war das obere, aber auch dies hier kann sich der Betrachtung
hinzuf�gen.
Eigentlich bin ich zu dieser Fragestellung gekommen, auf der Suche nach
einer Antwort, warum unser Raum 3D ist.
Vogel
news:h2iljk$a68$1...@online.de:
> Vogel wrote:
>> In einem 3D-Raum existiert fīŋŊr einen KīŋŊrper immer nur eine
>> (momentane) Drehachse. [...]
>
> Rotationensachsen kann man nur Drehungen innerhalb zweidimensionaler
> Ebenen zuordnen (Ebenennormale). Im 3D-Raum sind das alle moeglichen
> momentanen Drehungen, allgemein ist das aber nicht so.
>
Meine Frage lief darauf hinaus, ob es im n-D gleichzeitig mehr als eine
Drehachse fīŋŊr einen KīŋŊrper gīŋŊbe (momentan oder nicht ist eigentlich
egal).
Klar ist dass es das nicht gibt. Mich interessierte aber der
mathematische Hintergrund warum das so ist.
>
Dabei sollte man aber auch vielleicht berīŋŊcksichtigen wie Drehungen in
einem hīŋŊherdimensionalen Raum verstanden werden kīŋŊnnen. Sie mīŋŊssen ja
nicht unbedingt eine Drehung in einer Ebene sein wie im 3D.
Eine geschlossene HyperflīŋŊche in einem n-Dim, deren Punkte alle gleich
entfernt sind von einem Unterraum m-D, mit m<n, kīŋŊnnte man auch als
Drehung verstehen.
Im 3D:
KugelflīŋŊche, alle Punkte gleich entfernt von einem Punkt, nullter
Dimension
Zylinder, alle Punkte gleich entfernt von einer Geraden, erster Dimension
>
> Die allgemeine momentane Rotation im n-dimensionalen Raum laesst sich
> einen beliebigen antisymmetrische linearen Operator auf diesem Raum
> repraesentieren.
>
Du meinst auf Elemente dieses Raumes?
>
> Den Drehoperator bekommt man dann als
> exp(Drehwinkel * die antisymmertrische Matrix)
>
> Im dreidimensionalen gibt es eine naheliegende, eindeutige Bijektion
> zwischen allen antisymmetrischen Matrizen und allen Vektoren, so dass
> man die Matrix auch vektorartig (d.h., als Rotationsache)
> interpretieren kann.
>
OK, man kann also jeder Drehmatrix bijektiv einen Vektor zuordnen der als
Drehachse der Drehung galt.
>
Meine Frage war aber wie das im n-D aussieht.
Ich denke die Antwort von Arnold Naumaier ist da schon sehr erklīŋŊrend.
Vogel
>
> Die Achse ist der Raum der Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
> Dieser Raum kann immer dann 1-dimensional sein, wenn N ungerade ist.
>
> Drehungen haben Eigentwerte +-1 und Determinante 1, also ist die
> Dimension des Eigenraums zu -1 gerade, und die des Eigenraums zu 1
> kongruent zu N modulo 2. In geraden Dimensionen N (also z.B. in der
> Ebene, d.h. f"ur N=2) gibt es also keine Drehungen mit einer
> Drehachse.
>
Eine 4D-Hyperkugelfl�che hat also keine Symmetrieachse?
Will mir nicht so ganz einleuchten, obwohl ich deine obige Argumentation
nicht falsch finde.
Just Pronto
>>
> Ja so meine ich das, aber f�r n>3.
Sorry, war mein, "Druckfehler.
> Wie aus der Antwort von Neumaier hervorgeht, gibt es in R�umen ungerader
> Dimension immer ein 1D-Eigenraum/Unterraum um der invariant ist gegen�ber
> der Drehoperation, also als Drehachse gelten kann.
> Warum das in R�umen gerader Dimension nicht geht, muss ich noch
> nachvollziehen.
Eine Kreisscheibe hat eine 0d-Achse (einen Punkt) im R^2 - aber auch
die 1d-Achse im R^3 "bleibt starr" (in nd-R�umen ist "erst" jede
[d-n,n<d, n mod 2 = 0]-"Achse" "starr"), in anderen Worten: die
"minimale Achse" der Kreisscheibe ist sowohl im R^3 als auch im R^2
ein Punkt, wenn auch man diesen Punkt im R^3 (aber nur in orthogonaler
Richtung!) verschieben kann. Das ist eben das was die Idee der Achse
unterstellt, sie kann nicht trudeln, und deren Generalisierung in
h�herdimensionalen euklid�schen R�umen "scheitern" an R�umen der
Dimensionalit�t modulo 2.
Du generalisierst mithin den Achsenbegriff so wie der Rest der Welt,
aber gehst dann "schnell" zu "Unterachsen" �ber, die aber hier nicht
Thema waren, weil von Achsen, nicht von Unterachsen, die Rede war...
Klar kann man immer einen "Pfad aller Subachsen" modulo bis auf {0,1}
"herrunterrechnen".
>> denn dieser l��t
>> sich als auch Schichtung unendlich vieler R^2's ansehen,...
>>
> Eben.
>>
>> von denen
>> man nur eine einzelne Schicht betrachtet. Aber das ist eben wohl
>> nicht gemeint, sondern vielleicht eher eine verallgemeinerte Sicht
>> der Teilr�ume in euklidischen R�umen mit d>3, hier der Idee "Achse".
>> von "Achse".
>>
> Gemeint war das obere, aber auch dies hier kann sich der Betrachtung
> hinzuf�gen.
> Eigentlich bin ich zu dieser Fragestellung gekommen, auf der Suche nach
> einer Antwort, warum unser Raum 3D ist.
Diese Antwort kann es nicht geben, weil "die Natur" eben gerade
keine "Realisierung" irgendeiner Mathematik (oder sonstigen Idee)
ist, sondern apriori existiert, und Ideen (die es seltsamerweise
hienieden gibt) diese "Vorgegebenheit" nicht ("mehr") �ndern kann,
weil also alles was jemals gedacht werden kann und k�nnte "nur"
"selbst" Teil der Natur (des Universums, der Allmenge) ist.
Just Pronto
> Eine 4D-Hyperkugelfl�che hat also keine Symmetrieachse?
Doch, aber das auch "bereits" im Dreidimensionalen.
Vogel
> Vogel schrieb:
>
>> Im 5D gibt es also auch eine Drehung mit einem 3D-Eigenraum.
>> Es gibt also einen 3D-Unterraum der invariant gegen�ber der Drehung
>> ist. Es bleibt also nur noch ein B�ndel von 2D Ebenen �brig, welches
>> die Drehung vollf�hrt.
>> Da kann es aber doch eine momentane Drehachse geben.
>
> Ja ... aber du hast den Begriff der Achse ja schon selbst
> generalisiert, als Teilraum, der invariant bez�glich der
> Rotationsmatrix ist.
>
Was hiesst da ich. Das ist nun mal so bei einer Drehung, ob man das als
generalisiert sehen will oder nicht, ist wohl die freie Wahl der Sicht
auf die Dinge.
>
>> K�nnte man sich das irgendwie intuitiv vorstellen?
>> Drehmomente, Tr�gheitsmomente?
>
> Eine im R^2 rotierende Kreisscheibe kann im R^3 trudeln, aber(!)
> nein, die Matehematik kennt zur Zeit wohl noch keine energetischen
> Erhaltungss�tze, die �ber die "�blichen" Konzepte der Gleichheit,
> �hnlichkeit und Symmetrie hinausgehen ;)
>
Drehmomente und insbesondere Tr�gheitsmomente kann man auch als
mathematische Begriffe auffassen.
>
Ich versuchte mir irgendwie vorzustellen was der Unterschied zwischen
einer 1D-Dreachse und einer 3D-Drehachse, bzw. Drehung ist.
>
Andererseits ist es aber auch so, dass man den Begriff der Drehung
in n-Dim R�umen erweitern k�nnte.
>
Ganz allgemein, w�re die Drehung in einem n-Dim Raum eine Operation
(Transformation), die den Abstand zwischen den Punkten eines k-Dim
Unterraumes(im 3D z.Bsp. eine Zylinderfl�che) zu einem m-Dim Unterraum(im
3D z.Bsp. ein Punkt oder eine Gerade) konstant l�sst, mit m<k<n.
Die Drehache w�re nat�rlich ein Eigenunteraum der Operationsmatrix, bzw.
des Operators.
Just Pronto
> Just Pronto <m...@privacy.invalid> wrote in
> news:rntphi0hpfzl$.4meyt8bb...@40tude.net:
>
>> Vogel schrieb:
>>
>>> Im 5D gibt es also auch eine Drehung mit einem 3D-Eigenraum.
>>> Es gibt also einen 3D-Unterraum der invariant gegen�ber der Drehung
>>> ist. Es bleibt also nur noch ein B�ndel von 2D Ebenen �brig, welches
>>> die Drehung vollf�hrt.
>>> Da kann es aber doch eine momentane Drehachse geben.
>>
>> Ja ... aber du hast den Begriff der Achse ja schon selbst
>> generalisiert, als Teilraum, der invariant bez�glich der
>> Rotationsmatrix ist.
>>
> Was hiesst da ich. Das ist nun mal so bei einer Drehung, ob man das als
> generalisiert sehen will oder nicht, ist wohl die freie Wahl der Sicht
> auf die Dinge.
Unterschied war hier, ob man "Achse" als invarianten Teilraum
h�chstm�glicher Dimensionalit�t <d oder kleinstm�glicher
Dimensionalit�t unterstellt, du hast im Gegensatz zum Rest der
(hiesig betroffenen) Welt offenbar immer an "starrestm�gliche"
Achsen gedacht.
>>> K�nnte man sich das irgendwie intuitiv vorstellen?
>>> Drehmomente, Tr�gheitsmomente?
>>
>> Eine im R^2 rotierende Kreisscheibe kann im R^3 trudeln, aber(!)
>> nein, die Matehematik kennt zur Zeit wohl noch keine energetischen
>> Erhaltungss�tze, die �ber die "�blichen" Konzepte der Gleichheit,
>> �hnlichkeit und Symmetrie hinausgehen ;)
>>
> Drehmomente und insbesondere Tr�gheitsmomente kann man auch als
> mathematische Begriffe auffassen.
Mit dem Unterschied, da� diese auch ganz ohne (m�gliche) Mathematik
existent sind.
> Ich versuchte mir irgendwie vorzustellen was der Unterschied zwischen
> einer 1D-Dreachse und einer 3D-Drehachse, bzw. Drehung ist.
Klar, das letztere ist der unter Rotation gr��tm�gliche invariante
Teilraum, das andere nicht.
> Andererseits ist es aber auch so, dass man den Begriff der Drehung
> in n-Dim R�umen erweitern k�nnte.
Falsch, denn wir gingen immer von der n-Rotationsmatrix im nd-Raum aus.
> Ganz allgemein, w�re die Drehung in einem n-Dim Raum eine Operation
> (Transformation), die den Abstand zwischen den Punkten eines k-Dim
> Unterraumes(im 3D z.Bsp. eine Zylinderfl�che) zu einem m-Dim Unterraum(im
> 3D z.Bsp. ein Punkt oder eine Gerade) konstant l�sst, mit m<k<n.
> Die Drehache w�re nat�rlich ein Eigenunteraum der Operationsmatrix, bzw.
> des Operators.
Weshalb bleibst du nicht bei der bereits von dir �bernommenen Definition:
Rotation ist eine Operation, die bestimmte Teilr�ume invariant l��t.
Vogel
>> Eigentlich bin ich zu dieser Fragestellung gekommen, auf der Suche
>> nach einer Antwort, warum unser Raum 3D ist.
>
> Diese Antwort kann es nicht geben,...
>
Es gibt aber Wissenschaftler weltweit, die nach dieser Antwort suchen.
Man hat es auf vielf�ltigem Wege versucht, sowohl physikalisch in den
Eigenschaften der Materie, als auch mathematisch.
(da hat einer sogar halbe Dimensionen erfunden)
>
> ... weil "die Natur" eben gerade
> keine "Realisierung" irgendeiner Mathematik (oder sonstigen Idee)
> ist, sondern apriori existiert,...
>
Da gibt es keinen Widerspruch zwischen Mathematik und Natur, denn
Mathematik hat immer auch Rahmenbedingungen in denen sie stattfindet.
Eine von Gott gegebene Mathematik gibt es nicht.
>
Ein physikalischer K�rper ist eine Punktmenge mit Topologie, also eine
Manigfaltigkeit. Das ist z.Bsp. eine Vorgabe aus der Natur. Daf�r gibt es
Gr�nde, (z.Bsp. Exklusionsprinzip von Pauli, u.a.)
Jeder Punkt kann in seiner Bewegung nur eine Kurve beschreiben, egal in
welchem n-Dim Raum. Jeder Punkt kann also einen Kreis beschreiben, was
einer Drehung des Ortsvektors entspricht, also eine mathematische
Transformation mit einer Rotationsmatrix, welcher bijektiv eindeutig
umkehrbar eine Drehachse zugeordnet werden kann.
>
H�herdimensionale R�ume sind eine Selbst�berlagerung des 2D, wobei wegen
der Kontinuit�t im Raum jeweils eine Dimension aus zwei 2D, identisch
gekoppelt sein muss, sonst bilden sie disjunkte R�ume.
Die Kontinuit�t dr�ckt sich dadurch aus, dass die Bewegungskurve eines
Punktes durch jeden bliebigen Punkt eines Raumes hindurchgehen k�nnen
muss.
Es zeigt sich so, dass die 4. und jede weitere Dimensionen mit einer
Dimension aus einem 2D �berlagert sein muss und so keine eigenst�ndige
Dimension darstellt.
>
> und Ideen (die es seltsamerweise
> hienieden gibt) diese "Vorgegebenheit" nicht ("mehr") �ndern kann,
> weil also alles was jemals gedacht werden kann und k�nnte "nur"
> "selbst" Teil der Natur (des Universums, der Allmenge) ist.
>
Solche philosophische Gedanken plagen mich nicht.
Vogel
>> einer 1D-Drehachse und einer 3D-Drehachse, bzw. Drehung ist.
>
> Klar, das letztere ist der unter Rotation gr��tm�gliche invariante
> Teilraum, das andere nicht.
>
Schon klar, aber beide existieren gleichzeitig.
In einem 5D mit einer 3D-Drehachse findet wohl die Drehung=Kreisbewegung
eines Punktes, im verbleibenden 2D-Unteraum=Ebene statt.
>
>> Andererseits ist es aber auch so, dass man den Begriff der Drehung
>> in n-Dim R�umen erweitern k�nnte.
>
> Falsch, denn wir gingen immer von der n-Rotationsmatrix im nd-Raum
> aus.
>
Klaro.
War ein neuer Gedanke meinerseits.
>
>> Ganz allgemein, w�re die Drehung in einem n-Dim Raum eine Operation
>> (Transformation), die den Abstand zwischen den Punkten eines k-Dim
>> Unterraumes(im 3D z.Bsp. eine Zylinderfl�che) zu einem m-Dim
>> Unterraum(im 3D z.Bsp. ein Punkt oder eine Gerade) konstant l�sst,
>> mit m<k<n. Die Drehache w�re nat�rlich ein Eigenunteraum der
>> Operationsmatrix, bzw. des Operators.
>
> Weshalb bleibst du nicht bei der bereits von dir �bernommenen
> Definition: Rotation ist eine Operation, die bestimmte Teilr�ume
> invariant l��t.
>
Dabei bin ich ja geblieben. Ich habe da lediglich den Begriff der
Rotation auf mehrere Dimensionen erweitert.
War nur ein neuer Gedanke in der Diskussion.
Vogel
$.x7y6c4vi...@40tude.net:
> Vogel schrieb:
>
>> Eine 4D-Hyperkugelfl�che hat also keine Symmetrieachse?
>
> Doch, aber das auch "bereits" im Dreidimensionalen.
>
Nehmen wir mal den Hyperkreis:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
Diesen translatieren wir nun entlang der 4. Dimension.
Dann haben wir doch eine Hyperzylinderfl�che mit einer 1D-Drehachse im 4D.
Oder irre ich da?
Just Pronto
>>> Ich versuchte mir irgendwie vorzustellen was der Unterschied zwischen
>>> einer 1D-Drehachse und einer 3D-Drehachse, bzw. Drehung ist.
>>
>> Klar, das letztere ist der unter Rotation gr��tm�gliche invariante
>> Teilraum, das andere nicht.
>>
> Schon klar, aber beide existieren gleichzeitig.
Du meinst sicherlich, da� alle Rotationsachsen in der gr��tm�glichen
_enthalten_ sind, es sind alles Teilr�ume der n�chst "gr��eren" Achse.
>> Weshalb bleibst du nicht bei der bereits von dir �bernommenen
>> Definition: Rotation ist eine Operation, die bestimmte Teilr�ume
>> invariant l��t.
>>
> Dabei bin ich ja geblieben.
Aber wie kannst du dann den folgenden Satz bringen!
> Ich habe da lediglich den Begriff der
> Rotation auf mehrere Dimensionen erweitert.
Das machen die z.B. Stringtheoretiker schon lange und in der SUSY
werden z.B. schon immer sogar Fermionen und Bosonen ineinander rotiert.
Kein Mensch sonst kam jemals auf die Idee, da� Rotation auf weniger
als mehrere Dimensionen beschr�nkt sein k�nnte.
> War nur ein neuer Gedanke in der Diskussion.
Dieser Gedanke war von deinen Gespr�chsteilnehmern als Voraussetzung
immer unterstellt, so wie in der Mathe "�blich". Wie kommst du denn
darauf, da� andere Leute selbst noch nicht auf die Idee gekommen
seien, z.B. Hyperkugeln rotieren zu lassen und wir m�ssen sogar die
Feststellung machen, da� z.B. u.a. die ganze Topologie ohne deine
Mithilfe erfunden wurde.
Just Pronto
> Nehmen wir mal den Hyperkreis:
> x^2 + y^2 + z^2 = r^2
> Diesen translatieren wir nun entlang der 4. Dimension.
Schreib einfach mal die Gleichung(en) des resultierenden Objektes
hin, dann k�nnen die Mathematiker besser erkennen, was du meinst.
Just Pronto
> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> wrote in
> news:4A4CB069...@univie.ac.at:
>
>>
>> Die Achse ist der Raum der Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
>> Dieser Raum kann immer dann 1-dimensional sein, wenn N ungerade ist.
>>
>> Drehungen haben Eigentwerte +-1 und Determinante 1, also ist die
>> Dimension des Eigenraums zu -1 gerade, und die des Eigenraums zu 1
>> kongruent zu N modulo 2. In geraden Dimensionen N (also z.B. in der
>> Ebene, d.h. f"ur N=2) gibt es also keine Drehungen mit einer
>> Drehachse.
>>
> Eine 4D-Hyperkugelfl�che hat also keine Symmetrieachse?
"Sie hat" einen 2d-Unterraum, den sie bei Rotation invariant l��t, s.B.
rotierende Hyperw�rfel, die sich leichter zeichnen lassen als Kugeln:
http://demonstrations.wolfram.com/RotatingAHypercube/
Selbstverst�ndlich enth�lt dieser invariant belassene Teilraum,
auch weitere invariant verbleibende Unterr�ume, d.h. Fl�chen,
Geraden und Punkte und in diesem Sinne kann die Hyperkugel auch
um eine Gerade (Achse) rotieren - sie kann aber nicht um diese
Gerade rotieren und _ausschlie�lich_ diese Gerade invariant lassen...
Just Pronto
> Gibt es da im 4D-Minkowskiraum nicht auch Drehungen mit einer 1D-Achse?
Hierbei ist das orthogonale Komplement wichtig:
http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement
Dieser Begriff hilft ebenfalls beim Verst�ndnis weshalb geradzahlig
dimensionale R�ume generell andere Rotationshyperachsen haben als
nichtgeradzahlig dimensionale.
Dieses Spacetime wheel ist "ziemlich interessant":
http://casa.colorado.edu/~ajsh/sr/wheel.html
Vogel
$.swmron7g...@40tude.net:
> Vogel schrieb:
>
>>>> Ich versuchte mir irgendwie vorzustellen was der
>>>> Unterschied zwischen
>>>> einer 1D-Drehachse und einer 3D-Drehachse, bzw. Drehung ist.
>>>
>>> Klar, das letztere ist der unter Rotation gr��tm�gliche invariante
>>> Teilraum, das andere nicht.
>>>
>> Schon klar, aber beide existieren gleichzeitig.
>
> Du meinst sicherlich, da� alle Rotationsachsen in der gr��tm�glichen
> _enthalten_ sind, es sind alles Teilr�ume der n�chst "gr��eren" Achse.
>
Das ist in dann mit innbegriffen.
>
>>> Weshalb bleibst du nicht bei der bereits von dir �bernommenen
>>> Definition: Rotation ist eine Operation, die bestimmte Teilr�ume
>>> invariant l��t.
>>>
>> Dabei bin ich ja geblieben.
>
> Aber wie kannst du dann den folgenden Satz bringen!
>
>> Ich habe da lediglich den Begriff der
>> Rotation auf mehrere Dimensionen erweitert.
>
Es erschliesst sich mir nicht, wo du da einen Widerspruch siehst.
Du meinst meine obige Aussage sei bereits in der von dir erw�hnten
Definition eingeschlossen?
>
> Das machen die z.B. Stringtheoretiker schon lange und in der SUSY
> werden z.B. schon immer sogar Fermionen und Bosonen ineinander rotiert.
>
> Kein Mensch sonst kam jemals auf die Idee, da� Rotation auf weniger
> als mehrere Dimensionen beschr�nkt sein k�nnte.
>
Da hast du mich offenbar missverstanden.
Du meinst Rotation sei nur _in_ mehreren Dimensionen m�glich, klar.
Ich meinte aber, die Dimensionen der Rotation selber, als die Dimension
jenes Raumes der bei der Rotation nicht invariant bleibt.
>
>> War nur ein neuer Gedanke in der Diskussion.
>
> Dieser Gedanke war von deinen Gespr�chsteilnehmern als Voraussetzung
> immer unterstellt, so wie in der Mathe "�blich". Wie kommst du denn
> darauf, da� andere Leute selbst noch nicht auf die Idee gekommen
> seien, z.B. Hyperkugeln rotieren zu lassen und wir m�ssen sogar die
> Feststellung machen, da� z.B. u.a. die ganze Topologie ohne deine
> Mithilfe erfunden wurde.
>
Nur weil ich davon sprach, unterstelle ich doch nicht, dass andere noch
nicht auf diesen Gedanken gekommen sind. Ich habe der Diskussion
schlichtweg ihren Lauf gelassen.
Arnold Neumaier
Sie hat aber viele Sym metriefl"achen.
Arnold Neumaier
Hatte mich verschrieben. Drehungen haben Determinante 1 (das Produkt
aller Eigenwerte) und Eigenwerte lambda vom Betrag 1.
>>
> Ok, einleuchtend. Bei einer Drehung ist die Skalierung gleich 1.
> +/- ist die links/rechts Konvention?
Nein. Im R^2 haben alle Drehungen ausser der um 0 oder 180 Grad zwei
konjugiert komplexe Eigenwerten. DieDrehung um 0 Grad ist die
Identit"at und hat zwei Eigenwerte +1, und die Drehung um 180 Grad
hat zwei Eigenwerte -1.
>> also ist die
>> Dimension des Eigenraums zu -1 gerade, und die des Eigenraums zu 1
>> kongruent zu N modulo 2.
Das gilt trotz der obigen Schlamperei immer noch.
> Da kommt man wie drauf?
Mit lambda ist auch lambda^* (das konjugiert Komplexe) ein
Eigenwert. Weil das f"ur nichtreelle lambda von lambda verschieden ist,
treten alle nichtreelllen Eigenwerte paarweise auf und liefern den
Beitrag lambda*lambda^*=|lambda|^2=1 zur Determinante. Daher ist das
Produkt der rellen Eigenwerte immer noch gleich 1. Daher hat der
Eigenwert -1 gerade Vielfachheit (evtl. Null). Es gibt also eine
gerade Zahl von Eigenwerten ungleich 1. Da die Gesamtzahl der Eigenwerte
gleich der Dimension N ist, folgt, dass Vielfachheit von 1 kongruent zu
N modulo 2 ist.
>> In geraden Dimensionen N (also z.B. in der
>> Ebene, d.h. f"ur N=2) gibt es also keine Drehungen mit einer
>> Drehachse.
>>
> Gibt es da im 4D-Minkowskiraum nicht auch Drehungen mit einer 1D-Achse?
Im Minkowskiraum gibt es keine nat"urlichen Drehungen, da es keine
nat"urliche euklidische Metrik gibt.
Die euklidische Metrik gibt es nur im Raum eines Beobachters, also
in dem 3-dimensionalen Raum senkrecht zu seinem 4-Impuls.
Dieser Raum ist f"ur verschiedene Beobachter aber verschieden
(f"ur uns allerdings ann"ahernd gleich).
>> F"ur N=3 hat jede nichttriviale Drehung einen 1D Eigenraum zu 1,
>> da dessen Dimension 1 oder 3 sein muss, und drei Eigenwerte 1 bei
>> einer normalen Matrix (und orthogonale Matrizen sind normal)
>> nur bei der Identit"at vorkommen.
>>
>> F"ur N=5 hat jede nichttriviale Drehung einen 1D oder 3D Eigenraum
>> zu 1, und beides kommt vor. Es gibt also Drehungen im 5-dimensionalen
>> raum, die eine Drehachse habe, und solche, die keine haben.
>>
> Im 5D gibt es also auch eine Drehung mit einem 3D-Eigenraum.
> Es gibt also einen 3D-Unterraum der invariant gegen�ber der Drehung ist.
Ja.
> Es bleibt also nur noch ein B�ndel von 2D Ebenen �brig, welches die Drehung
> vollf�hrt.
Nein. Der gesamte 5D-Raum mit Ausnahme des 3D-Eigenraums vollf"uhrt die
Drehung. So wie bei einer Drehung in 3D der gesamte 3D-Raum mit Ausnahme
der Drehachse gedreht wird.
> Da kann es aber doch eine momentane Drehachse geben.
Wie sollte die denn definiert sein?
Vorstellen kann man sich vieles, aber nur das, was matheamtisch
wohldefiniert ist, ist in diesem Zusammenhang n"utzlich.
Arnold Neumaier
Vogel
$.d...@40tude.net:
Koordinaten: x,y,z,w
>
Hyperzylinder in 4D
x^2 + y^2 + z^2 = r^2 (Hyperkreis)
w = lambda (freier Parameter)
>
Hyperkugel in 4D
x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = r^2
>
Beides sind Rotationsk�rper und beide m�ssten daher jeweils eine
Symetrieachse haben .
Just Pronto
> Koordinaten: x,y,z,w
>>
> Hyperzylinder in 4D
> x^2 + y^2 + z^2 = r^2 (Hyperkreis)
> w = lambda (freier Parameter)
>>
> Hyperkugel in 4D
> x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = r^2
>>
> Beides sind Rotationsk�rper und beide m�ssten daher jeweils eine
> Symetrieachse haben .
Just Pronto
> Koordinaten: x,y,z,w
>>
> Hyperzylinder in 4D
> x^2 + y^2 + z^2 = r^2 (Hyperkreis)
> w = lambda (freier Parameter)
>>
> Hyperkugel in 4D
> x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = r^2
>>
> Beides sind Rotationsk�rper und beide m�ssten daher jeweils eine
> Symetrieachse haben .
http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercube#n-cube_rotation
Diese Hyperachse ist eine Ebene und man kann im Bild die nicht
betroffene Ebene, um die sich alles "dreht" sehr deutlich sehen
(ihre Normale zeigt nach leicht vorn oben).
Vogel
$.d...@40tude.net:
> Vogel schrieb:
>
>> Koordinaten: x,y,z,w
>>>
>> Hyperzylinder in 4D
>> x^2 + y^2 + z^2 = r^2 (Hyperkreis)
>> w = lambda (freier Parameter)
>>>
>> Hyperkugel in 4D
>> x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = r^2
>>>
>> Beides sind Rotationsk�ｿｽrper und beide m�ｿｽssten daher jeweils eine
>> Symetrieachse haben .
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercube#n-cube_rotation
>
> Diese Hyperachse ist eine Ebene und man kann im Bild die nicht
> betroffene Ebene, um die sich alles "dreht" sehr deutlich sehen
> (ihre Normale zeigt nach leicht vorn oben).
>
Kann ich jetzt optisch so nicht sehen, aber ich weiss schon was du meinst.
In diesem Sinne meinte ich die Erweiterung des Begriffes "Rotation".
Shit da sind mir andere schon zuvorgekommen ;-)
>
F�ｿｽr mich dreht sich der Kubus um eine 1D-Achse(von links unten nach rechts
oben vorn gehend) und w�ｿｽlzt sich in sich ab. So sieht es zumindest im 3D
aus.
>
Es gibt wohl eine algebraische Sicht der Rotation und eine geometrische.
Mir scheint diese beiden Sichten sind nicht in jedem Fall identisch.
>
"Objects in 4 dimensions can also rotate independently in these two
leftover dimensions, resulting in a composite rotation composed of two
plane rotations at two independent rates of rotation."
>
>
"can also rotate independently in these two leftover dimensions"
Ja, can, aber muss nicht.
>
Rein mathematisch mag das gehen. Aber von physikalischen "objects" kann da
nicht die Rede sein. Diese m�ｿｽssten aus disjunkten Bereichen bestehen und
w�ｿｽren so kein _ein_ physikalisches "object" mehr.
Genau aus diesem Grund kann es physikalisch nur n</= 3 geben.
>
"These composite rotations have a stationary point, just as in 2
dimensions. Hence, rotation in 4 dimensions are identified by a center of
rotation, and two rates of rotation (planar rotation being a special case
where one of the rates is zero)."
>
"These composite rotations have a stationary point"
Ja ok, die kombinerte Drehung kann nur um einen Punkt erfolgen.
Aber die Einzeldrehung kann doch sehr wohl um eine Achse erfolgen.
>
Es gibt also auch im 4D m�ｿｽglich Drehungen um eine 1D-Achse, zumindest aus
geometrischer Sicht. Aus algebraischer Sicht ist das nicht m�ｿｽglich. Da sehe
ich einen Widerspruch.
Just Pronto
> F�r mich dreht sich der Kubus um eine 1D-Achse(von links unten nach rechts
> oben vorn gehend) und w�lzt sich in sich ab. So sieht es zumindest im 3D
> aus.
Mannoman, das ist doch eine Projektion eines 4-Kubus in den R^3 und
dessen Rotation geht nat�rlich nicht ohne scheinbare Selbstdurchdringung.
Vogel
Klaro.
>
Sie hat auch eine Symmetrieachse, da es Kugelkoordinaten in 4D gibt.
http://e-collection.ethbib.ethz.ch/eserv/eth:25629/eth-25629-07.pdf
Arnold Neumaier
> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> wrote in
> news:4A51B39D...@univie.ac.at:
>
>> Vogel schrieb:
>>> Arnold Neumaier <Arnold....@univie.ac.at> wrote in
>>> news:4A4CB069...@univie.ac.at:
>>>
>>>> Die Achse ist der Raum der Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
>>>> Dieser Raum kann immer dann 1-dimensional sein, wenn N ungerade ist.
>>>>
>>>> Drehungen haben Eigentwerte +-1 und Determinante 1, also ist die
>>>> Dimension des Eigenraums zu -1 gerade, und die des Eigenraums zu 1
>>>> kongruent zu N modulo 2. In geraden Dimensionen N (also z.B. in der
>>>> Ebene, d.h. f"ur N=2) gibt es also keine Drehungen mit einer
>>>> Drehachse.
>>>>
>>> Eine 4D-Hyperkugelfl�che hat also keine Symmetrieachse?
>>> Will mir nicht so ganz einleuchten, obwohl ich deine obige
>>> Argumentation nicht falsch finde.
>> Sie hat aber viele Sym metriefl"achen.
>>
> Klaro.
> Sie hat auch eine Symmetrieachse, da es Kugelkoordinaten in 4D gibt.
> http://e-collection.ethbib.ethz.ch/eserv/eth:25629/eth-25629-07.pdf
$D Kugelkoordinaten sind achsenunabh"angig; sie brauchen nur ein Zentrum.
Arnold Neumaier
Vogel
Das stimmt so nicht.
(siehe meinen Thread zu Kugelkoordinaten im mehrdimensionalen R�umen)
Nichtdestotrotz ist die Angabe im angegeben Link falsch.
Nichtestotrotz ist es auch aus geometrischer Sicht so, wie du es
algebraisch erkl�rt hast.
>
Nach wie vor war ich auf der Suche nach einer �bereinstimmung der
algebraischen(richtigen) Sichtweise und einer geometrischen Sichtweise.
Diese ist mir nun klar geworden.
In einem ungeraden (2k+1)-Dim Raum gibt es immer eine Richtung die normal
ist zu den verbliebenen "k" 2D-Ebenen, so dass der Raum als ganzes eine
Drehung um die ausgew�hlte Richtung vollf�hren kann.
In einem geraden 2k-Dim Raum bleiben nach der Auswahl einer Richtung als
1D-Drehachse noch 2(k-1) 2D-Ebenen und eine 1D-Richtung, normal zu dieser
Richtung. Es fehlt daher in einem 2k-Dim Raum ein Freiheitsgrad damit der
Raum als ganzes eine Drehung vollf�hren kann.
Die eine verwaiste Dimension blockiert die Drehung.
>
Dass es Unter�ume als Hyperachsen gibt, ist schon klar.
Ich meinte mit Drehachse aber nur einen 1D-Unterraum.
Klar ist auch, dass die Dimension solcher Hyperdrehachsen immer ungerade
sein muss damit eine Drehung m�glich ist.
In einem 11-Dim Raum gibt es also rein mathematisch nur
1,3,5,7,9-Dim Unterr�ume die als Hyperdrehachsen dienen k�nnen.
Es gibt keine geradedimensionale Hyperdrehachsen.
Physikalisch ist nur die Drehung um den 9-dim Unterraum.
>
Das hat aber auch Folgen f�r die Angabe von Kugelkoordinaten in
h�herdimensionalen R�umen.
Just Pronto
> Es fehlt daher in einem 2k-Dim Raum ein Freiheitsgrad damit der
> Raum als ganzes eine Drehung vollf�hren kann.
Jede Ebene l��t sich um jeden ihrer Punkte rotieren.
Vogel
$.19ejz34b...@40tude.net:
Ja schon. Und was soll man jetzt daraus schlussfolgern?
Ich sprach vom "Raum als ganzes".
Nicht nur jede Ebene sondern jeder 2k-dim Unterraum eines (2k+1)-dim
Raumes, kann sich um jeden Punkt einer jeden Ebene des (2k+1)-dim Raumes
drehen.
>
Nimmt man jedoch noch eine weitere Dimension hinzu, zu einem
(2k+1)-dim Raum, so fixiert diese den Raum gegen�ber Drehungen. Die
Hinzunhame einer weiteren Dimension erlaubt dann wieder Drehungen.
Just Pronto
>>> Es fehlt daher in einem 2k-Dim Raum ein Freiheitsgrad damit der
>>> Raum als ganzes eine Drehung vollf�hren kann.
>>
>> Jede Ebene l��t sich um jeden ihrer Punkte rotieren.
>>
> Ja schon. Und was soll man jetzt daraus schlussfolgern?
Da� dein obiger bereits bei d=2 Humbug ist.
Vogel
$.1uro3fdg...@40tude.net:
Da hast du mich missverstanden.
Ich sprach im Kontext von Drehungen um eine Drehachse, nicht von
Drehungen um einen Punkt.
Es fehlt daher in einem 2k-Dim Raum ein Freiheitsgrad damit der
Raum als ganzes eine Drehung _um eine Drehachse_ vollf�hren kann.
>
Zitat:
In einem geraden 2k-Dim Raum bleiben nach der Auswahl einer Richtung als
1D-Drehachse noch 2(k-1) 2D-Ebenen und eine 1D-Richtung, normal zu dieser
Richtung. Es fehlt daher in einem 2k-Dim Raum ein Freiheitsgrad damit der
Raum als ganzes eine Drehung vollf�hren kann.
Die eine verwaiste Dimension blockiert die Drehung.
>
--
Selber denken macht klug.
Just Pronto
Schreib doch nicht immer dieses Zeugs mit hin,
wenn das alles interessant werden soll:
> Just Pronto <m...@privacy.invalid> wrote in news:1d0sojb9f0sie
> $.1uro3fdg...@40tude.net:
Was soll der Scheiss.
>> Da� dein obiger bereits bei d=2 Humbug ist.
>>
> Da hast du mich missverstanden.
Eher nicht/no/niente/.../++{super}/...
Siehst du diese Grammatikk.
> Ich sprach im Kontext von Drehungen um eine Drehachse, nicht von
> Drehungen um einen Punkt.
Auch ein Punkt kann eine HyperAchse sein, das ist �brigens der
Begriff, den du, Vogel, ganz pers�nlich nachvolliehbar, erfunden
haben: herzlichen Dank!
> Es fehlt daher in einem 2k-Dim Raum ein Freiheitsgrad damit der
> Raum als ganzes eine Drehung _um eine Drehachse_ vollf�hren kann.
>>
> Zitat:
> In einem geraden 2k-Dim Raum bleiben nach der Auswahl einer Richtung als
> 1D-Drehachse noch 2(k-1) 2D-Ebenen und eine 1D-Richtung, normal zu dieser
> Richtung. Es fehlt daher in einem 2k-Dim Raum ein Freiheitsgrad damit der
> Raum als ganzes eine Drehung vollf�hren kann.
> Die eine verwaiste Dimension blockiert die Drehung.
>>
Hast du bereits erigiert?
mars3009
> Michael schrieb:
>
> > On 30 Jun., 12:45, Vogel <vo...@hotmail.com> wrote:
> >> Drehachse.
> >> Der mathemnatische Beweis läuft wohl dahinaus, dass die Kombination von
> >> Drehungen eine lineare Operation ist, in dem Sinne das jede beliebige
> >> Kombination nur einen Endwert liefert.
> >> D1 x D2 x...x Dn -> V
>
> >> Wie ist das im N-Dim Raum?
>
> >> Ich vermute, dass es das gleiche ist, da der Beweis nicht
>
> > Gab's da nicht einen mathematischen Haken mit dem Kreuzprodukt?
>
> Ja, selbstverständlich ist Drehung um Achsen in Räumen mit Dimension >3
> eine offenbar unsinnige Idee. Die "Achse" ist der Raum der
> Eigenvektoren einer Drehung.
>
> --
>
> Roland Franzius
Wenn wir die Augen aufmachen, dann sehen wir 2D !
NUR IN UNSERER PHANTASIE sehen wir 3D, das gilt auch für
Nichtphysiker.
Ein Quadrat hat 4 Seiten.
Ein Würfel 6 Seitenflächen.
Ein 4D Würfel 8 Seitenwürfel - und 16 Seitenflächen !!!!
Vogel sagt zurecht :
WEIL DIE DIAGONALE IM 4D WÜRFEL EINE NATÜRLICHE ZAHL IST; DARUM
nehmen wir MEIST eine 3D Umgebung wahr !