Re: Axiale Vektoren?

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Dieter Heidorn

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Mar 25, 2022, 3:14:12 PMMar 25
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Stefan Ram schrieb:
> Ein axialer Vektor ändert sich bei einer Inversion nicht.
>
> Auf einer Webseite wird "Inversion" als eine Punktspiegelung
> erklärt, bei der /alle/ Koordinaten ihr Vorzeichen wechseln.

So ist es - und diese Operation wird auch "Rauminversion" genannt.

> In einem Skript las ich das gleiche mit dem Unterschied, daß dort
> "Inversion" als Transformation mit einer Matrix definiert wird,
> deren /Determinante gleich -1/ ist. Dann wäre, wenn ich es richtig
> verstehe, auch ein Vorzeichenwechsel einer einzelnen Koordinate eine
> Inversion, also nicht nur (-x,-y,-z), sondern auch (-x,y,z).

Das ist nicht richtig. Die Rauminversion wird durch eine
Transformationsmatrix beschrieben, deren Determinante den Wert -1 hat.
Aber nicht jede Transfomationsmatrix mit Determinante -1 beschreibt die
Rauminversion. Dein Beispiel (-x,y,z) ist keine Rauminversion, sondern
führt ein linkshändiges Koordinatensystem anstelle des rechtshändigen
xyz-Systems ein.

> Daher wäre es für mich eigentlich verständlicher, wenn
> "Inversion" - anders als in dem Skript - als (-x,-y,-z),
> aber nicht als (-x,y,z) definiert werden würde.
> Darf ich in diesem Falle also die Definition des Skripts
> (Inversion="Determinante gleich -1") ignorieren

Ja.

> PS: Ich nehme an, daß man diesen Begriff ("axialer Vektor")
> so überhaupt nur im R³ definieren kann und seine Erweiterung
> auf andere Dimensionen nicht offensichtlich ist.

Der Begriff "axialer Vektor" kann zunächst so verallgemeinert werden,
dass er auch für Tensoren gilt - man spricht dann von Pseudotensoren
n-ter Stufe. Die können auch in höherdimensionalen Räumen definiert
werden.

Dieter Heidorn

Thomas Heger

unread,
Mar 26, 2022, 6:02:12 AMMar 26
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Am 25.03.2022 um 16:54 schrieb Stefan Ram:
> Ein axialer Vektor ändert sich bei einer Inversion nicht.
>
> Auf einer Webseite wird "Inversion" als eine Punktspiegelung
> erklärt, bei der /alle/ Koordinaten ihr Vorzeichen wechseln.
>
> In einem Skript las ich das gleiche mit dem Unterschied, daß dort
> "Inversion" als Transformation mit einer Matrix definiert wird,
> deren /Determinante gleich -1/ ist. Dann wäre, wenn ich es richtig
> verstehe, auch ein Vorzeichenwechsel einer einzelnen Koordinate eine
> Inversion, also nicht nur (-x,-y,-z), sondern auch (-x,y,z).
>
> Als Beispiel eines axialen Vektors wird die Winkelgeschwindigkeit
> vorgestellt. Ich stelle mir aber vor, daß eine aktiven Transformation
> (-x,y,z) die Winkelgeschwindigkeit einer Kreisbewegung in
> der x-y-Ebene um den Ursprung mit -1 multiplizieren würde.

???

Vielleicht ist das hier hilfreich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Pseudovektor


TH

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