Was sind Zyklische Koordinaten?
Sebastian Melzer
was sind zyklische Koordinaten in der analytischen Mechanik?
Dass sie zu erkennen sind, falls dL/dq_n = 0 ist, ist verstanden worden.
Aber man muss es irgendwie schon vorher sehen können.
Wohl aufgrund von Erhaltungssgrößen oder irgendwelchen
Symmetrien. Falls es jemand sogar an den Beispielen im
Nolting 2 auf den Seiten 21/22 Bsp. 3 oder 26 Bsp. 6 erklären
kann, wäre es wunderbar, denn nur aus dem was Herr N. dort
schreibt werde ich net so schlau.
Dankeschön
mfg Sebastian
--
"Was wir dann heute nicht mehr das nächste Mal machen wollen."
Dr. Jaques Mayer in Funktionentheorie am 23.10.03
Steffen Sonntag
> Dass sie zu erkennen sind, falls dL/dq_n = 0 ist, ist verstanden worden.
> Aber man muss es irgendwie schon vorher sehen können.
> Wohl aufgrund von Erhaltungssgrößen oder irgendwelchen
Hallo,
Die kanonischen Impulse, also dL/dq_punkt sind Erhaltungsgrößen zu den
entsprechenden zyklischen Koordinaten.
Ein einfaches Beispiel wäre, wenn Du die Lagrangefunktion in ebenen
Polarkoordianten schreibst und ein radialsymmetrisches Potenzial annimst,
also:
L = m/2 ( r_punkt^2 +r^2*phi_punkt^2) - U(r)
wie Du siehst gilt dL/dphi = 0, somit ist dL/dphi_punkt eine
Erhaltungsgröße:
dL/dphi_punkt = mr^2phi_punkt = mr^2omega = mrv = const., das ist die
Drehimpulserhaltung.
Gruss,
Steffen.
Hendrik van Hees
> Hallo,
>
> was sind zyklische Koordinaten in der analytischen Mechanik?
> Dass sie zu erkennen sind, falls dL/dq_n = 0 ist, ist verstanden
> worden. Aber man muss es irgendwie schon vorher sehen können.
> Wohl aufgrund von Erhaltungssgrößen oder irgendwelchen
> Symmetrien. Falls es jemand sogar an den Beispielen im
> Nolting 2 auf den Seiten 21/22 Bsp. 3 oder 26 Bsp. 6 erklären
> kann, wäre es wunderbar, denn nur aus dem was Herr N. dort
> schreibt werde ich net so schlau.
Formuliere bitte das Problem in der Newsgroup. Ich weigere mich, die
Buecher dieses Herren hier in mein Buero zu holen!
--
Hendrik van Hees Fakultät für Physik
Phone: +49 521/106-6221 Universität Bielefeld
Fax: +49 521/106-2961 Universitätsstraße 25
http://theory.gsi.de/~vanhees/ D-33615 Bielefeld
Sebastian Melzer
"Steffen Sonntag" <zweib...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag news:bnb5l0$vdf06$1...@ID-110797.news.uni-berlin.de...
> Sebastian Melzer wrote:
>
> > Dass sie zu erkennen sind, falls dL/dq_n = 0 ist, ist verstanden worden.
> > Aber man muss es irgendwie schon vorher sehen können.
> > Wohl aufgrund von Erhaltungssgrößen oder irgendwelchen
>
> Hallo,
>
> Die kanonischen Impulse, also dL/dq_punkt sind Erhaltungsgrößen zu den
> entsprechenden zyklischen Koordinaten.
>
> Ein einfaches Beispiel wäre, wenn Du die Lagrangefunktion in ebenen
> Polarkoordianten schreibst und ein radialsymmetrisches Potenzial annimst,
> also:
>
> L = m/2 ( r_punkt^2 +r^2*phi_punkt^2) - U(r)
>
> wie Du siehst gilt dL/dphi = 0, somit ist dL/dphi_punkt eine
> Erhaltungsgröße:
>
Hi,
dies ist fast das zweite Problem aus Herr N's Buch.
Und an der Lagrange-Funktion sieht man es ja dann auch.
Allerdings meinte ich, ob man es vor dem Aufstellen der
L-Funktion sehen kann, um gleich die Koordinaten danach
auswählen zu können.
So wie ich dies jetzt sehe, sollte man auf Koordinaten achten,
bei deren Veränderung dx sich weder die potenzielle noch
die kinetische Energie des Objekts ändert.
Oder sehe ich es falsch?
mfg Sebastian
Sebastian Melzer
"Hendrik van Hees" <he...@physik.uni-bielefeld.de> schrieb im Newsbeitrag news:bnbh5h$vsc4m$1...@ID-71437.news.uni-berlin.de...
> Sebastian Melzer wrote:
>
> > Hallo,
> >
> > was sind zyklische Koordinaten in der analytischen Mechanik?
> > Dass sie zu erkennen sind, falls dL/dq_n = 0 ist, ist verstanden
> > worden. Aber man muss es irgendwie schon vorher sehen können.
> > Wohl aufgrund von Erhaltungssgrößen oder irgendwelchen
> > Symmetrien. Falls es jemand sogar an den Beispielen im
> > Nolting 2 auf den Seiten 21/22 Bsp. 3 oder 26 Bsp. 6 erklären
> > kann, wäre es wunderbar, denn nur aus dem was Herr N. dort
> > schreibt werde ich net so schlau.
>
> Formuliere bitte das Problem in der Newsgroup. Ich weigere mich, die
> Buecher dieses Herren hier in mein Buero zu holen!
>
Hallo,
der Herr selbst ist ganz ok. Zumindest so weit, wie ich ihn kenne.
Bei dem zweiten Beispiel handelt es sich um das Kepler-Problem.
Teilchen im Zentralfeld.
L = m/2(r_punkt^2 + r^2 * theta_punkt^2 + r^2 * sin^2(theta) * phi_punkt^2) - U(r)
dL/dphi = 0 ==> phi zyklisch.
Jetzt hatte ich mir aber gerade überlegt, dass man anscheinend nach
Koordinaten ausschau halten sollte, bei deren Änderung sich weder
die kinetische noch die potenzielle Energie des Teilchens ändert.
Dies träfe ja aber auf theta (aus Sicht vor dem Aufstellen der
L-Funktion) wohl genauso zu, wie auf phi.
Also bin ich etwas puzzled und dankbar für Aufklärung.
mfg Sebastian
Hendrik van Hees
> der Herr selbst ist ganz ok. Zumindest so weit, wie ich ihn kenne.
> Bei dem zweiten Beispiel handelt es sich um das Kepler-Problem.
> Teilchen im Zentralfeld.
Den Herrn kenne ich nicht, aber seine Bücher ein bißchen. ;-(
>
> L = m/2(r_punkt^2 + r^2 * theta_punkt^2 + r^2 * sin^2(theta) *
> phi_punkt^2) - U(r)
>
> dL/dphi = 0 ==> phi zyklisch.
>
> Jetzt hatte ich mir aber gerade überlegt, dass man anscheinend nach
> Koordinaten ausschau halten sollte, bei deren Änderung sich weder
> die kinetische noch die potenzielle Energie des Teilchens ändert.
> Dies träfe ja aber auf theta (aus Sicht vor dem Aufstellen der
> L-Funktion) wohl genauso zu, wie auf phi.
> Also bin ich etwas puzzled und dankbar für Aufklärung.
Du mußt nur nach Variablen Ausschau halten, von denen L nicht abhängt.
Von deren zeitlicher Ableitung hängen sie dann natürlich ab, weil ja
sonst der Freiheitsgrad gar nicht von den Bewegungsgleichungen erfaßt
würde.
Eine Koordinate heißt "zyklisch", wenn L von ihnen in diesem Sinne nicht
abhängig ist. Es folgt sofort, daß es dann eine Erhaltungsgröße gibt,
denn es ist ja dann
d_t \partial L/(\partial \dot{\theta})=0,
also ist
\partial L/(\partial \dot{\theta})=const.
Hat man umgekehrt eine Erhaltungsgröße (aus dem Noethertheorem z.B.)
gefunden, kann man diese als Variable einführen, und die ist dann
zyklisch, i.a. aber nur in der Hamiltonschen Formulierung, wo einem die
kanonischen Transformationen zur Verfügung stehen.
Das Stichwort dazu ist "Hamilton-Jacobische partielle
Differentialgleichung" oder "Wirkungs-Winkelvariable". Du findest zum
ersten Thema etwas in meiner Mechanik-FAQ.
Sebastian Melzer
"Hendrik van Hees" <he...@physik.uni-bielefeld.de> schrieb im Newsbeitrag news:bndr4d$v1tdk$1...@ID-71437.news.uni-berlin.de...
Hi,
> Den Herrn kenne ich nicht, aber seine Bücher ein bißchen. ;-(
Ja, da gibts Kontroversen. Ich bin auch nicht immer glücklich damit.
Und danke für den Rest.
mfg Sebastian
Ingo Thies
> Eine Koordinate heißt "zyklisch", wenn L von ihnen in diesem Sinne nicht
Woher kommt eigentlich diese Wortwahl? Unter "zyklisch" versteht man ja
i.a. z.B. zyklische Vertauschbarkeit oder alles, was im weitesten Sinne
mit einem Zyklus bzw. Kreislauf zu tun hat. Aber wo besteht der
sprachliche Zusammenhang "L nicht von x abhängig => x zyklisch"?
Gruß
Ingo
--
Das Böse ist überall, nicht nur da, wo wir es gerne hätten.
Dieter Heidorn
> he...@physik.uni-bielefeld.de (Hendrik van Hees) schrieb am 25.10.03:
>
>
>>Eine Koordinate heißt "zyklisch", wenn L von ihnen in diesem Sinne nicht
>
>
> Woher kommt eigentlich diese Wortwahl? Unter "zyklisch" versteht man ja
> i.a. z.B. zyklische Vertauschbarkeit oder alles, was im weitesten Sinne
> mit einem Zyklus bzw. Kreislauf zu tun hat. Aber wo besteht der
> sprachliche Zusammenhang "L nicht von x abhängig => x zyklisch"?
>
Darüber hatte ich mir bisher auch noch nie Gedanken gemacht ;-)
Aber angeregt durch deine Frage habe ich mal in Sommerfelds "Vorlesungen
über theoretische Physik", Band 1, geblättert. Und dort schreibt er (S.174):
"Der Name ist hergenommen von einem sich drehenden Rad, dessen
dynamisches Verhalten jedenfalls nicht von seiner augenblicklichen
Stellung, sondern nur von seiner Umfangsgeschwindigkeit bestimmt wird."
MfG
Dieter.
Hendrik van Hees
> Woher kommt eigentlich diese Wortwahl? Unter "zyklisch" versteht man
> ja i.a. z.B. zyklische Vertauschbarkeit oder alles, was im weitesten
> Sinne mit einem Zyklus bzw. Kreislauf zu tun hat. Aber wo besteht der
> sprachliche Zusammenhang "L nicht von x abhängig => x zyklisch"?
Das Wort "zyklisch" kommt genau von diesem Beispiel "Zentralpotential"
in Kugelkoordinaten: Der Lagrangian hängt nicht von phi ab, was aber
eine Winkelvariable ist, also mit Rotationen um eine Achse zu tun hat.
Hendrik van Hees
> Darüber hatte ich mir bisher auch noch nie Gedanken gemacht ;-)
> Aber angeregt durch deine Frage habe ich mal in Sommerfelds
> "Vorlesungen über theoretische Physik", Band 1, geblättert. Und dort
> schreibt er (S.174):
>
> "Der Name ist hergenommen von einem sich drehenden Rad, dessen
> dynamisches Verhalten jedenfalls nicht von seiner augenblicklichen
> Stellung, sondern nur von seiner Umfangsgeschwindigkeit bestimmt
> wird."
Ich sag' ja, diese Bücher sind einfach die besten, was klassische Physik
betrifft. Es kann ja kein Zufall sein, daß aus seiner Schule die
meisten Nobelpreisträger aller Zeiten hervorgegangen sind. Nur er
selber hat keinen gekriegt :-(.