Pendel mit bewegtem Aufhängepunkt
Alexander Streltsov
ist phi, die Länge l, die Koordinate des Aufhängepunktes ist (a(t), 0), der
Aufhängepunkt kann sich also auf der x-Achse bewegen.
Nun ist die Bewegungsgleichung für a = Ct^2 verlangt (C=const).
Mit Lagrange komme ich auf folgende Bewegungsgleichungen:
ä = l*(d phi/dt)^2 * sin(phi) - l d^2 phi/dt^2 * cos(phi);
ä*cos(phi) + g*sin(phi) + l*d^2 phi/dt^2 = 0.
Nun kann ich ja ä eleminieren, könnte aber dann die Bedingung für a nicht
ausnutzen, was mich bereits stutzig macht.
Also eleminiere ich d^2 phi/dt^2, nähere cos(phi) = 1, sin(phi) = phi und
komme nach ausnutzen von phi(0) = phi_0, d phi/dt (0) = 0 auf folgende
Gleichung:
phi(t) = sqrt(-l*g) * t / l + phi_0.
Ich bekomme also für t>0 stets imaginäre Zahlen.
Wenn ich aber das ä eleminiere, bekomme ich eine etwas andere Gleichung:
phi(t) = sqrt(-l*(g*t^2 - phi_0^2*l)) /l.
Ich bekomme also ebenfalls imaginäre Zahlen.
Wie lautet nun die richtige Bewegungsgleichung?
mfg
Alex
Hendrik van Hees
> Ein mathematisches Pendel soll nur in x-y Ebene schwingen. Der
> Auslenkwinkel ist phi, die Länge l, die Koordinate des Aufhängepunktes
> ist (a(t), 0), der Aufhängepunkt kann sich also auf der x-Achse
> bewegen.
>
> Nun ist die Bewegungsgleichung für a = Ct^2 verlangt (C=const).
> Mit Lagrange komme ich auf folgende Bewegungsgleichungen:
> ä = l*(d phi/dt)^2 * sin(phi) - l d^2 phi/dt^2 * cos(phi);
> ä*cos(phi) + g*sin(phi) + l*d^2 phi/dt^2 = 0.
> Nun kann ich ja ä eleminieren, könnte aber dann die Bedingung für a
> nicht ausnutzen, was mich bereits stutzig macht.
Wieso willst Du denn ä eliminieren? Das ist doch vorgegeben, i.e., der
Aufhängungspunkt wird irgendwie willkürlich bewegt. Du willst phi(t)
haben, mußt also die DGL (ich habe nicht geprüft, ob sie richtig ist,
sieht aber plausibel aus).
> Also eleminiere ich d^2 phi/dt^2, nähere cos(phi) = 1, sin(phi) = phi
> und komme nach ausnutzen von phi(0) = phi_0, d phi/dt (0) = 0 auf
> folgende Gleichung:
> phi(t) = sqrt(-l*g) * t / l + phi_0.
> Ich bekomme also für t>0 stets imaginäre Zahlen.
Es will mir nicht einleuchten, wie Du darauf kommst. Wie "eliminierst"
Du \d_t^2 phi?
>
> Wenn ich aber das ä eleminiere, bekomme ich eine etwas andere
> Gleichung: phi(t) = sqrt(-l*(g*t^2 - phi_0^2*l)) /l.
> Ich bekomme also ebenfalls imaginäre Zahlen.
> Wie lautet nun die richtige Bewegungsgleichung?
Wie gesagt, die Bewegungsgleichung sieht gut aus. Du mußt halt bloß die
DGL lösen, was i.a. nicht geschlossen gehen wird.
--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/ mailto:he...@comp.tamu.edu
Alfred Flaßhaar
"Alexander Streltsov" <hell...@arcor.de> schrieb im
Newsbeitrag
news:42c6781f$0$22775$9b4e...@newsread2.arcor-online.net...
> Ein mathematisches Pendel soll nur in x-y Ebene schwingen.
> Der Auslenkwinkel ist phi, die Länge l, die Koordinate des
> Aufhängepunktes ist (a(t), 0), der Aufhängepunkt kann sich
> also auf der x-Achse bewegen.
>
> Nun ist die Bewegungsgleichung für a = Ct^2 verlangt
> (C=const).
> Mit Lagrange komme ich auf folgende Bewegungsgleichungen:
> ä = l*(d phi/dt)^2 * sin(phi) - l d^2 phi/dt^2 * cos(phi);
Vorstehende Gleichung ist anscheinend korrekt, wenn der
Aufhängepunkt masselos ist.
> ä*cos(phi) + g*sin(phi) + l*d^2 phi/dt^2 = 0.
^^^^? Potenz von l?
(...)
Der Punkt am Pendel _und_ der Aufhängepunkt sollten zunächst
Massen haben. Der Grenzfall, daß der Aufhängepunkt masselos
ist, ist dann später zu untersuchen. Wenn Du die kin. und pot.
Energie des jeweiligen Punktes korrekt berechnet hast, dann
ist Deine L.-Funktion für Vergleichszwecke hier interessant.
Freundliche Grüße
Alfred Flaßhaar
Alfred Flaßhaar
"Alfred Flaßhaar" <BueroFl...@t-online.de> schrieb im
Newsbeitrag news:3inpq8F...@individual.net...
>
> "Alexander Streltsov" <hell...@arcor.de> schrieb im
> Newsbeitrag
> news:42c6781f$0$22775$9b4e...@newsread2.arcor-online.net...
>> Ein mathematisches Pendel soll nur in x-y Ebene schwingen.
>> Der Auslenkwinkel ist phi, die Länge l, die Koordinate des
>> Aufhängepunktes ist (a(t), 0), der Aufhängepunkt kann sich
>> also auf der x-Achse bewegen.
>>
>> Nun ist die Bewegungsgleichung für a = Ct^2 verlangt
>> (C=const).
>> Mit Lagrange komme ich auf folgende Bewegungsgleichungen:
>> ä = l*(d phi/dt)^2 * sin(phi) - l d^2 phi/dt^2 * cos(phi);
>
> Vorstehende Gleichung ist anscheinend korrekt, wenn der
> Aufhängepunkt masselos ist.
>
>> ä*cos(phi) + g*sin(phi) + l*d^2 phi/dt^2 = 0.
> ^^^^? Potenz von l?
Nur "l" ist korrekt, ich hatte mich verrechnet.
Gruß, Alfred
Hendrik van Hees
> Der Punkt am Pendel _und_ der Aufhängepunkt sollten zunächst
> Massen haben. Der Grenzfall, daß der Aufhängepunkt masselos
> ist, ist dann später zu untersuchen. Wenn Du die kin. und pot.
> Energie des jeweiligen Punktes korrekt berechnet hast, dann
> ist Deine L.-Funktion für Vergleichszwecke hier interessant.
Das verstehe ich nicht. Der Aufhängepunkt hat doch in der Aufgabe
unendliche Masse, wenn man überhaupt eine Masse zuordnen will, denn er
wird strikt "zwangsbewegt", d.h. die Rückwirkung von Zwangskräften des
Pendels auf den Aufhängungspunkt wird vernachlässigt. So verstehe ich
jedenfalls die Aufgabenstellung.
Alfred Flaßhaar
"Hendrik van Hees" <he...@comp.tamu.edu> schrieb im Newsbeitrag
news:APSdnfez_MQ...@pghconnect.com...
> Alfred Flaßhaar wrote:
>
>> Der Punkt am Pendel _und_ der Aufhängepunkt sollten
>> zunächst
>> Massen haben. Der Grenzfall, daß der Aufhängepunkt masselos
>> ist, ist dann später zu untersuchen. Wenn Du die kin. und
>> pot.
>> Energie des jeweiligen Punktes korrekt berechnet hast, dann
>> ist Deine L.-Funktion für Vergleichszwecke hier
>> interessant.
>
> Das verstehe ich nicht. Der Aufhängepunkt hat doch in der
> Aufgabe
> unendliche Masse, wenn man überhaupt eine Masse zuordnen
> will, denn er
> wird strikt "zwangsbewegt", d.h. die Rückwirkung von
> Zwangskräften des
> Pendels auf den Aufhängungspunkt wird vernachlässigt. So
> verstehe ich
> jedenfalls die Aufgabenstellung.
Hast ja Recht. Angeregt durch die Aufgabe bin ich in uralten
Vorlesungsmitschriften und Übungsaufgaben "versackt" und beim
"Auftauchen" habe ich natürlich die gegebene Zwangsführung des
Aufhängepunktes in der aktuellen Aufgabe vergessen und die
Aufgabe wie früher allgemeiner angefaßt...
Alexanders Bewegungsgleichungen sind korrekt.
("Was bleibt, ist die Erinnerung." Frei nach Heinrich Spoerl)
Freundliche Grüße,
Alfred Flaßhaar
Alexander Streltsov
> Alexander Streltsov wrote:
>> Mit Lagrange komme ich auf folgende Bewegungsgleichungen:
>> ä = l*(d phi/dt)^2 * sin(phi) - l d^2 phi/dt^2 * cos(phi);
>> ä*cos(phi) + g*sin(phi) + l*d^2 phi/dt^2 = 0.
>> Nun kann ich ja ä eleminieren, könnte aber dann die Bedingung für a
>> nicht ausnutzen, was mich bereits stutzig macht.
>
> Wieso willst Du denn ä eliminieren? Das ist doch vorgegeben, i.e., der
> Aufhängungspunkt wird irgendwie willkürlich bewegt. Du willst phi(t)
> haben, mußt also die DGL (ich habe nicht geprüft, ob sie richtig ist,
> sieht aber plausibel aus).
Es sind eigentlich zwei verschiedene Bewegungsgleichungen, die sich aus der
Lagrangefunktion ergaben. Ich dachte kann z.b. ä oder d^2 phi/dt^2
"eliminieren" ;)
Die obere kann Maple analytisch lösen, man erhält eine exakte Formel:
phi(t) = -arcsin(1/2*(C*t^2-2*sin(phi_0)*l)/l).
phi_0 ist der Anfangswinkel.
Komischerweise kann Maple die zweite Gleichung aber nicht lösen, scheint
wohl überflüssig zu sein (?)
mfg
Alex
Hendrik van Hees
> Es sind eigentlich zwei verschiedene Bewegungsgleichungen, die sich
> aus der Lagrangefunktion ergaben. Ich dachte kann z.b. ä oder d^2
> phi/dt^2 "eliminieren" ;)
Dann kannst Du aber nicht mehr a(t)=C t^2 vorschreiben (d.h. der
Aufhängepunkt bewegt sich glm. beschleunigt), sondern mußt das
simultane Gleichungssystem lösen.
> Die obere kann Maple analytisch lösen, man erhält eine exakte Formel:
> phi(t) = -arcsin(1/2*(C*t^2-2*sin(phi_0)*l)/l).
Wie Maple darauf kommt, ist mir ein Rätsel.
> phi_0 ist der Anfangswinkel.
> Komischerweise kann Maple die zweite Gleichung aber nicht lösen,
> scheint wohl überflüssig zu sein (?)
Entweder a(t) ist zwangsweise vorgegeben. Dann setzt Du das in den
Lagrangian ein und stellst die Euler-Lagrangegleichung für phi auf, und
löst diese Bewegungsgleichung.
Oder a ist ein eigener Freiheitsgrad. Dann kannst Du es nicht mehr als
Zwangsbedingung vorschreiben, sondern mußt zwei Bewegungsgleichungen
für phi und a als Euler-Lagrangegleichungen aufstellen und das
entstehende DGL-System lösen.
Wie lautet denn die Aufgabenstellung genau?
Alexander Streltsov
> Wie lautet denn die Aufgabenstellung genau?
Originaltext:
"Gegeben sei ein ebenes mathematisches Pendel, dessen Aufhängepunkt eine von
außen vorgegebene horizontale Bewegung a(t) ausführt. Stellen Sie die
Lagrangefunktion dieses Systems in geeigneten verallgemeinerten Koordinaten
auf. Stellen Sie die Lagrangesche Bewegungsgleichung auf. Nähern Sie diese
in erster Ordnung für kleine auslenkungen aus der Vertikalen."
Also soweit ist a(t) ein Freiheitsgrad, man soll also die
Bewegungsgleichungen (komischerweise "Bewegungsgleichung" in der
Aufgabenstellung) allgemein aufstellen.
Etwas weiter unten kommt aber:
"Lösen Sie die genäherte Gleichung für a(t) = Ct^2."
Deiner Meinung nach soll ich an dieser Stelle eine neue Lagrangefkt
aufstellen. Ich habe es gemacht, die neue Bewegungsgleichung aufgestellt und
komme auf
2*C*cos(phi) + g*sin(phi) + l* phi/(dt^2).
Es ergibt sich die bereits aufgestellte Gleichung mit a als Freiheitsgrad
ä*cos(phi) + g*sin(phi) + l*phi/(dt^2) = 0
nur wurde hier ä ausgeführt.
Also muss zur Lösung des Problems offensichtlich die obere Gleichung als
Bewegungsgleichung genommen werden, und nicht die andere:
ä = l*(d phi/dt)^2 * sin(phi) - l d^2 phi/dt^2 * cos(phi).
Mein Fehler war, dass ich diese Bewegungsgleichung benutzt habe, sie hat
aber Müll geliefert, die Frage ist nur noch warum.
Es scheinen nun die richtigen Lösungen für phi(t) herauszukommen.
Ich habe es in erster Ordnung genähert und für a = Ct^2 gelöst, für alle die
es interessiert:
phi(t) = cos(1/l^(1/2)*g^(1/2)*t)*(2*C+phi_0*g)/g-2/g*C;
phi(t)/dt = -sin(1/l^(1/2)*g^(1/2)*t)/l^(1/2)/g^(1/2)*(2*C+phi_0*g).
phi(0) = phi_0, phi(0)/dt = 0.
mfg
Alex
Alexander Streltsov
"Alfred Flaßhaar" <BueroFl...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3inpq8F...@individual.net...
>
>> Mit Lagrange komme ich auf folgende Bewegungsgleichungen:
>> ä = l*(d phi/dt)^2 * sin(phi) - l d^2 phi/dt^2 * cos(phi);
>
> Vorstehende Gleichung ist anscheinend korrekt, wenn der Aufhängepunkt
> masselos ist.
Die Masse ist wie bereits gesagt unendlich, aber die Position der Aufhängung
kann sich ändern.
mfg
Alex
Hendrik van Hees
>
> "Hendrik van Hees" <he...@comp.tamu.edu> schrieb im Newsbeitrag
> news:yqydnU9S7IS...@pghconnect.com...
>
>> Wie lautet denn die Aufgabenstellung genau?
>
> Originaltext:
> "Gegeben sei ein ebenes mathematisches Pendel, dessen Aufhängepunkt
> eine von außen vorgegebene horizontale Bewegung a(t) ausführt. Stellen
> Sie die Lagrangefunktion dieses Systems in geeigneten
> verallgemeinerten Koordinaten auf. Stellen Sie die Lagrangesche
> Bewegungsgleichung auf. Nähern Sie diese in erster Ordnung für kleine
> auslenkungen aus der Vertikalen."
>
> Also soweit ist a(t) ein Freiheitsgrad, man soll also die
> Bewegungsgleichungen (komischerweise "Bewegungsgleichung" in der
> Aufgabenstellung) allgemein aufstellen.
Ist es nicht, denn da steht wörtlich, daß a(t) eine von außen
vorgegebene horizontale Bewegung ausführt.
Mario Zeller
Alexander Streltsov schrieb:
> Ein mathematisches Pendel soll nur in x-y Ebene schwingen. Der Auslenkwinkel
> ist phi, die Länge l, die Koordinate des Aufhängepunktes ist (a(t), 0), der
> Aufhängepunkt kann sich also auf der x-Achse bewegen.
Ich habe das a[t] in die Zwangsbedingung eingearbeitet:
(x - a[t])^2 + y^2 = l^2
und bin schließlich auf folgende Lagrange-Funktion gekommen:
1/2 m (a'^2 + 2a' phi' l Cos[phi] + phi'^2 l^2) - m g l Cos[phi]
Das führt mich auf die Gleichung:
g Sin[phi] - a'' Cos[phi] - phi'' l = 0
genähert also:
g phi - a'' - phi'' l = 0
Mit der Bedingung a[t] = C t^2 folgt a''[t] = 2C
Also:
g phi - phi'' l = 2C
Hier habe ich anscheinend irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht, da
die Gleichung mit einem + viel leichter zu lösen wäre (homogene +
inhomogene Lösung, auch wenn ich mir erst wieder aneignen muss, wie das
geht) und bei einem Pendel wohl auch mehr Sinn machen würde.
Mathematica liefert dann mit den Anfangsbedingungen phi[0] = phi0 und
phi'[0]=0 als Lösung:
phi[t] = (-2*Cos[(Sqrt[g]*t)/Sqrt[l]]*C + 2*C +
g*phi0*Cos[(Sqrt[g]*t)/Sqrt[l]])/g}
Für phi0 = 2C / g findet also keine Schwingung statt.
Servus,
Mario
Alexander Streltsov
"Mario Zeller" <inte...@gmx.net> schrieb im Newsbeitrag
news:3iqes8F...@news.dfncis.de...
> Hallo Alex,
>
> Alexander Streltsov schrieb:
>> Ein mathematisches Pendel soll nur in x-y Ebene schwingen. Der
>> Auslenkwinkel ist phi, die Länge l, die Koordinate des Aufhängepunktes
>> ist (a(t), 0), der Aufhängepunkt kann sich also auf der x-Achse bewegen.
>
> Ich habe das a[t] in die Zwangsbedingung eingearbeitet:
>
> (x - a[t])^2 + y^2 = l^2
>
> und bin schließlich auf folgende Lagrange-Funktion gekommen:
>
> 1/2 m (a'^2 + 2a' phi' l Cos[phi] + phi'^2 l^2) - m g l Cos[phi]
Die aufzustellen ist auch kein Prob......................^ hier ist der
Fehler, sollte plus sein, überleg warum ;)
> g Sin[phi] - a'' Cos[phi] - phi'' l = 0
Ich habe die Aufgabe inzwischen gelöst, habe aber überall plust statt minus,
hängt wohl mit dem Fehler in deinem L zusammen.
Schau mal in meinem anderen Post, da habe ich die Lösung gepostet.
mfg
Alex
Alexander Streltsov
> Ist es nicht, denn da steht wörtlich, daß a(t) eine von außen
> vorgegebene horizontale Bewegung ausführt.
Stimmt, dann ist es von Anfang an falsch, mit dem a(t) in der
Lagrangefunktion zu rechnen, man kommt sonst auf dumme Gedanken, was z.b.
Energieerhaltung angeht.
mfg
Alex