Kreisbewegung: Kugel rollt auf Kugel
Bernhard Morgenstern
Ich habe da ein Problem: Eine Kugel (mit vernachlässigbar kleinem
Radius) rollt aus der Ruhe vom höchsten Punkt einer größeren Kugel
herab. (Wobei die Reibung ebenfalls vernachlässigt wird, die kleine
Kugel jedoch eine Masse hat, sodass die Erdanziehungskraft wirkt.)
Frage: Wann "hebt" die kleine von der großen Kugel "ab"?
Ich dachte zuerst, wenn die Beschleunigung in Bahnrichtung gleich der
Beschleunigung der Zentripetalkraft ist, jedoch wäre das (nach meinen
Überlegungen) bei einem Winkel von 45 Grad (zur y-Achse, die durch den
Startpunkt der Kugel verläuft).
Der Winkel soll aber (anscheinend) 48,2 Grad betragen.
Für Tips wäre ich sehr dankbar!
Gruss,
Bernhard
David Kastrup
> Ich habe da ein Problem: Eine Kugel (mit vernachlässigbar kleinem
> Radius) rollt aus der Ruhe vom höchsten Punkt einer größeren Kugel
> herab. (Wobei die Reibung ebenfalls vernachlässigt wird, die kleine
> Kugel jedoch eine Masse hat, sodass die Erdanziehungskraft wirkt.)
Di Aufgabenstellung ist widersinnig. Wenn die Reibung vernachlässigt
wird, rollt die Kugel nicht, sondern rutscht. Gehst Du von einem
Rollvorgang aus, hast Du stets einen gewissen Energieanteil im
Drehimpuls der Kugel enthalten. Welchen, hängt davon ab, ob das eine
Vollkugel, eine Hohlkugel oder sonst etwas ist.
> Frage: Wann "hebt" die kleine von der großen Kugel "ab"?
>
> Ich dachte zuerst, wenn die Beschleunigung in Bahnrichtung gleich der
> Beschleunigung der Zentripetalkraft ist, jedoch wäre das (nach meinen
> Überlegungen) bei einem Winkel von 45 Grad (zur y-Achse, die durch den
> Startpunkt der Kugel verläuft).
> Der Winkel soll aber (anscheinend) 48,2 Grad betragen.
>
> Für Tips wäre ich sehr dankbar!
--
David Kastrup, Kriemhildstr. 15, 44793 Bochum
Email: David....@t-online.de
Martin Behling
> Hallo!
>
> Ich habe da ein Problem: Eine Kugel (mit vernachlässigbar kleinem
> Radius) rollt aus der Ruhe vom höchsten Punkt einer größeren Kugel
> herab. (Wobei die Reibung ebenfalls vernachlässigt wird, die kleine
> Kugel jedoch eine Masse hat, sodass die Erdanziehungskraft wirkt.)
>
> Frage: Wann "hebt" die kleine von der großen Kugel "ab"?
>
> Ich dachte zuerst, wenn die Beschleunigung in Bahnrichtung gleich der
> Beschleunigung der Zentripetalkraft ist,
Die kleine Kugel wird durch die Erdbeschleunigung beschleunigt. Diese
besteht aus einer Komponente in Richtung der Bahn (parallel zur
Oberfläche der großen Kugel) und einer Komponente im rechten Winkel zur
Bahn, also zum Mittelpunkt der großen Kugel. Die zweite Komponente (zum
Mittelpunkt der großen Kugel) muss größer oder gleich der
Zentripetalkraft sein, damit die kleine Kugel sich auf der Kreisbahn
bewegt. Wird diese Komponente kleiner als die Zentripetalkraft, so
verlässt die kleine Kugel die Oberfläche der großen (d.h. wird nicht
mehr ausreichend stark zum Mittelpunkt der großen Kugel hin
beschleunigt, um sich weiter auf dieser Kreisbahn zu bewegen).
Wie groß zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung in Bahnrichtung ist, ist
für das "Abheben" eigentlich wurscht.
Bis denne,
Martin Behling
Bernhard Morgenstern
> "Bernhard Morgenstern" <do...@gmx.net> writes:
>
> > Eine Kugel (mit vernachlässigbar kleinem Radius) rollt...
>
> Di Aufgabenstellung ist widersinnig. Wenn die Reibung
> vernachlässigt wird, rollt die Kugel nicht, sondern rutscht.
> Gehst Du von einem Rollvorgang aus, hast Du stets einen
> gewissen Energieanteil im Drehimpuls der Kugel enthalten.
Originalzitat der Aufgabe: "... Kugel rollt ..."
Jedoch gehe ich davon aus, dass keine Energie für einen Drehimpuls
aufgewandt wird.
Gruss,
Bernhard
Bernhard Morgenstern
> Die zweite Komponente (zum Mittelpunkt der großen Kugel) muss
> größer oder gleich der Zentripetalkraft sein...
Ich dachte, diese Komponente wäre die Zentripetalkraft (Kraft zum
Mittelpunkt, die den Kreiskörper auf der Kreisbahn hält).
Gruss,
Bernhard
Martin Behling
nochmal etwas detaillierter:
Die Zentripetalkraft ist die Kraft, die die Kugel auf der Kreisbahn
hält. Zu Beginn des "Rollens" ist die Komponente der Gewichtskraft der
kleinen Kugel, die zum Mittelpunkt der großen Kugel gerichtet ist,
deutlich größer als die Zentripetalkraft. Die kleine Kugel erfährt eine
entsprechend große Gegenkraft von der großen Kugel, die Resultierende
aus diesen beiden Kräften ist auf wundersame Weise exakt die
Zentripetalkraft. Die "benötigte" Zentripetalkraft wird mit zunehmender
Geschwindigkeit immer größer. Gleichzeitig wird die zum Mittelpunkt der
großen Kugel gerichtete Komponente der Gewichtskraft der kleinen Kugel
immer kleiner. Die Normalkraft zwischen den beiden Kugeln wird dadurch
immer kleiner. Zu einem bestimmten Zeit*punkt* ist die zum Mittelpunkt
der großen Kugel gerichtete Komponente der Gewichtskraft der kleinen
Kugel exakt so groß wie die "benötigte" Zentripetalkraft: jetzt erfährt
die kleine Kugel keine Gegenkraft mehr von der Oberfläche der großen
Kugel, diese "spürt" die kleine Kugel nicht mehr. Unmittelbar darauf
"hebt" die kleine Kugel "ab"
jetzt klarer?
Martin Behling
PS:
Zum "Sinn"/Unsinn dieser Aufgabe und den Einwänden von anderer Seite:
wie groß ist denn eigentlich der Drehimpuls einer Kugel mit Radius 0? 0?
("Schulbuch schreiben ohne Drehimpuls + ohne "echte Welt" ...)
An Bernhard: eine "echte" Kugel mit Drehimpuls hebt später ab. Sie ist
an den jeweiligen Bahnpositionen langsamer als die Kugel ohne
Drehimpuls, da nicht nur die Translation in Richtung der Bahn
beschleunigt werden muss, sondern auch die Rotation der kleinen Kugel.
David Kastrup
> Zum "Sinn"/Unsinn dieser Aufgabe und den Einwänden von anderer
> Seite: wie groß ist denn eigentlich der Drehimpuls einer Kugel mit
> Radius 0?
Es ging um einen vernachlässigbar kleinen Radius, nicht um einen von
0. Da der Energieanteil der Rotation an der Gesamtbewegungsenergie
einer rollenden Kugel mit gegebener Geometrie (Vollkugel, Hohlkugel
etc.) konstant ist, kann man ihn durchaus berücksichtigen.
Martin Behling
(schnipp)
>
> Es ging um einen vernachlässigbar kleinen Radius,
richtig, darum ging's
> nicht um einen von 0.
Auch richtig, darum ging's nicht. Aber fragten kann ich das doch mal,
oder? Schlimm?
> Da der Energieanteil der Rotation an der Gesamtbewegungsenergie
> einer rollenden Kugel mit gegebener Geometrie (Vollkugel, Hohlkugel
> etc.) konstant ist, kann man ihn durchaus berücksichtigen.
ack. Es bleibt die Frage, ob "man" das Rotieren vernachlässigen soll
oder ob "man" bloß annehmen soll, dass die durch Reibung dissipierte
Energie vernachlässigbar klein ist. Wieso bloß komme ich auf den
Gedanken, dass diese Aufgabe aus einem Schulbuch stammt?
Bis denne,
Martin Behling
Anselm Proschniewski
...
> Frage: Wann "hebt" die kleine von der großen Kugel "ab"?
>
> Ich dachte zuerst, wenn die Beschleunigung in Bahnrichtung gleich der
> Beschleunigung der Zentripetalkraft ist, jedoch wäre das (nach meinen
> Überlegungen) bei einem Winkel von 45 Grad (zur y-Achse, die durch den
> Startpunkt der Kugel verläuft).
Nein, die Normalkraft muss Null werden.
> Der Winkel soll aber (anscheinend) 48,2 Grad betragen.
Das erscheint mir sehr wenig ...
... aber spätestens bei 90 Grad wird die Normalkraft Null.
In der FAQ steht etwas zur schiefen Ebene:
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/mechbasics/mech-basics.html
Das musst du auf die Kugel anpassen. Die Rotationsenergie der kleinen
Kugel ist zu vernachlässigen.
Anselm aus Stuttgart/Esslingen
David Kastrup
Die Rollrandbedingung führt ja auch zu weiteren bahnbeeinflussenden
Kräften (bei den hier angegebenen Anfangsbedingungen aber wohl nicht):
so hat jemand nachgewiesen, daß eine unter der Randbedingung des
rutschfreien Rollens im Zylinder rollende Kugel unter Schwerkraft auch
die Richtung von abwärts wieder nach aufwärts wechseln kann.
Ein Ergebnis, das im Feldversuch von Golfspielern mehrfach bestätigt
werden konnte.
Bernhard Morgenstern
> Wieso bloß komme ich auf den Gedanken, dass
> diese Aufgabe aus einem Schulbuch stammt?
Originaltext Schulbuch:
==========
Eine kleine Kugel (mit vernachlässigbar kleinem Radius) rollt auf
einer großen Kugel beschleunigt ab. Das Abrollen beginnt oben aus der
Ruhe heraus.
Zeigen sie, dass die kleine Kugel stets ab dem Winkel [alpha] = 48,2°
von der großen Kugel abhebt.
Hinweis: Die Geschwindigkeit v nach Durchfallen der Höhe h ergibt sich
aus dem Energieerhaltungssatz.
==========
Aber ich wollte ja auch keine Lösung wissen, sondern nur die Bedingung
für das Abheben. Vielen Dank an alle!
Gruss,
Bernhard
Sebastian Gerdes
> Ich dachte zuerst, wenn die Beschleunigung in Bahnrichtung gleich der
> Beschleunigung der Zentripetalkraft ist,
Das denke ich auch, und das taugt auch gut als Ansatz.
> jedoch wäre das (nach meinen
> Überlegungen) bei einem Winkel von 45 Grad (zur y-Achse, die durch den
> Startpunkt der Kugel verläuft).
Da würde ich noch mal überlegen, denn so einfach ist es nicht:
Du kannst den Winkel alpha auf folgende Weise mit Hilfe deines ersten
Ansatzes errechnen:
F(zentripetal) = mv^2/r = mg*cos(alpha)
jetzt setzte gescheit für mv^2 ein
(besinne dich auf die Formel E(potential) = mgh)
nun drücke cos(alpha) durch h und r aus, errechne das Verhältnis
zwischen den beiden und ermittle damit alpha.
MfG
Sebastian Gerdes
Michael Dahms
>
> Anselm Proschniewski schrieb:
> >
> > Die Rotationsenergie der kleinen
> > Kugel ist zu vernachlässigen.
>
> translatorischen Energie,
Darf man etwas nicht vernachlässigen, weil es streng proportional ist?
Michael Dahms
David Kastrup
Wenn es streng proportional zu einer Größe ist, die man nicht
vernachlässigt...
Michael Dahms
>
> Michael Dahms <michae...@gkss.de> writes:
> >
> > Darf man etwas nicht vernachlässigen, weil es streng proportional ist?
>
> Wenn es streng proportional zu einer Größe ist, die man nicht
> vernachlässigt...
Selbst wenn es, sagen wir mal 10^-23 der Größe ist?
Michael Dahms
Gregor Scholten
news:x5wuwj6...@tupik.goethe.zz:
>> Ich habe da ein Problem: Eine Kugel (mit vernachlässigbar kleinem
>> Radius) rollt aus der Ruhe vom höchsten Punkt einer größeren Kugel
>> herab. (Wobei die Reibung ebenfalls vernachlässigt wird, die kleine
>> Kugel jedoch eine Masse hat, sodass die Erdanziehungskraft wirkt.)
>
> Di Aufgabenstellung ist widersinnig. Wenn die Reibung vernachlässigt
> wird, rollt die Kugel nicht, sondern rutscht.
es ging wahrscheinlich darum, daß keine Rollreibung vorhanden ist. D.h. die
Kugel rollt schon noch und rutscht nicht, aber es wird keine Bewegungs-
oder Rotationsenergie in Wärme umgewandelt.
David Kastrup
Ich halte es ja fast für wahrscheinlich, daß das mal wieder der
übliche Fall von "mir ist nicht klar, daß Rollen einen Unterschied
gegenüber Rutschen macht" ist. Sonst wäre evtl. noch die
Zusatzinformation "eine homogene Kugel" gegeben worden, damit man
auch ihr relatives Trägheitsmoment kennt.
Typisch wäre bei einer Vollkugel mit Radius r, die um einen Winkel
alpha von der Kugel mit Durchmesser R runtergerollt ist:
Epot = (r+R) ((cos alpha) - 1)
Ekin = 1/2 m (d/dt (r+R) alpha)^2 + 1/2 (2/5 m r^2) (d/dt alpha (r+R)/r)^2
= 1/2 (1.4 m) (d/dt (r+R) alpha)^2
Sprich: das Rollen zieht die Geschwindigkeit um einen Faktor 1.4 runter.
Markus Deserno
> ==========
> Eine kleine Kugel (mit vernachlässigbar kleinem Radius) rollt auf
> einer großen Kugel beschleunigt ab. Das Abrollen beginnt oben aus der
> Ruhe heraus.
> Zeigen sie, dass die kleine Kugel stets ab dem Winkel [alpha] = 48,2°
> von der großen Kugel abhebt.
>
> Hinweis: Die Geschwindigkeit v nach Durchfallen der Höhe h ergibt sich
> aus dem Energieerhaltungssatz.
> ==========
Ein klassischer Fall, in dem dem Aufgabensteller selber die Physik
nicht klar ist. Die Aussage "mit vernachlaessigbar kleinem
Radius" klingt sehr verdaechtig danach, dass der Aufgabensteller
vermutet, dass die Rotationsenergie kleiner Kugeln gegenueber
ihrer Translationsenergie vernachlaessigt werden kann. Dem ist
aber nicht so. Nimmt man eine Vollkugel an, so ist ihr Traeheits-
moment gleich (2/5)m r^2, und damit die gesamte kinetische Energie
(bei waagerechtem Rollen!) die Summe aus Tranlationsenergie und
Rotationsenergie:
E_kin = (1/2)mv^2 + (1/2)*((2/5)mr^2)*(v/r)^2 = (7/10) m v^2
Also: E_kin = (7/10)mv^2 unabhaengig vom Kugelradius. Man kann
also die Rotationsenergie der Kugel _niemalsnie_ vernachlaessigen!
Und dabei haben wir noch nicht einmal davon geredet, um welche
Achse die Kugel eigentlich rollt. Selbst wenn eine Kugel geradeaus
rollt, muss sie das nicht notwendig um eine horizontale Drehachse tun...
Gruss,
Markus
Robert Zehn
> nicht klar ist. Die Aussage "mit vernachlaessigbar kleinem
> Radius" klingt sehr verdaechtig danach, dass der Aufgabensteller
> vermutet, dass die Rotationsenergie kleiner Kugeln gegenueber
> ihrer Translationsenergie vernachlaessigt werden kann. Dem ist
> aber nicht so. Nimmt man eine Vollkugel an, so ist ihr Traeheits-
> moment gleich (2/5)m r^2, und damit die gesamte kinetische Energie
> (bei waagerechtem Rollen!) die Summe aus Tranlationsenergie und
> Rotationsenergie:
>
> E_kin = (1/2)mv^2 + (1/2)*((2/5)mr^2)*(v/r)^2 = (7/10) m v^2
>
> Also: E_kin = (7/10)mv^2 unabhaengig vom Kugelradius. Man kann
> also die Rotationsenergie der Kugel _niemalsnie_ vernachlaessigen!
Was wäre mit einer Kugel, deren Masse fast vollständig im Mittelpunkt
liegt, der dann von sehr leichtem Material umgeben ist. ;-)
Homogen muß die Kugel laut Aufgabenstellung ja nicht sein.
Gruß
Robert
Martin Behling
> "Bernhard Morgenstern" schrieb:
>
>> Ich dachte zuerst, wenn die Beschleunigung in Bahnrichtung gleich
>> der Beschleunigung der Zentripetalkraft ist,
>>
>
> Das denke ich auch, und das taugt auch gut als Ansatz.
Ich denke, das taugt nicht als Ansatz. Ich denke, Du hast nicht das
gelesen, was hier steht, sondern das, was richtig gewesen wäre. (solche
Korrektoren hätte ich im Studium auch gewollt, die von sich aus aus
meinen falschen Antworten die richtigen herauslesen ...) Ersetze
"in Bahnrichtung" durch "im rechten Winkel zur Bahnrichtung", dann passt es.
(schnipp)
> Du kannst den Winkel alpha auf folgende Weise mit Hilfe deines
> ersten Ansatzes errechnen:
>
> F(zentripetal) = mv^2/r = mg*cos(alpha)
Sag' ich doch ...
> jetzt setzte gescheit für mv^2 ein (besinne dich auf die
> Formel E(potential) = mgh)
... und denke dabei daran, dass E_kinetisch aus E_Translation *und*
E_Rotation besteht - siehe all die vielen anderen postings.
Zur Motivation: wetten, dass Dein Lehrer das ohne die Rotationsenergie
macht? Eventuell kann er das nicht einmal .... Physiklehrern erklären,
dass sie die Welt *nicht* wirklich verstanden haben, kann *viel* Spaß
machen! Ja!
Schönes Arbeiten!
Martin Behling
Anselm Proschniewski
>
> X-No-Archive: Yes
>
> begin quoting, Anselm Proschniewski schrieb:
>
> > Die Rotationsenergie der kleinen
> > Kugel ist zu vernachlässigen.
>
> aus der Fallhöhe.
Du hast Recht. In diesem Beispiel darf man die Rotationsenergie nicht
vernachlässigen. Daher auch der (für meinen Daumen) zu kleine Winkel.
Das steht sogar in meinem FAQ-Artikel, als Ersatzmasse ist 7/5*m
anzusetzen, der Fehler beträgt also 40 % !!
Die Schüler sollten schon in der Schule lernen, welche Effekte man
vernachlässigen darf und welche nicht. Und wenn die Schulbuchautoren so
etwas nicht verstehen und die Lehrer ohne weiter nachzudenken solche
Aufgaben stellen, dann "lernen" die Schüler leider manchen Unfug. :-(
Anselm aus Stuttgart/Esslingen
David Kastrup
Feynman hat mal in Brasilien gelehrt. Auf einer Konferenz hat er das
Lehrmaterial da kritisiert. In dem Physikbuch gab es ein einziges
Experiment, sonst nur irgendwelche Definitionen. Das Experiment
waren Zeiten (inkl. Meßfehler etc), die eine Kugel brauchte, um eine
schiefe Ebene runterzurollen.
Beim Türken dieses einzigen Experimentes im ganzen Physikbuch haben
die Buchautoren allerdings die Rotationsenergie vergessen zu
berücksichtigen.
Bernhard Morgenstern
> Ich halte es ja fast für wahrscheinlich, daß das mal
> wieder der übliche Fall von "mir ist nicht klar, daß
> Rollen einen Unterschied gegenüber Rutschen macht" ist.
Mir ist der Unterschied zwischen "Rollen" und "Rutschen" sehr wohl
klar. Jedoch war mir nicht klar, inwiefern das Rollen in der Aufgabe
berücksichtigt werden soll. Eventuell wollte der Autor mit der
Anmerkung, dass der Radius der kleinen Kugel vernachlässigbar sei,
andeuten, dass die Kugel "_der_ kleinste Kreis" (tm) mit r->0 ist und
deshalb gar nicht rollen kann, da es keine Achse gibt, um die sie sich
drehen könnte. ;)
Gruss,
Bernhard
David Kastrup
Erstens wäre es dann unsinnig, überhaupt von einer Kugel zu reden,
zweitens hätte das Teil ja dann auch keine Masse, die es nach unten
motivierte.
Evtl. könnte man dann von einem "Massepunkt" reden, um klarzumachen,
daß man kein Rollen wünscht. Aber die Aufgabenstellung hat ja
explizit von Rollen gesprochen...
Bernhard Morgenstern
> nochmal etwas detaillierter:
>
> Die Zentripetalkraft [...]
... ist also in diesem Falle keine eigentständige Kraft, sondern nur
die benötigte Kraft, um den Körper auf der Kreisbahn zu halten.
Die Komponente der Gewichtskraft in Richtung Mittelpunkt der großen
Kugel nähert sich der mit der Geschwindigkeit zunehmenden
Zentripetalkraft an und wird gleich gross wie diese (in dem
Augenblick, wenn sich die Kugel "ablöst").
> jetzt klarer?
Ich hoffe. (?)
Bernhard, für die ausführliche Erklärung dankend
Ralf Pfeifer
Ralf Kusmierz schrieb:
>
> X-No-Archive: Yes
>
> begin quoting, Anselm Proschniewski schrieb:
>
> > Die Rotationsenergie der kleinen
> > Kugel ist zu vernachlässigen.
>
> Mitnichten. Sie ist aufgrund der Rollbedingung streng proportional zur
> translatorischen Energie, und die gesamte kinetische Energie ergibt sich
> aus der Fallhöhe.
Wenn Du damit die Rotationsenergie um den Schwerpunkt der kleinen
Kugel meinst, dann würde ich aufgrund der Aufgabenstellung vermuten,
daß dieser Proportionalitätsfaktor = 0 ist.
Nach meiner Ansicht soll die Rollbedingung nur ganz unauffällig
den Unterschied zwischen arbeitleistender Reibung durch Rutschen
und der nicht arbeitenden Haftreibung zwischen den Kugeln formulieren.
Gruß Ralf.
David Kastrup
> Ralf Kusmierz schrieb:
> >
> > X-No-Archive: Yes
> >
> > begin quoting, Anselm Proschniewski schrieb:
> >
> > > Die Rotationsenergie der kleinen
> > > Kugel ist zu vernachlässigen.
> >
> > Mitnichten. Sie ist aufgrund der Rollbedingung streng proportional zur
> > translatorischen Energie, und die gesamte kinetische Energie ergibt sich
> > aus der Fallhöhe.
>
> Wenn Du damit die Rotationsenergie um den Schwerpunkt der kleinen
> Kugel meinst, dann würde ich aufgrund der Aufgabenstellung vermuten,
> daß dieser Proportionalitätsfaktor = 0 ist.
Dann darf nicht der Ausdruck "Rollen" verwendet werden, der effektiv
eine um 40% größere Trägheit impliziert.
> Nach meiner Ansicht soll die Rollbedingung nur ganz unauffällig den
> Unterschied zwischen arbeitleistender Reibung durch Rutschen und der
> nicht arbeitenden Haftreibung zwischen den Kugeln formulieren.
Das ist, gelinde gesagt, Blödsinn. Wenn "arbeitleistende Reibung
durch Rutschen" auftritt, wird die Kugel gegenüber einer rollenden
Kugel ja schneller, weil sie eben *nicht* der vollen Rollträgheit
nachgibt, die sie bremst.
Wenn Du beim Auto auf die Bremse trittst, kommst Du ja auch weiter,
wenn Du rutscht, als wenn die Reifen greifen.
Und schneller als wenn Du die große Kugel einseifst kriegst Du die
kleine nicht.
Anselm Proschniewski
...
> Der Winkel soll aber (anscheinend) 48,2 Grad betragen.
Ja, wegen cos(phi) = 2/3
Das richtige Ergebnis ist aber 53 Grad, cos(phi) = 10/17
Lösung über Energiesatz, nicht über Bewegungsgleichung.
Anselm aus Stuttgart/Esslingen