Schachmatt der Ueberabzaehlbarkeit

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Horst Kraemer

unread,
Jul 30, 2001, 1:57:20 PM7/30/01
to
On Mon, 30 Jul 2001 17:55:03 +0200, "Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li>
wrote:

> Meine vier vorigen Postings (wobei im sehr kurzen vom 29.07.01
> alles wesentliche gesagt ist):
> http://members.lol.li/twostone/google1.html#unendlich


Hier beziehst Du Dich offensichtlich auf

> Das lässt sich ganz einfach mit Cantors Diagonalprinzip zeigen.

> Wenn die Menge disjunkter Intervalle abzählbar wäre, dann müsste
> sich eine Folge x1, x2, x3, ... angeben lassen, die alle
> Grenzpunkte zwischen je zwei benachbarten Intervallen enthält.
> Es lässt sich dann bekanntlich ein neuer Grenzpunkt x angeben,
> der verschieden von allen Grenzpunkten x_n ist.

Wenn Du etwas ueber eine bestimmte Menge zeigen willst, musst Du sie
durch eine Eigenschaft beschreiben.

"Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,
denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervalle aus
R bestehen.

"Disjunkt" ist eine Eigenschaft, die nicht einem einzelnen Intervall
fuer sich zukommt, sondern es ist eine Aussage ueber alle
Intervallpaare aus Deiner Intevallmenge, naemlich die Aussage, dass
der Durchschnitt von je zwei Intervallen aus Deiner Intervallmenge
leer ist. Daher waere eine Begriffsbildung wie "die Menge aller
disjunkten Intervalle" sinnlos.

Wenn Du eine bestimmte Menge paarweise disjunkter Intervalle meinst,
musst Du sagen, welche. Wenn Du allgemein zeigen willst, dass etwas
fuer _jede_ Menge paarweise disjunkter gilt, kannst Du natuerlich
loslegen:

"M sei eine beliebige Menge paarweise disjunkter Intervalle..."
Zusaetzlich magst Du voraussetzen, dass diese Menge ganz R
ausschoepft, d.h. dass jede reelle Zahl in genau einem Intervall
vorkommt. Fuer eine beliebige Menge p.d. Intervalle kannst Du
natuerlich nicht zeigen, dass sie ueberabzaehlbar ist, denn die Menge
der Intervall [k,k+1), wobei k eine ganze Zahl ist, ist offensichtlich
p.d. und abzaehlbar.

Fuer welche Menge paarweise disjunkter Intervalle willst Du nun
zeigen, dass sie ueberbzaehlbar ist ? Dass dies nicht fuer _jede_
gilt, wissen wir bereits...

Einen Existenzbeweis kannst Du ueber die Cantor-Methode nicht
bewerkstelligen. Die Cantor-Methode spricht von einer _bestimmten_ und
damit beschriebenen Menge, naemlich _der_ eindeutig spezifizierten
Menge der unendlichen Folgen, die aus 0,1 (oder aus 0,1,...,9)
bestehen und weist dann nach, dass _diese_ exakt spezifizierte Menge
nicht abzaehlbar ist.

Du hast Deine Intervallmenge, deren Ueberabzaehlbarkeit zu beweisen
moechtest, bisher nicht spezifiziert.

MfG
Horst

Wolfgang G. G.

unread,
Aug 2, 2001, 4:44:03 AM8/2/01
to
Horst Kraemer in 3b659fea...@news.cis.dfn.de :

> "Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,

> denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervallen
> aus R bestehen.

Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.

> "Disjunkt" ist [...]

Wenn ich die Intervalle dadurch erzeuge, dass ich das Einheits-
intervall zerteile, dann ist die Diskussion irrelevant, ob man
solche Intervalle als PAARWEISE disjunkt oder (wechselseitig)
disjunkt bezeichnen soll. "Paarweise disjunkt" halte ich für eher
irreführend, da es den von Detlef Mueller präsentierten Fall
disjunkter Paare suggerieren kann:

"Die Intervalle [r-1,r[ und [r,r+1[ sind disjunkt und lassen
sich nicht abzaehlen."

> Fuer welche Menge paarweise disjunkter Intervalle willst Du nun
> zeigen, dass sie ueberbzaehlbar ist ? Dass dies nicht fuer _jede_
> gilt, wissen wir bereits...

Für welche Menge der reellen Zahlen hat Cantor denn gezeigt, dass
sie überabzählbar ist? Dass dies nicht für JEDE gilt, wissen wir.

Um das Konzept "überabzählbar" zu widerlegen, genügt eine einzige
überabzählbare Menge von Grenzpunkten bzw. Intervallen. Wenn es
DIE Menge der reellen Zahlen (als Vereinigungsmenge aller endlichen
und unendlichen Mengen von reellen Zahlen) gibt, dann gibt es auch
DIE Menge der Grenzpunkte, die das Einheitsintervall in echte
Intervalle aufteilt.

Je mehr Grenzpunkte, desto mehr Intervalle. Die Zusammenführung
einer Aufteilung in n (untereinander) disjunkte Intervalle
mit einer anderen Aufteilung in m (untereinander) disjunkte
Intervalle ergibt eine Aufteilung in bis zu n+m-1 Intervalle. Das
Zusammenführen von z.B.

M1: { [0, 0.5], [0.5, 1.0] }
M2: { [0, 0.4], [0.4, 0.6], [0.6, 1.0] }

ergibt eine Menge mit 4 Intervallen:

M3: { [0, 0.4], [0.4, 0.5], [0.5, 0.6], [0.6, 1.0] }

Wenn wir solche Intervall-Mengen je durch die Menge ihrer oberen
Grenzpunkte darstellen, entspricht der Zusammenführung solcher
Intervall-Mengen die Vereinigungsmenge dieser Grenzpunkte. Obige
drei Intervallmengen lassen sich dann so darstellen:

M1 = {0.5, 1.0}
M2 = {0.4, 0,6, 1.0}
M3 = {0.4, 0.5, 0,6, 1.0} = M1 u M2

> Einen Existenzbeweis kannst Du ueber die Cantor-Methode nicht
> bewerkstelligen.

Was hindert uns aber daran, die reellen Zahlen von Cantors
Diagonalbeweis-Liste als obere Grenzpunkte von Intervallen
aufzufassen? Wenn die Intervalle abzählbar wären, müsste eine
abzählbare Liste doch auf diese Weise möglich sein.

> Die Cantor-Methode spricht von einer _bestimmten_ und
> damit beschriebenen Menge, naemlich _der_ eindeutig spezifizierten
> Menge der unendlichen Folgen, die aus 0,1 (oder aus 0,1,...,9)
> bestehen und weist dann nach, dass _diese_ exakt spezifizierte Menge
> nicht abzaehlbar ist.

Wenn wir Cantors "bestimmte und damit beschriebene" Menge als
gegeben akzeptieren, dann müssen wir auch all deren Elemente als
gegeben akzeptieren. Und da die Elemente je aus einer Ziffernfolge
bestehen, lassen sie sich ordnen. Also: insofern die Elemente
(d.h. reelle Zahlen bzw. Grenzpunke zwischen Intervallen) gegeben
sind, sind auch die disjunkten Intervalle zwischen den Elementen
gegeben. (Und insofern die Elemente nicht gegeben sind, ist die
Frage nach Abzählbarkeit dieser Elemente sinnlos.)

Die zwei Ziffernfolgen bzw. Elemente

14956457064057687793231235555...
14956457064057687793231237777...

repräsentieren ein Intervall mit der "Länge"

00000000000000000000000002222...

Weitere unterschiedliche Elemente zwischen a) und b) teilen das
Intervall und erhöhen somit die Anzahl der Intervalle. Das Element

14956457064057687793231236666...

verkürzt obiges Intervall auf

00000000000000000000000001111...

und erzeugt ein neues Intevall derselben "Länge".

In dem Masse, wie weitere Grenzpunkte (d.h. reele Zahlen) zwischen
a) und b) gegeben sind, sind auch entsprechende Intervalle gegeben.


Gruss, Wolfgang
http://members.lol.li/twostone/google1.html#unendlich


Janosch Zwerensky

unread,
Aug 2, 2001, 5:36:30 AM8/2/01
to

>Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
>unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
>paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.

Es gibt _eine_ Menge, die _alle_ rellen Zahlen enthält. Es gibt _keine_ Menge,
die "alle disjunkten Intervalle über R" enthält, weil es definitionsgemäß keine
Intervalle gibt, die so "an und für sich disjunkt" sind.

>Wenn ich die Intervalle dadurch erzeuge, dass ich das Einheits-
>intervall zerteile, dann ist die Diskussion irrelevant, ob man
>solche Intervalle als PAARWEISE disjunkt oder (wechselseitig)
>disjunkt bezeichnen soll. "Paarweise disjunkt" halte ich für eher
>irreführend, da es den von Detlef Mueller präsentierten Fall
>disjunkter Paare suggerieren kann:

Disjunktheit ist immer eine Eigenschaft eines Paares zweier Mengen.

>Für welche Menge der reellen Zahlen hat Cantor denn gezeigt, dass
>sie überabzählbar ist?

In der ursprünglichen Form des Beweises zeigt er es für {x Element R: 0<=x<=1}.
Daraus folgt natürlich auch trivialerweise, daß ganz R, also die Menge aller
reellen Zahlen, überabzählbar ist.

> (...)


>Um das Konzept "überabzählbar" zu widerlegen, genügt eine einzige
>überabzählbare Menge von Grenzpunkten bzw. Intervallen.

Um das Konzept "überabzählbar" zu "widerlegen", musst Du zeigen, daß es für
jede Menge M eine Abbildung f:N--->M gibt, so daß f surjektiv ist und N die
Menge der natürlichen Zahlen. Natürlich kannst Du das nicht zeigen, weil seit
Cantor klar ist, daß es massenhaft überabzählbare Mengen gibt.

> Wenn es
>DIE Menge der reellen Zahlen (als Vereinigungsmenge aller endlichen
>und unendlichen Mengen von reellen Zahlen) gibt, dann gibt es auch
>DIE Menge der Grenzpunkte, die das Einheitsintervall in echte
>Intervalle aufteilt.

Nö. DIe letztere hängt von der Wahl irgendwelcher Intervalle ab, die erstere
nicht.

>(...)


>Wenn wir Cantors "bestimmte und damit beschriebene" Menge als
>gegeben akzeptieren, dann müssen wir auch all deren Elemente als
>gegeben akzeptieren. Und da die Elemente je aus einer Ziffernfolge
>bestehen, lassen sie sich ordnen. Also: insofern die Elemente
>(d.h. reelle Zahlen bzw. Grenzpunke zwischen Intervallen) gegeben
>sind, sind auch die disjunkten Intervalle zwischen den Elementen
>gegeben.

Klar kannst Du R in eine auf natürliche Weise geordnete Menge disjunkter
einpunktiger Intervalle zerlegen, wenn Du magst...

Grüße,
Janosch.

Sönke Müller-Lund

unread,
Aug 2, 2001, 6:48:00 AM8/2/01
to
Moin Wolfgang,

> > "Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,
> > denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervallen
> > aus R bestehen.
>
> Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
> unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
> paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.

Mathematik mit der Brechstange?

Deine Aussage ist genauso infantil, wie die meisten Beiträge von Arnold
Schiller, frei nach dem Motto: "Wenn ICH das nicht darf, dann dürft IHR
das auch nicht!".

Es wurde schon lange bewiesen, dass jede Menge disjunkter Intervalle
reeller Zahlen höchstens abzählbar ist.

Aber sei es drum, schauen wir doch mal nach, was Du so planst:

> Wenn ich die Intervalle dadurch erzeuge, dass ich das Einheits-
> intervall zerteile, dann ist die Diskussion irrelevant, ob man
> solche Intervalle als PAARWEISE disjunkt oder (wechselseitig)
> disjunkt bezeichnen soll.

Das musst Du erst beweisen.

> "Paarweise disjunkt" halte ich für eher
> irreführend, da es den von Detlef Mueller präsentierten Fall
> disjunkter Paare suggerieren kann:
>
> "Die Intervalle [r-1,r[ und [r,r+1[ sind disjunkt und lassen
> sich nicht abzaehlen."

Das willst Du nun beweisen?

>
> > Fuer welche Menge paarweise disjunkter Intervalle willst Du nun
> > zeigen, dass sie ueberbzaehlbar ist ? Dass dies nicht fuer _jede_
> > gilt, wissen wir bereits...
>
> Für welche Menge der reellen Zahlen hat Cantor denn gezeigt, dass
> sie überabzählbar ist? Dass dies nicht für JEDE gilt, wissen wir.

Das ist albern!

Es gibt nur eine Menge der reellen Zahlen, nämlich die, die alle reelle
Zahlen enthält und nur reelle Zahlen enthält und die wir i.A. mit IR
bezeichnen.

Und IR ist überabzählbar, wie Cantor in seinem verblüffend einfachen
Beweis demonstriert hat.

> Um das Konzept "überabzählbar" zu widerlegen,

"überabzählbar" ist einen Eigenschaft, kein Konzept.
Außerdem: Wolltest Du nicht die Überabzählbarkeit zeigen?

> genügt eine einzige
> überabzählbare Menge von Grenzpunkten bzw. Intervallen. Wenn es
> DIE Menge der reellen Zahlen (als Vereinigungsmenge aller endlichen
> und unendlichen Mengen von reellen Zahlen) gibt, dann gibt es auch
> DIE Menge der Grenzpunkte, die das Einheitsintervall in echte
> Intervalle aufteilt.
>
> Je mehr Grenzpunkte, desto mehr Intervalle. Die Zusammenführung
> einer Aufteilung in n (untereinander) disjunkte Intervalle
> mit einer anderen Aufteilung in m (untereinander) disjunkte
> Intervalle ergibt eine Aufteilung in bis zu n+m-1 Intervalle. Das
> Zusammenführen von z.B.
>
> M1: { [0, 0.5], [0.5, 1.0] }
> M2: { [0, 0.4], [0.4, 0.6], [0.6, 1.0] }
>
> ergibt eine Menge mit 4 Intervallen:
>
> M3: { [0, 0.4], [0.4, 0.5], [0.5, 0.6], [0.6, 1.0] }
>
> Wenn wir solche Intervall-Mengen je durch die Menge ihrer oberen
> Grenzpunkte darstellen, entspricht der Zusammenführung solcher
> Intervall-Mengen die Vereinigungsmenge dieser Grenzpunkte. Obige
> drei Intervallmengen lassen sich dann so darstellen:
>
> M1 = {0.5, 1.0}
> M2 = {0.4, 0,6, 1.0}
> M3 = {0.4, 0.5, 0,6, 1.0} = M1 u M2

Das darf man so natürlich nicht aufschreiben, aber ich glaube, Deine
Intervallteilung hat jeder verstanden.
Du betrachtest nun die "Grenzmenge" M, die dadurch entsteht, das alle
Mengen disjunkter Intervalle auf diese Art "vereinigt" werden.

Leider fehlt in diesem "Beweis" der Nachweis, dass M überabzählbar viele
"echte", d.h. keine einpunktigen Intervalle enthält. In Wahrheit enthält
M überhaupt kein Intervall mehr.
Beweis:

Sei [a,b] ein Intervall aus M mit a < b. Nach obiger Konstruktion gibt
es eine Menge M0 disjunkter Intervalle, die das Intervall [a,c] enthält
mit c:=(a+b)/2, d.h. es gilt a < c < b. Nach Konstruktion von M wird
[a,b] zerlegt in [a,c] und [c,b]. [a,b] kann also nicht in M sein und
somit überhaupt kein Intervall.

Damit hast Du gezeigt: M = IR, d.h. M ist tatsächlich überabzählbar.

> > Die Cantor-Methode spricht von einer _bestimmten_ und
> > damit beschriebenen Menge, naemlich _der_ eindeutig spezifizierten
> > Menge der unendlichen Folgen, die aus 0,1 (oder aus 0,1,...,9)
> > bestehen und weist dann nach, dass _diese_ exakt spezifizierte Menge
> > nicht abzaehlbar ist.
>
> Wenn wir Cantors "bestimmte und damit beschriebene" Menge als
> gegeben akzeptieren, dann müssen wir auch all deren Elemente als
> gegeben akzeptieren. Und da die Elemente je aus einer Ziffernfolge
> bestehen, lassen sie sich ordnen.

Sie lassen sich ordnen, aber nicht anordnen.

> Die zwei Ziffernfolgen bzw. Elemente
>
> 14956457064057687793231235555...
> 14956457064057687793231237777...
>
> repräsentieren ein Intervall mit der "Länge"
>
> 00000000000000000000000002222...
>
> Weitere unterschiedliche Elemente zwischen a) und b) teilen das
> Intervall und erhöhen somit die Anzahl der Intervalle. Das Element
>
> 14956457064057687793231236666...
>
> verkürzt obiges Intervall auf
>
> 00000000000000000000000001111...
>
> und erzeugt ein neues Intevall derselben "Länge".

Hier müsstest Du eigentlich merken, dass die Länge gegen 0 strebt und
somit deine Intervalle nichts mehr Wert sind.

Sönke

--
Sönke Müller-Lund Alter Markt 1-2 Flughafenstr. 52a
Baltic Online Computer GmbH 24103 Kiel 22335 Hamburg
http://www.baltic-online.de +49-(0)431-54003-0 +49-(0)40-5329939

Horst Kraemer

unread,
Aug 2, 2001, 6:57:14 AM8/2/01
to
On Thu, 2 Aug 2001 10:44:03 +0200, "Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li>
wrote:

> Horst Kraemer in 3b659fea...@news.cis.dfn.de :


>
> > "Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,
> > denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervallen
> > aus R bestehen.
>
> Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
> unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
> paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.

Eben. Deswegen spricht man auch von der "Menge DER reellen Zahlen"
alias "aller reeller" Zahlen und nicht von der "Menge reeller Zahlen",
wenn man die Menge aller reellen Zahlen meint...


"Die Menge der disjunkten Intervalle" alias "die Menge aller
disjunkten Intervalle" ist dagegen logischer Quark. Auch wenn ich mich
viederhole. "reell" ist ein Praedikat einer einzelnen Zahl, "disjunkt"
ist dagegen kein Praedikat, das auf ein einzelnes Intervall anwendbar
ist, sondern eine Aussage ueber die Gesamtheit der Intervalle, also
ueber eine Menge von Intervallen.

Wenn wir jetzt praeziser sagen. "disjunkte Intervallmenge", ist wohl
offensichtlich, dass der Begriff "die disjunkte Intervallmenge" keinen
Sinn macht, denn es gibt davon ziemlich viele.

Welches ist nun DIE "disjunkte Intervallmenge", deren
Ueberabzaehlbarkeit du zeigen willst ?

MfG
Horst

Arnold Schiller

unread,
Aug 2, 2001, 8:23:31 AM8/2/01
to
Sönke Müller-Lund schrieb:

>
>
> Deine Aussage ist genauso infantil, wie die meisten Beiträge von Arnold
> Schiller, frei nach dem Motto: "Wenn ICH das nicht darf, dann dürft IHR
> das auch nicht!".
>

Sönke Müller-Lund hat sich:

[ ] Im Ton vergriffen
[ ] Keine Ahnung
[ ] Eine vorgefertigtes Weltbild
[ ] Kennt Gott persoenlich
[ ] Kann alle Fragen dieser Welt beantworten
[ ] Kann zwischen Sprachen nicht unterscheiden
[ ] Ist ein grenzelos guter Mathematiker
[ ] Hat die GUT in der Tasche aber nicht präsentiert
[ ] Überträgt sein Denken auf andere
[ ] Ist ein Kleinkind und hasst Kleinkinder deswegen
[ ] Ist ein Meister der Netiqette

Arnold Schiller

unread,
Aug 2, 2001, 9:17:44 AM8/2/01
to
Hallo Wolfgang,
"Wolfgang G. G." schrieb:

>
> Horst Kraemer in 3b659fea...@news.cis.dfn.de :
>
> > "Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,
> > denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervallen
> > aus R bestehen.
>
> Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
> unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
> paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.
>

Die Überabzählbarkeit ist definiert und als solches innerhalb der
definierten Menge als solches gültig.
Diesen Begriff kannst du zwar anzweifeln, allerdings nur unter der
Bedingung, dass du Definition aufgibst.
In dem Fall ist das die Definition der Menge der reellen Zahlen.
Wenn du von einer Menge der unterschiedlichreelen Zahlen sprichst, dann
musst du wohl zunächst einmal definieren was eine Zahl in dieser Menge
sei.


Gruss
Arnold

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 3, 2001, 2:29:45 AM8/3/01
to

Wolfgang G. G. <z...@z.lol.li> wrote
> Auf den Einwand:

> > "Die Menge disjunkter Intervalle" ist eine unzulaessige Spezifikation,
> > denn es gibt viele Mengen, die aus paarweise disjunkten Intervallen
> > aus R bestehen.
>
> Dann ist auch "die Menge unterschiedlicher reeller Zahlen" eine
> unzulässige Spezifikation, denn es gibt viele Mengen, die aus
> paarweise unterschiedlichen Zahlen aus R bestehen.
>

Hallo Wolfgang,

eines muss man Dir lassen: Du hast wirklich putzige Argumente.
Sort of Eulenspiegel. Da kann man ja fast neidisch werden :-)

Gruss,
Rainer

Wolfgang G. G.

unread,
Aug 3, 2001, 7:04:51 AM8/3/01
to
Sönke Müller-Lund in 3B692FE0...@baltic-online.de :

> Es wurde schon lange bewiesen, dass jede Menge disjunkter Intervalle
> reeller Zahlen höchstens abzählbar ist.

Es braucht schon eine gehörige Portion erkenntnistheoretischer
Naivität, um diesen Beweis als relevant zu erachten. Du hast
anscheinend keine Ahnung, wie man vorgehen muss, um eine Theorie
zu widerlegen.

Hier die Essenz deines Beweises von 28.07.01:

a) Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar-unendlich.
b) Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.
c) Jedes reelle Intervall enthält abzählbar-unendlich viele
rationale Zahlen.

Aus a), b) und c) folgt dann: Es kann höchstens abzählbar-unendlich
viele disjunkte reelle Intervalle geben.

Ich streite sicher nicht ab, dass dem so sein muss, wenn die Theorie
konsistent ist. Dieser Beweis ist sogar Teil meiner Widerlegung. Der
andere Teil ist der Beweis, dass die Menge der möglichen reellen
(sich wechselseitig nicht überschneidenden) Teilintervalle nicht
abzählbar sein kann.

Zur Veranschaulichung: Theorie T gilt offiziell als konsistent.
Jemand widerlegt die Theorie dadurch, dass er 7*7=50 aus T ableitet
und zeigt, dass andererseits auch 7*7=49 gilt. Wäre es in so einem
Fall nicht geradezu grotesk, die Widerlegung von T mit dem Argument
widerlegen zu wollen, dass 7*7=49 falsch sein muss, weil aus T
7*7=50 folgt?

>> Um das Konzept "überabzählbar" zu widerlegen,
>
> "überabzählbar" ist einen Eigenschaft, kein Konzept.
> Außerdem: Wolltest Du nicht die Überabzählbarkeit zeigen?

Nochmals: Ich führe den Begriff "überabzählbar" ad absurdum, indem
ich zeige, dass sich ein beliebiges Intervall in überabzählbar viele
echte Intervalle teilen lässt.

> Du betrachtest nun die "Grenzmenge" M, die dadurch entsteht, das alle
> Mengen disjunkter Intervalle auf diese Art "vereinigt" werden.
>
> Leider fehlt in diesem "Beweis" der Nachweis, dass M überabzählbar
> viele "echte", d.h. keine einpunktigen Intervalle enthält. In
> Wahrheit enthält M überhaupt kein Intervall mehr. Beweis:
>
> Sei [a,b] ein Intervall aus M mit a < b. Nach obiger Konstruktion gibt
> es eine Menge M0 disjunkter Intervalle, die das Intervall [a,c] enthält
> mit c:=(a+b)/2, d.h. es gilt a < c < b. Nach Konstruktion von M wird
> [a,b] zerlegt in [a,c] und [c,b]. [a,b] kann also nicht in M sein und
> somit überhaupt kein Intervall.
>
> Damit hast Du gezeigt: M = IR, d.h. M ist tatsächlich überabzählbar.

Sehr interessant! Zuerst bezeichnest du das Argument, "die Menge
disjunkter Intervalle" sei ähnlich spezifiziert wie "die Menge
unterschiedlicher reeller Zahlen" als "infantil", und ein paar
Absätze weiter nimmst du es dann doch ernst.

Janosch Zwerensky hat es so formuliert:

"Klar kannst Du R in eine auf natürliche Weise geordnete Menge

disjunkter einpunktiger Intervalle zerlegen, wenn Du magst...".

Soll das etwas heissen, es ergeben sich "Punkte" ala

Vorgänger (1) = 0.999...9
1 = 1.000...0
Nachfolger(1) = 1.000...1

mit somit auch "einpunktige Intervalle"

] Vorgänger(1), 1 ]
] 1, Nachfolger(1) ]

> Hier müsstest Du eigentlich merken, dass die Länge [der Intervalle]


> gegen 0 strebt und somit deine Intervalle nichts mehr Wert sind.

Zur Wiederholung (aus meinen Postings vom 26. und 28. Juli):

Für zwei Punkte gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder sie fallen
zusammen, oder sie sind durch ein [echtes] Intervall getrennt. Oder
ist irgend jemand in der Lage, wenigstens ein einziges Paar zweier
benachbarter (aber unterscheidbarer) Punkte zu benennen oder zu
beschreiben, die nicht durch ein [echtes] Intervall getrennt sind?

Sofern man nicht bestreitet, dass Punkte ausdehnungslos sind, gilt
auch immer, dass man durch Vereinigung von Punkten niemals ein
(echtes) Intervall erzeugen kann. Der Glaube, Intervalle würden sich
aus Punkten zusammensetzen, beruht auf einer Kategorienvermengung.


Gruss, Wolfgang


Meine vorigen Postings:
http://members.lol.li/twostone/google1.html#unendlich


Sönke Müller-Lund

unread,
Aug 3, 2001, 8:43:07 AM8/3/01
to
Moin Wolfgang,

> > Es wurde schon lange bewiesen, dass jede Menge disjunkter Intervalle
> > reeller Zahlen höchstens abzählbar ist.
>
> Es braucht schon eine gehörige Portion erkenntnistheoretischer
> Naivität, um diesen Beweis als relevant zu erachten.

mag sein, es reichen aber auch geringfügige mathematische
Grundkenntnisse. ;)

> Du hast anscheinend keine Ahnung, wie man vorgehen muss, um eine Theorie
> zu widerlegen.

Ich will gar keine Theorien widerlegen, sondern nur falsche
Behauptungen.

> Hier die Essenz deines Beweises von 28.07.01:
>
> a) Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar-unendlich.
> b) Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.
> c) Jedes reelle Intervall enthält abzählbar-unendlich viele
> rationale Zahlen.
>
> Aus a), b) und c) folgt dann: Es kann höchstens abzählbar-unendlich
> viele disjunkte reelle Intervalle geben.
>
> Ich streite sicher nicht ab, dass dem so sein muss, wenn die Theorie
> konsistent ist.

Prima, dass Du das akzeptierst. Allerdings hatte ich dieses Posting
bereits selbst ergänzt mit der Bemerkung, dass es DIE Menge reeller
disjunkter Intervalle nicht gibt. Insofern lautet die Folgerung:
Jede Menge disjunkter reeller Intervalle enthält höchstens abzählbar
viele Elemente.

> Dieser Beweis ist sogar Teil meiner Widerlegung. Der
> andere Teil ist der Beweis, dass die Menge der möglichen reellen
> (sich wechselseitig nicht überschneidenden) Teilintervalle nicht
> abzählbar sein kann.

Ich habe deine Beweisidee verstanden. Sie ist im Übrigen gar nicht
schlecht.

> Zur Veranschaulichung: Theorie T gilt offiziell als konsistent.
> Jemand widerlegt die Theorie dadurch, dass er 7*7=50 aus T ableitet
> und zeigt, dass andererseits auch 7*7=49 gilt. Wäre es in so einem
> Fall nicht geradezu grotesk, die Widerlegung von T mit dem Argument
> widerlegen zu wollen, dass 7*7=49 falsch sein muss, weil aus T
> 7*7=50 folgt?

Wenn das der Fall ist, dann hat T in der Tat "Löcher" und ist sozusagen
nicht widerspruchsfrei. Auch die von uns verwendete Theorie
"Standardmathematik" ist (auch wenn ich jetzt Öl ins Feuer gieße) auch
nicht widerspruchsfrei, da man auch hier 7*7=50 "beweisen" kann, wenn
man das Teilen durch 0 zuläßt. Deshalb ist ja das Teilen durch 0 nicht
zugelassen.



> >> Um das Konzept "überabzählbar" zu widerlegen,
> >
> > "überabzählbar" ist einen Eigenschaft, kein Konzept.
> > Außerdem: Wolltest Du nicht die Überabzählbarkeit zeigen?
>
> Nochmals: Ich führe den Begriff "überabzählbar" ad absurdum, indem
> ich zeige, dass sich ein beliebiges Intervall in überabzählbar viele
> echte Intervalle teilen lässt.

Wenn die das gelänge, würdest Du zeigen, dass es überabzählbar viele
rationale Zahlen geben müsste und somit auch überabzählbar viele
natürliche und die Mathematik hätte ein sehr ernstes Problem.

Wenn aber hingegen "unsere" Mathematik ohne Teilen durch 0 ein
nachgewiesendes widerspruchsfreies System ist (diesen Beweis kann ich
nicht führen), dann ist jeder Versuch einen bewiesenen Satz zu
widerlegen zum Scheitern verurteilt.
(Ich glaube, in meinem Urlaub werde ich endlich mal EGB lesen.)

Wenn das Wörtchen "wenn" nicht wär'. :)

> > Du betrachtest nun die "Grenzmenge" M, die dadurch entsteht, das alle
> > Mengen disjunkter Intervalle auf diese Art "vereinigt" werden.
> >
> > Leider fehlt in diesem "Beweis" der Nachweis, dass M überabzählbar
> > viele "echte", d.h. keine einpunktigen Intervalle enthält. In
> > Wahrheit enthält M überhaupt kein Intervall mehr. Beweis:
> >
> > Sei [a,b] ein Intervall aus M mit a < b. Nach obiger Konstruktion gibt
> > es eine Menge M0 disjunkter Intervalle, die das Intervall [a,c] enthält
> > mit c:=(a+b)/2, d.h. es gilt a < c < b. Nach Konstruktion von M wird
> > [a,b] zerlegt in [a,c] und [c,b]. [a,b] kann also nicht in M sein und
> > somit überhaupt kein Intervall.
> >
> > Damit hast Du gezeigt: M = IR, d.h. M ist tatsächlich überabzählbar.
>
> Sehr interessant! Zuerst bezeichnest du das Argument, "die Menge
> disjunkter Intervalle" sei ähnlich spezifiziert wie "die Menge
> unterschiedlicher reeller Zahlen" als "infantil", und ein paar
> Absätze weiter nimmst du es dann doch ernst.

Sorry mit dem "infantil". Es war nicht die Behauptung an sich, die ich
als solches bezeichnet habe, sondern die Art, wie Du sie formuliert
hast.

Aber fassen wir noch einmal zusammen:
- Man kann nicht DIE Menge aller disjunkten reellen Intervalle bilden.
- Man kann beliebige Mengen disjunkter reeller Intervalle bilden.
- Man kann Mengen disjunkter Intervalle vereinigen, aber die Intervalle
in der Vereinigungsmenge sind dann nicht mehr notwendigerweise disjunkt.
- Man kann die Menge IM aller Mengen disjunkter reeller Intervalle
bilden. Diese Menge ist wohldefiniert und sogar überabzählbar. Diese
Menge IM ist aber nicht die Menge M, die Du oben (oder unten)
konstruiert hast.

> Janosch Zwerensky hat es so formuliert:
>
> "Klar kannst Du R in eine auf natürliche Weise geordnete Menge
> disjunkter einpunktiger Intervalle zerlegen, wenn Du magst...".

Ein einpunktiges Intervall ist {x\in IR; a<=x<=b} für a=b, also die
Menge {x}. Das ist kein Intervall mehr.

> Soll das etwas heissen, es ergeben sich "Punkte" ala
>
> Vorgänger (1) = 0.999...9
> 1 = 1.000...0
> Nachfolger(1) = 1.000...1

Was soll das sein? Drei verschiedene Darstellungen der 1?
Vorsicht: Es könnten einige Leute jetzt wieder glauben, dass eine Folge
endet!

> mit somit auch "einpunktige Intervalle"
>
> ] Vorgänger(1), 1 ]
> ] 1, Nachfolger(1) ]

= ]1,1] = {}

> > Hier müsstest Du eigentlich merken, dass die Länge [der Intervalle]
> > gegen 0 strebt und somit deine Intervalle nichts mehr Wert sind.
>
> Zur Wiederholung (aus meinen Postings vom 26. und 28. Juli):
>
> Für zwei Punkte gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder sie fallen
> zusammen, oder sie sind durch ein [echtes] Intervall getrennt.

Ganz genau!
Und wenn zwei Punkte a und b nicht zusammenfallen, dann gilt entweder
a<b oder b<a.

Wenn Du nun behaupten willst, dass Vorgänger(1) und Nachfolger(1) nicht
mit 1 zusammenfallen,
d.h. v(1) < 1 < n(1), dann gilt aber

v(1)+1 1+n(1)
v(1) < ------ < 1 < ------ < n(1)
2 2

Mit anderen Worten: Du kannst von keiner reellen Zahl Vorgänger und
Nachfolger bilden. Sie existieren nicht!

> Oder
> ist irgend jemand in der Lage, wenigstens ein einziges Paar zweier
> benachbarter (aber unterscheidbarer) Punkte zu benennen oder zu
> beschreiben, die nicht durch ein [echtes] Intervall getrennt sind?

Es gibt keine benachbarten reellen Zahlen.

> Sofern man nicht bestreitet, dass Punkte ausdehnungslos sind, gilt
> auch immer, dass man durch Vereinigung von Punkten niemals ein
> (echtes) Intervall erzeugen kann. Der Glaube, Intervalle würden sich
> aus Punkten zusammensetzen, beruht auf einer Kategorienvermengung.

Das hatten wir schon mal, es ist falsch und wird auch dadurch nicht
richtig, wenn man die Behauptung wiederholt.

>
> Gruss, Wolfgang

Horst Kraemer

unread,
Aug 3, 2001, 4:19:14 PM8/3/01
to
On Fri, 3 Aug 2001 13:04:51 +0200, "Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li>
wrote:

>....

Was die mysterioese "Kategorienvermengung" betrifft: Alle Leser dieses
Forums aussser Dir sprechen von "reellen Zahlen" und nicht von
(ausdehnungslosen) Punkten. Es ist in der Mathematik nicht definiert,
was ein Punkt ist Es steht Dir natuerlich frei, Zahlen "Punkte" zu
nennen. In der Mathematik ist ein "Intervall" eine Menge von _Zahlen_
und nicht ein Gebilde, mit einer esotherischen Beziehung zu "Punkten".
Insbesondere besteht per Definitionem das Intervall [a,b] aus der
Menge aller rellen Zahlen x mit der Eigenschaft a<=x<=b.
Es traegt wenig zur Wahrheitsfindung bei, wenn Du in jeder Message
"Nebenkriegsschauplaetze" eroeffnest, die Formulierung Deines
Gespraechspartner kritisierst, von "Punkten", Dimensionen und
Ausdehnungen sprichst, obwohl es m.W. ausschliesslich um die
Eigenschaften von bestimmten "Intervall" genannten Zahlenmengen geht,
aber nie auf den sachlichen Gehalt eingehst.

> Nochmals: Ich führe den Begriff "überabzählbar" ad absurdum, indem
> ich zeige, dass sich ein beliebiges Intervall in überabzählbar viele
> echte Intervalle teilen lässt.

Dann zeige es bitte. Ich habe in Deinen bisherigen Nachrichten nichts
entdeckt, was auch nur eine Aehnlichkeit mit einem Beweis haette, dass
Du so etwas konstruieren kannst. Du hast bestenfalls angerissen, wie
man eine Aufteilung eines Intervalls in endlich viele Teile, z.B. des
Intervalls [0,1], durch schrittweise Zusammenfuehren der Grenzpunkte
anderer endlicher Aufteilungen immer weiter verfeinern koennnte. Es
ist aber bisher nicht klar geworden, wie das "Endprodukt" dieses
Verfahrens mathematisch als Menge beschrieben werden soll. Wenn Du nur
endlich viele Aufteilungen uebereinanderlegst, erhaeltst Du eine
endliche Aufteilung. Wenn Du saemtliche moeglichen Aufteilungen
uebereinderlegst, so kommt maturgemaess jede reelle Zahl einmal als
Grenzpunkt innerhalb einer Aufteilung vor. Es gibt also ueberhaupt
keine echten Intervalle mehr.

Also, wo bitte sind Deine ueberabzaehlbar vielen Intervalle ? Wir
sehen sie nicht. In welchem Intervall aus Deiner Intervallmenge liegt
die Zahl 1/2 ?

Es gibt uebrigens eine ganz interessante Plausibilitaetsbetrachtung,
die einsichtig machen koennte, dass man das Intervall [0,1] nicht in
ueberabzaelbar viele Intervalle mit Laenge >0 zerlegen kann.
Man kann die Intervallaengen nach Groesse gruppieren. Ein
Intervallaenge kann zwischen 1/2 und 1 liegen oder zwischen 1/4 und
1/2 und und etc. Dies sind abzaehlbar viele Gruppen und jedes
Intervall gehoert zu einer dieser Gruppen, wenn es eine Laenge >= hat.
Wenn es ueberabzaehlebar viele Intervalle gibt, muss es eine
Laengengruppe geben, zu der unendlich viele dieser Intervalle gehoeren
(sogar ueberabzaehlbar viele), denn wenn es zu jeder Laengengruppe nur
endlich viele Intervalle gaebe, waeren es ja nur abzaehlbar viele
Intervalle. Es gibt also eine Laengengruppe, so dass unendlich viele
dieser Intervalle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses n haben.
Fazit: Es gibt dann unendlich viele paarweise disjunkte Intervalle im
Intervall [0,1], die alle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses
festes n haben. Wie ist dies damit zu vereinbaren, dass die
Gesamtlaenge des Intervalls, aus dem diese p.d. Intervalle stammen, 1
ist ?

Aber dies wirst Du natuerlich nicht akzeptieren, da ja meine
Betrachtung von der Konsistenz des Begriffs abhaengt, die du ja gerade
widerlegt zu haben glaubst. Und solange Dich niemand davon ueberzeugen
kann, dass Du keine uebaerabzaehlbare disjunkte Menge von Intervallen
_hast_, wirst Du wohl weiter daran glauben...

So bleibt den interessierten Lesern nur die Aufforderung an Dich,
dieses Objekt Deiner Vorstellung mathematisch klar in der Sprache der
Mengenlehre zu formulieren. Dies musst Du wohl oder uebel tun, wenn Du
einen Begriff eben dieser Mengenlehre ad absurdum fuehren willst. Wenn
Du dies nicht kannst oder willst, wirst Du der Einzige sein, der an
Deinen "Gegenbeweis" glaubt. Daran koennen wir Dich natuerlich nicht
hindern ;-)


MfG
Horst

Arnold Schiller

unread,
Aug 3, 2001, 6:44:48 PM8/3/01
to
Horst Kraemer wrote:
>
> On Fri, 3 Aug 2001 13:04:51 +0200, "Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li>
> wrote:
>
> >....
>
> Was die mysterioese "Kategorienvermengung" betrifft: Alle Leser dieses
> Forums aussser Dir sprechen von "reellen Zahlen" und nicht von
> (ausdehnungslosen) Punkten. Es ist in der Mathematik nicht definiert,
> was ein Punkt ist.

Fast alle Leser, aber der Mensch, der von Ivan Susanin als Troll
bezeichnet wird, hat zwar eine andere Auffassung, aber das dürfte ein
solches Privatissmo und keine mathematische Definition sein, dass die
Aussage, dass "Es ist in der Mathematik nicht definiert" sicherlich
richtig ist, ist auch ein Leser.

Gruss
Arnold

Klaus Nagel

unread,
Aug 4, 2001, 5:05:29 AM8/4/01
to

Horst Kraemer schrieb:Was die mysterioese "Kategorienvermengung" betrifft:
Alle Leser dieses

> Forums aussser Dir sprechen von "reellen Zahlen" und nicht von
> (ausdehnungslosen) Punkten. Es ist in der Mathematik nicht definiert,
> was ein Punkt ist

1. Ein Punkt ist, was keinen Teil hat,

Euklid, Die Elemente, I. Buch, Definitionen :-)

Gruß,

Klaus Nagel

Wolfgang G. G.

unread,
Aug 5, 2001, 8:42:25 PM8/5/01
to
Auf die eigentliche Diskussion werde ich in den nächsten Tagen
eingehen. Hier primär Polemik (auch gegen die moderne Physik):

Horst Kraemer in 3b6af8cd...@news.cis.dfn.de :

> Was die mysterioese "Kategorienvermengung" betrifft: Alle Leser
> dieses Forums aussser Dir sprechen von "reellen Zahlen" und nicht von
> (ausdehnungslosen) Punkten. Es ist in der Mathematik nicht definiert,

> was ein Punkt ist. Es steht Dir natuerlich frei, Zahlen "Punkte" zu


> nennen. In der Mathematik ist ein "Intervall" eine Menge von _Zahlen_

> und nicht ein Gebilde, mit einer esoterischen Beziehung zu "Punkten".

Man darf die historische Entwicklung nicht einfach ignorieren. Die
reellen Zahlen und Begriffe wie "Quadrieren" und "Wurzelziehen"
sind bei der Beschäftigung mit Geometrie entstanden. Dass Wurzel 2
irrational ist, wussten die alten Griechen auch ohne Kenntnis der
"Begründung" der reelen Zahlen durch die Mengenlehre.

Schon überwundene Standpunkte, die zu alt-bekannten Paradoxien
führen, feiern nicht nur wieder fröhliche Urständ, sondern
beanspruchen sogar Priorität (d.h. grössere Fundamentalität)
gegenüber den innerhalb der anschaulichen Vernunft siegreichen
Standpunkten.

Der Prozess, bei dem solche schon als unhaltbar erkannten
Standpunkte wie z.B. die Diskretheit des Raums ("Planck-Länge")
wiederauferstanden, kann als Theologisierung von Mathematik und
Physik bezeichnet werden. (Der grösste Theologisierungsschub
in der Physik dürfte Heisenberg zu verdanken sein).

"Theologisierung" deshalb, weil die Immunisierungsstrategien
gegenüber logischen (d.h. vernünftigen, synthetisch-apriorischen)
Einwänden exakt dieselben sind, wie die Immunisierungsstrategien
der mittelalterlichen Theologie. Aus Maximen wie

- Man kann/darf sich Gott, Engelsscharen usw. nicht konkret
vorstellen.
- Die Vernunft ist unzureichend, um die theologischen Dogmen
zu beurteilen.

wurden

- Man kann/darf sich von den Entitäten (z.B. den virtuellen
Teilchen) und den Erklärungen (z.B. der elektrostatischen
Anziehung) der modernen Quantentheorien keine konkreten
Vorstellungen machen.
- Die Widersprüche, die wir in der modernen Physik zu erkennen
glauben, sind nur scheinbar und zeigen, dass die (anschauliche)
Vernunft nicht ausreicht, die tiefe Wahrheit dieser Wissenschaft
zu erfassen.

Wie sehr die moderne Physik den Bezug zur Realität verloren und sich
der mittelalterlich-theologischen Tradition angenähert hat, ist auch
im Physik-Faq ersichtlich. Siehe dazu Posting von Dierck Hillman:
http://groups.google.com/groups?ic=1&selm=3B6D21DD...@web.de

Siehe auch mein Posting "The language of physics":
http://www.deja.com/=dnc/getdoc.xp?AN=569315416


> Es traegt wenig zur Wahrheitsfindung bei, wenn Du in jeder Message

> "Nebenkriegsschauplaetze" eroeffnest, ...

Wenn du wüsstest, wieviele potentielle "Nebenkriegsschauplätze" ich
nicht eröffnet habe!

> aber nie auf den sachlichen Gehalt eingehst.

Ich versuche, die Diskussion meinerseits nicht zu verzetteln, und
antworte deshalb nicht auf alles. Ich bin mir aber keines einzigen
auch nur halbwegs überzeugenden Arguments bewusst, auf das ich
nicht eingegangen bin. Ein typisches nicht überzeugendes Argument,
auf das ich im Normalfall eher nicht direkt eingehen würde, ist
das folgende:

> Es gibt uebrigens eine ganz interessante Plausibilitaetsbetrachtung,
> die einsichtig machen koennte, dass man das Intervall [0,1] nicht in
> ueberabzaelbar viele Intervalle mit Laenge >0 zerlegen kann.
> Man kann die Intervallaengen nach Groesse gruppieren. Ein
> Intervallaenge kann zwischen 1/2 und 1 liegen oder zwischen 1/4 und
> 1/2 und und etc. Dies sind abzaehlbar viele Gruppen und jedes
> Intervall gehoert zu einer dieser Gruppen, wenn es eine Laenge >= hat.
> Wenn es ueberabzaehlebar viele Intervalle gibt, muss es eine
> Laengengruppe geben, zu der unendlich viele dieser Intervalle gehoeren
> (sogar ueberabzaehlbar viele), denn wenn es zu jeder Laengengruppe nur
> endlich viele Intervalle gaebe, waeren es ja nur abzaehlbar viele
> Intervalle. Es gibt also eine Laengengruppe, so dass unendlich viele
> dieser Intervalle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses n haben.
> Fazit: Es gibt dann unendlich viele paarweise disjunkte Intervalle im
> Intervall [0,1], die alle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses
> festes n haben. Wie ist dies damit zu vereinbaren, dass die
> Gesamtlaenge des Intervalls, aus dem diese p.d. Intervalle stammen, 1
> ist ?

Das Argument lässt sich einfach entkräften, z.B. mit folgender
Grenzpunktfolge: 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ... Die Meinung,
dass das nur endlich viele Intervalle sind, weil irgendwann das
Restintervall 0.000... die Ausdehnung einer reellen Zahl annimmt
und danach nicht mehr weiter geteilt werden kann, vertrittst du
wohl nicht.

> Aber dies wirst Du natuerlich nicht akzeptieren, da ja meine
> Betrachtung von der Konsistenz des Begriffs abhaengt, die du ja
> gerade widerlegt zu haben glaubst.

Ein in jeder Hinsicht deplacierter Kommentar.

Als beinahe perfid empfinde ich folgende Bemerkung von Sönke
Müller-Lund aus 3B6A9C5B...@baltic-online.de (ich bin da
wahrscheinlich aber auch etwas überempfindlich):

| Auch die von uns verwendete Theorie "Standardmathematik" ist (auch
| wenn ich jetzt Öl ins Feuer gieße) auch nicht widerspruchsfrei,
| da man auch hier 7*7=50 "beweisen" kann, wenn man das Teilen durch
| 0 zuläßt. Deshalb ist ja das Teilen durch 0 nicht zugelassen.

Der Zweck dürfte hier nämlich sein, meine Position mit absurden
Positionen anderer in Beziehung zu bringen.

Auch die letzten Kommentare in Sönkes Posting sind meines Erachtens
insofern irreführend, als jemand, der nur schnell liest (und damit
das zitierte Material mehr oder weniger ignoriert), den Eindruck
bekommt, ich würde die Meinung vertreten, reelle Zahlen hätten
Vorgänger und Nachfolger:

| Mit anderen Worten: Du kannst von keiner reellen Zahl Vorgänger und
| Nachfolger bilden. Sie existieren nicht!

...


| Es gibt keine benachbarten reellen Zahlen.

...


| Das hatten wir schon mal, es ist falsch und wird auch dadurch nicht
| richtig, wenn man die Behauptung wiederholt.

Es gäbe sicher Beispiele, die das was ich hier sagen will, besser
illustrieren. Ich selber habe z.B. über längere Zeit in "Existieren
unendliche Mengen" oberflächlich teilweise mitgelesen, und bekam
den Eindruck, dass dort der Kritiker der Mengenlehre (d.h. Dieter
Jungmann) der Inkonsistenz überführt wurde. Als ich jedoch später
Teile der Diskussion genau las, war ich von der scharfen und
konsistenten Logik Dieters (nicht zu verwechseln mit dem Sex-shop-
Webmaster vom Pi-Thread) geradezu beeindruckt.

Das Problem beim Kritisieren von Theorien besteht darin, dass man
etwas Falsches zeigen muss. Wenn man dabei nicht extrem aufpasst,
ist es für die andere Seite sehr leicht, einem das Falsche selber
in den Mund zu legen. Nehmen wir an, jemand widerlegt eine These
dadurch, dass er aufzeigt, dass aus ihr die Identität von plus
unendlich und minus unendlich folgt. In einer Entgegnung kann
das Ganze dann nur mehr so aussehen:

> ...
> Und somit haben wir: -oo = +oo

Auch hier liegst du offensichtlich wieder völlig daneben.

Wenn so eine Entgegnung zudem von einem respektierten Forums-
teilnehmer stammt, dann bekommen oberflächliche Mitleser leicht
den falschen Eindruck, der Kritiker habe keine Ahnung.

Horst Kraemer

unread,
Aug 6, 2001, 3:18:15 AM8/6/01
to
On Mon, 6 Aug 2001 02:42:25 +0200, "Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li>
wrote:


> > Es gibt uebrigens eine ganz interessante Plausibilitaetsbetrachtung,
> > die einsichtig machen koennte, dass man das Intervall [0,1] nicht in
> > ueberabzaelbar viele Intervalle mit Laenge >0 zerlegen kann.
> > Man kann die Intervallaengen nach Groesse gruppieren. Ein
> > Intervallaenge kann zwischen 1/2 und 1 liegen oder zwischen 1/4 und
> > 1/2 und und etc. Dies sind abzaehlbar viele Gruppen und jedes
> > Intervall gehoert zu einer dieser Gruppen, wenn es eine Laenge >= hat.
> > Wenn es ueberabzaehlebar viele Intervalle gibt, muss es eine
> > Laengengruppe geben, zu der unendlich viele dieser Intervalle gehoeren
> > (sogar ueberabzaehlbar viele), denn wenn es zu jeder Laengengruppe nur
> > endlich viele Intervalle gaebe, waeren es ja nur abzaehlbar viele
> > Intervalle. Es gibt also eine Laengengruppe, so dass unendlich viele
> > dieser Intervalle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses n haben.
> > Fazit: Es gibt dann unendlich viele paarweise disjunkte Intervalle im
> > Intervall [0,1], die alle eine Laenge >= 1/2^n fuer ein gewisses
> > festes n haben. Wie ist dies damit zu vereinbaren, dass die
> > Gesamtlaenge des Intervalls, aus dem diese p.d. Intervalle stammen, 1
> > ist ?
>
> Das Argument lässt sich einfach entkräften, z.B. mit folgender
> Grenzpunktfolge: 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ... Die Meinung,
> dass das nur endlich viele Intervalle sind, weil irgendwann das
> Restintervall 0.000... die Ausdehnung einer reellen Zahl annimmt
> und danach nicht mehr weiter geteilt werden kann, vertrittst du
> wohl nicht.

Nein.

Ich sprach allerdings ueberhaupt nicht von "unterteilt werden
koennen", sondern schlicht von der Annahme der von Dir unterstellten
aktuellen _Existenz_ einer ueberabzaehlbaren Menge von p.d.
Teilintervallen von [0,1] - unabhaengig davon, wie Du zu dieser
angenommenen Menge gelangt zu sein glaubst. Aus der nackten _Existenz_
habe ich die Folgerung hergeleitet, dass es dann eine natuerliche Zahl
n geben muss, so dass unendliche viele dieser ueberabzaehlbar vielen
Intervalle eine Laenge von je >= 1/2^n besitzen.

Inwiefern hast Du meine Argumentationskette

Angenommen, es _gaebe_ eine _ueberabzaehlbare_ Menge von p.d.
Teilintervallen von [0,1].

Dann gibt es eine natuerliche Zahl n, so dass unendlich viele
dieser p.d. Intervalle eine Laenge >= 1/2^n haben.

Die Tatsache, dass das Intervall [0,1] unendlich viele
Teilintervalle mit einer Laenge >= 1/2^n besitzen soll,
scheint der Tatsache zu widersprechen, dass das Intervall
[0,1] selbst eine Laenge von 1 hat.

dadurch entkraeftet, dass Du eine Grenzpunktfolge angibst, die nur
_abzaehlbar_ viele Intervalle darstellt ? Dabei unterstelle ich, dass
Deine Folge die p.d. Intervalle

[0.1, 1]
[0.01, 0.1)
[0.001, 0.01)
[0.0001, 0.001)
etc....

repraesentieren soll. Hier gibt es natuerlich zu jedem n nur endlich
viele Intervalle mit Laenge >= 1/2^n und mein Argument ist nicht
anwendbar. Dass es eine _abzaehlbar_ unendliche Menge von p.d.
Teilintervallen von [0,1] gibt, bestreitet niemand, und aus der
Annahme der Existenz einer abzaehlbar unendlichen Menge von p.d.
Teilintervallen von [0,1] wird auch niemand einen Widerspruch
herleiten wollen und koennen.

> > Aber dies wirst Du natuerlich nicht akzeptieren, da ja meine
> > Betrachtung von der Konsistenz des Begriffs abhaengt, die du ja
> > gerade widerlegt zu haben glaubst.

> Ein in jeder Hinsicht deplacierter Kommentar.

Dies wird sich erweisen. Bisher hast Du allerdings nach meinem
Eindruck nur versucht, meine Argumentation mit einer Frage
wegzuwischen, die - soweit ich sie verstanden habe - ueberhaupt nichts
mit meiner Argumentation zu tun hat. Vielleicht habe ich etwas
uebersehen und Du kannst den Zusammenhang zwischen Deiner Entgegnung
und meiner Argumentation praezisieren?


MfG
Horst

Norbert Micheel

unread,
Aug 6, 2001, 9:00:09 AM8/6/01
to

"Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li> schrieb im Newsbeitrag
news:9kkp7q$uon$1...@newsreaderm1.core.theplanet.net...

> Das Problem beim Kritisieren von Theorien besteht darin, dass man
> etwas Falsches zeigen muss. Wenn man dabei nicht extrem aufpasst,
> ist es für die andere Seite sehr leicht, einem das Falsche selber
> in den Mund zu legen. Nehmen wir an, jemand widerlegt eine These
> dadurch, dass er aufzeigt, dass aus ihr die Identität von plus
> unendlich und minus unendlich folgt. In einer Entgegnung kann
> das Ganze dann nur mehr so aussehen:
>
> > ...
> > Und somit haben wir: -oo = +oo
>
> Auch hier liegst du offensichtlich wieder völlig daneben.
>

Ich denke den meisten hier ist durchaus klar, wie man einen Widerspruch
zeigt.

Tatsaechlich war es nur so, dass die Argumentation so aussah:

"da -oo >= +oo und -oo <= +oo folgt
-oo = + oo"

wo die Folgerung korrekt ist, aber die Voraussetzungen nicht
stimmen...

oder

"weil ja -1 < 1 ist, folgt
-oo = +oo "

was eine unbewiesene Behauptung bleibt, da die Folgerung nicht
unmittelbar logisch ist.


Die Voraussetzungen und die logischen Folgerungen fuer das Aufzeigen eines
Widerspruches sollten schon der Theorie entstammen in der man diesen zeigen
will.
Nur weil du etwas "Falsches" zeigen willst, kannst du nicht falsche Fakten
und falsche Folgerungen auf dem Weg dorthin benutzen.

> Wenn so eine Entgegnung zudem von einem respektierten Forums-
> teilnehmer stammt, dann bekommen oberflächliche Mitleser leicht
> den falschen Eindruck, der Kritiker habe keine Ahnung.

Es ist vollkommen egal, was fuer einen Eindruck ein Leser von einem Poster
hat. Entweder in seinem Posting steht etwas Korrektes oder nicht. Der
Wahrheitsgehalt aendert sich nicht durch das "Ansehen" der Person.


N


Harald Geyer

unread,
Aug 6, 2001, 1:26:58 PM8/6/01
to
Hallo!

Ich finde, dass man diese Diskussion wirklich nur in dsm führen
sollte. Ich antworte daher hier auch nur auf die physikalischen
Aspekte.

"Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li> writes:

> Der Prozess, bei dem solche schon als unhaltbar erkannten
> Standpunkte wie z.B. die Diskretheit des Raums ("Planck-Länge")
> wiederauferstanden, kann als Theologisierung von Mathematik und
> Physik bezeichnet werden. (Der grösste Theologisierungsschub
> in der Physik dürfte Heisenberg zu verdanken sein).
>
> "Theologisierung" deshalb, weil die Immunisierungsstrategien
> gegenüber logischen (d.h. vernünftigen, synthetisch-apriorischen)
> Einwänden exakt dieselben sind, wie die Immunisierungsstrategien
> der mittelalterlichen Theologie. Aus Maximen wie
>
> - Man kann/darf sich Gott, Engelsscharen usw. nicht konkret
> vorstellen.
> - Die Vernunft ist unzureichend, um die theologischen Dogmen
> zu beurteilen.
>
> wurden
>
> - Man kann/darf sich von den Entitäten (z.B. den virtuellen
> Teilchen) und den Erklärungen (z.B. der elektrostatischen
> Anziehung) der modernen Quantentheorien keine konkreten
> Vorstellungen machen.
> - Die Widersprüche, die wir in der modernen Physik zu erkennen
> glauben, sind nur scheinbar und zeigen, dass die (anschauliche)
> Vernunft nicht ausreicht, die tiefe Wahrheit dieser Wissenschaft
> zu erfassen.

Zuerst zum Begriff "Theologisierung": Da steckt das griechische Wort
für "Gott" drinnen. Das ist absolut unpassend, was du meinst ist
vielleicht eher "Dogmatisierung".

Das Ziel der Physik ist eine möglichst genaue Beschreibung der
Natur. Dabei kann man nicht darauf Rücksicht nehmen, was dir oder an
deren vernünftig erscheint, sondern muss auf das Rücksicht nehem, was
wir bei unseren Experimenten beobachten.

Es geht nicht um die Wahrheit irgendeiner Wissenschaft, sondern es
geht um die Tatsachen, mit denen uns die Natur konfrontiert. Wem diese
Tatsachen nicht gefallen, der muss in ein anderes Universum umziehen
und hoffen, dass dort andere Naturgesetze gelten. ;)

Du bist herzlich dazu eingeladen, ein physikalisches Modell zu
entwickeln, dass dir besser gefällt, als die moderne Physik. Es gibt
bei uns in de.sci.phyik einige, die das versuchen. Leider sind die
Ergebnisse nicht überzeugend.

Zusammenfassung: Der Unterschied zwischen Physik und Religion besteht
nicht in der Plausibilität der Ergebnisse, sondern in deren
Überprüfbarkeit.

Viele Grüße!
Harald

Sönke Müller-Lund

unread,
Aug 6, 2001, 4:30:27 PM8/6/01
to
Moin Wolfgang,

> Auf die eigentliche Diskussion werde ich in den nächsten Tagen
> eingehen. Hier primär Polemik (auch gegen die moderne Physik):

ok, dann werde ich mal "quereinsteigen", da Du mich ja auch zitierst:

> Als beinahe perfid empfinde ich folgende Bemerkung von Sönke
> Müller-Lund aus 3B6A9C5B...@baltic-online.de (ich bin da
> wahrscheinlich aber auch etwas überempfindlich):
>
> | Auch die von uns verwendete Theorie "Standardmathematik" ist (auch
> | wenn ich jetzt Öl ins Feuer gieße) auch nicht widerspruchsfrei,
> | da man auch hier 7*7=50 "beweisen" kann, wenn man das Teilen durch
> | 0 zuläßt. Deshalb ist ja das Teilen durch 0 nicht zugelassen.
>
> Der Zweck dürfte hier nämlich sein, meine Position mit absurden
> Positionen anderer in Beziehung zu bringen.

Nein, das war wirklich nicht meine Absicht, Dich mit irgendwelchen
"schillernden" Persönlichkeiten gleichzusetzen. ;)
Ich hätte auch Mengen-Paradoxien angeben können, aber das Teilen durch 0
fiel mir schneller ein und weil es gerade durchdiskutiert wurde, ist es
auch jedem^H^H^H fast jedem klar, warum das Probleme macht.

> Auch die letzten Kommentare in Sönkes Posting sind meines Erachtens
> insofern irreführend, als jemand, der nur schnell liest (und damit
> das zitierte Material mehr oder weniger ignoriert), den Eindruck
> bekommt, ich würde die Meinung vertreten, reelle Zahlen hätten
> Vorgänger und Nachfolger:
>
> | Mit anderen Worten: Du kannst von keiner reellen Zahl Vorgänger und
> | Nachfolger bilden. Sie existieren nicht!
> ...
> | Es gibt keine benachbarten reellen Zahlen.

Also bitte, die Worte Vorgänger und Nachfolger kommen von Dir:

> Janosch Zwerensky hat es so formuliert:
>
> "Klar kannst Du R in eine auf natürliche Weise geordnete Menge
> disjunkter einpunktiger Intervalle zerlegen, wenn Du magst...".
>
> Soll das etwas heissen, es ergeben sich "Punkte" ala
>
> Vorgänger (1) = 0.999...9
> 1 = 1.000...0
> Nachfolger(1) = 1.000...1
>
> mit somit auch "einpunktige Intervalle"
>
> ] Vorgänger(1), 1 ]
> ] 1, Nachfolger(1) ]

Wie ist denn das sonst zu verstehen?
Kläre uns bitte auf.

> | Das hatten wir schon mal, es ist falsch und wird auch dadurch nicht
> | richtig, wenn man die Behauptung wiederholt.

Das bezieht sich auf Deine Thesen zur "Kategorievermengung", zu der wir
jetzt kommen:

> Horst Kraemer in 3b6af8cd...@news.cis.dfn.de :
>
> > Was die mysterioese "Kategorienvermengung" betrifft: Alle Leser
> > dieses Forums aussser Dir sprechen von "reellen Zahlen" und nicht von
> > (ausdehnungslosen) Punkten. Es ist in der Mathematik nicht definiert,
> > was ein Punkt ist. Es steht Dir natuerlich frei, Zahlen "Punkte" zu
> > nennen. In der Mathematik ist ein "Intervall" eine Menge von _Zahlen_
> > und nicht ein Gebilde, mit einer esoterischen Beziehung zu "Punkten".
>
> Man darf die historische Entwicklung nicht einfach ignorieren. Die
> reellen Zahlen und Begriffe wie "Quadrieren" und "Wurzelziehen"
> sind bei der Beschäftigung mit Geometrie entstanden.

Doch man darf. Die Mathematik, die wir benutzen ist konsistent und ein
abgeschlossenes System. Zahlen und andere mathematische Objekte
entstehen nicht, sie werden bestenfalls entdeckt. Wenn die Ergebnisse
der Mathematik unserer Anschauung entsprechen, um so besser, aber das
ist keine Voraussetzung.

> Dass Wurzel 2 irrational ist, wussten die alten Griechen auch ohne Kenntnis der
> "Begründung" der reelen Zahlen durch die Mengenlehre.

Und genau diesen Wissen stürzte die Mathematik in eine der ersten
Krisen.

> Der Prozess, bei dem solche schon als unhaltbar erkannten
> Standpunkte wie z.B. die Diskretheit des Raums ("Planck-Länge")

[Physik gelöscht]

> > Es traegt wenig zur Wahrheitsfindung bei, wenn Du in jeder Message
> > "Nebenkriegsschauplaetze" eroeffnest, ...

> > aber nie auf den sachlichen Gehalt eingehst.
>
> Ich versuche, die Diskussion meinerseits nicht zu verzetteln, und
> antworte deshalb nicht auf alles. Ich bin mir aber keines einzigen
> auch nur halbwegs überzeugenden Arguments bewusst, auf das ich
> nicht eingegangen bin.

Dieses Zitat werde ich hier erstmal "parken".

> Das Argument lässt sich einfach entkräften, z.B. mit folgender
> Grenzpunktfolge: 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ...

Dazu hat Horst schon Stellung genommen, aber ich sage es auch noch
einmal: Du kannst auf diese Weise nur abzählbar viele Intervalle
unterbringen. Oder anders ausgedrückt: Zeige die Stelle(n), an der der
Beweis von Horst angeblich falsch ist.

> Die Meinung, dass das nur endlich viele Intervalle sind, weil irgendwann das
> Restintervall 0.000... die Ausdehnung einer reellen Zahl annimmt
> und danach nicht mehr weiter geteilt werden kann, vertrittst du
> wohl nicht.

Was heisst "irgendwann"? "Irgendwann" ist immer endlich und in endlichen
Schritten erreichst Du das nicht. Aber es gehört sicher zu deinen "nicht
halbwegs überzeugenden" Argumenten, dass zu je zwei rellen Zahlen a,b
mit a<b eine reelle Zahl c existiert mit a<c<b, nämlich c:=(a+b)/2.
Deine Intervalle können also immer weiter geteilt werden.

Machst Du hingegen den "Grenzübergang", dann erhälst Du tatsächlich eine
Menge disjunkter einpunktiger Intervalle, die sogar überabzählbar ist.
Aber das ist keine Überraschung und für deinen Schluss "Es gibt
überabzählbar viele rationale Zahlen" nicht zu gebrauchen, denn nur
abzählbar viele "Intervalle" in deiner Menge enthalten rationale Zahlen.

> > Aber dies wirst Du natuerlich nicht akzeptieren, da ja meine
> > Betrachtung von der Konsistenz des Begriffs abhaengt, die du ja
> > gerade widerlegt zu haben glaubst.
>
> Ein in jeder Hinsicht deplacierter Kommentar.

Warum?
Du hast den Beweis nicht akzeptiert.

> Es gäbe sicher Beispiele, die das was ich hier sagen will, besser
> illustrieren. Ich selber habe z.B. über längere Zeit in "Existieren
> unendliche Mengen" oberflächlich teilweise mitgelesen, und bekam
> den Eindruck, dass dort der Kritiker der Mengenlehre (d.h. Dieter
> Jungmann) der Inkonsistenz überführt wurde. Als ich jedoch später
> Teile der Diskussion genau las, war ich von der scharfen und
> konsistenten Logik Dieters (nicht zu verwechseln mit dem Sex-shop-
> Webmaster vom Pi-Thread) geradezu beeindruckt.

LOL!

(Nein, ich werde mich nicht hinreissen lassen, die Beiträge von Dieter
zu bewerten.)

> Das Problem beim Kritisieren von Theorien besteht darin, dass man
> etwas Falsches zeigen muss. Wenn man dabei nicht extrem aufpasst,
> ist es für die andere Seite sehr leicht, einem das Falsche selber
> in den Mund zu legen. Nehmen wir an, jemand widerlegt eine These
> dadurch, dass er aufzeigt, dass aus ihr die Identität von plus
> unendlich und minus unendlich folgt. In einer Entgegnung kann
> das Ganze dann nur mehr so aussehen:
>
> > ...
> > Und somit haben wir: -oo = +oo
>
> Auch hier liegst du offensichtlich wieder völlig daneben.
>
> Wenn so eine Entgegnung zudem von einem respektierten Forums-
> teilnehmer stammt, dann bekommen oberflächliche Mitleser leicht
> den falschen Eindruck, der Kritiker habe keine Ahnung.

Umgekehrt wird ein Schuh daraus:
Wenn Du Ahnung von der Materie hast, dann wirst Du sie nicht
kritisieren.

Überhaupt: Was heißt hier Kritiker?

Kann man Tatsachen kritisieren?
Man kann sie vielleicht doof finden oder ablehnen, aber wozu? Eine
Tatsache (oder Wahrheit) wird sich dadurch nicht ändern.

>
> Gruss, Wolfgang

Sönke

Dieter Jungmann

unread,
Aug 7, 2001, 12:26:55 AM8/7/01
to

Ich mache einen Vorschlag. Wir beschraenken uns auf das Einheits-
intervall [0,1]. Es enthaelt abzaehlbare Mengen A, B, C, D, ... von
paarweise disjunkten Intervallen. Es gibt ueberabzaehlbar viele
solcher Mengen. Ueber diese Voraussetzungen herrscht offensichtlich
Einigkeit.

Wolfgang meint, wenn ich ihn richtig verstehe, folgendes:
Einige der Intervalle z. B. der Mengen A und B ueberschneiden sich.
Wir bilden die Durchschnitte dieser Intervalle und fassen sie mit
den evtl. verbleibenden Differenzintervallen zur neuen Menge X
zusammen. X enthaelt nur paarweise disjunkte Intervalle.

Bildet man nun von allen ueberabzaehlbar vielen Mengen disjunkter
Intervalle die Durchschnitts- und ggf. Differenzintervalle und fasst
sie zu einer Menge G_r zusammen, erhaelt man die gesuchte Menge
paarweise disjunkter Intervalle. Diese sind aber zu Punkten
"entartet" und somit keine Intervalle mehr. Die gesuchte Menge
ist identisch mit der Menge der reellen Zahlen des Einheitsintervalls.
Sie ist daher nicht geeignet, den beabsichtigten Beweis zu liefern,
dass es ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen geben muss, sie
liefert aber auch nicht den Gegenbeweis, sondern man steht wieder
am Anfang der Fragestellung.

Der Gedanke hinter Wolfgangs Ueberlegung ist im Prinzip richtig,
er wuerde aber nur dann zu einem unanfechtbaren Beweis fuehren,
wenn der Grenzfall kontinuierlich erreichbar waere. Damit ist gemeint,
dass man ihn durch schrittweises Bilden der Durchschnittsintervalle
oder durch immer feinere Unterteilung des Einheitsintervalls nicht
erreicht. Man kann daher den Uebergang von noch abzaehlbar unendlichen
Mengen disjunkter Intervalle zur ueberabzahlberen Menge nicht
"beobachten". Man kann nur das Endergebnis zur Kenntnis nehmen.
Dieses spiegelt aber nur die Voraussetzungen wieder, von denen
die Ueberlegung ausging. Man weiss nur, dass jede Menge, in der nicht
alle reellen Zahlen Endpunkt eines Intervalls sind, Intervalle
enthaelt, die sich noch weiter teilen lassen, so dass sie nicht die
gesuchte Menge der disjunkten Intervalle ist, bei denen die reellen
Zahlen nur als Endpunkte der Intervalle vorkommen. (Eigentlich
haette er nur irrationale Zahlen als Endpunkte verwenden duerfen.)

Die Menge aller Intervalle, die von rationalen Zahlen begrenzt
werden, muss auch echte Intervalle enthalten und nicht nur
einpunktige. Man kann die Intervalle als halboffen definieren,
indem die niedrigere rationale Zahl zum Intervall gehoert
waerend die groessere zum naechsten Intervall gehoert.

Die abzaehlbar unendliche Grenzmenge G_q, die nur disjunkte
Intervalle und alle rationalen Zahlen als Endpunkt eines
Intervalls enthaelt, muss existieren, auch wenn man kein Intervall
explizit angeben kann. In der Mathematik sind Existenzbeweise
von Dingen, die man nicht explizit angeben kann, nichts besonderes.
Die Existenz von G_q ist eine direkte Konsequenz der Existenz
der _Menge_ _aller_ rationalen Zahlen. (Diese Konsequenz gilt
nicht, wenn man die Zahlen nur als beliebig erweiterbare
Zahlenfolgen auffasst.) Auch aus der Begruendung, warum G_r
nur einpunktige Intervalle enthaelt, folgt, dass G_q auch
echte Intervalle enthalen muss, denn die Menge der Zahlen
ist in beiden Grenzmengen dieselbe, im zweiten Fall ist
aber nur ein Teil davon Endpunkt eines Intervalls.

Die Menge I der in den Intervallen von G_q (ohne die Endpunkte)
enthaltenen Zahlen ist die ueberabzaehlbare Menge der irrationalen
Zahlen des Einheitsintervalls. Die irrationalen Zahlen sind also
als infinitesimale Kontinua in den echten Intervallen von G_q
enthalten. Das steht im Widerspruch zu der allgemein akzeptierten
Aussage, dass es zwischen je zwei verschiedenen irrrationalen
Zahlen unendlich viele rationale Zahlen gibt. Die Tatsache, dass
dies auch umgekehrt gilt, ist ein starkes Indiz dafuer, dass die
beiden Zahlenmengen gleichmaechtig sein muessen.

Das vorstehende Ergebnis steht auch im Widerspruch zum Cantorschen
Diskontinuum. Dieses entsteht ebenfalls aus Intervallen, die nur
von rationalen Zahlen begrenzt werden. Im Grenzfall ziehen sich
diese Intervalle auf einzelne Punkte zusammen, die dann konsequenter-
weise nur rationale Zahlen sein koennen. Die Bereiche zwischen den
Punkten sind keine Elemente des Cantorschen Diskontinuums.

Trotzdem kommt die Theorie zu dem Schluss, dass das Diskontinuum auch
ueberabzaehlbar viele irrationale Grenzintervalle (= Punkte) enthaelt.
Dieser Fehlschluss entsteht dadurch, dass es irrationale Zahlen gibt,
die _vor_ dem Grenzuebergang immer in einem der dann noch echten
Teilintervalle enthalten sind. Vor dem Grenzuebergang ist aber die
Menge der Intervalle nicht nur abzaehlbar sondern sogar endlich.
Diese endlichen Intervalle muessen zwangslaeufig auch irrationale
Zahlen enthalten. Da es keinen kontinuierlichen Uebergang von dieser
Folge endlicher Mengen endlicher Intervalle zur ueberabzaehlbaren
Grenzmenge gibt, kann man aus dem Verhalten vor dem Grenzuebergang
keine Rueckschluesse auf die Eigenschaften der Grenzmenge ziehen.
Tatsaechlich ist die Grenzmenge ohne jede Ruecksicht auf die
Konstruktionsvorschrift fuer das vermeintliche Diskontinuum
definiert.

>
> Einen Existenzbeweis kannst Du ueber die Cantor-Methode nicht
> bewerkstelligen. Die Cantor-Methode spricht von einer _bestimmten_ und
> damit beschriebenen Menge, naemlich _der_ eindeutig spezifizierten
> Menge der unendlichen Folgen, die aus 0,1 (oder aus 0,1,...,9)
> bestehen und weist dann nach, dass _diese_ exakt spezifizierte Menge
> nicht abzaehlbar ist.

Mit der Cantor-Methode ist der Diagonalbeweis gemeint. Diese Diskussion
wird kaum zu einem befriedigenden Ergebnis kommen koennen, wenn nicht
einmal ueber die Voraussetzungen der Theorie Klarheit besteht. Es
interessiert mich daher, ob jemand den Sinn des Diagonalbeweises
erklaeren kann. Was soll damit eigentlich bewiesen werden und worin
liegt die Beweiskraft?

Ein Beispiel:
Gegeben ist die Menge der natuerlichen Zahlen von 100 bis 999 in
dezimaler Schreibweise. Sie sind in beliebiger Reihenfolge in einer
Liste angeordnet, z. B.

842
912
537
...

Mit der Diagonalen erfasst man nur 3 der Zahlen. Durch "Cantorisieren"
der Diagonalen (also aendern der Ziffern) erhaelt man auch dreistellige
Zahlen, die nicht in dem von der Diagonalen erfassten Teil der Liste
enthalten sind. Nach Cantors Logik ist also die Menge der 3-stelligen
Zahlen ueberabzaehlbar.

Schreiben wir die Zahlen zum Vergleich in der Form
1 = |
2 = ||
3 = |||
...
Eine sinnvolle Cantorisierung der Diagonalen ist jetzt zwar nicht
mehr moeglich. Wenn man die Zahlen in ihrer natuerlichen Reihenfolge
aufschreibt, erfasst die Diagonale jetzt aber alle Zahlen. In jeder
g-adischen Schreibweise mit g > 1 dagegen ist die Anzahl der
darstellbaren Zahlen groesser als die Zahl der Stellen. Die Diagonale
ist nur ein Mass fuer die Anzahl der Stellen. Mit der Cantor-Methode
koennte man auch beweisen, dass die Menge der nat. Zahlen ueberabzaehlbar
ist. Man muesste die Diagonale nur von rechts oben nach links unten
ziehen, damit sie ggf. nicht ins Leere greift sondern voreilende Nullen
erfasst, wie sie bei den reellen Zahlen des Einheitsintervalls
nacheilende Nullen erfasst, denen keine andere Ziffer mehr folgt.

Bei endlichen Mengen versagt also die Cantor-Methode. Was ist bei
unendlichen Mengen anders? Ist es nur die fehlende Kontrollmoeglichkeit,
so dass man nach Belieben spekulieren kann?

Gruss

Dieter

Horst Kraemer

unread,
Aug 7, 2001, 4:28:33 AM8/7/01
to

Ich schlage vor, etwas praeziser zu sprechen. Der Begriff "enthaelt"
wird in so vielen Bedeutungsnuancen verwendet, dass es zu
Missverstaendnissen kommen kann.

Du willst sagen: es gibt (ueberabzaehlbar viele) abzaehlbare (endliche
und unendliche Mengen), deren Elemente paarweise disjunkte
Teilintervalle von [0,1] sind.


> Wolfgang meint, wenn ich ihn richtig verstehe, folgendes:
> Einige der Intervalle z. B. der Mengen A und B ueberschneiden sich.
> Wir bilden die Durchschnitte dieser Intervalle und fassen sie mit
> den evtl. verbleibenden Differenzintervallen zur neuen Menge X
> zusammen. X enthaelt nur paarweise disjunkte Intervalle.
>
> Bildet man nun von allen ueberabzaehlbar vielen Mengen disjunkter
> Intervalle die Durchschnitts- und ggf. Differenzintervalle und fasst
> sie zu einer Menge G_r zusammen, erhaelt man die gesuchte Menge
> paarweise disjunkter Intervalle. Diese sind aber zu Punkten
> "entartet" und somit keine Intervalle mehr. Die gesuchte Menge
> ist identisch mit der Menge der reellen Zahlen des Einheitsintervalls.
> Sie ist daher nicht geeignet, den beabsichtigten Beweis zu liefern,
> dass es ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen geben muss, sie
> liefert aber auch nicht den Gegenbeweis, sondern man steht wieder
> am Anfang der Fragestellung.

Korrekt. Die Verbindung aller Aufteilungen von [0,1] in Intervalle mit
Laenge>0 (es reichen bereits endliche Aufteilungen) ist keine
Aufteilung in Intervalle mit Laenge >0. Das Misslingen der
Konstruktion einer Menge mit bestimmten Eigenschaften beweist nicht,
dass es eine derartige Menge nicht gibt.


> Der Gedanke hinter Wolfgangs Ueberlegung ist im Prinzip richtig,
> er wuerde aber nur dann zu einem unanfechtbaren Beweis fuehren,
> wenn der Grenzfall kontinuierlich erreichbar waere. Damit ist gemeint,
> dass man ihn durch schrittweises Bilden der Durchschnittsintervalle
> oder durch immer feinere Unterteilung des Einheitsintervalls nicht
> erreicht. Man kann daher den Uebergang von noch abzaehlbar unendlichen
> Mengen disjunkter Intervalle zur ueberabzahlberen Menge nicht
> "beobachten".

> Man kann nur das Endergebnis zur Kenntnis nehmen.
> Dieses spiegelt aber nur die Voraussetzungen wieder, von denen
> die Ueberlegung ausging. Man weiss nur, dass jede Menge, in der nicht
> alle reellen Zahlen Endpunkt eines Intervalls sind, Intervalle
> enthaelt, die sich noch weiter teilen lassen,

Natuerlich. Jedes Intervall jeder Menge von p.d. Intervallen laesst
sich wiederum in endlich oder sogar in abzaehlbar unendliche viele
Teile teilen und die neue Menge besteht wieder aus p.d. Intervallen.

> so dass sie nicht die
> gesuchte Menge der disjunkten Intervalle ist, bei denen die reellen
> Zahlen nur als Endpunkte der Intervalle vorkommen. (Eigentlich
> haette er nur irrationale Zahlen als Endpunkte verwenden duerfen.)
>
> Die Menge aller Intervalle, die von rationalen Zahlen begrenzt
> werden, muss auch echte Intervalle enthalten und nicht nur
> einpunktige. Man kann die Intervalle als halboffen definieren,
> indem die niedrigere rationale Zahl zum Intervall gehoert
> waerend die groessere zum naechsten Intervall gehoert.

Die (abzaehlbare) Menge _aller_ rechts halboffenen Teilintervalle von
[0,1) mit rationalen Endpunkten und Laenge>0 ist zunaechst nicht
paarweise disjunkt, da z.B. die Intervalle [1/2,2/3) und [1/2,3/4)
Elemente dieser Menge sind.

[
Zur Schreibweise [a,b): die eckige Klammer bedeutet, dass der
Randpunkt zur Menge gehoeren soll. Die runde Klammer bedeutet, dass er
nicht zur Menge gehoeren soll. Manche schreiben auch [a,b[
]

> Die abzaehlbar unendliche Grenzmenge G_q, die nur disjunkte
> Intervalle und alle rationalen Zahlen als Endpunkt eines
> Intervalls enthaelt, muss existieren, auch wenn man kein Intervall
> explizit angeben kann.

Ich sehe nicht von _welcher_ Grenzmenge G_q Du sprichst. Was soll der
Ausgangspunkt dieses "Grenzprozesses" sein und wie sieht ein Schritt
dieses Prozesses aus ? Ueberdies ist der Begriff "Grenzmenge" in der
Mengenlehre nicht definiert. Er ist eine sprachliche Metapher, mit der
man manchmal je nach Fall das Resultat einer wohldefinierten
Mengenoperation, z.b. Durchschnitt oder Vereinigung bestimmter Mengen,
bezeichnet. Wenn man nicht genau sagt, welche wohldefinierten
Mengenoperationen im Einzelfall hinter diesen Begriff stehen, ist er
sinnleer, da er keine Bedeutung "an sich" hat.

Die nicht durch konkrete Mengenoperationen untermauerte Verwendung
kann zu eklatanten Fehlschluessen fuehren, insbesondere dann, wenn man
ohne jede Begruendung annimmt, dass die "Grenzmenge" einer unendlichen
Folge von Mengen dieselben Eigenschaften wie die Folgenelemente hat.
Dass dies einmal der Fall ist, ist eher eine Ausnahme. In jedem Falle
muss es im Einzelfall konkret ueberprueft werden. Bis dahin sind
Aussagen ueber die "Grenzmenge" unbegruendete Vermutungen.

Das Hinschreiben von gewissen Eigenschaften A,B,C, die fuer eine Menge

sinnvoll sind, berechtigt nicht automatisch, von "der" oder "einer
Menge" mit den Eigenschaften A.B.C zu sprechen. Insbesondere dann
nicht, wenn sich zwei dieser Eigenschaften ausschliessen. Hier die
Eigenschaften "die Elemente sind paarweise disjunkt" und "jede
rationale Zahl kommt als Endpunkt eines Elements vor".

Es kann keine Menge von p.d. Teilintervallen von [0,1) mit rationalen
Endpunkten und mit Laenge>0 geben, in der jede rationale Zahl als
Endpunkt eines Intervalls vorkommt. Betrachte ein beliebiges Intervall
I0=[a,b) aus dieser Menge. Da nach Voraussetzung jede rationale Zahl
als Endpunkt eines der Intervalls vorkommen soll, muss auch die
rationale Zahl (a+b)/2 als Endpunkt eines Intervalls I1 vorkommen. Da
I0 und I1 nicht disjunkt sind, haben wir bereits einen Widerspruch.


> In der Mathematik sind Existenzbeweise
> von Dingen, die man nicht explizit angeben kann, nichts besonderes.
> Die Existenz von G_q ist eine direkte Konsequenz der Existenz
> der _Menge_ _aller_ rationalen Zahlen.

Ich bin nicht sicher, dass wir mit "logisch" dasselbe meinen. Ich sehe
keine logische Konsequenz, mit der man auf die Existenz einer Menge
von p.d. Teilintervallen von [0,1) mit Laenge >0 schliessen kann, bei
der jede rationale Zahl als Endpunkt eines Intervalls vorkommt. Im
Gegenteil, ich habe oben nachgewiesen, dass eine Menge von halboffenen
Teilintervallen von [0,1) mit Laenge >0, in der jede rationale Zahl
als Endpunkt eines Intervalls vorkommt, nicht paarweise disjunkt sein
kann. Wie willst Du Dich ueber diese Argumentation "logisch"
hinwegsetzen ?

Bestreitest Du, dass (a+b)/2 eine rationale Zahl ist, wenn a und b mit
a<b rationale Zahlen sind ?

Bestreitest Du, dass die Intervalle

[a,b) und [x,(a+b)/2)

bzw.

[a,b) und [(a+b)/2,x)

mindestens eine gemeinsame rationale Zahl enthalten, also nicht
disjunkt sind ?



> Mit der Cantor-Methode ist der Diagonalbeweis gemeint. Diese Diskussion
> wird kaum zu einem befriedigenden Ergebnis kommen koennen, wenn nicht
> einmal ueber die Voraussetzungen der Theorie Klarheit besteht.


> Es
> interessiert mich daher, ob jemand den Sinn des Diagonalbeweises
> erklaeren kann. Was soll damit eigentlich bewiesen werden und worin
> liegt die Beweiskraft?

Es soll bewiesen werden, dass man die Menge der unendlichen Folgen von
Ziffern, z.b. die Menge der unendlichen 0-1-Folgen nicht so
"numerieren" kann, so dass jede Folge eine verschiedene Nummer
bekommt, d.h. es wird bewiesen, dass es bei _jeder_ beliebigen
Zuordnung f

natuerliche Zahl -> Folge

bei der _jeder_ natuerlichen Zahl irgendeine 0-1-Folge zugeordnet
wird, immer ein Folge gibt, die keine "Nummer" hat.

Beweis. Sei f eine beliebige Abbbildung von N in die Menge der
0-1-Folgen.

f(i) bezeichne die 0-1-Folge, die der natuerlichen Zahl i zugeordnet
ist.

f(i)_k bezeichne das k-te Elemente der 0-1-Folge, die der natuerlichen
Zahl i zugeordnet ist.

Wir betrachten die eindeutig definierte Folge (a), dessen k-tes
Element

a_k = 1-f(k)_k

lautet. a_k ist also das "Gegenteil" des k.Elements der Folge Nummer
k. Diese Folge (a) kommt nicht als Bild irgendeiner natuerlichen Zahl
j vor, denn fuer jedes j gilt ja per Definition, dass a_j=1-f(j)_j.,
also a_j _ungleich_ f(j)_j.

Somit gilt: (a) ungleich f(j) fuer alle j.

MfG
Horst

Detlef Mueller

unread,
Aug 7, 2001, 7:38:22 AM8/7/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
...

>
> Mit der Cantor-Methode ist der Diagonalbeweis gemeint. Diese Diskussion
> wird kaum zu einem befriedigenden Ergebnis kommen koennen, wenn nicht
> einmal ueber die Voraussetzungen der Theorie Klarheit besteht. Es
> interessiert mich daher, ob jemand den Sinn des Diagonalbeweises
> erklaeren kann. Was soll damit eigentlich bewiesen werden und worin
> liegt die Beweiskraft?
>
> Ein Beispiel:
> Gegeben ist die Menge der natuerlichen Zahlen von 100 bis 999 in
> dezimaler Schreibweise. Sie sind in beliebiger Reihenfolge in einer
> Liste angeordnet, z. B.
>
> 842
> 912
> 537
> ...
>
> Mit der Diagonalen erfasst man nur 3 der Zahlen.
>
Falsch.
Die Diagonale Existiert nicht, da das Schema
nicht quadratisch ist, also nicht in jeder n-ten
Zeile auch eine n-te Spalte existiert.
Alles folgende ist also Quatsch.

< Quatsch gesnippt >

...


>
> Bei endlichen Mengen versagt also die Cantor-Methode.
>

Das kannst Du so nicht sagen.
Wann sind denn die Voraussetzungen gegeben?

Nur wenn Du Listen hast, bei denen die Anzahl
der Eintraege die gleiche Maechtigkeit hat, wie
die laenge eines jeden Eintrages.

Cantors Verfahren fuehrte also dazu, dass Du
beweisen kannst, dass Du nicht alle 3-stelligen
Zahlen in einer Liste _die genau drei Eintraege hat_
aufschreiben kannst:

Dann (und nur dann) kannst Du das Verfahren anwenden,
und ein Element konstruieren, dass an keiner Stelle
der Liste Vorkommt.

Wenn Du oben deine Liste dreistelliger Zahlen
durch fuehrende Nullen auf die passende Laenge
ergaenzt, so dass es eine Diagonale gibt, findet
Das Diagonalverfahren auch brav eine nicht darin
vorkommende Zahl (natuerlich ist die dann groesser
als 999, und damit ist dann nicht gezeigt, dass
man die Zahlen von 100 bis 999 nicht auflisten
koenne - das waere ja auch seltsam).

> Was ist bei
> unendlichen Mengen anders?
>

Bei abzaehlbar unendlichen Mengen von Elementen
mit je abzaehlbar unendlich vielen Stellen?
Nichts, bei denen kommt sogar die notwendige
Bedingung hin, dass die Listenelemente die gleiche
Maechtigkeit haben wie die Liste selbst, naemlich
abzaehlbar unendlich.

Jeder Eintrag hat abzaehlbar unendlich viele Stellen,
und es gibt auch abzaehlbar unendlich viele Eintraege.
Damit gibt es eine Diagonale, und man kann auch das
Diagonalverfahren anwenden.
Und wenn man hier, im gegensatz zu obigem Beispiel, von
dem konstruierten Element zeigen kann, dass es in
der Menge der aufzuzaehlenden Elemente liegt,
liegt der klassische Diagonalbeweis vor.

Gruss,
Detlef

Wolfgang G. G.

unread,
Aug 7, 2001, 1:40:48 PM8/7/01
to
Dieter Jungmann in 3B6F6E0F...@t-online.de :

| Mit der Cantor-Methode koennte man auch beweisen, dass die Menge
| der nat. Zahlen ueberabzaehlbar ist. Man muesste die Diagonale
| nur von rechts oben nach links unten ziehen, damit sie ggf.
| nicht ins Leere greift sondern voreilende Nullen erfasst, wie
| sie bei den reellen Zahlen des Einheitsintervalls nacheilende
| Nullen erfasst, denen keine andere Ziffer mehr folgt.

Genial!

Die natürlichen Zahlen in Binärschreibweise aufsteigend angeordnet:

1) ...000000001
2) ...000000010
3) ...000000011
4) ...000000100
5) ...000000101
...

Mit der Cantor-Methode schafft man eine neue Cantor-Zahl c), die
sich an der 1. Stelle (von rechts) von 1), an der 2. Stelle von 2)
an der 3. von 3) usw. unterscheidet (durch Austauschen von "0"
und "1"). Es ergibt sich

c) ...111111100

Egal wie wir die natürlichen Zahlen anordnen, es findet sich
mit Cantors Methode immer eine neue Zahl, die in der Anordnung
nicht aufscheint. Dass diese Zahl unendlich ist, ist bei der
Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nicht weiter erstaunlich.
(Sofern wir uns nur mit ins Unendliche erweiterbaren endlichen
Mengen beschäftigen, wird die unendliche Anzahl führender "1"
nicht benötigt).

Somit wäre also entweder die Überabzählbarkeit von |N bewiesen,
oder Cantors Konzept "überzählbar" widerlegt. Nur ist halt die
Frage, ob etwas Beweis bzw. Widerlegung ist oder nicht, primär
Glaubenssache.


Horst Kraemer in 3b6f9fb5...@news.cis.dfn.de :

> Es kann keine Menge von p.d. Teilintervallen von [0,1) mit rationalen
> Endpunkten und mit Laenge>0 geben, in der jede rationale Zahl als
> Endpunkt eines Intervalls vorkommt. Betrachte ein beliebiges Intervall
> I0=[a,b) aus dieser Menge. Da nach Voraussetzung jede rationale Zahl
> als Endpunkt eines der Intervalls vorkommen soll, muss auch die
> rationale Zahl (a+b)/2 als Endpunkt eines Intervalls I1 vorkommen. Da
> I0 und I1 nicht disjunkt sind, haben wir bereits einen Widerspruch.

Das Intervall I0 verschwindet nicht, sondern wird nur verkürzt, denn
es genügt, ein Intervall durch EINEN Grenzpunkt zu benennen. Anstatt
des Intervalls mit dem oberen Grenzpunkt b haben wir zwei Intervalle
mit den oberen Grenzpunkten (a+b)/2 und b.

Zudem lässt sich mit analoger Argumentation auch die Existenz DER
Menge der rationalen Zahlen bestreiten:

Rationale Zahlen lassen sich der Grösse nach ordnen. Da nach
Voraussetzung jede rationale Zahl vorkommen soll, gibt es zu einem
beliebigen a auch ein b, das a der Grösse nach folgt. Somit muss
auch die rationale Zahl (a+b)/2 entgegen der Voraussetzung ein
Element der Menge sein.

Ich weiss, dass man diese Argumentation mit dem Hinweis übergeht,
dass rationale Zahlen offensichtlich keine Nachbarn haben. Aber
warum haben die Elemente von |Q keine Nachbarn, obwohl sie sich der
Grösse nach ordnen lassen? - Ganz einfach: Weil die Elemente eben
nicht allesamt (aktual) gegeben sind!


Gruss, Wolfgang


Horst Kraemer

unread,
Aug 7, 2001, 3:33:42 PM8/7/01
to
On Tue, 7 Aug 2001 19:40:48 +0200, "Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li>
wrote:

> Horst Kraemer in 3b6f9fb5...@news.cis.dfn.de :


>
> > Es kann keine Menge von p.d. Teilintervallen von [0,1) mit rationalen
> > Endpunkten und mit Laenge>0 geben, in der jede rationale Zahl als
> > Endpunkt eines Intervalls vorkommt. Betrachte ein beliebiges Intervall
> > I0=[a,b) aus dieser Menge. Da nach Voraussetzung jede rationale Zahl
> > als Endpunkt eines der Intervalls vorkommen soll, muss auch die
> > rationale Zahl (a+b)/2 als Endpunkt eines Intervalls I1 vorkommen. Da
> > I0 und I1 nicht disjunkt sind, haben wir bereits einen Widerspruch.

> Das Intervall I0 verschwindet nicht, sondern wird nur verkürzt, denn
> es genügt, ein Intervall durch EINEN Grenzpunkt zu benennen. Anstatt
> des Intervalls mit dem oberen Grenzpunkt b haben wir zwei Intervalle
> mit den oberen Grenzpunkten (a+b)/2 und b.

Wer hat behauptet, dass irgendetwas "verschwindet" ? Wenn ich annehme,
dass eine als existent vorausgesetzte Menge ein Intervall [a,b) mit
a<b enthaelt, bin ich nicht bereit, dieses wieder "verschwinden" zu
lassen.

Dass es genuegt, ein Intervall durch EINEN Grenzpunkt zu benennen,
waere mir neu. Wie unterscheidet man zwischen den Intervallen [0,1]
und [1/2,1] wenn nur der obere Grenzpunkt bekannt ist ?

Ausserdem wird in einer Menge nichts "verkuerzt". Eine Menge ist etwas
Statisches, sie _wird_ nicht, sondern sie _ist_. Jedenfalls nach der
Auffassung von Menge, auf die sich der Begriff "Abzaehlbarkeit"
stuetzt, dessen Konsistenz Du angeblich widerlegen willst.

Und wenn die als existent angenommene Menge von Intervallen mit
Laenge>0, bei der jede rationale Zahl als Endpunkt eines Intervalls
vorkommen soll, zusaetzlich zu irgendeinem beliebigen [a,b) noch ein
weiteres Intervall mit einem Randpunkt (a+b)/2 und einer Laenge>0 als
Element enthaelt, dann enthalten dieses Intervall und das Intervall
[a,b) mindestens ein gemeinsames Element und die Intervalle dieser
Menge sind damit nicht paarweise disjunkt. q.e.d. Jetzt bin ich mir
allerdings nicht mehr sicher, ob Du meinen Beweis bestaetigen oder
anzweifeln wolltest. Dies geht aus Deiner Nachricht leider nicht
abschliessend hervor.


MfG
Horst

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 7, 2001, 3:34:08 PM8/7/01
to
Wolfgang G. G. <z...@z.lol.li> wrote
>
> Genial!
>
> Die natürlichen Zahlen in Binärschreibweise aufsteigend angeordnet:
>
> 1) ...000000001
> 2) ...000000010
> 3) ...000000011
> 4) ...000000100
> 5) ...000000101
> ...
>
> Mit der Cantor-Methode schafft man eine neue Cantor-Zahl
> [ usw. ]

> Dass diese Zahl unendlich ist, ist bei der
> Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nicht weiter erstaunlich.

Grausliger Käse - Volksverdummung. Pfui !

Warum setzst Du Deinen sicherlich vorhandenen Verstand
nicht mal etwas selbstkritischer ein ?

Es ist wirklich ein Ärgernis, was hier verzapft wird.

Empört,
Rainer


Sönke Müller-Lund

unread,
Aug 7, 2001, 3:47:10 PM8/7/01
to
Moin Wolfgang, moin Dieter,

> Dieter Jungmann in 3B6F6E0F...@t-online.de :
>
> | Mit der Cantor-Methode koennte man auch beweisen, dass die Menge
> | der nat. Zahlen ueberabzaehlbar ist. Man muesste die Diagonale
> | nur von rechts oben nach links unten ziehen, damit sie ggf.
> | nicht ins Leere greift sondern voreilende Nullen erfasst, wie
> | sie bei den reellen Zahlen des Einheitsintervalls nacheilende
> | Nullen erfasst, denen keine andere Ziffer mehr folgt.
>
> Genial!

Genial?
Um es diplomatisch zu formulieren:
Dieters Idee ist absolut unbrauchbar!

Denn: Man kann die Diagonale von rechts oben nach links unten nicht
bilden. Wie lautet denn das erste Glied dieser "Diagonalfolge"?
Die Diagonalfolge in Cantors Überabzählbarkeitsbeweis läßt sich sehr
wohl angeben, d.h. für jedes n aus IN lässt sich das n-te Glied
bestimmen.

> Die natürlichen Zahlen in Binärschreibweise aufsteigend angeordnet:
>
> 1) ...000000001
> 2) ...000000010
> 3) ...000000011
> 4) ...000000100
> 5) ...000000101
> ...
>
> Mit der Cantor-Methode schafft man eine neue Cantor-Zahl c), die
> sich an der 1. Stelle (von rechts) von 1), an der 2. Stelle von 2)
> an der 3. von 3) usw. unterscheidet (durch Austauschen von "0"
> und "1"). Es ergibt sich
>
> c) ...111111100

Was soll c) sein? Eine natürliche Zahl ist das jedenfalls nicht, denn
Deine (Eure) natürlichen Zahlen sind _alle_ mit unendlich vielen Nullen
aufgefüllt, nicht mit unendlich vielen Einsen.

> Egal wie wir die natürlichen Zahlen anordnen, es findet sich
> mit Cantors Methode immer eine neue Zahl, die in der Anordnung
> nicht aufscheint. Dass diese Zahl unendlich ist, ist bei der
> Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nicht weiter erstaunlich.

Jede natürliche Zahl ist endlich und das charakterisiert gerade die
natürlichen Zahlen. Es ist mir klar, dass Dieter das bestreitet und alle
Beweise ignoriert.

> Somit wäre also entweder die Überabzählbarkeit von |N bewiesen,
> oder Cantors Konzept "überzählbar" widerlegt.

:)
Was soll man noch dazu sagen?

Dieter und Du führen "Beweise", die jeder Student im Grundstudium
Mathematik widerlegen kann. Ich könnte ja nochmals den
Überabzählbarkeitsbeweis von Cantor erklären, aber wird Euch das
weiterbringen? Ich glaube kaum.
Es haben hier schon ganz anderer Leute versucht, Euch beide davon zu
überzeugen, dass Ihr Euch irrt (z.B. Horst Kraemer, der IMO ein viel
besserer Mathematiker ist als ich es je sein werde). Anderseits habt Ihr
gute Ideen und auch das Potential, um Mathematik erfolgreich zu
betreiben und deshalb finde ich es bedauerlich, wenn Ihr Euch selbst
ausbremmst, indem Ihr versucht, ein konsistentes System einzureissen.

> Nur ist halt die Frage, ob etwas Beweis bzw. Widerlegung ist
> oder nicht, primär Glaubenssache.

Mal Hand aufs Herz!
Glaubt Ihr wirklich, dass das nur Glaubenssache ist? (witzige Frage :) )
Meint Ihr nicht, dass wenn es so einfach wäre, die Mauern der Mathematik
einzureissen, dass nicht schon anderer Leute darauf gekommen wären?
Oder glaubt Ihr etwa, dass Ihr eine Verschwörung der Wissenschaftler auf
die Schliche gekommen seit, die über diese "gravierenden Lücken und
Widersprüche" das Mäntelchen des Schweigens decken?

Klingt das nicht ziemlich paranoid?

<pause/>

Um zwischenzeitlich mal wieder etwas Mathematik zu betreiben:

> Das Intervall I0 verschwindet nicht, sondern wird nur verkürzt, denn
> es genügt, ein Intervall durch EINEN Grenzpunkt zu benennen. Anstatt
> des Intervalls mit dem oberen Grenzpunkt b haben wir zwei Intervalle
> mit den oberen Grenzpunkten (a+b)/2 und b.

Igendetwas kommt mir hier bekannt vor. ;)

> Zudem lässt sich mit analoger Argumentation auch die Existenz DER
> Menge der rationalen Zahlen bestreiten:
>
> Rationale Zahlen lassen sich der Grösse nach ordnen. Da nach
> Voraussetzung jede rationale Zahl vorkommen soll, gibt es zu einem
> beliebigen a auch ein b, das a der Grösse nach folgt. Somit muss
> auch die rationale Zahl (a+b)/2 entgegen der Voraussetzung ein
> Element der Menge sein.
>
> Ich weiss, dass man diese Argumentation mit dem Hinweis übergeht,
> dass rationale Zahlen offensichtlich keine Nachbarn haben. Aber
> warum haben die Elemente von |Q keine Nachbarn, obwohl sie sich der
> Grösse nach ordnen lassen? - Ganz einfach: Weil die Elemente eben
> nicht allesamt (aktual) gegeben sind!

Nein, sie lassen sich nicht nach der Größe abzählen.

Du kannst die rationalen zwar abzählen und damit auch eindeutige
Vorgänger und Nachfolger bestimmen, aber mit der Bijektion von IN nach
IQ überträgt sich NICHT die Ordnung von IN auf IQ. Ein
"Ordnungsisomorphismus" zwischen IN und IQ existiert nicht (eben wegen
a<(a+b)/2<b).

>
> Gruss, Wolfgang

In diesem Sinne

Sönke

Arnold Schiller

unread,
Aug 7, 2001, 4:09:23 PM8/7/01
to
"Wolfgang G. G." wrote:
>
> Somit wäre also entweder die Überabzählbarkeit von |N bewiesen,
> oder Cantors Konzept "überzählbar" widerlegt. Nur ist halt die
> Frage, ob etwas Beweis bzw. Widerlegung ist oder nicht, primär
> Glaubenssache.
>

Ich denke nicht, dass damit eine Überabzählbarkeit von |N bewiesen wäre.
Eine Zahl ist wie auch immer eine abgeschlossene Einheit. Ich kann eine
Zahl immer nur dann setzen, wenn ich diesen Abschluss tätige. Setze ich
diesen Abschluss nicht, befinde ich mich in einer undefinierten
Unendlichkeit. Warum die natürlichen Zahlen abzählbar unendlich sind,
ist leicht an einem anderen Beispiel nachvollziebar:
Eine Zahl ist wie ich oben postulierte immer eine abgeschlossene Einheit
ohne irgendeine besondere Eigenschaft. Dieses kann ich zum Beispiel mit
einem Klammersymbol ausdrücken {} Anfang und Ende einer x-beliebigen
Zahl. Nun kann ich wenn ich will darauf eine Definition aufbauen.
{} =: 0
{{}} =: 1
diese Definition kann ich dann x-beliebige in die Unendlichkeit hinein
erweitern.
{{{{{{{{{{}}}}}}}}}} =: 9 usw
die gröstmögliche Zahl ist nur dann eine Zahl, wenn es immer noch aus
einem Klammernpaar besteht.
Insofern kann ich dieses als abzählbar bezeichnen. Es ist links und
rechts ausgewogen und es ist eigentlich egal wieviel { und } ich links
und rechts von der Mitte stehen habe. Es ist auch oo schliesslich und
endlich eine Zahl, die zählbar ist. Anders sähe es aus, wenn dieses
Gleichgewicht nicht mehr gegeben ist.

Gruss
Arnold

Thomas Haunhorst

unread,
Aug 7, 2001, 4:18:12 PM8/7/01
to
On Tue, 07 Aug 2001 21:47:10 +0200,
Sönke Müller-Lund <s...@ki.comcity.de> wrote:
>Dieter und Du führen "Beweise", die jeder Student im Grundstudium
>Mathematik widerlegen kann. Ich könnte ja nochmals den
>Überabzählbarkeitsbeweis von Cantor erklären, aber wird Euch das
>weiterbringen? Ich glaube kaum.
>Es haben hier schon ganz anderer Leute versucht, Euch beide davon zu
>überzeugen, dass Ihr Euch irrt (z.B. Horst Kraemer, der IMO ein viel
>besserer Mathematiker ist als ich es je sein werde). Anderseits habt Ihr
>gute Ideen und auch das Potential, um Mathematik erfolgreich zu
>betreiben und deshalb finde ich es bedauerlich, wenn Ihr Euch selbst
>ausbremmst, indem Ihr versucht, ein konsistentes System einzureissen.

Nunja, dass ZF konsistent ist (und letztendlich ist das Unendlichkeitsaxiom
ja eine Voraussetzung, wenn man von "Abzaehlbarkeit" und "Ueberabzaehlbarkeit"
spricht), ist nunmal nicht zu beweisen.

Will man das "Konzept der Ueberabzaehlbarkeit" angreifen, dann darf man nicht
mathematisch argumentieren, sondern philosophisch. Aber dann muss man auch
das "Konzept einer Struktur der natuerlichen Zahlen" resp. das Unendlichkeits-
axiom in dieser Weise hinterfragen. So eine Vorgehensweise waere hier, eine
Sinnlosigkeit des Unendlichkeitsaxioms zu zeigen. Ein anderer Weg waere,
die Inkonsistenz von ZF zu zeigen. Dazu muesste man zwei Sequenzen in der
Sprache von ZF angeben, die zwei sich "widersprechende" Saetze an ihrem
Ende haben.


Gruss Thomas
--

Arnold Schiller

unread,
Aug 7, 2001, 5:01:11 PM8/7/01
to
Sönke Müller-Lund wrote:
> auch jedem^H^H^H fast jedem klar, warum das Probleme macht.

klar!
Was ist Klarheit?
Ein Widerspruch ist auch klar.
Je grösser das Erlernte desto grösser die Gewissheit und desto kleiner
das Wissen.

Thomas Haunhorst

unread,
Aug 7, 2001, 4:30:50 PM8/7/01
to
On Tue, 07 Aug 2001 21:47:10 +0200,
Sönke Müller-Lund <s...@ki.comcity.de> wrote:
>Dieter und Du führen "Beweise", die jeder Student im Grundstudium
>Mathematik widerlegen kann. Ich könnte ja nochmals den
>Überabzählbarkeitsbeweis von Cantor erklären, aber wird Euch das
>weiterbringen? Ich glaube kaum.
>Es haben hier schon ganz anderer Leute versucht, Euch beide davon zu
>überzeugen, dass Ihr Euch irrt (z.B. Horst Kraemer, der IMO ein viel
>besserer Mathematiker ist als ich es je sein werde). Anderseits habt Ihr
>gute Ideen und auch das Potential, um Mathematik erfolgreich zu
>betreiben und deshalb finde ich es bedauerlich, wenn Ihr Euch selbst
>ausbremmst, indem Ihr versucht, ein konsistentes System einzureissen.

Nunja, dass ZF konsistent ist (und letztendlich ist das Unendlichkeitsaxiom


ja eine Voraussetzung, wenn man von "Abzaehlbarkeit" und "Ueberabzaehlbarkeit"

spricht), ist nunmal nicht zu beweisen (wenn ZF konsistent ist).

Sönke Müller-Lund

unread,
Aug 7, 2001, 5:49:56 PM8/7/01
to
Moin Thomas,

> >Es haben hier schon ganz anderer Leute versucht, Euch beide davon zu
> >überzeugen, dass Ihr Euch irrt (z.B. Horst Kraemer, der IMO ein viel
> >besserer Mathematiker ist als ich es je sein werde). Anderseits habt Ihr
> >gute Ideen und auch das Potential, um Mathematik erfolgreich zu
> >betreiben und deshalb finde ich es bedauerlich, wenn Ihr Euch selbst
> >ausbremmst, indem Ihr versucht, ein konsistentes System einzureissen.
>
> Nunja, dass ZF konsistent ist (und letztendlich ist das Unendlichkeitsaxiom
> ja eine Voraussetzung, wenn man von "Abzaehlbarkeit" und "Ueberabzaehlbarkeit"
> spricht), ist nunmal nicht zu beweisen (wenn ZF konsistent ist).

endlich mal ein interessanter Aspekt in dieser eher müßigen Diskussion.

Zumal habe ich einige Fragen hierzu:
- Was ist ZF genau? Die uns bekannte Mathematik?
- Wenn man beweisen kann, dass man nicht beweisen kann, dass ZF
konsistent ist, dann kann man auch nicht beweisen kann, dass ZF
inkonsistent ist (was immer auch ZF sein mag), oder was meinst Du mit
"ist nunmal nicht zu beweisen"?

Klingt wie die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese von Cantor.

> Will man das "Konzept der Ueberabzaehlbarkeit" angreifen, dann darf man nicht
> mathematisch argumentieren, sondern philosophisch.

Ja Moment!
Wenn die Konsistent von ZF auf dem Spiel steht, lohnt es sich dann
überhaupt noch, Mathematik zu betreiben?

> Aber dann muss man auch
> das "Konzept einer Struktur der natuerlichen Zahlen" resp. das Unendlichkeits-
> axiom in dieser Weise hinterfragen. So eine Vorgehensweise waere hier, eine
> Sinnlosigkeit des Unendlichkeitsaxioms zu zeigen. Ein anderer Weg waere,
> die Inkonsistenz von ZF zu zeigen. Dazu muesste man zwei Sequenzen in der
> Sprache von ZF angeben, die zwei sich "widersprechende" Saetze an ihrem
> Ende haben.

Ist das nun möglich?
Oder hat irgendjemand bewiesen, dass zwar sich widersprechende Sätze
existieren, aber deren Angabe nicht möglich ist?

Ich will das wirklich wissen.

Sönke

Thomas Haunhorst

unread,
Aug 7, 2001, 7:09:34 PM8/7/01
to
On Tue, 07 Aug 2001 23:49:56 +0200,
Sönke Müller-Lund <s...@ki.comcity.de> wrote:
>Moin Thomas,
>
>> >Es haben hier schon ganz anderer Leute versucht, Euch beide davon zu
>> >überzeugen, dass Ihr Euch irrt (z.B. Horst Kraemer, der IMO ein viel
>> >besserer Mathematiker ist als ich es je sein werde). Anderseits habt Ihr
>> >gute Ideen und auch das Potential, um Mathematik erfolgreich zu
>> >betreiben und deshalb finde ich es bedauerlich, wenn Ihr Euch selbst
>> >ausbremmst, indem Ihr versucht, ein konsistentes System einzureissen.
>>
>> Nunja, dass ZF konsistent ist (und letztendlich ist das Unendlichkeitsaxiom
>> ja eine Voraussetzung, wenn man von "Abzaehlbarkeit" und
>> "Ueberabzaehlbarkeit"
>> spricht), ist nunmal nicht zu beweisen (wenn ZF konsistent ist).
>
>endlich mal ein interessanter Aspekt in dieser eher müßigen Diskussion.
>
>Zumal habe ich einige Fragen hierzu:
>- Was ist ZF genau? Die uns bekannte Mathematik?

ZF ist ein Axiomensystem der Mengenlehre, welches in der Sprache der
Mengenlehre mit einem zweistelligen Praedikatszeichen, das Elementzeichen,
formuliert wird.

Darunter zaehlt das Paarmengenaxiom, Vereinigungsmengenaxiom, das
Schema der Aussonderungsaxiome, Potenzmengenaxiom, Unendlichkeitsaxiom,
Extensionalitaetsaxiom, das Schema der Ersetzungsaxiome (evtl. noch das
Fundierungsaxiom; vielleicht habe ich auf die Schnelle eines vergessen)
Begriffe wie "Abzaehlbarkeit" und "Ueberabzaehlbarkeit" sind
mengentheoretische Begriffe, und Cantor hat (noch in seiner "naiv" angwen-
deten Mengenlehre) gezeigt, dass die Menge der reellen Zahlen ueberabzaehlbar
ist. Diese Begriffe beziehen sich also auf Mengen; sie sind also Begriffe
der Sprache der Mengenlehre. Die Analysis verwendet Begriffe dieser Sprache
wie auch viele andere Teile der Mathematik.

>- Wenn man beweisen kann, dass man nicht beweisen kann, dass ZF
>konsistent ist, dann kann man auch nicht beweisen kann, dass ZF
>inkonsistent ist (was immer auch ZF sein mag), oder was meinst Du mit
>"ist nunmal nicht zu beweisen"?

Ist ZF konsistent, so laesst sich diese Konsistenz nicht /innerhalb/ von
ZF beweisen. Das heisst aber nicht, dass die Moeglichkeit ausgeschlossen
waere, zu zeigen, dass ZF inkonsistent sei. Wir wissen es einfach (mathe-
matisch) nicht, ob ZF konsistent ist.

>Ja Moment!
>Wenn die Konsistent von ZF auf dem Spiel steht, lohnt es sich dann
>überhaupt noch, Mathematik zu betreiben?

Tja, man koennte auch sagen: Wuerden wir nicht etwas verpassen, wenn wir
annehmen wollten, dass ZF inkonsistent sei? Tatsaechlich geht man von der
Konsistenz von ZF aus, und das ist alles, was wir haben; es sind pragmatische
Gruende oder besser Rechtfertigungen.

>
>> Aber dann muss man auch
>> das "Konzept einer Struktur der natuerlichen Zahlen" resp. das
>> Unendlichkeits-
>> axiom in dieser Weise hinterfragen. So eine Vorgehensweise waere hier, eine
>> Sinnlosigkeit des Unendlichkeitsaxioms zu zeigen. Ein anderer Weg waere,
>> die Inkonsistenz von ZF zu zeigen. Dazu muesste man zwei Sequenzen in der
>> Sprache von ZF angeben, die zwei sich "widersprechende" Saetze an ihrem
>> Ende haben.
>
>Ist das nun möglich?

Die Moeglichkeit muss nicht ausgeschlossen sein; man weiss es einfach nicht.
Wenn jemand die Konsistenz von ZF /in/ ZF beweist, dann ist ZF nicht kon-
sistent.

>Oder hat irgendjemand bewiesen, dass zwar sich widersprechende Sätze
>existieren, aber deren Angabe nicht möglich ist?

Es geht darum, ob ein Satz und seine Negation aus einem Sequenzkalkuel inner-
halb der Sprache von ZF zu beweisen sind.

Du musst Dir das so "vorstellen". Du hast ein Alphabet begegeben mit einer
Menge von Variablen, Junktoren und einem Praedikatssymbol (das Elementzeichen).
In dieser Sprache koennen nach gewissen Regeln Terme und Ausdruecke und
Saetze gebildet werden. Das ist vorgeschrieben, wie man das macht. Was
ein Beweis ist, wird definiert durch einen Kalkuel, ein Regelsystem, wie
man - salopp gesprochen - Saetze miteinander "verbinden" und zu Saetzen
uebergehen kann, also eine Sequenz von Saetzen, die (Kalkuel)Regeln folgen.
Eine Theorie T ist dann konsistent, wenn aus diesem Kalkuel nicht sowohl
ein Ausdruck p als auch der Ausdruck ~p hergeleitet werden kann.

Es ist von Goedel bewiesen worden, dass man innerhalb von ZF (bei Annahme der
Konsistenz von ZF) eben die Konsistenz von ZF nicht zeigen kann.


Gruss Thomas
--

Norbert Micheel

unread,
Aug 7, 2001, 9:32:26 PM8/7/01
to

"Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li> schrieb im Newsbeitrag
news:9kp99t$mu2$1...@newsreaderg1.core.theplanet.net...

> Dieter Jungmann in 3B6F6E0F...@t-online.de :
>
> | Mit der Cantor-Methode koennte man auch beweisen, dass die Menge
> | der nat. Zahlen ueberabzaehlbar ist. Man muesste die Diagonale
> | nur von rechts oben nach links unten ziehen, damit sie ggf.
> | nicht ins Leere greift sondern voreilende Nullen erfasst, wie
> | sie bei den reellen Zahlen des Einheitsintervalls nacheilende
> | Nullen erfasst, denen keine andere Ziffer mehr folgt.
>
> Genial!

*hust*


> Die natürlichen Zahlen in Binärschreibweise aufsteigend angeordnet:
>
> 1) ...000000001
> 2) ...000000010
> 3) ...000000011
> 4) ...000000100
> 5) ...000000101
> ...
>
> Mit der Cantor-Methode schafft man eine neue Cantor-Zahl c), die
> sich an der 1. Stelle (von rechts) von 1), an der 2. Stelle von 2)
> an der 3. von 3) usw. unterscheidet (durch Austauschen von "0"
> und "1"). Es ergibt sich
>
> c) ...111111100
>
> Egal wie wir die natürlichen Zahlen anordnen, es findet sich
> mit Cantors Methode immer eine neue Zahl, die in der Anordnung
> nicht aufscheint. Dass diese Zahl unendlich ist, ist bei der
> Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nicht weiter erstaunlich.

Leider ist dieser 0,1 Folge ueberhaupt keine natuerliche Zahl zugeordnet

> (Sofern wir uns nur mit ins Unendliche erweiterbaren endlichen
> Mengen beschäftigen, wird die unendliche Anzahl führender "1"
> nicht benötigt).

witzig. wenn du die "fuehrenden 1en" in deinem c) entfernst, bleibt dir
nichts.

> Somit wäre also entweder die Überabzählbarkeit von |N bewiesen,
> oder Cantors Konzept "überzählbar" widerlegt. Nur ist halt die
> Frage, ob etwas Beweis bzw. Widerlegung ist oder nicht, primär
> Glaubenssache.

Eigentlich hast du damit eher die Ueberabzaehlbarkeit der Menge aller
unendlichen 0,1 Folgen bewiesen.
Was bestimmt keinen Widerspruch zur Mengenlehre ergibt.


> Zudem lässt sich mit analoger Argumentation auch die Existenz DER
> Menge der rationalen Zahlen bestreiten:
>
> Rationale Zahlen lassen sich der Grösse nach ordnen. Da nach
> Voraussetzung jede rationale Zahl vorkommen soll, gibt es zu einem
> beliebigen a auch ein b, das a der Grösse nach folgt. Somit muss
> auch die rationale Zahl (a+b)/2 entgegen der Voraussetzung ein
> Element der Menge sein.
>
> Ich weiss, dass man diese Argumentation mit dem Hinweis übergeht,
> dass rationale Zahlen offensichtlich keine Nachbarn haben. Aber
> warum haben die Elemente von |Q keine Nachbarn, obwohl sie sich der
> Grösse nach ordnen lassen? - Ganz einfach: Weil die Elemente eben
> nicht allesamt (aktual) gegeben sind!

Die Behauptung dass rationale Zahlen sich "ordnen" lassen, so dass es einen
"Nachbar" gibt, ist einfach falsch. Das macht Folgerungen aus dieser
Behauptung ziemlich sinnleer.
Mit "uebergehen" hat das nichts zu tun.


N


Wolfgang G. G.

unread,
Aug 8, 2001, 5:59:53 PM8/8/01
to
Die Meinung, echte Intervalle wie z.B. [0,1] würden sich aus
"einpunktigen Intervallen" bzw. reelen Zahlen zusammensetzen, ist
Grundprinzip der Mathematik, die heutzutage als Standard gilt.

Ein wesentlicher (psychologischer) Grund dafür, dass das
Problematische an "echtes Intervall setzt sich aus diskreten
Objekten zusammen" nicht zur Kenntnis genommen wird, liegt an
der Selbstverständlichkeit, mit der wir mit offenen Intervallen
zu hantieren gelernt haben.


Wenn Zahlen auf der reellen Zahlengerade keine Ausdehnung haben,
dann sind die Intervalle [0, 1] und ]0, 1[ identisch, denn
die Frage, ob die Grenzpunkte zum Intervall gehören oder nicht,
ist genauso irrelevant wie die Frage, zu welchem Land die
dazwischenliegende Grenzlinie gehört.

Insofern man unter "Intervall" Zahlenmengen (d.h. Mengen von
diskreten Objekten) versteht, macht die Unterscheidung in
offene, halb-offene und geschlossene Intervalle natürlich
Sinn. Hier ein halboffenes Intervall natürlicher Zahlen:

[3, 7[ = {3, 4, 5, 6}

Die Unterscheidung macht auch Sinn bei den rationalen Zahlen

]1, 2] = {2/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}
[1, 2[ = {1/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}

und bei implementierten reellen Zahlen der Informatik. Der
Zahlenwert '2.0' des Datentyps REAL einer Programmiersprache
hat Ausdehnung und wird von zwei klar definierten Nachbarn
begrenzt. In diesem Fall ist die Frage offensichtlich
bedeutsam, ob wir die von '2.0' repäsentierten reellen
Zahlenwerte (z.B. von 1.999995 bis 2.000005) einem Intervall,
das von diesem '2.0' begrenzt wird, zusprechen oder nicht.
Die zwei Fälle mögen dann so aussehen:

offenes oberes Ende: < '2.0' entspricht < 1.999995
geschlossenes Ende: <= '2.0' entspricht <= 2.000005


Bei der reellen Zahlengerade handelt sich nicht mehr um eine
Menge diskreter Objekte, sondern um ein (1-dimensionales)
Kontinuum, auf dem wir uns beliebig viele benennbare und nicht
benennbare (0-dimensionale) Punkte bzw. Zahlen vorstellen können.

Das Intervall [1, 2] der rationalen Zahlen ist eine (potentiell)
unendliche Menge benennbarer und somit abzählbarer DISKRETER
Objekte und wird nur in einem übertragenen Sinne als Intervall
bezeichnet.

Hingegen kann das reelle Intervall [1, 2] nur in einem
übertragenen Sinne als Menge diskreter Objekte bezeichnet
werden, denn diskrete Objekte sind nur mehr als ausdehnungslose
Ortsbezeichnungen auf einem ausgedehnten Kontinuum gegeben, und
ein Kontinuum setzt sich eben nicht so aus diskreten Einheiten
zusammen, wie z.B. die Menge der rationalen Zahlen aus eben
diesen Zahlen.


Die Unterscheidung in offene und geschlossene Intervalle macht
aber auch beim reellen Kontinuum Sinn, wie die Funktion

f(x) = 1 / (1 - x^2)

zeigt. Die Funktion ist im Intervall ]-1, 1[ , nicht jedoch
im Intervall [-1, 1] definiert, da die Funktionswerte gegen
unendlich streben, wenn x sich den Endpunkten des Intervalls
nähert.

Das heisst, je grössere Werte wir als Funktionswerte zulassen,
desto mehr kann sich das Intervall zu den Grenzpunkten hin
ausdehnen. Wenn wir unendlich im Sinne von "ohne Ende"
interpretieren, dann können wir den Funktionswert f(x) beliebig
gross werden lassen, aber der Abstand von x zu den Grenzpunkten
bleibt immer ein echtes Intervall.


Es scheint, dass alle anderen Diskussionsteilnehmer inklusive
Dieter (dieter aber mit Vorbehalten) der Meinung sind, dass man
durch einen "Grenzübergang" beim Zerlegen eines echten Intervalls
zwar eine überabzählbare Menge disjunkter Intervalle erhält,
dass diese Intervalle aber einpunktig und somit mit den reellen
Zahlen identisch sind.

Da beim Zerlegen von Intervallen immer benachbarte Intervalle
entstehen, würde folgen, dass reelle Zahlen von Nachbarn begrenzt
sein müssen, auch wenn solche Nachbarn sich nur insofern benennen
liessen, als sie oberer oder unterer Nachbar einer benennbaren
reellen Zahl wären.


Zusammenfassung:

Meines Erachtens ist das Konzept |R ein leicht widersprüchliches
Gemisch von geometrischen (z.B. Intervalle als Kontinua) und
mengentheoretischen Konzepten (z.B. Zusammensetzung aus diskreten
Einheiten).


Gruss,
Wolfgang Gottfried G.


Meine vorigen Beiträge:
http://members.lol.li/twostone/google1.html#unendlich


Norbert Micheel

unread,
Aug 8, 2001, 10:02:26 PM8/8/01
to

"Norbert Micheel" <N.mi...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3b709...@news.arcor-ip.de...

>
> > Zudem lässt sich mit analoger Argumentation auch die Existenz DER
> > Menge der rationalen Zahlen bestreiten:
> >
> > Rationale Zahlen lassen sich der Grösse nach ordnen. Da nach
> > Voraussetzung jede rationale Zahl vorkommen soll, gibt es zu einem
> > beliebigen a auch ein b, das a der Grösse nach folgt. Somit muss
> > auch die rationale Zahl (a+b)/2 entgegen der Voraussetzung ein
> > Element der Menge sein.
> >
> > Ich weiss, dass man diese Argumentation mit dem Hinweis übergeht,
> > dass rationale Zahlen offensichtlich keine Nachbarn haben. Aber
> > warum haben die Elemente von |Q keine Nachbarn, obwohl sie sich der
> > Grösse nach ordnen lassen? - Ganz einfach: Weil die Elemente eben
> > nicht allesamt (aktual) gegeben sind!

> Die Behauptung dass rationale Zahlen sich "ordnen" lassen, so dass es
einen
> "Nachbar" gibt, ist einfach falsch. Das macht Folgerungen aus dieser
> Behauptung ziemlich sinnleer.
> Mit "uebergehen" hat das nichts zu tun.

Ich wurde zu Recht darauf hingewiesen, dass sich die rationalen Zahlen
"ordnen" lassen, so dass sie einen Nachfolger haben. Wurde glaube ich auch
schon hier beschrieben.
Aber da nur von "der Groesse nach ordnen" die Rede war, ging ich nur von der
ueblichen Ordnung aus, die ja wohl implizit gemeint war.


N


Dieter Jungmann

unread,
Aug 9, 2001, 1:48:13 AM8/9/01
to
Detlef Mueller schrieb am 7. Aug. 2001 13:38 h:
>
> Dieter Jungmann wrote:
> >
> ...
> >
> > Mit der Cantor-Methode ist der Diagonalbeweis gemeint. Diese Diskussion
> > wird kaum zu einem befriedigenden Ergebnis kommen koennen, wenn nicht
> > einmal ueber die Voraussetzungen der Theorie Klarheit besteht. Es
> > interessiert mich daher, ob jemand den Sinn des Diagonalbeweises
> > erklaeren kann. Was soll damit eigentlich bewiesen werden und worin
> > liegt die Beweiskraft?
> >
> > Ein Beispiel:
> > Gegeben ist die Menge der natuerlichen Zahlen von 100 bis 999 in
> > dezimaler Schreibweise. Sie sind in beliebiger Reihenfolge in einer
> > Liste angeordnet, z. B.
> >
> > 842
> > 912
> > 537
> > ...
> >
> > Mit der Diagonalen erfasst man nur 3 der Zahlen.
> >
> Falsch.
> Die Diagonale Existiert nicht, da das Schema
> nicht quadratisch ist, also nicht in jeder n-ten
> Zeile auch eine n-te Spalte existiert.
> Alles folgende ist also Quatsch.
>
> < Quatsch gesnippt >


Danke fuer das Eingestaendnis. Wo die Argumente ausgehen,
beginnt die Polemik.

Gut, dann wenden wir diese Kriterien einmal auf die abzaehlbar
unendliche Menge N der nat. Zahlen an. Um alle nat. Zahlen darstellen
zu koennen, werden unendlich viele Stellen benoetigt, das wurde in
der zurueckliegenden Diskussion bestaetigt. Um eine einheitliche
Laenge der Zahlen zu erhalten, beruecksichtigen wir auch die fuehrenden
Nullen. Da die Anordnung der Zahlen in der Liste beliebig ist, ordnen
wir sie so an, dass die Anzahl der von 0 verschiedenen Ziffern am Ende
der Zahl von Zeile zu Zeile um wenigstens eine Stelle zunimmt. Z. B.
1) ...000 000 321
2) ...000 005 823
3) ...000 070 230
4) ...000 900 035
...

Die Diagonale von rechts oben nach links unten enthaelt jetzt nicht
nur Einsen und Nullen. Ausserdem erfasst sie nicht alle nat. Zahlen,
denn es gibt (abhaengig von der Stellenzahl) viele Zahlen mit der
gleichen Stellenzahl, waehrend die Diagonale nur je eine Zahl mit
gleicher Sellenzahl erfasst. Die uebrigen Zahlen mit denselben
Stellenzahlen stehen am Ende der Liste und werden von der Diagonalen
nicht erreicht. Nach deinem Kriterium ist die Menge der nat. Zahlen
also ueberabzaehlbar.

Der Einwand, die Diagonalzahl habe unendlich viele Stellen und
sei deshalb keine nat. Zahl, ist aus zwei Gruenden nicht stichhaltig.
Erstens kann man sie so "cantorisieren", dass die cantorisierte Zahl
unendlich viele fuehrende Nullen hat und die endliche Anzahl der von
0 verschiedenen Stellen eine Zahl ergibt, die nicht in dem von der
Diagonalen erfassten Teil der Liste vorkommt.

Zweitens macht die Diagonalzahl nur von den Stellen Gebrauch, die
anerkanntermassen zur Darstellung aller nat. Zahlen gebraucht werden.
Dass dabei eine Zahl mit unendlich vielen Stellen herauskommt, steht
zwar im Widerspruch zu den Aussagen der Theorie, aber gerade deshalb
ist sie ja nicht konsistent. Man kann doch nicht in einer serioesen
Theorie alle logischen Ueberlegungen, die zu einem Widerspruch fuehren,
einfach als unzulaessig erklaeren. Jede Ziffer der Diagonalzahl
schneidet eine Zeile. Und die Zahl, die in dieser Zeile steht, hat
mindestens so viele Stellen wie die Diagonale vom Schnittpunkt bis zu
ihrem Ende. Da jede Ziffer der Diagonalen eine Zeile schneidet, gibt
es wenigstens eine Zeile mit einer Zahl mit unendlich vielen Stellen,
wenn die Diagonale unendlich viele Stellen hat. Dies laesst sich nur
vermeiden, wenn eine obere Grenze fuer die Laenge der Diagonalen
festgesetzt wird.

Noch eine andere Ueberlegung: Wir sind uns darin einig, dass abzaehlbar
unendlich viel Dezimalstellen ueberabzaehlbar (im Cantorschen Sinne)
viele verschiedene Ziffernfolgen ergeben. Davon kann nur eine
abzaehlbare Teilmenge auf N abgebildet werden und diese Teilmenge
wird ja auch zur Darstellung der nat. Zahlen verwendet. Wie grenzt
sich diese Teilmenge von der Gesamtmenge ab?

Du kannst sagen: Wenn die Ziffernfolge unendlich viele fuehrende
Nullen hat, repraesentiert sie eine nat. Zahl, sonst nicht. Dieses
Auswahlkriterium liefert aber keine Menge sondern eine beliebig
erweiterbare Folge. Es kaeme also darauf an zu klaeren, wie das
Unendlichkeitsaxiom dieses Auswahlkriterium praezisiert, so dass
man tatsaechlich eine abzaehlbar unendliche Teil_menge_ der
ueberabzahlbaren Zeichenmenge erhaelt, die sich nicht nur verbal
von der beliebig erweiterbaren Folge unterscheidet.

Gruss

Dieter

Dieter Jungmann

unread,
Aug 9, 2001, 1:50:46 AM8/9/01
to
Horst Kraemer schrieb am 7. Aug. 2001 08:28 GMT:

>
...


>
> Die (abzaehlbare) Menge _aller_ rechts halboffenen Teilintervalle von
> [0,1) mit rationalen Endpunkten und Laenge>0 ist zunaechst nicht
> paarweise disjunkt, da z.B. die Intervalle [1/2,2/3) und [1/2,3/4)
> Elemente dieser Menge sind.

Richtig, hier habe ich mich ungenau ausgedrueckt. (Mir schien im
Kontext klar zu sein, was gemeint ist, aber du hast recht, dass
man sich bei diesem Thema keine Nachlaessigkeit leisten darf.)
Gemeint war die Menge der kleinsten rechts halboffenen Intervalle
von [0,1] mit rationalen Endpunkten.

Die Vorstellung von einem "kleinsten" solchen Intervall ist unsinnig,
wenn man unendliche Folgen nicht als Mengen sondern als beliebig
erweiterbare Folgen versteht. Deine Argumentation trifft auf genau
diese Vorstellung zu. Wenn man aber die Existenz der _Menge_ _aller_
rationalen Zahlen per Axiom voraussetzt und auch noch den Unterschied
zwischen der abzaehlbaen Menge der rationalen und der ueberabzaehlbaren
Menge der irrationalen Zahlen einfuehrt, muss die Frage nach dem
kleinsten Abstand zwischen zwei rationalen Zahlen ernsthaft gestellt
werden. Wenn sie sich trotzdem nicht beantworten laesst, ist das nach
meiner Einschaetzung ein deutliches Indiz fuer eine Inkonsistenz der
Theorie.

Der "kleinste" Abstand muss natuerlich, wenn er existiert, eine
infinitesimale Groesse sein, deren Charakteristikum es ja gerade
ist, dass sie sich nicht explizit angeben laesst. Wenn du also
nach einem Intervall [a,b) und einer Zahl (a+b)/2 fragst, dann
fragst du nach einem Intervall, das nicht Element der Grenzmenge
G_q ist. G_q ist genau so wenig konstruktiv durch einen
kontinuierlichen Grenzuebergang definierbar wie die "Grenzmenge"
G_r, die alle reellen Zahlen von [0,1] enthaelt. Den einpunktigen
"Grenzintervallen" von G_r entsprechen die infinitesimalen Abstaende
zwischen zwei benachbarten rationalen Zahlen, zwischen denen sich ein
infinitesimales Kontinuum reeller Zahlen befindet. Dies ist, um
Missverstaendnissen vorzubeugen, nicht meine persoenliche Ueberzeugung
sondern eine Konsequenz aus den Aussagen der Mengenlehre.

Zu diesem Schluss komme ich auch auf folgendem Wege. Wir nehmen ein
beliebiges Cantorsches Diskontinuum D des Einheitsintervalls. Es geht
jetzt nicht darum, ob es konstruierbar ist, sondern wir setzen es als
existent voraus. Es enthaelt ueberabzaehlbar viele isolierte einzelne
Zahlen und nur solche. Die Komplemantaermenge C enthaelt die reellen
Zahlen des Einheitsintervalls, die nicht in D sind. Die Elemente von C
seien aber nicht die Zahlen sondern die Intervalle, die durch die Elemente
von D definiert sind und die Zahlen enthalten, die nicht in D sind.

C enthaelt echte (offene) Intervalle, aber nicht nur solche. Da die
Anzahl der Elemente von C ebenfalls ueberabzaehlbar ist, muss C auch
ueberabzaehlbar viele isolierte Zahlen enthalten. Die Vereinigungsmenge
einer einzelnen solchen Zahl aus C mit D enthaelt dann drei benachbarte
Zahlen, zwischen denen keine andere Zahl mehr Platz hat, obwohl es dies
nicht geben duerfte.

Da alle f(i) unterschiedlich sind und ohnehin jedem f(i) eine nat. Zahl
zugeordnet ist, kann man die f(i) auch zur Darstellung der nat. Zahlen
verwenden. Ob das zweckmaessig und in der Praxis (wegen moeglicher
technischer Schwierigkeiten) ueberhaupt realisierbar ist, spielt fuer
die theoretische Ueberlegung keine Rolle. (Man koennte sogar N auf eine
abzaehlbare Teilmenge der irrationalen Zahlen abbilden und diese dann
zur Darstellung der nat. Zahlen verwenden.)

Wenn nun die Existenz der Folge (a) die Ueberabzaehlbarkeit der f(i)
beweist, ist damit nur die Ueberabzaehlbarkeit der nat. Zahlen bewiesen.
Schliesslich hat eine unendliche Menge kein letztes Element. Warum
sollte man den f(i) also nicht die Folge (a), die ja auch nicht mehr
Stellen als die f(i) hat, hinzufuegen koennen, ohne dass sich dadurch
die Maechtigkeit der Vereinigungsmenge der f(i) mit (a) gegenueber der
Menge der f(i) veraendert?
Mich erinnert dieser Beweis in fatatler Weise an die Russellsche
Antinomie.

Zum Diagonalbeweis habe ich in meiner Antwort an Detlef Mueller noch
einmal Stellung genommen, so dass ich hier nicht weiter darauf eingehen
moechte.

Gruss

Dieter

Boris 'pi' Piwinger

unread,
Aug 9, 2001, 3:11:38 AM8/9/01
to
"Wolfgang G. G." <z...@z.lol.li> wrote:

Ich sehe zwar nicht, was das mit Philosopie zu tun hat, aber bitte.
Den Bezug zum Krieg im Subject sehe nun aber wirklich nicht.

>Die Meinung, echte Intervalle wie z.B. [0,1] würden sich aus
>"einpunktigen Intervallen" bzw. reelen Zahlen zusammensetzen, ist
>Grundprinzip der Mathematik, die heutzutage als Standard gilt.

Das halte ich fuer recht mutig. Natuerlich gibt es "einpunktige
Intervall", es gibt fuer die Anfuehrungszeichen also keinen Grund. Und
die Elemente eines Intervalls reeller Zahlen sind -- Ueberraschung! --
reelle Zahlen. Das hat weniger mit einem Grundprinzip, "das heutzutage
als Standard gilt" zu tun als mit der simplen Definition eines
Intervalls reeller Zahlen.

>Ein wesentlicher (psychologischer) Grund dafür, dass das
>Problematische an "echtes Intervall setzt sich aus diskreten
>Objekten zusammen" nicht zur Kenntnis genommen wird, liegt an
>der Selbstverständlichkeit, mit der wir mit offenen Intervallen
>zu hantieren gelernt haben.

Der Sinn dieser Aussage erschliesst sich mir nicht.

>Wenn Zahlen auf der reellen Zahlengerade keine Ausdehnung haben,

Was ist eine Ausdehnung? Der Begriff macht fuer einzelne reelle Zahlen
keinen Sinn. Du meinst wahrscheinlich die Laenge eines Intervalls, der
Spezialfall eines Masses (eines bestimmten, kanonischen Masses).

>dann sind die Intervalle [0, 1] und ]0, 1[ identisch, denn
>die Frage, ob die Grenzpunkte zum Intervall gehören oder nicht,
>ist genauso irrelevant wie die Frage, zu welchem Land die
>dazwischenliegende Grenzlinie gehört.

Das ist grober Unfug. Zwei Sachen sind nicht deswegen ident, weil sie
gleich gross sind (in welchem Sinne auch immer).

>Insofern man unter "Intervall" Zahlenmengen (d.h. Mengen von
>diskreten Objekten) versteht,

Genau das ist die Definition.

>macht die Unterscheidung in
>offene, halb-offene und geschlossene Intervalle natürlich
>Sinn.

Eben.

>Hier ein halboffenes Intervall natürlicher Zahlen:
>
> [3, 7[ = {3, 4, 5, 6}
>
>Die Unterscheidung macht auch Sinn bei den rationalen Zahlen
>
> ]1, 2] = {2/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}
> [1, 2[ = {1/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}
>
>und bei implementierten reellen Zahlen der Informatik. Der
>Zahlenwert '2.0' des Datentyps REAL einer Programmiersprache
>hat Ausdehnung und wird von zwei klar definierten Nachbarn
>begrenzt. In diesem Fall ist die Frage offensichtlich
>bedeutsam, ob wir die von '2.0' repäsentierten reellen
>Zahlenwerte (z.B. von 1.999995 bis 2.000005) einem Intervall,
>das von diesem '2.0' begrenzt wird, zusprechen oder nicht.

Und wo bitte hast Du bei rationalen Zahlen ein Intervall? Jedes
Intervall rationaler Zahlen mit mehr als einem Punkt enthaelt
abzaehlbare viele Punkte.

>Bei der reellen Zahlengerade handelt sich nicht mehr um eine
>Menge diskreter Objekte,

Was verstehst Du unter diskret?

>sondern um ein (1-dimensionales)
>Kontinuum, auf dem wir uns beliebig viele benennbare und nicht
>benennbare (0-dimensionale) Punkte bzw. Zahlen vorstellen können.

So?

>Das Intervall [1, 2] der rationalen Zahlen ist eine (potentiell)
>unendliche Menge

Wieso potentiell unendlich? Sie ist unendlich.

>benennbarer

Was ist daran wichtig?

>und somit abzählbarer

Was ist daran wichtig?

>DISKRETER

Was das sein soll, sehe ich immer weniger.

>Objekte und wird nur in einem übertragenen Sinne als Intervall
>bezeichnet.

Du scheinst im Kopf zu haben, was ein Intervall sein darf und was
nicht. Mit Mathematik hat das aber nichts zu tun.

>Hingegen kann das reelle Intervall [1, 2] nur in einem
>übertragenen Sinne als Menge diskreter Objekte bezeichnet
>werden, denn diskrete Objekte sind nur mehr als ausdehnungslose
>Ortsbezeichnungen auf einem ausgedehnten Kontinuum gegeben, und
>ein Kontinuum setzt sich eben nicht so aus diskreten Einheiten
>zusammen, wie z.B. die Menge der rationalen Zahlen aus eben
>diesen Zahlen.

Voellig unklar, was das heissen soll.

>Die Unterscheidung in offene und geschlossene Intervalle macht
>aber auch beim reellen Kontinuum Sinn,

Natuerlich.

>wie die Funktion
>
> f(x) = 1 / (1 - x^2)

Das ist keine Funktion. Das ist eine Zuordnungsvorschrift.

>Wenn wir unendlich im Sinne von "ohne Ende"
>interpretieren, dann können wir den Funktionswert f(x) beliebig
>gross werden lassen, aber der Abstand von x zu den Grenzpunkten
>bleibt immer ein echtes Intervall.

Warum sollte man den Bildbereich ueberhaupt einschraenken?

>Es scheint, dass alle anderen Diskussionsteilnehmer inklusive
>Dieter (dieter aber mit Vorbehalten) der Meinung sind, dass man
>durch einen "Grenzübergang" beim Zerlegen eines echten Intervalls
>zwar eine überabzählbare Menge disjunkter Intervalle erhält,

Man kann natuerlich jedes Intervall reeller Zahlen auch in endlich
oder abzaehlbar viele Intervalle zerlegen (auch disjunkt).

>dass diese Intervalle aber einpunktig und somit mit den reellen
>Zahlen identisch sind.

Das waere falsch. Wenn r eine reelle Zahl ist, dann ist r ungleich
{r}.

>Da beim Zerlegen von Intervallen immer benachbarte Intervalle
>entstehen,

Richtig.

>würde folgen, dass reelle Zahlen von Nachbarn begrenzt sein müssen,

Verschieden. Ja, zwei verschiedene reelle Zahlen sind verschieden.

>auch wenn solche Nachbarn sich nur insofern benennen
>liessen, als sie oberer oder unterer Nachbar einer benennbaren
>reellen Zahl wären.

Reelle Zahlen haben ebensowenig wie rationale Zahlen (mit der
kanonischen Ordnung) Nachbarn.

>Zusammenfassung:

Das war alles grober Unfug.

pi
--
One of the three most powerful tools in mathematics is abuse of notation.
(Gerald Sacks)

Horst Kraemer

unread,
Aug 9, 2001, 4:27:28 AM8/9/01
to
On Thu, 9 Aug 2001 04:02:26 +0200, "Norbert Micheel"
<N.mi...@gmx.de> wrote:

> Ich wurde zu Recht darauf hingewiesen, dass sich die rationalen Zahlen
> "ordnen" lassen, so dass sie einen Nachfolger haben. Wurde glaube ich auch
> schon hier beschrieben.

Lt Auswahlaxiom<-->Wohlordnungssatz laesst sich sogar _jede_ Menge so
ordnen, dass jedes Element einen Nachfolger hat. Nur ist das "Angeben"
einer solchen Ordnung fuer ueberabzaehlbare Mengen nicht ganz leicht.
Aber in diesem Thread stoert dies nicht weiter, denn wir koennen ja
nicht einmal die natuerlichen Zahlen "angeben" ;-)


MfG
Horst

Roman Hanhart

unread,
Aug 9, 2001, 8:23:00 AM8/9/01
to
Hoi zämä

> Reelle Zahlen haben ebensowenig wie rationale Zahlen (mit der
> kanonischen Ordnung) Nachbarn.

Ich bitte freundlich um die Erklärung, was eine rationale und eine reele
Zahl ist, beziehungsweise der Unterschied zwischen ihnen.

Danke!

--
Roman Hanhart
http://www.yoda.ch
mailto:ne...@yoda.ch


Jens Makait

unread,
Aug 9, 2001, 9:44:53 AM8/9/01
to

"Roman Hanhart" <ne...@yoda.ch> schrieb im Newsbeitrag
news:9ktvb3$qan$1...@ruby.nextra.ch...

> Ich bitte freundlich um die Erklärung, was eine rationale und eine
reele
> Zahl ist, beziehungsweise der Unterschied zwischen ihnen.

etwas lax gesagt:

rationale Zahlen sind die Zahlen, die sich als Bruch aus ganzen Zahlen
schreiben lassen
1/2, 7/9, 12345/1, 8/4, ...

und die rellen Zahlen sind die (viieel mehr) Zahlen, die entweder
rational sind oder zwischen diesen liegen
Pi, e, Wurzel_aus_2, ln_von_2, 2*Pi, 3*Pi, Pi^e...

Mehr gibts in einer Dimension dann auch nicht!

Jens


Sönke Müller-Lund

unread,
Aug 9, 2001, 10:03:04 AM8/9/01
to
Moin Wolfgang,

> Die Meinung, echte Intervalle wie z.B. [0,1] würden sich aus
> "einpunktigen Intervallen" bzw. reelen Zahlen zusammensetzen, ist
> Grundprinzip der Mathematik, die heutzutage als Standard gilt.

ich wiederhole mich ungern, aber das ist keine Meinung, sondern eine
Vereinbarung, eine Definition eben. Ich fasse die Definitionen reeller
(beschränkter) Intervalle zusammen:
Seien a,b aus IR mit a < b, dann sind

[a,b] := {x aus IR; a<=x<=b}
]a,b] := {x aus IR; a<x<=b}
[a,b[ := {x aus IR; a<=x<b}
]a,b[ := {x aus IR; a<x<b}

> Ein wesentlicher (psychologischer) Grund dafür, dass das
> Problematische an "echtes Intervall setzt sich aus diskreten
> Objekten zusammen" nicht zur Kenntnis genommen wird, liegt an
> der Selbstverständlichkeit, mit der wir mit offenen Intervallen
> zu hantieren gelernt haben.

IMO nein, sondern eher an unserem Wunsch, uns die Mathematik
"vorzustellen".

> Wenn Zahlen auf der reellen Zahlengerade keine Ausdehnung haben,
> dann sind die Intervalle [0, 1] und ]0, 1[ identisch,

0 ist in [0,1] enthalten, aber nicht in ]0,1[.

> denn die Frage, ob die Grenzpunkte zum Intervall gehören oder nicht,
> ist genauso irrelevant wie die Frage, zu welchem Land die
> dazwischenliegende Grenzlinie gehört.

Betreiben wir hier Mathematik oder Politik? ;)

Weiter unten zeigst Du sehr wohl, dass dieser Unterschied relevant ist.

> Insofern man unter "Intervall" Zahlenmengen (d.h. Mengen von
> diskreten Objekten) versteht, macht die Unterscheidung in
> offene, halb-offene und geschlossene Intervalle natürlich
> Sinn. Hier ein halboffenes Intervall natürlicher Zahlen:
>
> [3, 7[ = {3, 4, 5, 6}

ok.

>
> Die Unterscheidung macht auch Sinn bei den rationalen Zahlen
>
> ]1, 2] = {2/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}

Die Elemente der rechten Seite alle > 1/2, das Intervall ]1,2] enthält
aber auch z.B. 1/4 oder 1/8.

> [1, 2[ = {1/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 7/4, ...}

dto.

> und bei implementierten reellen Zahlen der Informatik. Der
> Zahlenwert '2.0' des Datentyps REAL einer Programmiersprache
> hat Ausdehnung und wird von zwei klar definierten Nachbarn
> begrenzt. In diesem Fall ist die Frage offensichtlich
> bedeutsam, ob wir die von '2.0' repäsentierten reellen
> Zahlenwerte (z.B. von 1.999995 bis 2.000005) einem Intervall,
> das von diesem '2.0' begrenzt wird, zusprechen oder nicht.
> Die zwei Fälle mögen dann so aussehen:
>
> offenes oberes Ende: < '2.0' entspricht < 1.999995
> geschlossenes Ende: <= '2.0' entspricht <= 2.000005
>

> Bei der reellen Zahlengerade handelt sich nicht mehr um eine
> Menge diskreter Objekte, sondern um ein (1-dimensionales)
> Kontinuum, auf dem wir uns beliebig viele benennbare und nicht
> benennbare (0-dimensionale) Punkte bzw. Zahlen vorstellen können.

Nicht "sondern". Beides ist richtig!
Die reelle Zahlengerade IST eine Menge diskreter Objekter UND ein
Kontiuum.

> Das Intervall [1, 2] der rationalen Zahlen ist eine (potentiell)
> unendliche Menge benennbarer und somit abzählbarer DISKRETER
> Objekte und wird nur in einem übertragenen Sinne als Intervall
> bezeichnet.

Es ist eine rationales Intervall (tausche in obiger Definition IR durch
IQ).

> Hingegen kann das reelle Intervall [1, 2] nur in einem
> übertragenen Sinne als Menge diskreter Objekte bezeichnet
> werden, denn diskrete Objekte sind nur mehr als ausdehnungslose
> Ortsbezeichnungen auf einem ausgedehnten Kontinuum gegeben, und
> ein Kontinuum setzt sich eben nicht so aus diskreten Einheiten
> zusammen, wie z.B. die Menge der rationalen Zahlen aus eben
> diesen Zahlen.

Folgefehler!

> Die Unterscheidung in offene und geschlossene Intervalle macht
> aber auch beim reellen Kontinuum Sinn, wie die Funktion
>
> f(x) = 1 / (1 - x^2)
>
> zeigt. Die Funktion ist im Intervall ]-1, 1[ , nicht jedoch
> im Intervall [-1, 1] definiert, da die Funktionswerte gegen
> unendlich streben, wenn x sich den Endpunkten des Intervalls
> nähert.

Genau. Offenbar sind ]-1, 1[ und [-1, 1] doch nicht so ganz identisch.

> Das heisst, je grössere Werte wir als Funktionswerte zulassen,
> desto mehr kann sich das Intervall zu den Grenzpunkten hin
> ausdehnen. Wenn wir unendlich im Sinne von "ohne Ende"
> interpretieren, dann können wir den Funktionswert f(x) beliebig
> gross werden lassen, aber der Abstand von x zu den Grenzpunkten
> bleibt immer ein echtes Intervall.
>
> Es scheint, dass alle anderen Diskussionsteilnehmer inklusive
> Dieter (dieter aber mit Vorbehalten) der Meinung sind, dass man
> durch einen "Grenzübergang" beim Zerlegen eines echten Intervalls
> zwar eine überabzählbare Menge disjunkter Intervalle erhält,
> dass diese Intervalle aber einpunktig und somit mit den reellen
> Zahlen identisch sind.

Die meisten Diskussionsteilnehmer können das sogar beweisen.

> Da beim Zerlegen von Intervallen immer benachbarte Intervalle
> entstehen, würde folgen, dass reelle Zahlen von Nachbarn begrenzt
> sein müssen,

Nein, das folgt daraus eben nicht.

> auch wenn solche Nachbarn sich nur insofern benennen
> liessen, als sie oberer oder unterer Nachbar einer benennbaren
> reellen Zahl wären.

Auch das hatten wir schon einmal, rationale (und somit auch reelle)
Zahlen haben keine Nachbarn, noch nicht einmal unbenennbare.

>
> Zusammenfassung:
>
> Meines Erachtens ist das Konzept |R ein leicht widersprüchliches
> Gemisch von geometrischen (z.B. Intervalle als Kontinua) und
> mengentheoretischen Konzepten (z.B. Zusammensetzung aus diskreten
> Einheiten).

Versuch dich frei zu machen, von irgendwelchen Anschauungen und
Anwendungen.

Sönke

--
Sönke Müller-Lund Alter Markt 1-2 Flughafenstr. 52a
Baltic Online Computer GmbH 24103 Kiel 22335 Hamburg
http://www.baltic-online.de +49-(0)431-54003-0 +49-(0)40-5329939

Boudewijn Moonen

unread,
Aug 9, 2001, 10:06:43 AM8/9/01
to
Anette Stegmann wrote:

>
> Relle Zahlen sind Grenzwerte von Folgen.
>

Anette Stegmann wrote:

>
> Lies mal Nichtstandardanalysis (hyperreelle Zahlen usw.).
>

Die Synopsis, bitte.


MfG

--
Boudewijn Moonen
Institut fuer Photogrammetrie der Universitaet Bonn
Nussallee 15

D-53115 Bonn

Sönke Müller-Lund

unread,
Aug 9, 2001, 10:08:19 AM8/9/01
to
Moin Anette,

> >Mehr gibts in einer Dimension dann auch nicht!
>

> Lies mal Nichtstandardanalysis (hyperreelle Zahlen usw.).

warum so abgefahren. Die komplexen Zahlen können auch als
eindimensionaler Raum betrachtet werden, eben als IC-Vektorraum.

Boris 'pi' Piwinger

unread,
Aug 9, 2001, 1:03:43 PM8/9/01
to
Sönke Müller-Lund <s...@baltic-online.de> wrote:

>warum so abgefahren. Die komplexen Zahlen können auch als
>eindimensionaler Raum betrachtet werden, eben als IC-Vektorraum.

Was ist ein IC-Vektorraum?

Sönke Müller-Lund

unread,
Aug 9, 2001, 2:12:30 PM8/9/01
to
Moin Boris,

> >warum so abgefahren. Die komplexen Zahlen können auch als
> >eindimensionaler Raum betrachtet werden, eben als IC-Vektorraum.
>
> Was ist ein IC-Vektorraum?

Was ist jetzt genau Deine Frage?
Das Symbol IC schreiben andere und ich für die Menge der komplexen
Zahlen. Man kann IC^n bilden und zeigen, dass IC^n ein Vektorraum ist,
was leicht aus der Eigenschaft "IC ist ein Körper" folgt.

Sönke

Sönke Müller-Lund

unread,
Aug 9, 2001, 2:47:01 PM8/9/01
to
Moin Thomas,

> Ist ZF konsistent, so laesst sich diese Konsistenz nicht /innerhalb/ von
> ZF beweisen. Das heisst aber nicht, dass die Moeglichkeit ausgeschlossen
> waere, zu zeigen, dass ZF inkonsistent sei. Wir wissen es einfach (mathe-
> matisch) nicht, ob ZF konsistent ist.
>
> >Ja Moment!
> >Wenn die Konsistent von ZF auf dem Spiel steht, lohnt es sich dann
> >überhaupt noch, Mathematik zu betreiben?
>
> Tja, man koennte auch sagen: Wuerden wir nicht etwas verpassen, wenn wir
> annehmen wollten, dass ZF inkonsistent sei? Tatsaechlich geht man von der
> Konsistenz von ZF aus, und das ist alles, was wir haben; es sind pragmatische
> Gruende oder besser Rechtfertigungen.

ok, eine gewisse Inkonsistenz ist doch bekannt, z.B. wenn man "wahllos"
Mengen bildet, oder?

> >> ... Dazu muesste man zwei Sequenzen in der


> >> Sprache von ZF angeben, die zwei sich "widersprechende" Saetze an ihrem
> >> Ende haben.
> >
> >Ist das nun möglich?
>
> Die Moeglichkeit muss nicht ausgeschlossen sein; man weiss es einfach nicht.
> Wenn jemand die Konsistenz von ZF /in/ ZF beweist, dann ist ZF nicht kon-
> sistent.

Über diesen Satz muss ich erstmal nachdenken.

Gibt es ein "Metasystem", das ZF enthält? Wenn ja, welche Logik ist dann
noch anwendbar, d.h. was darf man in diesem Metasystem?

> Es ist von Goedel bewiesen worden, dass man innerhalb von ZF (bei Annahme der
> Konsistenz von ZF) eben die Konsistenz von ZF nicht zeigen kann.

Ich hatte gehofft, dass es hier eine Analogie zur Cantorschen
"Kontinuumshypothese" gibt, die sich nachweisslich weder beweisen noch
widerlegen lässt. Ich kann so tun, als ob die KH richtig wäre und
möglicherweise spannende Sätze beweisen. Die Richtigkeit der KH ist hier
in der Tat "irrelevant", sofern ich damit nicht versuchen würde zu
zeigen, dass die KH richtig ist.

So habe ich nur die Hoffnung, dass ZF konsistent ist.

Sönke

Rainer Rosenthal

unread,
Aug 9, 2001, 2:47:19 PM8/9/01
to

Horst Kraemer <hhkr...@web.de> wrote

> "Norbert Micheel" wrote:
>
> > Ich wurde zu Recht darauf hingewiesen, dass sich die rationalen Zahlen
> > "ordnen" lassen, so dass sie einen Nachfolger haben. Wurde glaube ich
auch
> > schon hier beschrieben.
>
> Lt Auswahlaxiom<-->Wohlordnungssatz laesst sich sogar _jede_ Menge so
> ordnen, dass jedes Element einen Nachfolger hat.

Hallo Norbert und Horst,

Ausgangspunkt dieser Nachbarschaftsdebatte war folgender Satz von Wolfgang
G.G.

"Ich weiss, dass man diese Argumentation mit dem Hinweis übergeht,
dass rationale Zahlen offensichtlich keine Nachbarn haben."

Packt man die rationalen Zahlen in eine schöne Reihenfolge, dann hat jede
Zahl ausser der ersten sogar zwei Nachbarn. Das ist bei allgemeiner
Wohlordnung
nicht mehr der Fall, weil da nur der Nachbar "darüber" sicher zuhause ist.
Direkt "drunter" wohnt manchmal eine ganze Meute, aber es gibt keinen
direkten
Nachbarn drunter.

Wenn wir allerdings die rationalen Zahlen mal nicht so aufzählen:

r(1), r(2), r(3), r(4), r(5), usw.

sondern so:

...... r(5), r(3), r(1), r(2), r(4), .......


dann hat auch die arme erste rationale Zahl r(1) zwei Nachbarn.

Gruss,
Rainer

Norbert Micheel

unread,
Aug 9, 2001, 2:58:31 PM8/9/01
to

"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B72241D...@t-online.de...

> Gut, dann wenden wir diese Kriterien einmal auf die abzaehlbar
> unendliche Menge N der nat. Zahlen an. Um alle nat. Zahlen darstellen
> zu koennen, werden unendlich viele Stellen benoetigt, das wurde in
> der zurueckliegenden Diskussion bestaetigt. Um eine einheitliche
> Laenge der Zahlen zu erhalten, beruecksichtigen wir auch die fuehrenden
> Nullen. Da die Anordnung der Zahlen in der Liste beliebig ist, ordnen
> wir sie so an, dass die Anzahl der von 0 verschiedenen Ziffern am Ende
> der Zahl von Zeile zu Zeile um wenigstens eine Stelle zunimmt. Z. B.
> 1) ...000 000 321
> 2) ...000 005 823
> 3) ...000 070 230
> 4) ...000 900 035
> ...
>
> Die Diagonale von rechts oben nach links unten enthaelt jetzt nicht
> nur Einsen und Nullen. Ausserdem erfasst sie nicht alle nat. Zahlen,
> denn es gibt (abhaengig von der Stellenzahl) viele Zahlen mit der
> gleichen Stellenzahl, waehrend die Diagonale nur je eine Zahl mit
> gleicher Sellenzahl erfasst. Die uebrigen Zahlen mit denselben
> Stellenzahlen stehen am Ende der Liste und werden von der Diagonalen
> nicht erreicht. Nach deinem Kriterium ist die Menge der nat. Zahlen
> also ueberabzaehlbar.

Am Ende der Liste ? Die Liste hat kein Ende.
Und die Diagonale erreicht jede Zeile der Liste.

> Der Einwand, die Diagonalzahl habe unendlich viele Stellen und
> sei deshalb keine nat. Zahl, ist aus zwei Gruenden nicht stichhaltig.
> Erstens kann man sie so "cantorisieren", dass die cantorisierte Zahl
> unendlich viele fuehrende Nullen hat und die endliche Anzahl der von
> 0 verschiedenen Stellen eine Zahl ergibt, die nicht in dem von der
> Diagonalen erfassten Teil der Liste vorkommt.

Na dann "cantorisiere" doch; nenne uns die Definition deiner Diagonale !
Und zeige dann, sie ist einerseits ein Element der Menge, aber sie kommt
nicht in der Liste vor.
MACH ES !
Und behaupte es nicht nur.

> Zweitens macht die Diagonalzahl nur von den Stellen Gebrauch, die
> anerkanntermassen zur Darstellung aller nat. Zahlen gebraucht werden.
> Dass dabei eine Zahl mit unendlich vielen Stellen herauskommt, steht
> zwar im Widerspruch zu den Aussagen der Theorie, aber gerade deshalb
> ist sie ja nicht konsistent. Man kann doch nicht in einer serioesen
> Theorie alle logischen Ueberlegungen, die zu einem Widerspruch fuehren,
> einfach als unzulaessig erklaeren.

Wolltest du die Diagonale nicht eben noch so "cantorisieren", dass sie
unendlichviele fuehrende Nullen hat ? Wieso betrachtest du sie dann jetzt
als ob sie unendlich viele Stellen haette ?

Du hast mehere Chancen:

Entweder deine konstruierte Ziffernfolge hat unendlich viele fuehrende
Nullen - dann ist sie Element der betrachteten Menge, aber du musst noch
zeigen, dass sie nicht in der Liste vorkommt, um den Cantor'schen
Widerspruch zu erhalten.

Oder die konstruierte Ziffernfolge hat nicht unendlich viele fuehrenden
Nullen - dann ist sie kein Element der Menge, auf die du Cantors
Diagonalverfahren anwenden willst.

Auf jeden Fall greift das Verfahren nicht und kann folglich auch keinen
Beweis der Ueberabzaehlbarkeit von IN erbringen. Also auch keinen
Widerspruch.


> Jede Ziffer der Diagonalzahl
> schneidet eine Zeile. Und die Zahl, die in dieser Zeile steht, hat
> mindestens so viele Stellen wie die Diagonale vom Schnittpunkt bis zu
> ihrem Ende.

Du meinst wohl "bis zu ihrem Anfang". Denn ein Ende hat die Diagonale ja
nicht.
Diese Stellenanzahl die du beschreibst ist also endlich...

> Da jede Ziffer der Diagonalen eine Zeile schneidet, gibt
> es wenigstens eine Zeile mit einer Zahl mit unendlich vielen Stellen,
> wenn die Diagonale unendlich viele Stellen hat.

Wie kommst du denn darauf ?
Das ist immer noch der gleiche Denkfehler wie zu Beginn all dieser
Diskusionen.

> Dies laesst sich nur
> vermeiden, wenn eine obere Grenze fuer die Laenge der Diagonalen
> festgesetzt wird.

Es laesst sich auch "vermeiden", wenn man erkennt das die eigene
Schlussfolgerung falsch ist.


N


Boris 'pi' Piwinger

unread,
Aug 9, 2001, 4:47:12 PM8/9/01
to
Sönke Müller-Lund <s...@ki.comcity.de> wrote:

>> >warum so abgefahren. Die komplexen Zahlen können auch als
>> >eindimensionaler Raum betrachtet werden, eben als IC-Vektorraum.
>>
>> Was ist ein IC-Vektorraum?
>
>Was ist jetzt genau Deine Frage?
>Das Symbol IC schreiben andere und ich für die Menge der komplexen
>Zahlen.

Argh. Ueblicherweise bezeichnet man die Komplexen Zahlen mit einem C.

Daniel Wintermute

unread,
Aug 9, 2001, 5:01:29 PM8/9/01