kleine Frage zum Linearisieren von Messdaten...
M.H.
Hier tauchte gestern eine kleine Brett-vorm-Kopf-(?)-Frage auf, die sich
auf das Linearisieren von Messdaten bezieht. Angenommen, man hat ein
paar Messwerte wie z.B. diese:
x y
---------------
1 5
50 4
100 3,2
150 2,6
200 2,2
250 1,7
300 1,4
Wenn man das zeichnet, wird man dahinter wahrscheinlich rel. schnell
einen exponentiell abklingenden Prozess vermuten. Nun ist ja ein
schnelles Verfahren, x gegen ln(y) aufzutragen, um zu schauen, ob dann
eine lineare Funktion auftaucht. Soweit so gut....
Kann man sich das anschaulich auch so vorstellen: Wenn ich x gegen ln(y)
auftrage, stauche/strecke ich die x-Achse gerade genau passend, so dass
aus der e-Fkt. eine Gerade wird? Und wenn das so ist: Warum klappt das
dann nicht genausogut mit der y-Achse? Also: Warum will aus den Daten
keine lineare Fkt. herauskommen, wenn ich zB exp(-x) gegen y auftrage
(also quasi die y Achse "passend gestreckt/gestaucht")?
Bei quadratischen Funktionen scheinen mir *beide* Wege zu klappen -- bei
e/ln aber nicht. Hat einer einen Tipp parat?
Marcel Müller
M.H. wrote:
> Wenn man das zeichnet, wird man dahinter wahrscheinlich rel. schnell
> einen exponentiell abklingenden Prozess vermuten. Nun ist ja ein
> schnelles Verfahren, x gegen ln(y) aufzutragen, um zu schauen, ob dann
> eine lineare Funktion auftaucht. Soweit so gut....
>
> Kann man sich das anschaulich auch so vorstellen: Wenn ich x gegen ln(y)
> auftrage, stauche/strecke ich die x-Achse gerade genau passend, so dass
> aus der e-Fkt. eine Gerade wird?
kï¿œnnte man.
> Und wenn das so ist: Warum klappt das
> dann nicht genausogut mit der y-Achse? Also: Warum will aus den Daten
> keine lineare Fkt. herauskommen, wenn ich zB exp(-x) gegen y auftrage
> (also quasi die y Achse "passend gestreckt/gestaucht")?
Das ist jetzt Mathe.
Als Deine Messdaten (oder genauer deren Erwartungswert folgt einer
allgemeinen e-Funktion:
y = y0 * exp(-x/x0)
Wenn ich jetzt transformiere:
y' = ln(y)
gibt das
y' = ln(y0) - x/x0
Das ist eine Geradengleichung in x.
Wenn ich transformiere:
x' = exp(x)
gibt das
y = y0 * exp(ln(x')/x0)
= y0 * exp(1/x0)^x'
Das ist immer noch eine Exponentialfunktion in x'. Um die passende
Transformation zu Linearisierung zu machen mï¿œsste man x0 schon kennen.
Marcel
M.H.
> Das ist immer noch eine Exponentialfunktion in x'. Um die passende
> Transformation zu Linearisierung zu machen mï¿œsste man x0 schon kennen.
Ok, aber warum klappt das z.B. bei quadratischen Funktionen dann trotzdem?
Bsp: Messwerte:
x y sqrt(y) x^2
1 2 1,41 1
2 8 2,83 4
3 18 4,24 9
4 32 5,66 16
5 50 7,07 25
6 72 8,49 36
7 98 9,9 49
8 128 11,31 64
9 162 12,73 81
Dieses Mal liefert sowohl
x./.sqrt(y) als auch y./.x^2 eine lineare Funktion, wobei aber nur die
zweite Zuordnung die richtige Steigung hat
(ursprï¿œnglicher Zusammenhang: y = 2x^2)
Hans-Bernhard Bröker
> Ok, aber warum klappt das z.B. bei quadratischen Funktionen dann trotzdem?
Weil es das nicht tut. :-)
Bei einer halbwegs allgemeinen quadratischen Funktion
y = a * (x-x0)^2 + y0
funktionieren beide Methoden nicht. Weder sqrt(y) als Funktion von x,
noch y als Funktion von x^2 ergeben eine lineare Funktion.
M.H.
Funktion.
> funktionieren beide Methoden nicht. Weder sqrt(y) als Funktion von x,
> noch y als Funktion von x^2 ergeben eine lineare Funktion.
IMHO wird die Methode auch nur (?) bei Parabeln benutzt, deren
Scheitelpunkt im Ursprung liegt, benutzt??
Allmï¿œhlich frage ich mich, wie brauchbar bzw allg. gï¿œltig das "grafische
Linearisieren" ï¿œberhaupt ist...
Joachim Pimiskern
> Allmï¿œhlich frage ich mich, wie brauchbar bzw allg. gï¿œltig
> das "grafische Linearisieren" ï¿œberhaupt ist...
Dann gibt's auch noch Eureqa.
Grￜￜe,
Joachim
DrStupid
Und vor allem stellt sich dann die Frage, warum man ï¿œberhaupt
linearisieren sollte. Die Zeiten, in denen man Messdaten in ein Diagramm
eingetragen und per Hand Geraden durchgelegt hat, sind doch lï¿œngst
vorbei. Heute macht man das mit Computern und fï¿œr die ist der Fit mit
einer quadratischen Funktion nicht komplizierter als eine lineare
Regression.
Hans-Bernhard Bröker
> Allmï¿œhlich frage ich mich, wie brauchbar bzw allg. gï¿œltig das "grafische
> Linearisieren" ï¿œberhaupt ist...
Siehste, und das war genau die Lektion, die aus dieser Frage zu ziehen war.
Ja, man sollte das irgendwann mal in ein paar Fï¿œllen durchgefï¿œhrt haben,
um zu wissen, dass sowas grundsï¿œtzlich machbar ist --- aber als
generische Methode ist es heute, 30 Jahre nach flï¿œchendeckender
Einfï¿œhrung des Schultaschenrechners und bei der heutigen Verbreitung von
frei verfï¿œgbaren Programmen zur linearen wie nichtlinearen
Ausgleichsrechnung, kaum noch sinnvoll.
Wenn man nicht durch eher ungewï¿œhnliche Umstï¿œnde gezwungen ist, ein
Lineal zu benutzen, ist eine linearisierte Darstellung selten
praktischer als die originale.
Christian Gollwitzer
> M.H. wrote:
>
>> Allmï¿œhlich frage ich mich, wie brauchbar bzw allg. gï¿œltig das
>> "grafische Linearisieren" ï¿œberhaupt ist...
>
> Wenn man nicht durch eher ungewï¿œhnliche Umstï¿œnde gezwungen ist, ein
> Lineal zu benutzen, ist eine linearisierte Darstellung selten
> praktischer als die originale.
Es gibt durchaus eine Anwendung fï¿œr linearisierende Darstellungen, die
trotz Computer noch sinnvoll ist. Man kann damit grafisch erkennen, ob
ein bestimmtes Gesetz in einem eingeschrï¿œnkten Bereich der Daten gï¿œltig
ist. Beispiele sind die berï¿œchtigten log-log-plots, aus denen sich
Potenzgesetze herauslesen lassen oder Arrhenius-Plots in der Chemie. Zur
quantitativen Analyse ist natï¿œrlich der Fit trotzdem meist die bessere
Wahl.
Christian