Re: Fallen schwere Koerper schneller?

[Reinhardt Behm]

On 23 Oct 2022 08:10:12 GMT, Stefan Ram wrote:

> Fallen schwere Körper schneller?
>
> Im Grunde ist damit schon alles gefragt, aber um es genauer zu sagen:
>
> Die Luftreibung und elektromagnetische Effekte sollen vernachlässigt
> werden - man kann sich das im Vakuum und ohne elektrische Ladungen
> vorstellen. Auch sollte es nicht nötig sein, relativistische Effekte
> oder Quanteneffekte zu berücksichtigen.
>
> Nehmen wir einmal an, eine Kugel mit einem Durchmesser von einem
> Zentimeter befinde sich so über dem Erdboden gehalten, daß ihr Abstand
> zur Erde einen Meter beträgt. Nun wird die Halterung schlagartig
> gelöst, so daß die Kugel frei fallen kann.
>
> Die Kugel habe einmal eine Masse von einem Gramm ("leichte Kugel") und
> einmal von zehn Gramm ("schwere Kugel"). Alle anderen Umstände -
> abgesehen von der Masse der Kugel - sollen in beiden Fällen gleich
> sein.
>
> Nun soll an Hand bekannter physikalischer Gesetzmäßigkeiten,
> die folgende Frage beantwortet werden:
>
> Ist die Zeit vom Lösen der Halterung bis zum Auftreffen auf dem
> Erdboden bei der schweren Kugel kleiner als bei der leichten Kugel?
>
> (Ich plane, eine Antwort dazu später zu versenden, jedoch nicht vor
> 2022-10-26T00:00:00+01:00 und nicht nach 2022- 11-02T00:00:00+01:00.)

Das sind zwar nicht Kugeln, aber eine schöne Demo von Brian Cox:
<https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs>

--
Reinhardt

[Hermann Riemann]

Am 23.10.22 um 10:10 schrieb Stefan Ram:
> Fallen schwere Körper schneller?

> Die Luftreibung und elektromagnetische Effekte sollen
> vernachlässigt werden - man kann sich das im Vakuum und
> ohne elektrische Ladungen vorstellen. Auch sollte es nicht
> nötig sein, relativistische Effekte oder Quanteneffekte zu
> berücksichtigen.

Bei der Erde gibt es noch einige Effekte.
Die Gravitation ist nicht an an allen Orten gleich..
Also findet das Experiment am gleichen Ort statt.
Und passende gleichend Rahmenbedingungen ( z.B. Mond. )

Ein weiterer Effekt ist die Anziehung der Erde
durch die Masse des Körpers auf die Erde mittels Gravitation
( Die Erde "fällt" auch auf den Körper. )

[Carla Schneider]

Stefan Ram wrote:
>
> Fallen schwere Körper schneller?
>
> Im Grunde ist damit schon alles gefragt, aber um es genauer
> zu sagen:
>

> Die Luftreibung und elektromagnetische Effekte sollen
> vernachlässigt werden - man kann sich das im Vakuum und
> ohne elektrische Ladungen vorstellen. Auch sollte es nicht
> nötig sein, relativistische Effekte oder Quanteneffekte zu
> berücksichtigen.
>

> Nehmen wir einmal an, eine Kugel mit einem Durchmesser von
> einem Zentimeter befinde sich so über dem Erdboden gehalten,
> daß ihr Abstand zur Erde einen Meter beträgt. Nun wird die
> Halterung schlagartig gelöst, so daß die Kugel frei fallen
> kann.
>
> Die Kugel habe einmal eine Masse von einem Gramm ("leichte
> Kugel") und einmal von zehn Gramm ("schwere Kugel"). Alle
> anderen Umstände - abgesehen von der Masse der Kugel - sollen
> in beiden Fällen gleich sein.
>
> Nun soll an Hand bekannter physikalischer Gesetzmäßigkeiten,
> die folgende Frage beantwortet werden:
>
> Ist die Zeit vom Lösen der Halterung bis zum Auftreffen auf
> dem Erdboden bei der schweren Kugel kleiner als bei der
> leichten Kugel?

Wenn schwere Koerper schneller fallen als leichte, dann muessten
zwei gleiche Kugeln schneller fallen als eine, was schwierig zu erklaeren
waere, 2 gleiche Kugeln sind ja gleich schwer muessten also
gleich schnell fallen, und ob sie verbunden sind under nicht kann
keinen Unterschied machen wenn sie gleich schnell fallen.

Was allerdings moeglich waere ist dass Kugeln aus unterschiedlichem Material
unterschiedlich schnell fallen koennten. Dass die alle gleich schnell
fallen deutet darauf hin dass sie was die Schwerkraft betrifft alle im wesentlichen
aus dem gleichen Material bestehen. Das bedeutet aber nicht dass das z.B. fuer
Antimaterie oder dunkle Materie auch so sein muss.

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Hermann Riemann wrote:

> Am 23.10.22 um 10:10 schrieb Stefan Ram:
>> Fallen schwere Körper schneller?

Ja, aber nur, weil „Schwere“ bzw. Gewicht eine *Kraft* ist. Diskutieren wir
hingegen über Körper mit gleicher *Masse*, so ist das (im Vakuum und in
einem [annähernd] homogenen Gravitationsfeld) nicht so.

>> Die Luftreibung und elektromagnetische Effekte sollen
>> vernachlässigt werden - man kann sich das im Vakuum und
>> ohne elektrische Ladungen vorstellen. Auch sollte es nicht
>> nötig sein, relativistische Effekte oder Quanteneffekte zu
>> berücksichtigen.
>
> Bei der Erde gibt es noch einige Effekte.
> Die Gravitation ist nicht an an allen Orten gleich..

Doch, ist sie. Aber die Gravitations_beschleunigung_ ist es nicht (die
Gravitation ist ein Effekt; die Gravitationsbeschleunigung eine Konsequenz
in der Newtonschen Mechanik aus der Annahme, die Gravitation sei durch eine
Kraft ausgelöst – diese Konzepte sind auseinanderzuhalten).

Das liegt unter anderem daran, dass sich zwischen Testkörper und
Gravitationszentrum unterschiedlich viel Masse befindet, da der Planet keine
perfekte und auch keine homogene Kugel ist. Auch die schon angesprochene
Zentrifugalkraft sorgt für einen örtlichen Unterschied in der
Schwerebeschleunigung (der Effekt ist umso grösser, je näher man sich am
Äquator befindet).

> Also findet das Experiment am gleichen Ort statt.
> Und passende gleichend Rahmenbedingungen ( z.B. Mond. )

Und genau da haben die Apollo-15-Astronauten demonstriert, dass (im Vakuum)
alle Körper unabhängig von ihrer Masse gleich schnell fallen:

<https://moon.nasa.gov/resources/331/the-apollo-15-hammer-feather-drop/>

> Ein weiterer Effekt ist die Anziehung der Erde
> durch die Masse des Körpers auf die Erde mittels Gravitation
> ( Die Erde "fällt" auch auf den Körper. )

Das ist zwar richtig; es spielt aber keine Rolle, weil wir ohnehin nur die
Relativbewegung des fallenden Körpers messen können. Wir wählen daher
implizit ein Bezugssystem, in dem der Planet/Mond in Ruhe ist.

Andernfalls müssten wir es schaffen, irgendwie kräftefrei (im Newtonschen
Sinn) zwischen Testkörper und Oberfläche zu schweben (das würde also
ständigen Schub erfordern, da ja auch wir gravitativ beschleunigt werden).

Allerdings ist die Relativgeschwindigkeit des Planeten in diesem
Schwerpunktsystem unmessbar klein; nämlich ungefähr so gross wie im
Ruhesystem des Testkörpers mit Masse m:

g_m = G m/(R + h)²,

wobei

G ≈ 6.674 × 10⁻¹¹ m³/(kg s²)
R ≈ 6371 km = 6.371 × 10⁶ m

und h (Höhe) der Abstand zwischen Schwerpunkt des Körpers und der Oberfläche
des Planeten ist. Bei einer Masse von m = 1 kg und einer Höhe von 10 m etwa
ist die Beschleunigung des Planeten somit ein Wert in der Grössenordnung
10⁻²⁴ m/s² (zum Vergleich: der Radius eines Atoms hat die Grössenordnung
10⁻¹⁰ m, der eines Protons 10⁻¹⁵ m).

Ausserdem sollte nicht vergessen werden, dass es sich real bei dem System um
ein N-Körper-System handelt: der eine Testkörper zieht vielleicht am
Planeten, aber da sind noch Fantastilliarden andere Körper, die den Planeten
in andere Richtungen beschleunigen.


PointedEars
--
A neutron walks into a bar and inquires how much a drink costs.
The bartender replies, "For you? No charge."

(from: WolframAlpha)

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Stefan Ram wrote:

> r...@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:
>>Ist die Zeit vom Lösen der Halterung bis zum Auftreffen auf
>>dem Erdboden bei der schweren Kugel kleiner als bei der
>>leichten Kugel?
>

> Ja, es wurde bei den Antworten schon genannt: Man könnte
> sagen, daß die Fallzeit bei einer schwereren Kugel
> tatsächlich kürzer ist.

Das könnte man zwar, korrekt aber nur im Ramiversum, in dem Gewicht und
Masse gleichgesetzt werden.

> Aristoteles lehrte, daß schwere Körper schneller fallen
> während Galileo dies durch Gedankenexperimente widerlegte.

Auch durch tatsächliche Experimente auf dem Schiefen Turm von Pisa,
jedenfalls seinem Sekretär zufolge, und nachweislich durch Experimente
mit schiefen Ebenen.


PointedEars
--
Q: What did the nuclear physicist order for lunch?
A: Fission chips.

(from: WolframAlpha)

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Reinhardt Behm wrote:

> Das sind zwar nicht Kugeln, aber eine schöne Demo von Brian Cox:
> <https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs>

Grossartig <3

Brian Cox erwähnt ja am Ende das hier schon oft Diskutierte: In der
allgemeinen Relativitätstheorie gibt es keine Gravitationskraft.

Dass die Kugel und die Feder im Vakuum scheinbar gleich fallen wird damit
erklärt, dass sie nicht fallen, sondern sich kräftefrei entlang gekrümmter
Raumzeit-Geodäten bewegen. Dazu gibt es es sehr gutes Video von
„Veritasium“:

<https://www.youtube.com/watch?v=XRr1kaXKBsU>


PointedEars
--
Heisenberg is out for a drive when he's stopped by a traffic cop.
The officer asks him "Do you know how fast you were going?"
Heisenberg replies "No, but I know where I am."
(from: WolframAlpha)

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Stefan Ram wrote:

> Ist die Zeit vom Lösen der Halterung bis zum Auftreffen auf
> dem Erdboden bei der schweren Kugel kleiner als bei der
> leichten Kugel?

Wenn man „schwerer“ als „grössere Masse“ versteht:

Newtonsch ist das einfach zu zeigen (wird wohl heutzutage auch schon in der
Schule gelehrt), wenn man das empirisch inzwischen sehr gut bestätigte¹
schwache Äquivalenzprinzip annimmt: Träge und schwere Masse (m_T und m_g)
sind ununterscheidbar. Dann haben wir

F = m_T a = m_T g = m g = G M m/r² = G M_g m_g/r²

⇔ g = G M/r².

Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
NICHT von der Masse m des Testkörpers.

> (Ich plane, eine Antwort dazu später zu versenden, jedoch
> nicht vor 2022-10-26T00:00:00+01:00 und nicht nach 2022-
> 11-02T00:00:00+01:00.)

LOL.

Wie sagt der Engländer so schön: I’m not holding my breath.


PointedEars
___________
¹ <https://www.youtube.com/watch?v=2EkHB_WtKRQ>
--
Q: Why is electricity so dangerous?
A: It doesn't conduct itself.

(from: WolframAlpha)

[Hans-Peter Diettrich]

On 10/27/22 12:26 AM, Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:

> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
> NICHT von der Masse m des Testkörpers.

Die Masse des Testkörpers geht über die Verschiebung des
Massenmittelpunkts in das Ergebenis ein. Bei zwei Kugeln gleicher Masse
wird der Effekt also doppelt so groß.

DoDi

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Hans-Peter Diettrich wrote:

> On 10/27/22 12:26 AM, Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:
>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>
> Die Masse des Testkörpers geht über die Verschiebung des
> Massenmittelpunkts in das Ergebenis ein.

Pseudowissenschaftliches Gewäsch.

> Bei zwei Kugeln gleicher Masse wird der Effekt also doppelt so groß.

Wo genau hast Du *zwei* Massen in der hergeleiteten Formel gesehen? Eben.

Hier wird nur die Gravitations*beschleunigung* betrachtet, NICHT die -kraft.


PointedEars
--
Q: What happens when electrons lose their energy?
A: They get Bohr'ed.

(from: WolframAlpha)

[Hans-Peter Diettrich]

On 10/27/22 1:38 PM, Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:
> Hans-Peter Diettrich wrote:
>
>> On 10/27/22 12:26 AM, Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:
>>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>>
>> Die Masse des Testkörpers geht über die Verschiebung des
>> Massenmittelpunkts in das Ergebenis ein.
>
> Pseudowissenschaftliches Gewäsch.

Aha, da gehen jemand die Argumente aus! :-]

>> Bei zwei Kugeln gleicher Masse wird der Effekt also doppelt so groß.
>
> Wo genau hast Du *zwei* Massen in der hergeleiteten Formel gesehen?

Die waren im Thread weiter vorne gefragt, ob sie schneller fallen als
eine. Falls Du die Relevanz für Deine Betrachtung nicht verstanden hast,
kann ich gerne versuchen, einem theoretischen Physiker die reale Welt zu
erklären.

DoDi

[Rolf Bombach]

Stefan Ram schrieb:
>
> Allerdings, und das war mir bis vor kurzem nicht bewußt,
> zieht ein schwerer Körper die Erde stärker an, so daß sie
> zum Körper hin beschleunigt wird, wodurch dann die Zeit
> bis zum Auftreffen auf den Boden kleiner wird. Dies gilt
> auch dann, wenn es sich bei dem schweren Körper um zwei
> Kugeln handelt, egal wie dick ein Faden ist, mit dem sie
> verbunden sind.

Die Zahlen werden eventuell offensichtlicher, wenn du einen
kleineren Planeten nimmst. Etwa eine Kugel von 1 kg Masse.

--
mfg Rolf Bombach

[Dieter Heidorn]

Hans-Peter Diettrich schrieb:

Es geht um die Gravitationsbeschleunigungen, die zwei Körper erfahren,
die sich wechselseitig gravitativ beeinflussen (in Newtonscher
Näherung). Wende daher das dritte Newtonsche Gesetz an und bestimme die
Gravitationsbeschleunigungen für die Fälle:

a) eine Kugel (etwa eine Billiard-Kugel) wird aus geringer Höhe auf die
Erde fallengelassen;

b) zwei Kugeln gleicher Masse befinden sich im Weltraum,
weit weg von anderen Massen, so dass deren Einfluss vernachlässigt
werden kann, und fallen aufeinander zu;

c) zwei Kugeln verschiedener Masse (etwa eine Vollkugel und eine
Hohlkugel aus gleichem Material) befinden sich im Weltraum,
weit weg von anderen Massen, so dass deren Einfluss vernachlässigt
werden kann, und fallen aufeinander zu.

Dieter Heidorn

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Hans-Peter Diettrich wrote:

> On 10/27/22 1:38 PM, Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:
>> Hans-Peter Diettrich wrote:
>>> On 10/27/22 12:26 AM, Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:
>>>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>>>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>>>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>>>
>>> Die Masse des Testkörpers geht über die Verschiebung des
>>> Massenmittelpunkts in das Ergebenis ein.
>>
>> Pseudowissenschaftliches Gewäsch.
>
> Aha, da gehen jemand die Argumente aus! :-]

Einbildung ist ja bekanntlich auch eine Bildung.

>>> Bei zwei Kugeln gleicher Masse wird der Effekt also doppelt so groß.
>>
>> Wo genau hast Du *zwei* Massen in der hergeleiteten Formel gesehen?
>
> Die waren im Thread weiter vorne gefragt,

Das ist etwas völlig andreas.

> ob sie schneller fallen als eine.

Wie kommst Du auf dies schmale Brett?

Es ging um zwei Testkörper mit unterschiedlichen Massen, und welcher *von
diesen* (unter Idealbedingungen) schneller fällt. Wer sinnentnehmend lesen
kann, ist hier natürlich klar im Vorteil.

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Hans-Peter Diettrich wrote:

> On 10/27/22 1:38 PM, Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:
>> Hans-Peter Diettrich wrote:
>>> On 10/27/22 12:26 AM, Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:
>>>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>>>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>>>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>>>
>>> Die Masse des Testkörpers geht über die Verschiebung des
>>> Massenmittelpunkts in das Ergebenis ein.
>>
>> Pseudowissenschaftliches Gewäsch.
>
> Aha, da gehen jemand die Argumente aus! :-]

Einbildung ist ja bekanntlich auch eine Bildung.

>>> Bei zwei Kugeln gleicher Masse wird der Effekt also doppelt so groß.
>>
>> Wo genau hast Du *zwei* Massen in der hergeleiteten Formel gesehen?
>
> Die waren im Thread weiter vorne gefragt,

Das ist etwas völlig andreas.

> ob sie schneller fallen als eine.

Wie kommst Du auf dies schmale Brett?

Es ging um zwei Testkörper mit unterschiedlichen Massen, und welcher *von

diesen* (unter Idealbedingungen) schneller fällt (falls das überhaupt
zutrifft). Wer sinnentnehmend lesen kann, ist hier natürlich klar im

[Hans-Peter Diettrich]

> Es ging um zwei Testkörper mit unterschiedlichen Massen, und welcher *von
> diesen* (unter Idealbedingungen) schneller fällt (falls das überhaupt
> zutrifft).

Das war die einfache Variante, vor der Frage nach den zwei gleich großen
Massen.

> Wer sinnentnehmend lesen kann, ist hier natürlich klar im
> Vorteil.

Ach so, Du entnimmst nur das, was Dir in den Kram paßt, und den Rest
übersiehst Du gönnerhaft? Nun ja, war vielleicht zu schwer für Dich?


Dann habe ich gleich noch eine Frage, die Dich hoffentlich lesetechnisch
und auch sonst nicht überfordert:

Wenn man zwei gleiche Massen nebeneinander aus gleicher Höhe
nacheinander fallen läßt, welche fällt schneller?


Der Vollständigkeit halber hier nochmal Deine Formelei zur Beantwortung
der Frage:

>>
⇔ g = G M/r².

Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
NICHT von der Masse m des Testkörpers.
<<

Daß der Abstand r zum Gravitationszentrum auch von der Masse des
Testkörpers abhängt, ist Dir hoffentlich nicht entgangen?

DoDi

[Dieter Heidorn]

Hans-Peter Diettrich schrieb:

>
>> Es ging um zwei Testkörper mit unterschiedlichen Massen, und welcher *von
>> diesen* (unter Idealbedingungen) schneller fällt (falls das überhaupt
>> zutrifft).
>
> Das war die einfache Variante, vor der Frage nach den zwei gleich großen
> Massen.
>
>>  Wer sinnentnehmend lesen kann, ist hier natürlich klar im
>> Vorteil.
>
> Ach so, Du entnimmst nur das, was Dir in den Kram paßt, und den Rest
> übersiehst Du gönnerhaft? Nun ja, war vielleicht zu schwer für Dich?
>
>
> Dann habe ich gleich noch eine Frage, die Dich hoffentlich lesetechnisch
> und auch sonst nicht überfordert:
>
> Wenn man zwei gleiche Massen nebeneinander aus gleicher Höhe
> nacheinander fallen läßt, welche fällt schneller?
>
>
> Der Vollständigkeit halber hier nochmal Deine Formelei zur Beantwortung
> der Frage:

Im Ausgangsposting von Stefan Ram wird vorgegeben, was betrachtet werden
soll:

> Nehmen wir einmal an, eine Kugel mit einem Durchmesser von
> einem Zentimeter befinde sich so über dem Erdboden gehalten,
> daß ihr Abstand zur Erde einen Meter beträgt. Nun wird die
> Halterung schlagartig gelöst, so daß die Kugel frei fallen
> kann.

Zunächst wird die Erde als homogene Kugel idealisiert.
Aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz lässt sich dafür ableiten, was
Thomas schrieb:

>>                       g = G M/r².
>>
>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>>

Dein Einwand:

> Daß der Abstand r zum Gravitationszentrum auch von der Masse des

> Testkörpers abhängt [...]

ist falsch. Siehe dazu

https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsches_Gravitationsgesetz

insbesondere den Abschnitt

https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsches_Gravitationsgesetz#Ausgedehnte_K%C3%B6rper

Im Gravitationsgesetz

F_12 = F_21 = G m_1 m_2 / r^2

bezeichnet r stets den Abstand der Schwerpunkte der beiden sich
wechselseitig gravitativ anziehenden Massen.

Dieter Heidorn

[Hans-Peter Diettrich]

On 10/28/22 1:55 PM, Dieter Heidorn wrote:
> Hans-Peter Diettrich schrieb:

> Zunächst wird die Erde als homogene Kugel idealisiert.
> Aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz lässt sich dafür ableiten, was
> Thomas schrieb:
>
>>>                        g = G M/r².
>>>
>>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.

Natürlich nicht, weil die Masse des Testkörpers in den Abstand r bereits
eingegangen ist. Ganz anders als hier:

> Im Gravitationsgesetz
>
> F_12 = F_21 = G m_1 m_2 / r^2
>
> bezeichnet r stets den Abstand der Schwerpunkte der beiden sich
> wechselseitig gravitativ anziehenden Massen.

Würde das nicht bedeuten, daß sich die Kraft zwischen Erde und 2
gleichen Testkörpern gegenüber nur 1 Testkörper *verdoppelt*?

Wer findet den Fehler?

DoDi

[Dieter Heidorn]

Hans-Peter Diettrich schrieb:

> On 10/28/22 1:55 PM, Dieter Heidorn wrote:
>> Hans-Peter Diettrich schrieb:
>
>> Zunächst wird die Erde als homogene Kugel idealisiert.
>> Aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz lässt sich dafür ableiten, was
>> Thomas schrieb:
>>
>>>>                        g = G M/r².
>>>>
>>>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>>>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>>>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>
> Natürlich nicht, weil die Masse des Testkörpers in den Abstand r bereits
> eingegangen ist.

m_1 m_2
---|----------------------|-----
x_1 x_2
|<--- r = x_2 - x_1--->|

Die anfängliche Positionierung zweier Massen ist völlig freigestellt und
hängt nicht von einer der beiden Massen ab - siehe die Vorgaben im
Stefans Ausgangsposting:

> Nehmen wir einmal an, eine Kugel mit einem Durchmesser von
> einem Zentimeter befinde sich so über dem Erdboden gehalten,
> daß ihr Abstand zur Erde einen Meter beträgt. Nun wird die
> Halterung schlagartig gelöst, so daß die Kugel frei fallen
> kann.
>

> Die Kugel habe einmal eine Masse von einem Gramm ("leichte
> Kugel") und einmal von zehn Gramm ("schwere Kugel"). Alle
> anderen Umstände - abgesehen von der Masse der Kugel - sollen
> in beiden Fällen gleich sein.

Die gravitativen Wechselwirkungskräfte zwischen den beiden Massen:

F_1 = F_2 = G m_1 m_2 / r^2

sind betragsmäßig gleich und entgegengesetzt gerichtet (3. Newtonsches
Gesetz):

|---> F_1 F_2 <---|
m_1 m_2
|----------------------|-----

Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz (F = m a) erhält man die
Beschleunigungen:

F_1 = m_1 * G m_2 / r^2 = m_2 * G m_1 / r^2 = F_2

m_1 * a_1 = m_2 * a_2

Abzulesen ist:

a_1 = G m_2 / r^2 , a_2 = G m_1 / r^2.

Die Beschleunigungen verhalten sich umgekehrt wie die Massen:

a_2 / a_1 = m_1 / m_2 .

Beispiel: Körper 1 sei die Erde (idealisiert als homogene Kugel
betrachtet), Körper 2 eine homogene Kugel, die so angehoben wird, dass
ihr Massenmittelpunkt um h = 1 m über der Erdoberfläche liegt:

m_1 = M_E = 5,974e24 kg , r_1 = r_E = 6,371e6 m

Für die Kugel wird gewählt:

m_2 = 1 kg , r_2 = 3 cm

Der anfängliche Abstand der beiden Massenmittelpunkte ist dann

r = r_1 + h = 6,371001e6 m.

Gibt man die Kugel zur Zeit t = 0 frei, dann sind die
Anfangsbeschleunigungen

Erde: a_E = a_1 = G m_2 / r^2 = 1,644e-24 m/s^2

Kugel: a_K = a_2 = G M_E / r^2 = 9,823 m/s^2

Während des Falls der Kugel kann die Erde also als ruhend angesehen
werden. Die Fallzeit ergibt sich (bei Verwendung der konstanten
Anfansbeschleunigung a_2) zu

t = 0,444404853 s.

Mit einem kleinen Programm, dass den Fall in Zeitintervalle zerlegt, und
jeweils Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung beider Körper in
Abhängigkeit von der Zeit berechnet, ergibt sich bei der Schrittweite
dt = 1e-6 s für die Fallzeit:

t = 0,4444099999950278 .

>> Im Gravitationsgesetz
>>
>> F_12 = F_21 = G m_1 m_2 / r^2
>>
>> bezeichnet r stets den Abstand der Schwerpunkte der beiden sich
>> wechselseitig gravitativ anziehenden Massen.
>
> Würde das nicht bedeuten, daß sich die Kraft zwischen Erde und 2
> gleichen Testkörpern gegenüber nur 1 Testkörper *verdoppelt*?

Wenn die zwei gleichen Testkörper (ich wähle Kugeln) zu einem Testkörper
zusammengefasst werden können, dann verdoppelt sich die gravitative
Wechselwirkungskraft.

Erde und 1 Kugel:

m_1 = m_E , m_2 = m_K ,

F_12 = F_21 = G_ m_E m_K / r^2

Erde und 2 zusammengefasste Kugeln gleicher Masse:

m_1 = m_E , m'_2 = 2*m_K ,

F'_12 = F'_21 = G m_E m'_2 / r^2 = 2 * F_12

Sind die Kugeln nicht als verbunden zu betrachten und beliebig
positionierbar, dann hat man es mit einem Drei-Körper-Problem zu tun,
und muss die Bewegung von Erde und den beiden Kugeln unter Wirkung der
paarweisen Wechselwirkungskräfte zwischen Erde und Kugel 1, Erde und
Kugel 2, Kugel 1 und Kugel 2 berechnen. Haben die Kugeln wie oben Massen
in der Größenordnung von einigen Kilogramm, dann kann die Erde als
ruhend betrachtet werden, und die Fallbewegungen der beiden Kugeln
können als unabhängig angenommen werden.

> Wer findet den Fehler?

Welchen Fehler?

Dieter Heidorn

[Hans-Peter Diettrich]

On 10/29/22 2:17 PM, Dieter Heidorn wrote:
> Hans-Peter Diettrich schrieb:

>>>>>                        g = G M/r².
>>>>>
>>>>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>>>>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>>>>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>>
>> Natürlich nicht, weil die Masse des Testkörpers in den Abstand r
>> bereits eingegangen ist.
>
>
>     m_1                    m_2
>   ---|----------------------|-----
>     x_1                    x_2
>      |<--- r = x_2 - x_1--->|
>
> Die anfängliche Positionierung zweier Massen ist völlig freigestellt und
> hängt nicht von einer der beiden Massen ab - siehe die Vorgaben im
> Stefans Ausgangsposting:

So what?

Mir geht es darum, ob r nicht der Abstand zum Massenmittelpunkt ist,
nicht der zwischen den Schwerpunkten der (wieviel beteiligten?) Körper?

> Beispiel: Körper 1 sei die Erde (idealisiert als homogene Kugel
> betrachtet), Körper 2 eine homogene Kugel, die so angehoben wird, dass
> ihr Massenmittelpunkt um h = 1 m über der Erdoberfläche liegt:
>
>    m_1 = M_E = 5,974e24 kg ,  r_1 = r_E = 6,371e6 m
>
> Für die Kugel wird gewählt:
>
>    m_2 = 1 kg , r_2 = 3 cm
>
> Der anfängliche Abstand der beiden Massenmittelpunkte ist dann
>
>    r = r_1 + h = 6,371001e6 m.
>
> Gibt man die Kugel zur Zeit t = 0 frei, dann sind die
> Anfangsbeschleunigungen
>
>    Erde:   a_E = a_1 = G m_2 / r^2 = 1,644e-24 m/s^2
>
>    Kugel:  a_K = a_2 = G M_E / r^2 = 9,823     m/s^2

Bei so grober Rechnung ergibt sich natürlich kein brauchbares Ergebnis,
die Abweichungen sind ja auch meßtechnisch kaum erfaßbar. Deshalb die
Erweiterung des Experiments mit zwei Testkörpern, deren Wirkung in den
einschlägigen *Formeln* direkt nachweisbar ist.

> Während des Falls der Kugel kann die Erde also als ruhend angesehen
> werden.

Das entspricht der Wahl des Standorts des Beobachters, unabhängig von
irgendwelchen anderen Einflüssen. So what?

> Sind die Kugeln nicht als verbunden zu betrachten und beliebig
> positionierbar, dann hat man es mit einem Drei-Körper-Problem zu tun,
> und muss die Bewegung von Erde und den beiden Kugeln unter Wirkung der
> paarweisen Wechselwirkungskräfte zwischen Erde und Kugel 1, Erde und
> Kugel 2, Kugel 1 und Kugel 2 berechnen. Haben die Kugeln wie oben Massen
> in der Größenordnung von einigen Kilogramm, dann kann die Erde als
> ruhend betrachtet werden, und die Fallbewegungen der beiden Kugeln
> können als unabhängig angenommen werde >

>> Wer findet den Fehler?
>
> Welchen Fehler?

Den Fehler in Deiner Argumentation. Wenn die erste der beiden
nebeneinander positionierten Kugeln (m1) auf die Erde (me) fällt, dann
wird sie von der Anziehung der zweiten Kugel (m2) gebremst, die noch
oben bleibt. Fällt danach die zweite Kugel, wird sie sowohl von der Erde
als auch von der vorher gefallenen Masse beschleunigt, muß also
schneller fallen als die erste Kugel. q.e.d.

DoDi

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Hans-Peter Diettrich wrote:

> On 10/28/22 1:55 PM, Dieter Heidorn wrote:
>> Hans-Peter Diettrich schrieb:
>> Zunächst wird die Erde als homogene Kugel idealisiert.
>> Aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz lässt sich dafür ableiten, was
>> Thomas schrieb:
>>
>>>> g = G M/r².
>>>>
>>>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>>>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>>>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>
> Natürlich nicht, weil die Masse des Testkörpers in den Abstand r bereits
> eingegangen ist.

Nein. r ist der Abstand zwischen den Gravitationszentren der beiden Körper,
in diesem Fall zwischen dem des Planeten und dem des Testkörpers.

Die beteiligten Körper (Primärkörper, Testkörper) werden als *Punktmassen*
betrachtet und ihre Massen M (des Planeten) und m (des Testkörpers;
Gross-/Kleinschreibung deutet an, dass M ≫ m), sind _keine_ Funktion von r
oder umgekehrt.

Testkörper¹
:
v
. '|' .
' | '
: + m :
. / ,
/. . '
/
r /
/
_ ... _/
. / .
' / '
. / .
: + M :
' '
. .
. _ _ .
'''
Primärkörper (Planet)

[Im realen Fall ist Terra keine homogene Kugel, sondern – und das sogar
nur näherungsweise – ein inhomogener rotierender Rotationsellipsoid.
Auch die Testkugel dürfte nicht völlig homogen sein [und auch keine
perfekte Kugel, folglich liegen die Gravitationszentren nicht direkt
in den geometrischen Mittelpunkten der Körper.]

> Ganz anders als hier:
>
>> Im Gravitationsgesetz
>>
>> F_12 = F_21 = G m_1 m_2 / r^2
>>
>> bezeichnet r stets den Abstand der Schwerpunkte der beiden sich
>> wechselseitig gravitativ anziehenden Massen.
>
> Würde das nicht bedeuten, daß sich die Kraft zwischen Erde und 2
> gleichen Testkörpern gegenüber nur 1 Testkörper *verdoppelt*?

Nur, wenn diese als ein zusammenhängender Körper betrachtet werden. Das ist
im wesentlichen identisch mit der Beschreibung, dass sich die Masse *eines*
Testkörpers verdoppelt.

Aber nochmal: Die Idee, dass es sich um zwei *zusammenhängende* Testkörper
handele, hast lediglich *Du* eingebracht, weil Du – auch trotz Hinweis –
nicht richtig gelesen hast. Ausgangspunkt der Diskussion war die folgende
Frage:

| Die Kugel habe einmal eine Masse von einem Gramm ("leichte
| Kugel") und einmal von zehn Gramm ("schwere Kugel"). Alle
| anderen Umstände - abgesehen von der Masse der Kugel - sollen
| in beiden Fällen gleich sein.
|

| Nun soll an Hand bekannter physikalischer Gesetzmäßigkeiten,
| die folgende Frage beantwortet werden:
|

| Ist die Zeit vom Lösen der Halterung bis zum Auftreffen auf
| dem Erdboden bei der schweren Kugel kleiner als bei der
| leichten Kugel?

Es handelt sich also immer nur um eine Kugel, die auf einen Planeten fällt.

Nicht zwei Kugeln, und auch nicht zwei zusammenhängende Kugeln.

> Wer findet den Fehler?

Niemand ausser Dir hat in diesem Teilthread einen Fehler gemacht.

Bist Du fähig, *Deine* Fehler zu erkennen, einzusehen, und einzugestehen?


PointedEars
___________
¹ für die erwähnte Kugel ist die Grösse stark übertrieben
--
“Nature uses only the longest threads to weave her patterns
so that each small piece of her fabric reveals the organization
of the entire tapestry.”
—Richard Feynman, theoretical physicist, “Messenger Lecture” 1 (1964)

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Hans-Peter Diettrich wrote:

> On 10/28/22 1:55 PM, Dieter Heidorn wrote:
>> Hans-Peter Diettrich schrieb:
>> Zunächst wird die Erde als homogene Kugel idealisiert.
>> Aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz lässt sich dafür ableiten, was
>> Thomas schrieb:
>>
>>>> g = G M/r².
>>>>
>>>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>>>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>>>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>
> Natürlich nicht, weil die Masse des Testkörpers in den Abstand r bereits
> eingegangen ist.

> Ganz anders als hier:
>
>> Im Gravitationsgesetz
>>
>> F_12 = F_21 = G m_1 m_2 / r^2
>>
>> bezeichnet r stets den Abstand der Schwerpunkte der beiden sich
>> wechselseitig gravitativ anziehenden Massen.
>
> Würde das nicht bedeuten, daß sich die Kraft zwischen Erde und 2
> gleichen Testkörpern gegenüber nur 1 Testkörper *verdoppelt*?

Nur, wenn diese als ein zusammenhängender Körper betrachtet werden. Das ist
im wesentlichen identisch mit der Beschreibung, dass sich die Masse *eines*
Testkörpers verdoppelt.

Aber nochmal: Die Idee, dass es sich um zwei *zusammenhängende* Testkörper
handele, hast lediglich *Du* eingebracht, weil Du – auch trotz Hinweis –
nicht richtig gelesen hast. Ausgangspunkt der Diskussion war die folgende
Frage:

| Die Kugel habe einmal eine Masse von einem Gramm ("leichte
| Kugel") und einmal von zehn Gramm ("schwere Kugel"). Alle
| anderen Umstände - abgesehen von der Masse der Kugel - sollen
| in beiden Fällen gleich sein.
|
| Nun soll an Hand bekannter physikalischer Gesetzmäßigkeiten,
| die folgende Frage beantwortet werden:
|

| Ist die Zeit vom Lösen der Halterung bis zum Auftreffen auf
| dem Erdboden bei der schweren Kugel kleiner als bei der
| leichten Kugel?

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Hans-Peter Diettrich wrote:

> On 10/29/22 2:17 PM, Dieter Heidorn wrote:
>> Hans-Peter Diettrich schrieb:
>>>>>> g = G M/r².
>>>>>>
>>>>>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>>>>>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>>>>>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>>>
>>> Natürlich nicht, weil die Masse des Testkörpers in den Abstand r
>>> bereits eingegangen ist.
>>
>>
>> m_1 m_2
>> ---|----------------------|-----
>> x_1 x_2
>> |<--- r = x_2 - x_1--->|
>>
>> Die anfängliche Positionierung zweier Massen ist völlig freigestellt und
>> hängt nicht von einer der beiden Massen ab - siehe die Vorgaben im
>> Stefans Ausgangsposting:
>
> So what?
>
> Mir geht es darum, ob r nicht der Abstand zum Massenmittelpunkt ist,
> nicht der zwischen den Schwerpunkten der (wieviel beteiligten?) Körper?

Die Frage ist unklar formuliert, und kann daher nicht sinnvoll beantwortet
werden.

In guter Näherung ist der Massenmittelpunkt derselbe Punkt wie der
Schwerpunkt (Gravitationszentrum), da es die Masse ist, die (nach Newton)
zur Gravitation führt.

r ist im Newtonschen Gravitationsgesetz der Abstand zwischen den
Massenmittelpunkten/Schwerpunkten/Gravitationszentren der beiden Körper, die
*gravitativ* miteinander wechselwirken.

In dieser Diskussion also ein Planet (mit einem Gravitationszentrum, das
nahe des geometrischen Zentrums des Planeten liegt) und eine (angenommen
homogene, hypothetische) Testkugel (deren Gravitationszentrum deshalb als
in ihrem geometrischen Zentrum befindlich angenommen wird).

>> Gibt man die Kugel zur Zeit t = 0 frei, dann sind die
>> Anfangsbeschleunigungen
>>
>> Erde: a_E = a_1 = G m_2 / r^2 = 1,644e-24 m/s^2
>>
>> Kugel: a_K = a_2 = G M_E / r^2 = 9,823 m/s^2
>
> Bei so grober Rechnung ergibt sich natürlich kein brauchbares Ergebnis,
> die Abweichungen sind ja auch meßtechnisch kaum erfaßbar. Deshalb die
> Erweiterung des Experiments mit zwei Testkörpern, deren Wirkung in den
> einschlägigen *Formeln* direkt nachweisbar ist.

Dein Ingenieursstudium ist offenbar schon sehr lange her.


PointedEars
--
Q: Where are offenders sentenced for light crimes?
A: To a prism.

(from: WolframAlpha)

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Dieter Heidorn wrote:

> Gibt man die Kugel zur Zeit t = 0 frei, dann sind die
> Anfangsbeschleunigungen
>
> Erde: a_E = a_1 = G m_2 / r^2 = 1,644e-24 m/s^2
>
> Kugel: a_K = a_2 = G M_E / r^2 = 9,823 m/s^2
>
> Während des Falls der Kugel kann die Erde also als ruhend angesehen
> werden.

Im Schwerpunktsystem ist das natürlich richtig. Diese Rechnung hatte
ich übrigens qualitativ (mit Grössenordnungen) bereits präsentiert.

Ich denke aber, dass diese Rechnung hier irrelevant ist und eher zur
Verwirrung beiträgt (wie man an Hans-Peters Reaktion sieht), denn wir nehmen
in dem (Gedanken)experiment bereits implizit an, dass der Planet im
gewählten Bezugssystem ruht, da wir uns auf dessen Oberfläche befinden:

Die Fallbeschleunigung (bzw. genauer: die Änderung der Position des Körpers
mit der Zeit, und daraus berechnet die Fallbeschleunigung) wird bereits nur
relativ zur Oberfläche des Planeten gemessen.


PointedEars

[Hans-Peter Diettrich]

On 10/29/22 8:26 PM, Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:
> Hans-Peter Diettrich wrote:

>>> Im Gravitationsgesetz
>>>
>>> F_12 = F_21 = G m_1 m_2 / r^2
>>>
>>> bezeichnet r stets den Abstand der Schwerpunkte der beiden sich
>>> wechselseitig gravitativ anziehenden Massen.
>>
>> Würde das nicht bedeuten, daß sich die Kraft zwischen Erde und 2
>> gleichen Testkörpern gegenüber nur 1 Testkörper *verdoppelt*?
>
> Nur, wenn diese als ein zusammenhängender Körper betrachtet werden. Das ist
> im wesentlichen identisch mit der Beschreibung, dass sich die Masse *eines*
> Testkörpers verdoppelt.

Diesen trivialen Fall müssen wir doch nicht nochmal diskutieren?

> Aber nochmal: Die Idee, dass es sich um zwei *zusammenhängende* Testkörper
> handele, hast lediglich *Du* eingebracht, weil Du – auch trotz Hinweis –
> nicht richtig gelesen hast. Ausgangspunkt der Diskussion war die folgende
> Frage:

Die mit meiner Frage nichts mehr zu tun hat. Du drückst Dich nach allen
Regeln der Kunst um eine Beantwortung meiner Frage :-(

> Niemand ausser Dir hat in diesem Teilthread einen Fehler gemacht.

Zugegeben, ich habe euch anscheinend mit meiner Frage mit den zwei
Testkörpern geistig überfordert - mein Fehler :-(

DoDi

[Thomas 'PointedEars' Lahn]

Hans-Peter Diettrich wrote:

> On 10/29/22 8:26 PM, Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:
>> Hans-Peter Diettrich wrote:
>>>> Im Gravitationsgesetz
>>>>
>>>> F_12 = F_21 = G m_1 m_2 / r^2
>>>>
>>>> bezeichnet r stets den Abstand der Schwerpunkte der beiden sich
>>>> wechselseitig gravitativ anziehenden Massen.
>>>
>>> Würde das nicht bedeuten, daß sich die Kraft zwischen Erde und 2
>>> gleichen Testkörpern gegenüber nur 1 Testkörper *verdoppelt*?
>>
>> Nur, wenn diese als ein zusammenhängender Körper betrachtet werden. Das
>> ist im wesentlichen identisch mit der Beschreibung, dass sich die Masse
>> *eines* Testkörpers verdoppelt.
>
> Diesen trivialen Fall müssen wir doch nicht nochmal diskutieren?

Offenbar müssen wir das, denn Du hast diese Äquivalenz immer noch nicht
verstanden.

>> Aber nochmal: Die Idee, dass es sich um zwei *zusammenhängende*
>> Testkörper handele, hast lediglich *Du* eingebracht, weil Du – auch trotz
>> Hinweis –
>> nicht richtig gelesen hast. Ausgangspunkt der Diskussion war die
>> folgende Frage:
>
> Die mit meiner Frage nichts mehr zu tun hat.
>
> Du drückst Dich nach allen Regeln der Kunst um eine Beantwortung meiner
> Frage :-(

Welche Frage soll denn das sein? Bisher hast Du nur behauptet und
beleidigt.

>> Niemand ausser Dir hat in diesem Teilthread einen Fehler gemacht.
>
> Zugegeben, ich habe euch anscheinend mit meiner Frage mit den zwei
> Testkörpern geistig überfordert - mein Fehler :-(

Lies mal <https://de.wikipedia.org/wiki/Dunning-Kruger-Effekt>.

(Wahrscheinlich fällt Dir dann aber immer noch nichts auf, was genau der
Effekt ist.)


PointedEars
--
Q: How many theoretical physicists specializing in general relativity
does it take to change a light bulb?
A: Two: one to hold the bulb and one to rotate the universe.
(from: WolframAlpha)

[Dieter Heidorn]

Hans-Peter Diettrich schrieb:

> On 10/29/22 2:17 PM, Dieter Heidorn wrote:
>> Hans-Peter Diettrich schrieb:
>
>>>>>>                        g = G M/r².
>>>>>>
>>>>>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>>>>>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>>>>>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>>>
>>> Natürlich nicht, weil die Masse des Testkörpers in den Abstand r
>>> bereits eingegangen ist.
>>
>>
>>      m_1                    m_2
>>    ---|----------------------|-----
>>      x_1                    x_2
>>       |<--- r = x_2 - x_1--->|
>>
>> Die anfängliche Positionierung zweier Massen ist völlig freigestellt und
>> hängt nicht von einer der beiden Massen ab - siehe die Vorgaben im
>> Stefans Ausgangsposting:
>

> Mir geht es darum, ob r nicht der Abstand zum Massenmittelpunkt ist,
> nicht der zwischen den Schwerpunkten der (wieviel beteiligten?) Körper?
>

Liegen zwei Massepunkte vor, dann ist das r im Gravitationsgesetz der
Abstand der beiden Punkte.

Liegen zwei homogene Kugeln vor, dann ist r der Abstand der beiden
Massenmittelpunkte der Kugeln.

Aus dem Gravitationsgesetz kann durch Integration über Massenelemente
ausgedehnter Körper die wechselseitige Gravitationskraft zwischen
ausgedehnten Körpern bestimmt werden. Ergebnis: Das Feld einer homogenen
Vollkugel außerhalb der Kugel ist dasselbe, als befände sich die gesamte
Masse der Kugel in ihrem Mittelpunkt.

Betrachtet man also die Anordnung, die Stefan vorgegeben hatte (Kugel
fällt auf die Erde) und idealisiert die Erde als homogene Vollkugel,
dann ist das im Gravitationsgesetz auftretende r der Abstand der beiden
Massenmittelpunkte.

>> Beispiel: Körper 1 sei die Erde (idealisiert als homogene Kugel
>> betrachtet), Körper 2 eine homogene Kugel, die so angehoben wird, dass
>> ihr Massenmittelpunkt um h = 1 m über der Erdoberfläche liegt:
>>
>>     m_1 = M_E = 5,974e24 kg ,  r_1 = r_E = 6,371e6 m
>>
>> Für die Kugel wird gewählt:
>>
>>     m_2 = 1 kg , r_2 = 3 cm
>>
>> Der anfängliche Abstand der beiden Massenmittelpunkte ist dann
>>
>>     r = r_1 + h = 6,371001e6 m.
>>
>> Gibt man die Kugel zur Zeit t = 0 frei, dann sind die
>> Anfangsbeschleunigungen
>>
>>     Erde:   a_E = a_1 = G m_2 / r^2 = 1,644e-24 m/s^2
>>
>>     Kugel:  a_K = a_2 = G M_E / r^2 = 9,823     m/s^2
>
> Bei so grober Rechnung ergibt sich natürlich kein brauchbares Ergebnis,

An der Berechnung der Anfangsbeschleunigungen ist überhaupt nichts
"grob" - es handelt sich lediglich um die sich bei den gegebenen Massen
und dem Abstand r der Massenmittelpunkte aus dem Gravitationsgesetz
ergebende Beschleunigung von Erde und Kugel.

Der Vergleich zeigt, dass die Beschleunigung der Erde vernachlässigbar
ist.

Man kann aber natürlich Massen vergleichbarer Größenordnung wählen.

Beispiel: Zwei homogene Kugeln befinden sich weit entfernt von anderen
Massen im Weltraum. Es sei

Radien der Kugeln: r_1 = r_2 = 0,1 m
anfänglicher Abstand der Massenmittelpunkte: r_0 = 1 m
Masse von Kugel 1: m_1 = 32 kg
Masse von Kugel 2: m_2 veränderlich

Die Anfangsbeschleunigungen sind dann:

a_1 = G*m_2/r_0^2 , a_2 = G*m_1/r_0^2 .

Wie ich bereits beschrieben hatte, kann man mit einem kleinen Programm
die nach Freigabe der beiden Kugeln einsetzende Bewegung der Kugeln
unter Wirkung ihrer gegenseitigen Anziehung in kleinen Zeitschritten dt
durchführen. Dabei erhält man
* die Orte der Massenmittelpunkte x_1(t), x_2(t),
* den Abstand r(t),
* die Geschwindigkeiten v_1(t), v_2(t),
* die Beschleunigungen a_1(t), a_2(t)
in Abhängigkeit von der Zeit.

Bei der Schrittweite dt = 1 s ergegen sich für die Zeit t bis zum
Kontakt der Kugeln die nachstehend angegebenen Werte. Zur Verdeutlichung
sind auch noch die Werte der anfänglichen Beschleunigungen angegeben.

m_2/kg a10 / m/s^2 a20 / m/s^2 t/s
---------------------------------------------------
8 5.339e-10 2.136e-9 20628
16 1.068e-9 2.136e-9 18830
24 1.602e-9 2.136e-9 17433
32 2.136e-9 2.136e-9 16307
64 4.271e-9 2.136e-9 13315

> die Abweichungen sind ja auch meßtechnisch kaum erfaßbar.

Solche Unterschiede sind messtechnisch erfassbar.

> Deshalb die
> Erweiterung des Experiments mit zwei Testkörpern, deren Wirkung in den
> einschlägigen *Formeln* direkt nachweisbar ist.
>

Und warum hast du die Rechnung dann nicht vorgeführt?

Zu deinem Beispiel "Kugel fällt auf die Erde und eine zweite Kugel soll
auch noch vorhanden sein":

> Wenn die erste der beiden
> nebeneinander positionierten Kugeln (m1) auf die Erde (me) fällt, dann
> wird sie von der Anziehung der zweiten Kugel (m2) gebremst, die noch
> oben bleibt. Fällt danach die zweite Kugel, wird sie sowohl von der Erde
> als auch von der vorher gefallenen Masse beschleunigt, muß also
> schneller fallen als die erste Kugel. q.e.d.
>

Das führt genau so wie bei Stefans Ausgangsanordnung (eine Kugel fällt
auf die Erde) nicht zu messtechnisch erfassbaren Unterschieden.
Wenn du rechnen könntest, dann würdest du feststellen, dass die
Gravitationskraft, die zwei Kugeln von 1 kg Masse im Abstand r = 1 m
aufeinander ausüben, im Vergleich zur Gravitationskraft, welche die Erde
auf je eine Kugel ausübt, getrost vernachlässigt werden kann:

Beschleunigung einer Kugel durch die Erde (wie oben bereits
beschrieben):

a_KE = G M_E / r^2 = 9,823 m/s^2

Beschleunigung einer Kugel durch eine zweite gleiche Kugel im Abstand
von 1 m:

a_KK = G m_K / r^2 = 6,674e-11 m/s^2

Um messbare Ergebnisse zu erhalten, kommst du nicht darum herum, drei
Kugeln in vergleichbarer Größenordnung zu wählen und die Bewegung unter
ihrer paarweise wechselseitigen gravitativen Anziehung zu berechnen.
Dabei wirst du feststellen, dass das entstandene Dreikörpersystem mit
dem Gravitationsgesetz vollständig berechnet werden kann und keine
Fragen offen bleiben.

Dieter Heidorn

[Hans-Peter Diettrich]

On 10/30/22 5:59 PM, Dieter Heidorn wrote:
> Hans-Peter Diettrich schrieb:

> Der Vergleich zeigt, dass die Beschleunigung der Erde vernachlässigbar
> ist.

Wenn man als Ergebnis haben möchte, daß die Beschleunigung unverändert
bleibt :-]

> Zu deinem Beispiel "Kugel fällt auf die Erde und eine zweite Kugel soll
> auch noch vorhanden sein":

[...]

> Das führt genau so wie bei Stefans Ausgangsanordnung (eine Kugel fällt
> auf die Erde) nicht zu messtechnisch erfassbaren Unterschieden.

Genau das sagte ich doch!

> Wenn du rechnen könntest, dann würdest du feststellen, dass die
> Gravitationskraft, die zwei Kugeln von 1 kg Masse im Abstand r = 1 m
> aufeinander ausüben, im Vergleich zur Gravitationskraft, welche die Erde
> auf je eine Kugel ausübt, getrost vernachlässigt werden kann:

Du vernachlässigst hier doch nur, damit Du mir nicht Recht geben mußt!


> Um messbare Ergebnisse zu erhalten

kannst Du machen was Du willst. Experimentalphysiker arbeiten
quantitativ, ansonsten gelten auch qualitative physikalische Erkenntnisse.

DoDi

[Dieter Heidorn]

Hans-Peter Diettrich schrieb:

> On 10/30/22 5:59 PM, Dieter Heidorn wrote:
>> Hans-Peter Diettrich schrieb:

>> Wenn du rechnen könntest, dann würdest du feststellen, dass die
>> Gravitationskraft, die zwei Kugeln von 1 kg Masse im Abstand r = 1 m
>> aufeinander ausüben, im Vergleich zur Gravitationskraft, welche die Erde
>> auf je eine Kugel ausübt, getrost vernachlässigt werden kann:
>
> Du vernachlässigst hier doch nur, damit Du mir nicht Recht geben mußt!
>

Nein. Du wolltest eine andere Anordnung untersuchen als Stefan
ursprünglich angegeben hatte, mit der Begründung, dass die zu
erwartenden Werte messtechnisch nicht zu erfassen sind. Ich habe dich
darauf aufmerksam gemacht, dass deine Anordnung, die mit der
ursprünglichen nicht übereinstimmt, ebenfalls keine messtechnisch nicht
erfassbaren Werte liefert.

>
>> Um messbare Ergebnisse zu erhalten
>

> Experimentalphysiker arbeiten quantitativ,

... aber nicht planlos und undurchdacht, so wie du es hier vorgeführt
hast.

> ansonsten gelten auch qualitative physikalische Erkenntnisse.
>

Und die hatte Stefan für seine Anordnung gegeben - du hast sie
offensichtlich nicht verstanden, daher hast du schrittweise immer andere
Überlegungen mit "zwei + eine Kugel" ins Spiel gebracht. Offensichtlich
hast du immer noch nicht begriffen, dass alle hier aufgetauchten Fragen
qualitativ beantwortet werden können, wenn man berücksichtigt, dass die
gravitative Beschleunigung, die zwei Massen wechselseitig aufeinander
ausüben, im umgekehrten Verhältnis zu den Massen der Körper stehen.

Dieter Heidorn

[Hans-Peter Diettrich]

On 10/30/22 8:55 PM, Dieter Heidorn wrote:

> Und die hatte Stefan für seine Anordnung gegeben - du hast sie
> offensichtlich nicht verstanden, daher hast du schrittweise immer andere
> Überlegungen mit "zwei + eine Kugel" ins Spiel gebracht.

Mein Ansatz war ganz klar "eine Erde + 2 Kugeln".

Ich habe die Probleme mit der ursprünglichen Aufgabenstellung
vorausgesehen, und deshalb die Aufgabenstellung dahingehend modifiziert,
daß sie einfach zu beantworten wird, ohne Rechnerei und Unterschlagung
irgendwelcher mutwillig vernachlässigter Faktoren.

> Offensichtlich
> hast du immer noch nicht begriffen, dass alle hier aufgetauchten Fragen
> qualitativ beantwortet werden können, wenn man berücksichtigt, dass die
> gravitative Beschleunigung, die zwei Massen wechselseitig aufeinander
> ausüben, im umgekehrten Verhältnis zu den Massen der Körper stehen.

Und ich Dummerchen dachte immer, daß das Quadrat der Entfernung ihrer
Massenmittelpunkte auch noch eine Rolle spielt. Und daß die
(Fall-)Geschwindigkeit eines Körpers nicht nur von der auf ihn wirkenden
Beschleunigung abhängt, sondern auch noch von seiner (trägen) Masse. Wie
konnte ich nur auf solch dumme Gedanken kommen?

SCNR
DoDi

[Dieter Heidorn]

Hans-Peter Diettrich schrieb:

> On 10/30/22 8:55 PM, Dieter Heidorn wrote:
>
>> Offensichtlich
>> hast du immer noch nicht begriffen, dass alle hier aufgetauchten Fragen
>> qualitativ beantwortet werden können, wenn man berücksichtigt, dass die
>> gravitative Beschleunigung, die zwei Massen wechselseitig aufeinander
>> ausüben, im umgekehrten Verhältnis zu den Massen der Körper stehen.
>
> Und ich Dummerchen dachte immer, daß das Quadrat der Entfernung ihrer
> Massenmittelpunkte auch noch eine Rolle spielt.

Es ist dir mehrfach angegeben worden, wie die Beschleunigung zu
berechnen ist. Falls du es "übersehen" haben solltest, hier noch einmal:

Gravitationskraft zwischen Erde und Kugel:

F_E = G m_E m_K / r^2 = F_K

Anwenden des zweiten Newtonschen Axioms F = m a:

m_E a_E = G m_E m_K / r^2 = m_K a_K

Abzulesen ist:

a_K = G m_E / r^2 (unabhängig von m_K)

a_E = G m_K / r^2 (unabhängig von m_E)

Verhältnis der Beschleunigungen:

a_E / a_K = m_K / m_E (unabhängig von r^2)

Einsetzen der Werte von r, m_K, m_E zeigt sofort: Für Kugeln mit
"alltäglichen" Massen ist keine messbare Veränderung der
Fallzeit zu erwarten, wenn die Kugelmasse vergrößert wird.

> Und daß die
> (Fall-)Geschwindigkeit eines Körpers nicht nur von der auf ihn wirkenden
> Beschleunigung abhängt, sondern auch noch von seiner (trägen) Masse.

Wie die Bewegung von Kugel und Erde (bzw. zweier Kugeln vergleichbarer
Größenordnung der Massen) unter Wirkung ihrer wechselseitigen
gravitativen Beeinflussung berechnet werden kann, hatte ich bereits in
meinen postings vom 29.10.2022 14:17 und vom 30.10.2022 17:59 angegeben.
Etwas ausführlicher kannst du es natürlich auch haben:

Beim Fall liegen zur Zeit t = 0 Anfangsbedingungen vor:

Koordinatenursprung in den Erdmittelpunkt gelegt,
Fall der Kugel längs x-Achse in Richtung Erdmittelpunkt (v < 0)

r(0) = r_E + h,

x_K(0) = r(0) x_E(0) = 0

v_K(0) = 0 v_E(0) = 0

a_K(0) = G m_E / r(0)^2 a_E(0) = G m_K / r(0)^2

Da a = dv/dt und v = dx/dt kann man diskretisieren:

dv = a dt: v(t + dt) - v(t) = a dt

dx = v dt: x(t + dt) - x(t) = v dt

und eine schrittweise Berechnung des zeitlichen Verlaufs der Bewegung
der Kugel und der Erde ausführen:

v_K(t + dt) = a_K(t) dt + v_K(t) ; v_E(t + dt) = a_E(t) dt + v_E(t)

x_K(t + dt) = -v_K(t) dt + x_K(t) ; x_E(t + dt) = v_E(t) dt + x_E(t)

r(t + dt) = x_K(t + dt) - x_E(t + dt)

a_K(t + dt) = G m_E /r(t)^2 ; a_E(t + dt) = G m_K /r(t)^2

Die erhaltenen Werte sind die Startwerte für den nächsten Zeitschritt,
und die Berechnung wird solange ausgeführt, bis die Kugel die
Erdoberfläche berührt.

* Ergebnisse für die Fallzeit bei unterschiedlichen Kugelmassen:

m_K/kg t/s
---------------------------
1 0.4444099999950278
10 0.4444099999950278
100 0.4444099999950278
1000 0.4444099999950278
10000 0.4444099999950278

Eine Veränderung der Fallzeit ist nicht zu beobachten.

* Ergebnisse für zwei Kugeln mit m_1 = 32 kg (entspricht Erde) und m_2
veränderlich:

m_2/kg t/s
------------------
2 22374
4 21744
6 21164
8 20628
12 19668
16 18830
20 18091
24 17433
28 16842
32 16307
64 13315

Eine Verringerung der "Fallzeit" bei Vergrößerung von m_2 ist deutlich
zu erkennen.

> Wie konnte ich nur auf solch dumme Gedanken kommen?

Ganz einfach dadurch, dass du nicht richtig gelesen hast, was man dir
schrieb, und daher auch nicht ernsthaft darüber nachgedacht hast.

Dieter Heidorn