Schwerpunkt eines unsymmetrisch beladenen Balkens

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Joggl

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Jun 24, 2022, 10:52:03 AMJun 24
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Hallo,
ein 10m langer (homogener) Holzbalken ist in Teilabschnitte von je 1m unterteilt.
Auf diesen Balken werden nun 35 gleichgroße und gleichschwere Betonplatten
platziert, in folgender Weise:

===> |--1--|--6--|--3--|--2--|--5--|--2--|--6--|--3--|--5--|--2--| <=== Balken

Aso (von links angefangen) auf dem Balken beim
1. Meter 1 Platte, zentriert
2. Meter 6 Platten übereinander, zentriert
3. Meter 3 Platten übereinander usf.

Die Frage ist: Wo genau liegt der Schwerpunkt dieser Anordnung?
An welchem Punkt müsste ich den Balken unterstützen, damit sich das
Ganze im Gleichgewicht befindet?

Da auf dem linken Teil des Balkens 17 Platten liegen und auf der
rechten Hälfte 18 Platten, würde bei einer Unterstützung genau in der
Mitte (bei 5m Balkenlänge) das Ganze nach rechts kippen.
Der Schwerpunkt liegt als irgendwo bei (x > 5) m.

Würde man die 17 Platten links vom Balkenmittelpunkt alle auf dem
1. Meter übereinanderstapeln und die 18 Platten auf dem 10-Meter-
Abschnitt rechts, dann liese sich der Schwerpunkt berechnen

17/35 * x = 18/35 * (10-x) womit sich ergibt:
x = 36/7 = 5.143 m

Da die Platten aber über die einzelnen Segmente (unsymmetrisch) verteilt
sind, geht das so nicht.

Wie muss man das für die obige Anordnung korrekt rechnen?

Danke für die Hilfe und
Grüße Joachim

Hans-Bernhard Bröker

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Jun 24, 2022, 12:52:54 PMJun 24
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Am 24.06.2022 um 16:52 schrieb Joggl:

> Da auf dem linken Teil des Balkens 17 Platten liegen und auf der
> rechten Hälfte 18 Platten, würde bei einer Unterstützung genau in der
> Mitte (bei 5m Balkenlänge) das Ganze nach rechts kippen.

Diese Schlussfolgerung ist fehlerhaft.

Es kommt nämlich nicht nur auf die Gesamtmasse jeweils links und rechts
vom Unterstützungspunkt an, sondern auch darauf, wie diese Masse über
die Länge des Balkens verteilt ist.

> Wie muss man das für die obige Anordnung korrekt rechnen?

So, dass man die Hausaufgabe richtig raus kriegt :-)

Dieter Heidorn

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Jun 24, 2022, 1:26:16 PMJun 24
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Joggl schrieb:
> Hallo,
> ein 10m langer (homogener) Holzbalken ist in Teilabschnitte von je 1m unterteilt.
> Auf diesen Balken werden nun 35 gleichgroße und gleichschwere Betonplatten
> platziert, in folgender Weise:
>
> ===> |--1--|--6--|--3--|--2--|--5--|--2--|--6--|--3--|--5--|--2--| <=== Balken
>
> Aso (von links angefangen) auf dem Balken beim
> 1. Meter 1 Platte, zentriert
> 2. Meter 6 Platten übereinander, zentriert
> 3. Meter 3 Platten übereinander usf.
>
> Die Frage ist: Wo genau liegt der Schwerpunkt dieser Anordnung?
> An welchem Punkt müsste ich den Balken unterstützen, damit sich das
> Ganze im Gleichgewicht befindet?
>

Ansatz (unter Vernachlässigung des Holzbalkens):

Wird die Längsausdehnung mit x bezeichnet und der Koordinatenursprung an
den Anfang der Anordnung gelegt, so hat der Schwerpunkt die x-Koordinate

x_S = (1/M) * Int x dm

= (1/M) * Int x rho A(x) dx

Darin ist:

M: Gesamtmasse der Platten
rho: Dichte der Platten
A(x): Querschnittsfläche (ortsabhängig)

Die Querschnittsflächen sind jeweils auf der Länge von 1m konstant,
haben alle die Breite b, aber die Höhen springen gemäß der angegebenen
Plattenzahlen:

A_1 = b*1*h_1
A_2 = b*6*h_1
...
A_i = b*i*h_1
...

Masse der Platten:

M = rho * V
= rho * (A_1*1m + A_2*1m + ...)
= rho*b*h_1 * (1 + 6 + ...+ i + ... + 2) * 1m
= rho*b*h_1*1m * 35

Das Integral ist von x = 0 bis x = 10 m zu erstrecken und
abschnittsweise zu berechnen:

10 i
x_S = (1/rho*b*h_1*1m * 35) * SUMME Int rho*b*h_1*1m*i(x) x dx
i = 1 i-1

Daraus ergibt sich schließlich:

x_S = (1/35)*(1/2)*(1*1^2 + 6*(2^2-1^2) + 3*(3^2-2^2) +
2*(4^2-3^2) + 5*(5^2-4^2) + 2*(6^2-5^2) +
6*(7^2-6^2) + 3*(8^2-7^2) + 5*(9^2-8^2) +
2*(10^2-9^2))

x_S = 361/70 m ≈ 5.157 m

Dieter Heidorn

Hans-Peter Diettrich

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Jun 25, 2022, 5:19:51 AMJun 25
to
On 6/24/22 7:26 PM, Dieter Heidorn wrote:
>                                 10    i
> x_S = (1/rho*b*h_1*1m * 35) * SUMME  Int rho*b*h_1*1m*i(x) x dx
>                               i = 1  i-1

Ich komme auf das gleiche Ergebnis mit einem etwas einfacheren Ansatz.
Das Drehmoment der Abschnitte bezogen auf einen Punkt x0 wäre die Summe
aller mi*(xi-x0) bzw. Summe(mi*xi) - Summe(mi*x0). Wählt man x0 1/2 m
links bzw. rechts vom Balken sind die xi = {1,2,3...10}. Die
Summe(mi*x0) ist kostant 35. Summiert man die Produkte mi*xi gibt das
einen Schwerpunkt x0 von links 5,657 m und zur Probe von rechts 5,342 m.
Beides zusammen ergibt den Abstand der Punkte = 11 m, die Rechnung
scheint also korrekt zu sein :-)

Stefan ist im Prinzip auf die gleiche Formel gekommen, hat wohl in
Physik besser aufgepaßt als ich.

DoDi

Joggl

unread,
Jun 25, 2022, 6:42:10 AMJun 25
to
Vielen Dank an alle für die ausführlichen und hilfreichen Antworten.
Jetzt hat's bei mir auch "Klick" gemacht.
Übrigens: Das ist keine Hausaufgabe, wie vermutet wurde.
Meine Schulzeit liegt mehrt als 50 Jahre zurück :-))
Die Fragestellung habe ich in ein physikalisches Problem übersetzt, weil
das dann ziemlich klar ist.
Ausgangspunkt war eigentlich die Frage, ob man den "Schwerpunkt einer
Datenreihe" bestimmen kann, also nicht Median oder arithmetischer, geometrischer
oder harmonischer Mittelwert, sondern tatsächlich den Schwerpunkt.
Das geht, wie ich dank Eurer Hilfe gelernt habe.

Eine Frage noch OT:
Ich geh auf die Schnelle meist mal kurz unter Google-Groups nachschauen, ob
eine neue Nachricht vorhanden ist.
Warum sehe ich unter Gougle-Groups die Antwort von Stfan Ram nicht? Die wird
nicht angezeigt.
Ohne den Hinweis von Hans-Dieter, dass eine Antwort von Stefan vorliegt, hätte ich
das glatt übersehen.
Unter Thunderbird ist alles OK, vollständige Anzeige.

Danke und Grüße
Joachim

Helmut Wabnig

unread,
Jun 25, 2022, 7:12:17 AMJun 25
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On Fri, 24 Jun 2022 07:52:01 -0700 (PDT), Joggl <joggl...@yahoo.de>
wrote:
Heidelberger Taschenbücher Band 20
Springer Verlag
Erster Teil
Autor K. Marguerre

"Technische Mechanik"
Ich habs durch weil vollgekritzelt,
ist aber 50 Jahre her, sorry for that :-)

w.

Helmut Wabnig

unread,
Jun 25, 2022, 7:14:42 AMJun 25
to
On Fri, 24 Jun 2022 07:52:01 -0700 (PDT), Joggl <joggl...@yahoo.de>
wrote:

Jede Platte und mal Länge gibt ein Drehmoment.

Mal von links, dann von rechts, gibt einen Satz von Gleichungen
und die löst heut jeder Taschenrechner.

w.
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