Udo <
udob...@googlemail.com> wrote:
> Hallo, liebe Mitleser,
> ich bitte um Hilfe bei einem Problem, wo ich einfach nicht weiterkomme.
> Ich möchte aus Übungsgründen den Schwerpunkt folgender
> "Spezialpyramide" berechnen:
>
> Gegeben:
> Reguläre quadratische Pyramide mit der Grundflächenseite a (Spitze
> senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche).
> Besonderheit:
> diese Pyramide soll als Seitenflächen nicht nur gleichschenklige,
> sondern gleichseitige Dreiecke mit ebenfalls der Seitenlänge a haben.
> (Hat diese "super-reguläre" Pyramide einen speziellen Namen?)
Ich wuerde das Ding "halber Oktaeder" nennen ...
;-)
> Die Körperhöhe H errechnet sich zu H = a/2 * Wurzel(2)
Wie hast du diesen Wert ermittelt? Eine Meoglichkeit waere:
Wenn man den Schnitt durch zwei gegenueberliegende Ecken und die Spitze der
Pyramide betrachtet, so steht die Schnittebene senkrecht auf der Grund-
flaeche der Pyramide. Die Schnittflaeche ist ein gleichschenkliges Dreieck
mit den Kantenlaeengen a, a und wurzel(2)*a. Aus den Kantenlaengen ergibt
sich, dass dieses Dreieck auch rechtwinklig ist (nach Pythagoras)m und die
Hoehe des Dreiecks auf der Hypothenuse ist gleich der Hohe der Pyramide.
Nach dem Hohensatz des Euklid folgt dann die Hoehe ist gleich a*wurzel(2)/2
(also der Wert, den du auch errechnet hat).
Um den Schwerpunkt der pyranide zu ermitteln, kann man sich nun ueberlegen,
dass der Schwerpunkt schon aus Symmetriegruenden ein Punkt auf der Hoehe
der Pyramide sein muss. Wenn wir durch diesen Schwerpunkt (dessen genaue
Position wir noch nicht kennen) eine Ebene parallel zur Grundflaeche legen
wuerdeen, wuerde diese Ebene die Pyramide in eine zur urspruenglichen
pyramide aehnliche kleinere Pyramide und einen "Pyramidenstumpf" zerteilen.
Da diese Ebene durch den Schwerpunkt geht, muss das Volumen von der ab-
getrennten kleinen Pyramide und dem Pyramidenstumpf uebereinstimmen, oder
anders formuliert: diese kleine abgetrennt Pyraamide muss das halbe
Wolumen wie die urspruengliche Pyramide haben.
Berechnen wir also das Volumen der urspruenglichen Pyramide:
V=1/3*a*a*h=wurzel(2)*a^2/6
Berechnen wir nun das Volumen der kleinen Pyramide. Wenn fuer die Hoehe
der kleinen Pyramide gilt, dass ihre Hoehe x*h (mit h gleich der Hoehe
der urspruenglichen Pyramide ist), so ist die Kantenlaenge der kleinen
(zur urspruenglichen Pyramide aehnlichen) Pyramide gleich x*a (das folgt
aus den Strahlensaetzen) und ihr Volumen ist
V'=1/3*x*a*x*a*x*h=x^3*wurzel(2)*a^2/6
Da nun V' genau halb so gross wie V sein soll, muss daher x (die Hoehe
der kleinen Pyramide) gleich der dritten Wurzel von 2 sein. Damit waere
dann die Hoehe des Schwerpunkt ueber der Grundflaeche gleich (1-x)*h.
Also muesste (wenn ich nicht irgendwo einen Fehler gemacht habe) der
Schwerpunkt senkrecht ueber dem Kruezungspunkt der Diagonalen der
Grundflaeche der Pyramide liegen, im Abstand (1-(x^(1/3))*wurzel(2)*a^2/6.
> Ich möchte jetzt ausrechnen, wie hoch der Schwerpunkt über der
> Grundfläche zu liegen kommt (Laut Formelsammlung d = 1/4 H)
OOPS! Auch ich komme da auf einen anderen Wert ...
Wenn du also einen Fehler in deiner Rechnung hast, dann ich ebenfalls.
Ich komme auch nicht auf den Wert aus der Formelsammlung ...
Tschuess,
Juergen Ilse (
jue...@usenet-verwaltung.de)