"Superreguläre Pyramide": Schwerpunktanomalie :-)

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Udo

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Oct 14, 2021, 6:49:10 AM (5 days ago) Oct 14
to
Hallo, liebe Mitleser,
ich bitte um Hilfe bei einem Problem, wo ich einfach nicht weiterkomme.
Ich möchte aus Übungsgründen den Schwerpunkt folgender
"Spezialpyramide" berechnen:

Gegeben:
Reguläre quadratische Pyramide mit der Grundflächenseite a (Spitze
senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche).
Besonderheit:
diese Pyramide soll als Seitenflächen nicht nur gleichschenklige,
sondern gleichseitige Dreiecke mit ebenfalls der Seitenlänge a haben.
(Hat diese "super-reguläre" Pyramide einen speziellen Namen?)

Die Körperhöhe H errechnet sich zu H = a/2 * Wurzel(2)

Ich möchte jetzt ausrechnen, wie hoch der Schwerpunkt über der
Grundfläche zu liegen kommt (Laut Formelsammlung d = 1/4 H)

Um den Schwerpunkt zu bestimmen, lege ich einen waagerechten Schnitt
so durch die Pyramide, dass das Volumen der oben abgeschnittenen,
kleineren Pyramide gleich dem Volumen des verbleibenden Paramiden-
stumpfes entspricht (Volumen-Schwerpunkt).

Die Höhe dieser abgeschnittenen Paramide sei h,
die Länge ihrer Grundseite betrage x.

Ich kann also 2 Bedingungen formulieren:

(1) Volumen-Bedingung
-------------------------------------
Volumen (V_x) der Pyramide mit Grundseite x beträgt die Hälfte des
Gesamt-Volumens V der Ausgangspyramide. Somit

V_x = 1/2 V
1/3 x^2 * h = 1/2 * 1/3 a^2 * H
x^2 * h = 1/2 * a^2 * H = 1/2 * a^2 * a/2 * Wurzel(2)
x^2 * h = 1/2 * 1/2 * a^3 * Wurzel(2)
x^2 * h = 1/4 * a^3 * Wurzel(2)

h = 1/x^2 * 1/4 * a^3 * Wurzel(2) (Höhe h aus Volumen-Bedingung)

(2) Strahlensatz-Bedingung
-------------------------------------------

h/(x/2) = H/(a/2)
h = (x/2)/(a/2) * H = (x/a) * H = (x/a) * (a/2) * Wurzel(2)

h = (x/2) * Wurzel(2) (Höhe aus Strahlensatz-Bedingung)


(3) Elimination von h durch Gleichsetzen ergibt Bestimmungsgleichung
für x:
---------------------------------------------------------------------------
(x/2) = 1/x^2 * 1/4 * a^3
(x/2) * x^2 = 1/4 * a^3
x^3 = 1/2 * a^3
x = a / 3._Wurzel(2)

Jetzt habe ich zwei Möglichkeiten, die Höhe h auszurechnen:

Höhe h Strahlensatz-Bedingung: h = (x/2) * Wurzel(2) ergibt:
h = 1/2 * a/3._Wurzel(2) * Wurzel(2) = a/2 * Wurzel(2) / 3._Wurzel(2)
-----------------------------------------------------------
h = a/4 * Wurzel(2) * (3._Wurzel(2))^2
------------------------------------------------------------

Höhe h aus Volumen-Bedingung: h = 1/x^2 * 1/4 * a^3 * Wurzel(2) ergibt
h = 1 / a^2 * 3._Wurzel(2)^2 * 1/4 * a^3 * Wurzel(2)
------------------------------------------------------------
h = a/4 * Wurzel(2) * 3._Wurzel(2)^2 *
------------------------------------------------------------

Beide Höhen stimmen überein, sodass ich davon ausgehe, dass ich mich
hier nicht verrechnet habe.

Jetzt das Problem:
(4) Berechnung des Verhältnisses h : H
Da laut Formelsammlung der Schwerpunkt 1/4 der Höhe H über dem Mittelpunkt der Grundseite liegt, müsste, wenn ich richtig gerechnet habe,
das Verhältnis h : H also 3/4 ergeben.

h : H = (a/4 * Wurzel(2) * 3._Wurzel(2)^2)) / (a/2 * Wurzel(2))
h : H = 1/2 * 3._Wurzel(2)^2 : 1 = 3.1748 / 4
und nicht 3:4

Ich sehe den Fehler auch nach mehrtägigem Rumrechnen nicht.
Wäre jemand so freundlich und würde sich die Rechnung ansehen?
Wo liegt der Hase im Pfeffer?

Danke im Voraus und
Grüße Udo

Andreas Leitgeb

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Oct 14, 2021, 10:40:05 AM (4 days ago) Oct 14
to
Udo <udob...@googlemail.com> wrote:
> Hallo, liebe Mitleser,
> ich bitte um Hilfe bei einem Problem, wo ich einfach nicht weiterkomme.
> Ich möchte aus Übungsgründen den Schwerpunkt folgender
> "Spezialpyramide" berechnen:
>
> Gegeben:
> Reguläre quadratische Pyramide mit der Grundflächenseite a (Spitze
> senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche).
> Besonderheit:
> diese Pyramide soll als Seitenflächen nicht nur gleichschenklige,
> sondern gleichseitige Dreiecke mit ebenfalls der Seitenlänge a haben.
> (Hat diese "super-reguläre" Pyramide einen speziellen Namen?)

Mir fallert dazu nur "Oktaederhälfte" ein ;-)

> Die Körperhöhe H errechnet sich zu H = a/2 * Wurzel(2)
>
> Ich möchte jetzt ausrechnen, wie hoch der Schwerpunkt über der
> Grundfläche zu liegen kommt (Laut Formelsammlung d = 1/4 H)

> [...]
Da hab ich jetzt nicht jeden schritt geprüft

> Jetzt das Problem:
> (4) Berechnung des Verhältnisses h : H

Für irgendein "a" (nehmen wir etwa a=4*sqrt(2) ~= 5.66 ) wäre also etwa h=1 und H=4

> Da laut Formelsammlung der Schwerpunkt 1/4 der Höhe H über dem Mittelpunkt der
> Grundseite liegt, müsste, wenn ich richtig gerechnet habe,
> das Verhältnis h : H also 3/4 ergeben.

3/4 kommt nur als Verhältnis von (H-h) : H vor, es sei denn du hättest
plötzlich "h" von "Abstand des Schwerpunkts von der Basis" zu "Abstand
des Schwerpunkts zur Spitze" umdefiniert.

> h : H = (a/4 * Wurzel(2) * 3._Wurzel(2)^2)) / (a/2 * Wurzel(2))
> h : H = 1/2 * 3._Wurzel(2)^2 : 1 = 3.1748 / 4
> und nicht 3:4

Da scheitere ich schon an der Deutung von "3._Wurzel(2)" - was soll hier
der Punkt? Die Multiplikation ist ja "*".

Juergen Ilse

unread,
Oct 14, 2021, 10:42:28 AM (4 days ago) Oct 14
to
Udo <udob...@googlemail.com> wrote:
> Hallo, liebe Mitleser,
> ich bitte um Hilfe bei einem Problem, wo ich einfach nicht weiterkomme.
> Ich möchte aus Übungsgründen den Schwerpunkt folgender
> "Spezialpyramide" berechnen:
>
> Gegeben:
> Reguläre quadratische Pyramide mit der Grundflächenseite a (Spitze
> senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche).
> Besonderheit:
> diese Pyramide soll als Seitenflächen nicht nur gleichschenklige,
> sondern gleichseitige Dreiecke mit ebenfalls der Seitenlänge a haben.
> (Hat diese "super-reguläre" Pyramide einen speziellen Namen?)

Ich wuerde das Ding "halber Oktaeder" nennen ...
;-)

> Die Körperhöhe H errechnet sich zu H = a/2 * Wurzel(2)

Wie hast du diesen Wert ermittelt? Eine Meoglichkeit waere:
Wenn man den Schnitt durch zwei gegenueberliegende Ecken und die Spitze der
Pyramide betrachtet, so steht die Schnittebene senkrecht auf der Grund-
flaeche der Pyramide. Die Schnittflaeche ist ein gleichschenkliges Dreieck
mit den Kantenlaeengen a, a und wurzel(2)*a. Aus den Kantenlaengen ergibt
sich, dass dieses Dreieck auch rechtwinklig ist (nach Pythagoras)m und die
Hoehe des Dreiecks auf der Hypothenuse ist gleich der Hohe der Pyramide.
Nach dem Hohensatz des Euklid folgt dann die Hoehe ist gleich a*wurzel(2)/2
(also der Wert, den du auch errechnet hat).

Um den Schwerpunkt der pyranide zu ermitteln, kann man sich nun ueberlegen,
dass der Schwerpunkt schon aus Symmetriegruenden ein Punkt auf der Hoehe
der Pyramide sein muss. Wenn wir durch diesen Schwerpunkt (dessen genaue
Position wir noch nicht kennen) eine Ebene parallel zur Grundflaeche legen
wuerdeen, wuerde diese Ebene die Pyramide in eine zur urspruenglichen
pyramide aehnliche kleinere Pyramide und einen "Pyramidenstumpf" zerteilen.
Da diese Ebene durch den Schwerpunkt geht, muss das Volumen von der ab-
getrennten kleinen Pyramide und dem Pyramidenstumpf uebereinstimmen, oder
anders formuliert: diese kleine abgetrennt Pyraamide muss das halbe
Wolumen wie die urspruengliche Pyramide haben.

Berechnen wir also das Volumen der urspruenglichen Pyramide:

V=1/3*a*a*h=wurzel(2)*a^2/6

Berechnen wir nun das Volumen der kleinen Pyramide. Wenn fuer die Hoehe
der kleinen Pyramide gilt, dass ihre Hoehe x*h (mit h gleich der Hoehe
der urspruenglichen Pyramide ist), so ist die Kantenlaenge der kleinen
(zur urspruenglichen Pyramide aehnlichen) Pyramide gleich x*a (das folgt
aus den Strahlensaetzen) und ihr Volumen ist

V'=1/3*x*a*x*a*x*h=x^3*wurzel(2)*a^2/6

Da nun V' genau halb so gross wie V sein soll, muss daher x (die Hoehe
der kleinen Pyramide) gleich der dritten Wurzel von 2 sein. Damit waere
dann die Hoehe des Schwerpunkt ueber der Grundflaeche gleich (1-x)*h.
Also muesste (wenn ich nicht irgendwo einen Fehler gemacht habe) der
Schwerpunkt senkrecht ueber dem Kruezungspunkt der Diagonalen der
Grundflaeche der Pyramide liegen, im Abstand (1-(x^(1/3))*wurzel(2)*a^2/6.

> Ich möchte jetzt ausrechnen, wie hoch der Schwerpunkt über der
> Grundfläche zu liegen kommt (Laut Formelsammlung d = 1/4 H)

OOPS! Auch ich komme da auf einen anderen Wert ...
Wenn du also einen Fehler in deiner Rechnung hast, dann ich ebenfalls.
Ich komme auch nicht auf den Wert aus der Formelsammlung ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Andreas Leitgeb

unread,
Oct 14, 2021, 10:43:10 AM (4 days ago) Oct 14
to
Ups... h *sollte* ja der Abstand des Schwerpunkts zur Spitze sein...
also die Höhe der Volumensmäßig oberen "Hälfte".
Habe beim drüberfliegen "d" und "h" verwechselt... sorry.

Vielleicht hilft der Rest ja dennoch...

Juergen Ilse

unread,
Oct 14, 2021, 10:49:01 AM (4 days ago) Oct 14
to
Hallo,

Andreas Leitgeb <a...@logic.at> wrote:
> Udo <udob...@googlemail.com> wrote:
[ ... ]
>> h : H = (a/4 * Wurzel(2) * 3._Wurzel(2)^2)) / (a/2 * Wurzel(2))
>> h : H = 1/2 * 3._Wurzel(2)^2 : 1 = 3.1748 / 4
>> und nicht 3:4
>
> Da scheitere ich schon an der Deutung von "3._Wurzel(2)" - was soll hier
> der Punkt? Die Multiplikation ist ja "*".

Gemeint ist hier sicherlich "dritte Wurzel aus 2", sprich 2^(1/3).
Ich komme mit meinnen Ueberlegungen zum gleichen (von der Formelsammlung
abweichenden) Ergebnis ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Andreas Leitgeb

unread,
Oct 14, 2021, 10:59:43 AM (4 days ago) Oct 14
to
Juergen Ilse <ne...@usenet-verwaltung.de> wrote:
> Berechnen wir also das Volumen der urspruenglichen Pyramide:
>
> V=1/3*a*a*h=wurzel(2)*a^2/6

Nach dem 2. "=" sollte da was mit a^3 stehen.

Alfred Flaßhaar

unread,
Oct 14, 2021, 11:13:29 AM (4 days ago) Oct 14
to
Am 14.10.2021 um 12:49 schrieb Udo:
(...)
> diese Pyramide soll als Seitenflächen nicht nur gleichschenklige,
> sondern gleichseitige Dreiecke mit ebenfalls der Seitenlänge a haben.
> (Hat diese "super-reguläre" Pyramide einen speziellen Namen?)
>
Johnson-Pyramide

Gruß, Alfred

Pether Hubert

unread,
Oct 14, 2021, 11:29:11 AM (4 days ago) Oct 14
to
Am 14.10.21 um 16:42 schrieb Juergen Ilse:
[...]
> Da diese Ebene durch den Schwerpunkt geht, muss das Volumen von der ab-
> getrennten kleinen Pyramide und dem Pyramidenstumpf uebereinstimmen, oder
> anders formuliert: diese kleine abgetrennt Pyraamide muss das halbe
> Wolumen wie die urspruengliche Pyramide haben.

Warum muß das so sein?

Betrachte mal das analoge Problem in zwei Dimensionen. Statt der
Pyramide nimmst Du ein gleichschenkliges Dreieck. Wir wissen, daß der
Schwerpunkt des Dreiecks der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist,
und daß er die Winkelhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt. Da das
Dreieck gleichschenklig ist, ist die Höhe über der Basis auch eine
Winkelhalbierende, und die Parallele zur Basis, sie durch den
Schwerpunkt des Dreiecks geht, schneidet oben ein ähnliches Dreieck ab,
dessen Höhe ein drittel kleiner ist als die Höhe des ursprünglichen
Dreiecks. Wenn Du jetzt die Fläche dieses kleinen Dreiecks berechnest,
wirst Du feststellen, daß dieser mitnichten die Hälfte des Inhalts des
ursprünglichen Dreiecks ist. Warum also sollte das im dreidimensionalen
Fall anders sein?

Im Netz hab ich irgendwas zu dem Thema gefunden, wo mit Drehmomenten
statt Masse argumentiert wird, aber das finde ich im Moment nicht wieder
und kann daher nichts genaueres dazu sagen. Vielleicht hilft die
Information ja hier jemandem.

Ciao
Pether

Dieter Heidorn

unread,
Oct 14, 2021, 11:34:43 AM (4 days ago) Oct 14
to
Udo schrieb:

> Gegeben:
> Reguläre quadratische Pyramide mit der Grundflächenseite a (Spitze
> senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche).
> Besonderheit:
> diese Pyramide soll als Seitenflächen nicht nur gleichschenklige,
> sondern gleichseitige Dreiecke mit ebenfalls der Seitenlänge a haben.
> (Hat diese "super-reguläre" Pyramide einen speziellen Namen?)
>
> Die Körperhöhe H errechnet sich zu H = a/2 * Wurzel(2)
>
> Ich möchte jetzt ausrechnen, wie hoch der Schwerpunkt über der
> Grundfläche zu liegen kommt (Laut Formelsammlung d = 1/4 H)
>
> Um den Schwerpunkt zu bestimmen, lege ich einen waagerechten Schnitt
> so durch die Pyramide, dass das Volumen der oben abgeschnittenen,
> kleineren Pyramide gleich dem Volumen des verbleibenden Paramiden-
> stumpfes entspricht (Volumen-Schwerpunkt).
>
> Die Höhe dieser abgeschnittenen Paramide sei h,
> die Länge ihrer Grundseite betrage x.
>
> Ich kann also 2 Bedingungen formulieren:
>
> (1) Volumen-Bedingung
> -------------------------------------
> Volumen (V_x) der Pyramide mit Grundseite x beträgt die Hälfte des
> Gesamt-Volumens V der Ausgangspyramide. Somit >

Da liegt der Fehler.

Das zur Grundfläche parallele Quadrat, das die "Restpyramide" V_x mit
der Höhe h abschneidet, halbiert nicht das Volumen der Pyramide, sondern
es gilt

V_x = 2/3 * V_ges.

Berücksichtigst du das in deinem Ansatz zur Berechnung von h, so ergibt
sich aus der Volumenbedingung

V_x = 2/3 * V_ges

für die Höhe der abgeschnittenen Teilpyramide

h = sqrt(2) * a^3 / (3 * x^2) (1)

Der Strahlensatz liefert

h = x / sqrt(2) (2)

(1) = (2) führt auf

x = (2/3)^(1/3) * a (3)

[.^(1/3) steht für dritte Wurzel]

(3) in (1) ergibt:

h = sqrt(2) * a / [3 * (2/3)^(1/3) )^2 ]

(2) in (1) ergibt das gleiche:

h = sqrt(2) * a / [3 * (2/3)^(1/3) )^2 ]

> V_x = 1/2 V
> 1/3 x^2 * h = 1/2 * 1/3 a^2 * H
> x^2 * h = 1/2 * a^2 * H = 1/2 * a^2 * a/2 * Wurzel(2)
> x^2 * h = 1/2 * 1/2 * a^3 * Wurzel(2)
> x^2 * h = 1/4 * a^3 * Wurzel(2)
>
> h = 1/x^2 * 1/4 * a^3 * Wurzel(2) (Höhe h aus Volumen-Bedingung)
>
> (2) Strahlensatz-Bedingung
> -------------------------------------------
>
> h/(x/2) = H/(a/2)
> h = (x/2)/(a/2) * H = (x/a) * H = (x/a) * (a/2) * Wurzel(2)
>
> h = (x/2) * Wurzel(2) (Höhe aus Strahlensatz-Bedingung)
>
>
> (3) Elimination von h durch Gleichsetzen ergibt Bestimmungsgleichung
> für x:
> ---------------------------------------------------------------------------
> (x/2) = 1/x^2 * 1/4 * a^3
> (x/2) * x^2 = 1/4 * a^3
> x^3 = 1/2 * a^3
> x = a / 3._Wurzel(2)
>
> Jetzt habe ich zwei Möglichkeiten, die Höhe h auszurechnen:
>
> Höhe h Strahlensatz-Bedingung: h = (x/2) * Wurzel(2) ergibt:
> h = 1/2 * a/3._Wurzel(2) * Wurzel(2) = a/2 * Wurzel(2) / 3._Wurzel(2)
> -----------------------------------------------------------
> h = a/4 * Wurzel(2) * (3._Wurzel(2))^2
> -----------------------------------------------------------

Hier liegt ein Fehler vor. Richtig ist:

h = (a/4) * sqrt(2) / 2^(1/3)

[ .^(1/3) steht für dritte Wurzel]

> Höhe h aus Volumen-Bedingung: h = 1/x^2 * 1/4 * a^3 * Wurzel(2) ergibt
> h = 1 / a^2 * 3._Wurzel(2)^2 * 1/4 * a^3 * Wurzel(2)
> ------------------------------------------------------------
> h = a/4 * Wurzel(2) * 3._Wurzel(2)^2 *
> ------------------------------------------------------------
>

Das ist richtig gerechnet.

> Beide Höhen stimmen überein, sodass ich davon ausgehe, dass ich mich
> hier nicht verrechnet habe.
>

Die Höhen stimmen nicht überein. Grund: Dein Ansatz

> Volumen (V_x) der Pyramide mit Grundseite x beträgt die Hälfte des
> Gesamt-Volumens V der Ausgangspyramide.

ist falsch. Das zur Grundfläche parallele Quadrat, das in der
Schwerpunkthöhe H/4 über der Grundfläche liegt und die "Restpyramide"
V_x mit der Höhe h = 3/4 * H abschneidet, halbiert nicht das Volumen der
Pyramide, sondern es gilt

V_x = 2/3 * V_ges.

Berücksichtigst du das in deinem Ansatz zur Berechnung von h, so ergibt
sich aus der Volumenbedingung

V_x = 2/3 * V_ges

für die Höhe der abgeschnittenen Teilpyramide

h = sqrt(2) * a^3 / (3 * x^2) (1)

Der Strahlensatz liefert

h = x / sqrt(2) (2)

(1) = (2) führt auf

x = (2/3)^(1/3) * a (3)

[.^(1/3) steht für dritte Wurzel]

(3) in (1) ergibt:

h = sqrt(2) * a / [3 * (2/3)^(1/3) )^2 ]

(2) in (1) ergibt das gleiche:

h = sqrt(2) * a / [3 * (2/3)^(1/3) )^2 ]

Dieter Heidorn

Stephan Herrmann

unread,
Oct 14, 2021, 11:45:04 AM (4 days ago) Oct 14
to
Udo <udob...@googlemail.com> writes:

> Hallo, liebe Mitleser,
> ich bitte um Hilfe bei einem Problem, wo ich einfach nicht weiterkomme.
> Ich möchte aus Übungsgründen den Schwerpunkt folgender
> "Spezialpyramide" berechnen:
>
> Gegeben:
> Reguläre quadratische Pyramide mit der Grundflächenseite a (Spitze
> senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche).
> Besonderheit:
> diese Pyramide soll als Seitenflächen nicht nur gleichschenklige,
> sondern gleichseitige Dreiecke mit ebenfalls der Seitenlänge a haben.
> (Hat diese "super-reguläre" Pyramide einen speziellen Namen?)
>
> Die Körperhöhe H errechnet sich zu H = a/2 * Wurzel(2)
>
> Ich möchte jetzt ausrechnen, wie hoch der Schwerpunkt über der
> Grundfläche zu liegen kommt (Laut Formelsammlung d = 1/4 H)
>
> Um den Schwerpunkt zu bestimmen, lege ich einen waagerechten Schnitt
> so durch die Pyramide, dass das Volumen der oben abgeschnittenen,
> kleineren Pyramide gleich dem Volumen des verbleibenden Paramiden-
> stumpfes entspricht (Volumen-Schwerpunkt).

Der waagerechte Schnitt durch den Schwerpunkt teilt die Pyramide
aber nicht in zwei Objekte mit gleichem Volumen.

Du erhälst die Höhe h_S des Schwerpunktes durch

h_s = (1/V) * integral_0^H (h*F(h)) dh

dabei ist F(h) der Flächeninhalt des waagerechten Schnittes
in der Höhe h durch die Pyramide.

Hierzu hattest Du ja schon den Zusammenhang zwischen der
Grundseite x und der Höhe h ermittel: h = x / sqrt(2)
und damit also F(h) = ... [zur Übung]


--
Stephan Herrmann

Stephan Herrmann

unread,
Oct 14, 2021, 11:50:18 AM (4 days ago) Oct 14
to
Dieter Heidorn <d.he...@t-online.de> writes:

[...]

> Da liegt der Fehler.
>
> Das zur Grundfläche parallele Quadrat, das die "Restpyramide" V_x mit
> der Höhe h abschneidet, halbiert nicht das Volumen der Pyramide,
> sondern es gilt
>
> V_x = 2/3 * V_ges.

Wie kommst du auf diese Behauptung?

[...]

>
> Dieter Heidorn
>

--
Stephan Herrmann

Andreas Leitgeb

unread,
Oct 14, 2021, 12:20:35 PM (4 days ago) Oct 14
to
Pether Hubert <spam-...@gmx.net> wrote:
> Betrachte mal das analoge Problem in zwei Dimensionen. Statt der
> Pyramide nimmst Du ein gleichschenkliges Dreieck. Wir wissen, daß der
> Schwerpunkt des Dreiecks der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist,

Ich glaub, du hast da was verwechselt...

Andreas Leitgeb

unread,
Oct 14, 2021, 12:24:59 PM (4 days ago) Oct 14
to
Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
> Der waagerechte Schnitt durch den Schwerpunkt teilt die Pyramide
> aber nicht in zwei Objekte mit gleichem Volumen.

Doch. *Jeder* ebene Schnitt durch den Schwerpunkt tut das.

Dieter Heidorn

unread,
Oct 14, 2021, 1:24:06 PM (4 days ago) Oct 14
to
Stephan Herrmann schrieb:
> Dieter Heidorn <d.he...@t-online.de> writes:
>
> [...]
>
>> Da liegt der Fehler.
>>
>> Das zur Grundfläche parallele Quadrat, das die "Restpyramide" V_x mit
>> der Höhe h abschneidet, halbiert nicht das Volumen der Pyramide,
>> sondern es gilt
>>
>> V_x = 2/3 * V_ges.
>
> Wie kommst du auf diese Behauptung?
>

Durch Rechenfehler, wie ich inzwischen erkannt habe: Verwechslung von h
und Höhe H der Gesamtpyramide - sorry. Muss mir das Ganze noch einmal
genauer ansehen.

Dieter Heidorn

Pether Hubert

unread,
Oct 14, 2021, 5:18:38 PM (4 days ago) Oct 14
to
Am 14.10.21 um 18:20 schrieb Andreas Leitgeb:
Stimmt, es waren die Seitenhalbierenden, aber das tut meiner
Argumentation keinen Abbruch.

Ciao
Pether

Juergen Ilse

unread,
Oct 14, 2021, 5:27:22 PM (4 days ago) Oct 14
to
Hallo,

Andreas Leitgeb <a...@logic.at> wrote:
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist doch nicht der Schwerpunkt
sondern der Inkreismittelpunkt ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Oct 14, 2021, 5:40:04 PM (4 days ago) Oct 14
to
Hallo,
Warum? Meine Ueberlegung ist:
Wenn man die pyramide an eienm Faden aufhaengt, der vom Schwerpunkt der
Pyramide gerade nach aussen laeuft, so ist die Pyramide "in Waage",
sprich fuer ddie MAsse (bei gleiche Dichte der Pyramide an jedem Punkt
also auch das Volumen) muss "nach allen Seiten gleich verteilt ein",
sprich fuer jede Ebene, die duch den Schwerpunkt laeuft, muesste sich
auf beiden Seiten die gleiche Masse bzw. das gleiche Volumen auf beiden
Seiten der Ebene befinden. Die Ebene durch den Schwerpunkt der Pyramide,
die parallel zur Grundflaeche liegt, ist da keine Ausnahme.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Stephan Herrmann

unread,
Oct 14, 2021, 7:46:27 PM (4 days ago) Oct 14
to
Das ist nicht richtig.
Der OP schrieb schon, dass der Schwerpunkt die Höhe dieser Pyramide
im Verhältnis 1:3 schneidet. So steht es wohl in allen Formelsammlungen.
Unter den vom OP genannten Bedingungen betrrägt der Anteil des Volumens
der oberen Pyramide am Volumen der Gesamtpyramide (27/64).

--
Stephan Herrmann

Juergen Ilse

unread,
Oct 14, 2021, 9:16:45 PM (4 days ago) Oct 14
to
Hallo,
Wie kann das dann der Schwerpunkt sein? Bei dieser Volumenverteilung
kann der Punkt, der lauit Formelsammlung der Schwerpunkt sein soll,
nicht der Schwerpunkt sein, da das Volumen um diese Punkt nicht
gleichmaessig verteilt ist.

Wo findet man denn einen Beweis fuer die Aussage der Formelsammlung?

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Andreas Leitgeb

unread,
Oct 15, 2021, 2:59:59 AM (4 days ago) Oct 15
to
Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
> Andreas Leitgeb <a...@logic.at> writes:
>
>> Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
>>> Der waagerechte Schnitt durch den Schwerpunkt teilt die Pyramide
>>> aber nicht in zwei Objekte mit gleichem Volumen.
>> Doch. *Jeder* ebene Schnitt durch den Schwerpunkt tut das.
> Das ist nicht richtig.

Das ist definitiv richtig.

> Der OP schrieb schon, dass der Schwerpunkt die Höhe dieser Pyramide
> im Verhältnis 1:3 schneidet.
> So steht es wohl in allen Formelsammlungen.

Auch das ist richtig.

> Unter den vom OP genannten Bedingungen betrrägt der Anteil des Volumens
> der oberen Pyramide am Volumen der Gesamtpyramide (27/64).

Dem liegt vermutlich ein Fehler zu Grunde.

Stephan Herrmann

unread,
Oct 15, 2021, 4:59:08 AM (4 days ago) Oct 15
to
Schau mal, ob Du bei mir einen Flehler findest:

Den Begriff der Johnson Pyramide hatte Alfred ja schon genannt.
Die Adresse

https://rechneronline.de/pi/johnson-pyramide.php

ist für unser Beispiel ganz interessant. Dort kann man sich
auch das Volumen dieser Pyramide für verschiedene Höhen
ausrechnen lassen.

Der Zusammenhang zwischen der Seitenlänge a und der
Höhe h der Pyramide ergibt sich durch Anwendung des
Satzes von Pythagoras (hatte Udo in seinem auch schon gezeigt):

h^2 + (a/sqrt(2))^2 = a^2.

Daraus ergibt sich a^2 = 2 * h^2 und für das Volumen V=V(h)
dieser Pyramide mit Höhe h:

V(h) = (1/3) * (a^2) * h
= (1/3) * (2 * h^2) * h
= (2/3) * h^3

Also

V((3/4)H) = (2/3) * ((3/4)*H)^3
= (2/3) * (3/4)^3 * H^3
= (3/4)^3 * V(H).



--
Stephan Herrmann

Stephan Herrmann

unread,
Oct 15, 2021, 5:01:21 AM (4 days ago) Oct 15
to
Google mit den Begriffen "Schwerpunkt Pyramide" liefert sicher ganz
instruktive Seiten.


>
> Tschuess,
> Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

--
Stephan Herrmann

Dieter Heidorn

unread,
Oct 15, 2021, 5:46:30 AM (4 days ago) Oct 15
to
Juergen Ilse schrieb:

>> Das zur Grundfläche parallele Quadrat, das die "Restpyramide" V_x mit
>> der Höhe h abschneidet, halbiert nicht das Volumen der Pyramide, sondern
>> es gilt
>>
>> V_x = 2/3 * V_ges.
>
> Warum? >

Wie ich schon gestern schrieb: Rechenfehler meinerseits.

Richtig ist es so:

Gesamtpyramide: Seitenlänge a,
Höhe H,

H = a/sqrt(2)

V_ges = (1/3) * a^2 * H |

= (1/3) * a^2 * a / sqrt(2)

= (1/3) * a^3 / sqrt(2)

Teilpyramide: Seitenlänge x,
Höhe h,

h = (3/4) * H = (3/4) * a / sqrt(2)

x = (3/4) * a ( aus Strahlensatz )

V_x = (1/3) * x^2 * h

= (1/3) * (3/4)^2 * a^2 * (3/4) * a / sqrt(2)

= (1/3) * (3/4)^3 * a^3 / sqrt(2)

= (3/4)^3 * V_ges

Also Verhältnis der Volumina:

V_x / V_ges = (3/4)^3 = 27/64.

Stephan kommt mit seiner eleganteren Betrachtung (15.10.2021 10:59)
ebenfalls zu diesem Ergebnis.

Der Fehler des OP war also das falsche Ansetzen von V_x = (1/2)*V_ges.

Dieter Heidorn

Juergen Ilse

unread,
Oct 15, 2021, 3:15:17 PM (3 days ago) Oct 15
to
Hallo,

Dieter Heidorn <d.he...@t-online.de> wrote:
Die Frage ist: Wie kann das sein, dass eine Ebene durch den Schwerpunkt
die Figur nicht in zwei Volumengleiche Teilfiguren teilt? Dafuer habe ich
jetzt noch keine Erklaerung gehoert.
Und zum Fall des zweidimensionalen am Beispipel des Driecks: da teilen
die Seitenhalbierenden das Dreicke in zwei falechengleihe Teile (wie
auch jede andere Gerade durch den Schwerpunkt).

> Stephan kommt mit seiner eleganteren Betrachtung (15.10.2021 10:59)
> ebenfalls zu diesem Ergebnis.
> Der Fehler des OP war also das falsche Ansetzen von V_x = (1/2)*V_ges.

Warum ist dieser Ansatz falsch? Wieso kann es sein, dass eine Ebene durch
den Schwerpunkt die Figur nicht in volumengleiche Teilfiguren schneidet?

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Oct 15, 2021, 3:17:58 PM (3 days ago) Oct 15
to
Hallo,

Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
> Juergen Ilse <ne...@usenet-verwaltung.de> writes:
>> Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
>>> Andreas Leitgeb <a...@logic.at> writes:
>>>
>>>> Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
>>>>> Der waagerechte Schnitt durch den Schwerpunkt teilt die Pyramide
>>>>> aber nicht in zwei Objekte mit gleichem Volumen.
>>>>
>>>> Doch. *Jeder* ebene Schnitt durch den Schwerpunkt tut das.
>>>>
>>> Das ist nicht richtig.
>>> Der OP schrieb schon, dass der Schwerpunkt die Höhe dieser Pyramide
>>> im Verhältnis 1:3 schneidet. So steht es wohl in allen Formelsammlungen.
>>> Unter den vom OP genannten Bedingungen betrrägt der Anteil des Volumens
>>> der oberen Pyramide am Volumen der Gesamtpyramide (27/64).
>>
>> Wie kann das dann der Schwerpunkt sein? Bei dieser Volumenverteilung
>> kann der Punkt, der lauit Formelsammlung der Schwerpunkt sein soll,
>> nicht der Schwerpunkt sein, da das Volumen um diese Punkt nicht
>> gleichmaessig verteilt ist.
>>
>> Wo findet man denn einen Beweis fuer die Aussage der Formelsammlung?
>
> Google mit den Begriffen "Schwerpunkt Pyramide" liefert sicher ganz
> instruktive Seiten.

Ich habe zwar zwar viele Seiten mit der Aussage, der Schwerpunkt wuerde
die Hohe ueber der Grundflaeche im Verhaeltnis3/4teilen, aber keinen
einzigen Beweis dafuer. Deswwegen frage ich ja daanach.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Dieter Heidorn

unread,
Oct 15, 2021, 4:29:24 PM (3 days ago) Oct 15
to
Juergen Ilse schrieb:
> Hallo,
>
> Dieter Heidorn <d.he...@t-online.de> wrote:
>> Juergen Ilse schrieb:

>> Gesamtpyramide: Seitenlänge a,
>> Höhe H,
>>
>> H = a/sqrt(2)
>>
>> V_ges = (1/3) * a^2 * H |
>>
>> = (1/3) * a^2 * a / sqrt(2)
>>
>> = (1/3) * a^3 / sqrt(2)
>>
>> Teilpyramide: Seitenlänge x,
>> Höhe h,
>>
>> h = (3/4) * H = (3/4) * a / sqrt(2)
>>
>> x = (3/4) * a ( aus Strahlensatz )
>>
>> V_x = (1/3) * x^2 * h
>>
>> = (1/3) * (3/4)^2 * a^2 * (3/4) * a / sqrt(2)
>>
>> = (1/3) * (3/4)^3 * a^3 / sqrt(2)
>>
>> = (3/4)^3 * V_ges
>>
>> Also Verhältnis der Volumina:
>>
>> V_x / V_ges = (3/4)^3 = 27/64.
>
> Die Frage ist: Wie kann das sein, dass eine Ebene durch den Schwerpunkt
> die Figur nicht in zwei Volumengleiche Teilfiguren teilt? Dafuer habe ich
> jetzt noch keine Erklaerung gehoert.

Zunächst: Es gibt hier natürlich Ebenen, welche durch den Schwerpunkt
verlaufen und die Pyramide in volumengleiche Teile teilen, etwa auf der
Grundfläche senkrecht stehende Ebenen.

Es haben aber nicht alle Ebenen diese Eigenschaft, wie bereits
vorgerechnet.

>> Der Fehler des OP war also das falsche Ansetzen von V_x = (1/2)*V_ges.
>
> Warum ist dieser Ansatz falsch? Wieso kann es sein, dass eine Ebene durch
> den Schwerpunkt die Figur nicht in volumengleiche Teilfiguren schneidet?
>

Das liegt an der Definition des Begriffes "Schwerpunkt":

https://de.wikipedia.org/wiki/Massenmittelpunkt#Mathematische_Definition

Anwendung auf den Fall einer geraden Pyramide mit rechteckiger
Grundfläche (Seiten a und b), die in der xy-Ebene liegt, und Höhe H in
z-Richtung, ergibt sich hier für die Höhe der Schwerpunktskordinate:

H
z_S = (1/V) * Int z * A(z) dz
0

Die zur Grundfläche parallele Schnittfläche A(z) ergibt sich mit
Strahlensatz zu

A(z) = ((H - z)/H)^2 * a*b

Ergebnis der Integration:

z_S = H/4.

Dieter Heidorn

Ralf Bader

unread,
Oct 15, 2021, 4:49:44 PM (3 days ago) Oct 15
to
Nimm einen Körper, der aus zwei Kugeln K1, K2 der Radien r1 und r2 an
den Enden einer langen Stange S besteht. Wenn S infinitesimal dünn ist,
und zunächst r1=r2, müßte der Schwerpunkt nach Deiner Theorie durch eine
beliebig geringe Vergrößerung von r2 vom Mittelpunkt der Stange in das
Innere von K2 springen.

Stephan Herrmann

unread,
Oct 15, 2021, 8:36:53 PM (3 days ago) Oct 15
to
Juergen Ilse <ne...@usenet-verwaltung.de> writes:

[...]
>
> Ich habe zwar zwar viele Seiten mit der Aussage, der Schwerpunkt wuerde
> die Hohe ueber der Grundflaeche im Verhaeltnis3/4teilen, aber keinen
> einzigen Beweis dafuer. Deswwegen frage ich ja daanach.
>
[...]

Sorry, meine Aussage war etwas kurz. Aber Dieter hate es ja in seiner
Antwort an Dich jetzt vorgerechnet. Wichtig ist, dass du dir die
Definition des Schwerpunktes anschaust und versuchst die Bedeutung zu
verstehen. Dieter hat auf den wikipedia Artiel hingewiesen, der kann dir
vielleicht mehr Klarheit verschaffen. Wichtig bei der Berechnung der
Lage des Schwerpunktes ist nicht nur das Volumen, sondern auch ganz
stark die Geometrie des betrachteten Körpers.

Ich habe auch nochmal eine Suchmaschine angeworfen und finde folgenden
Link interessant für Dich, wenn Du den Rechneweg nachvollziehen wills.

https://www.youtube.com/watch?v=-HcWFKpKBp0





--
Stephan Herrmann

Juergen Ilse

unread,
Oct 16, 2021, 1:43:14 AM (3 days ago) Oct 16
to
Hallo,

Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
> Juergen Ilse <ne...@usenet-verwaltung.de> writes:
>
> [...]
>>
>> Ich habe zwar zwar viele Seiten mit der Aussage, der Schwerpunkt wuerde
>> die Hohe ueber der Grundflaeche im Verhaeltnis3/4teilen, aber keinen
>> einzigen Beweis dafuer. Deswwegen frage ich ja daanach.
>>
> [...]
>
> Sorry, meine Aussage war etwas kurz. Aber Dieter hate es ja in seiner
> Antwort an Dich jetzt vorgerechnet. Wichtig ist, dass du dir die
> Definition des Schwerpunktes anschaust und versuchst die Bedeutung zu
> verstehen. Dieter hat auf den wikipedia Artiel hingewiesen, der kann dir
> vielleicht mehr Klarheit verschaffen. Wichtig bei der Berechnung der
> Lage des Schwerpunktes ist nicht nur das Volumen, sondern auch ganz
> stark die Geometrie des betrachteten Körpers.

Laut dem Wikipedia Link stimmt bei einer Pyramide aus homogenem Material
(wenn die Dichte der Pyramide in jedem Punkt gleich ist) der geometrische
Schwerpunkt mit dem Massenschwerpunkt ueberein. Fuer den Massenschwerpunkt
muesste gelten, dass wenn man die Pyramide an einem Faden aufhaengt mit
einem beliebigen Punkt auf der Oberflaeche als Aufhaengepunkt, dann verlaeuft
die Verlaengerung des Faadens durch die Pyramide durch den Massenschwerpunkt.
Nimmt man nun als Aufhaengepunkt einen Punkt auf der Schnittlinie der Ebene,
die parallel zu Grundflaeche der Pyramide liegt und den Schwerpunkt ent-
haelt, mit der Pyramide, so wuerdee doch die Pyramide durch die groessere
Masse im Fuss der Pyramide gegenueber der "durch die Ebene abgetrennte
Pyramide" auf der Seite des Pyramidenfusses "staerker nach unten gezogen"
und die Verlaengerung des Faaddens verliefe nicht mehr in der oben ge-
nannten Ebene, sprich sie wuerde nicht mehr durch den Masssenschwerpunkt
gehen. Das heisst doch aber, dass der geometrische Schwerpunkt im Fall
einer Pyramide aus homogenem Material nicht mit deem MAssenschwerpunkt
uebereinstimmen wuerde. Wo ist daa mein Denkfehler?

> Ich habe auch nochmal eine Suchmaschine angeworfen und finde folgenden
> Link interessant für Dich, wenn Du den Rechneweg nachvollziehen wills.
>
> https://www.youtube.com/watch?v=-HcWFKpKBp0

Danke. Aber dann scheint der wie dort definierte Schwerpunkt nicht mit
dem Massenschwerpunkt einer Pyramide aus homogenem Material ueberein-
zustimmen, und der Massenschwerpunkt dieser Pyramide wuerde dem ent-
sprechen, was ich berechnet hatte. Ist das wwirklich so?

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Alfred Flaßhaar

unread,
Oct 16, 2021, 3:51:13 AM (3 days ago) Oct 16
to
Am 16.10.2021 um 07:43 schrieb Juergen Ilse:

(...)

Wenn Dir die bisherigen Berechnungen nicht gefallen, dann rechne doch
selber mal die Schwerpunktlage mit Hilfe des Momentengleichgewichts
nach. Entscheidend ist ausschließlich die physikalische Homogenität und
daher muß die "Massedichte" nur gleichmäßig konstant in der Pyramide sein.

Also: Summe der Momente um eine gewählte Achse aus Wirkung der
Teilvolumina und der Gesamtmasse/-des Gesamtvolumens im Schwerpunkt = 0.
Dabei Vorzeichen der Momentendrehrichtung beachten.

Wochenendgruß, Alfred Flaßhaar

Stephan Herrmann

unread,
Oct 16, 2021, 4:43:38 AM (3 days ago) Oct 16
to
Juergen Ilse <ne...@usenet-verwaltung.de> writes:

> Hallo,
> [...]
> Laut dem Wikipedia Link stimmt bei einer Pyramide aus homogenem Material
> (wenn die Dichte der Pyramide in jedem Punkt gleich ist) der geometrische
> Schwerpunkt mit dem Massenschwerpunkt ueberein. Fuer den Massenschwerpunkt
> muesste gelten, dass wenn man die Pyramide an einem Faden aufhaengt mit
> einem beliebigen Punkt auf der Oberflaeche als Aufhaengepunkt, dann verlaeuft
> die Verlaengerung des Faadens durch die Pyramide durch den Massenschwerpunkt.
> Nimmt man nun als Aufhaengepunkt einen Punkt auf der Schnittlinie der Ebene,
> die parallel zu Grundflaeche der Pyramide liegt und den Schwerpunkt ent-
> haelt, mit der Pyramide, so wuerdee doch die Pyramide durch die groessere
> Masse im Fuss der Pyramide gegenueber der "durch die Ebene abgetrennte
> Pyramide" auf der Seite des Pyramidenfusses "staerker nach unten
> gezogen"

Das solltest du mal experimentell durchführen. Möglicherweise überrascht
dich das Ergebnis.

> und die Verlaengerung des Faaddens verliefe nicht mehr in der oben ge-
> nannten Ebene, sprich sie wuerde nicht mehr durch den Masssenschwerpunkt
> gehen. Das heisst doch aber, dass der geometrische Schwerpunkt im Fall
> einer Pyramide aus homogenem Material nicht mit deem MAssenschwerpunkt
> uebereinstimmen wuerde. Wo ist daa mein Denkfehler?
>

Ich versuche mal ein paar Gedanken mit einem "Alltagsonjekt" zu geben:
<Proportionalschrift aus bitte>

Eine Kinderwippe. Im Normalfall liegt die Schwerpunkt "S"
genau in der Mitte der Längsachse der Wippe


---- ----
| | | |
| | | |
-----------------------------------------
| S |
| |
-----------------------------------------
1/2 V V 1/2 V

Idealisierte Wippe. In diesem Falle ist auch das Volumen
links vom Schwerpunkt "S" genauso groß wie rechts vom Schwerpunkt.

Wenn ich jetzt den einen Block auf der Wippe verschiebe,
bekomme ich ungefähr folgendes Bild

---- ----
| | | |
| | | |
-----------------------------------------
| S |
| |
-----------------------------------------
1/2 V V 1/2 V

Die Halbierung des Volumens bleibt an derselben Stelle
erhalten. Allerdings hat sich der Schwerpunkt um ein Stück nach
rechts verschoben.

Zum Glück ist Wochenende und die meisten Spielplätze
bieten die Möglichkeit praktischer Experimente.

Ich hoffe, dass diese Gedanken hilfreich für dich sind.


--
Stephan Herrmann

Pether Hubert

unread,
Oct 16, 2021, 5:00:50 AM (3 days ago) Oct 16
to
Am 15.10.21 um 21:15 schrieb Juergen Ilse:
> Und zum Fall des zweidimensionalen am Beispipel des Driecks: da teilen
> die Seitenhalbierenden das Dreicke in zwei falechengleihe Teile (wie
> auch jede andere Gerade durch den Schwerpunkt).

Ja, ich habe Seiten- und Winkelhalbierende verwechselt, aber das macht
keinen Unterschied, denn es sind die Schwerlinien, die sich im
Verhältnis 1:2 schneiden. Nimm einfach ein gleichseitiges Dreieck, da
sind diese charakteristischen Linien eines Dreiecks eh alle die
gleichen. Und dann rechne mir mal bitte vor, wie Du darauf kommst, daß
eine Gerade, die durch den Schwerpunkt geht und parallel zu einer der
Dreiecksseiten ist, die Dreiecksfläche halbiert. Bei mir kommt da immer
noch ein Faktor von 4/9 raus (Verhältnis des kleinen Dreiecks zum
gesamten Dreieck).

Ciao
Pether

Dieter Heidorn

unread,
Oct 16, 2021, 7:51:19 AM (3 days ago) Oct 16
to
Juergen Ilse schrieb:
> Hallo,
>
> Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
>> Juergen Ilse <ne...@usenet-verwaltung.de> writes:
>>
>> [...]
>>>
>>> Ich habe zwar zwar viele Seiten mit der Aussage, der Schwerpunkt wuerde
>>> die Hohe ueber der Grundflaeche im Verhaeltnis3/4teilen, aber keinen
>>> einzigen Beweis dafuer. Deswwegen frage ich ja daanach.
>>>
>> [...]
>>
>> Sorry, meine Aussage war etwas kurz. Aber Dieter hate es ja in seiner
>> Antwort an Dich jetzt vorgerechnet. Wichtig ist, dass du dir die
>> Definition des Schwerpunktes anschaust und versuchst die Bedeutung zu
>> verstehen. Dieter hat auf den wikipedia Artiel hingewiesen, der kann dir
>> vielleicht mehr Klarheit verschaffen. Wichtig bei der Berechnung der
>> Lage des Schwerpunktes ist nicht nur das Volumen, sondern auch ganz
>> stark die Geometrie des betrachteten Körpers.
>
> Laut dem Wikipedia Link stimmt bei einer Pyramide aus homogenem Material
> (wenn die Dichte der Pyramide in jedem Punkt gleich ist) der geometrische
> Schwerpunkt mit dem Massenschwerpunkt ueberein. >


Das gilt für jedes Massensystem / jeden Körper, denn der Schwerpunkt
eines Körpers ist der Punkt, in Bezug auf den die Summe aller statischen
Momente

M_i = r_i X F_i (als Vektorprodukt zu lesen)

verschwindet.


In dem von Ralf vorgestellten Beispiel der zwei homogenen Kugeln, die
durch eine Stange mit vernachlässigbarer Masse verbunden sind, gilt
dann:

R_1, m_1 R_2, m_2

R_1 = R_2, m_1 = m_2
___ ___
/ \ S / \
| *--|---------|---------|--* |
\___/ . \___/
<--- r_1 --->.<--- r_2 --->
| |
| |
v v
F_1 = m_1 g (-e_z) F_2 = m_2 g (-e_z)

Hier liegt der Punkt, in Bezug auf den die Summe der Momente Null wird,
in der Mitte der Verbindunglinie der beiden Kugel-Mittelpunkte:

M_1 = r_1 X m_1*g (-e_z) M_2 = r_2 X m_2*g (-e_z)

M_1 = - M_2

M_1 + M_2 = 0

S ist definitionsgemäß der Schwerpunkt der Anordnung.

Eine Ebene durch den Schwerpunkt halbiert das Volumen der
Gesamtanordnung.


Wird nun Kugel 2 vergrößert, wandert der Schwerpunkt nach rechts:

_____
___ / \
/ \ S / \
| *--|---------------|-----|----* |
\___/ \ /
\_____/

<------ r_1 ------>.<-- r_2 -->
| |
| |
v |
F_1 = m_1 g (-e_z) |
v
F_2 = m_2 g (-e_z)

Es gilt immer noch, dass die Summe der (veränderten) Momente Null ist.
Aber eine Ebene durch den Schwerpunkt halbiert nicht das Volumen der
Gesamtanordnung.

> Fuer den Massenschwerpunkt
> muesste gelten, dass wenn man die Pyramide an einem Faden aufhaengt mit
> einem beliebigen Punkt auf der Oberflaeche als Aufhaengepunkt, dann verlaeuft
> die Verlaengerung des Faadens durch die Pyramide durch den Massenschwerpunkt.

Dabei dreht die Pyramide sich so, dass die senkrechte Verlängerung des
Aufhängungsfadens durch den Schwerpunkt verläuft, weil dann das
Gesamtmoment verschwindet.

> Nimmt man nun als Aufhaengepunkt einen Punkt auf der Schnittlinie der Ebene,
> die parallel zu Grundflaeche der Pyramide liegt und den Schwerpunkt ent-
> haelt, mit der Pyramide, so wuerdee doch die Pyramide durch die groessere
> Masse im Fuss der Pyramide gegenueber der "durch die Ebene abgetrennte
> Pyramide" auf der Seite des Pyramidenfusses "staerker nach unten gezogen" >

Nein. In diesem Fall verläuft die senkrechte Verlängerung des
Aufhängungsfadens durch den Schwerpunkt, in Bezug auf den das
Gesamtmoment Null ist.

Dieter Heidorn


Dieter Heidorn

unread,
Oct 17, 2021, 6:43:46 AM (2 days ago) Oct 17
to
Dieter Heidorn schrieb:
> Juergen Ilse schrieb:

>> Fuer den Massenschwerpunkt muesste gelten, dass wenn man die Pyramide >> an einem Faden aufhaengt mit einem beliebigen Punkt auf der
Oberflaeche >> als Aufhaengepunkt, dann verlaeuft die Verlaengerung des
Faadens durch
>> die Pyramide durch den Massenschwerpunkt.
>
> Dabei dreht die Pyramide sich so, dass die senkrechte Verlängerung des
> Aufhängungsfadens durch den Schwerpunkt verläuft, weil dann das
> Gesamtmoment verschwindet.
>
Korrektur:

Dabei dreht die Pyramide sich so, dass das Gesamtmoment in Bezug auf den
Aufhängungspunkt Null wird. Die Verlängerung des Aufhängungsfadens
verläuft dabei nicht durch den Schwerpunkt.

>> Nimmt man nun als Aufhaengepunkt einen Punkt auf der Schnittlinie der
>> Ebene, die parallel zu Grundflaeche der Pyramide liegt und den Schwerpunkt >> enthaelt, mit der Pyramide, so wuerdee doch die Pyramide durch die
groessere
>> Masse im Fuss der Pyramide gegenueber der "durch die Ebene abgetrennte
>> Pyramide" auf der Seite des Pyramidenfusses "staerker nach unten
>> gezogen"
>
> Nein. In diesem Fall verläuft die senkrechte Verlängerung des
> Aufhängungsfadens durch den Schwerpunkt, in Bezug auf den das
> Gesamtmoment Null ist.
>

Korrektur:

Die Pyramide verhält sich genau so wie oben schon beschrieben.

Dieter Heidorn

Juergen Ilse

unread,
Oct 17, 2021, 10:30:42 AM (yesterday) Oct 17
to
Hallo,

Dieter Heidorn <d.he...@t-online.de> wrote:
> Dieter Heidorn schrieb:
>> Juergen Ilse schrieb:
>
>>> Fuer den Massenschwerpunkt muesste gelten, dass wenn man die Pyramide >> an einem Faden aufhaengt mit einem beliebigen Punkt auf der
> Oberflaeche >> als Aufhaengepunkt, dann verlaeuft die Verlaengerung des
> Faadens durch
>>> die Pyramide durch den Massenschwerpunkt.
>>
>> Dabei dreht die Pyramide sich so, dass die senkrechte Verlängerung des
>> Aufhängungsfadens durch den Schwerpunkt verläuft, weil dann das
>> Gesamtmoment verschwindet.
>>
> Korrektur:
>
> Dabei dreht die Pyramide sich so, dass das Gesamtmoment in Bezug auf den
> Aufhängungspunkt Null wird. Die Verlängerung des Aufhängungsfadens
> verläuft dabei nicht durch den Schwerpunkt.

Danke fuer wegreisseen des Brett vorm Kopf. Ich sehe jetzt warum es eine
Fehlannahme von mir war.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Andreas Leitgeb

unread,
Oct 18, 2021, 11:20:41 AM (22 hours ago) Oct 18
to
Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
> Andreas Leitgeb <a...@logic.at> writes:
>> Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
>>> Andreas Leitgeb <a...@logic.at> writes:
>>>> Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
>>>>> Der waagerechte Schnitt durch den Schwerpunkt teilt die Pyramide
>>>>> aber nicht in zwei Objekte mit gleichem Volumen.
>>>> Doch. *Jeder* ebene Schnitt durch den Schwerpunkt tut das.
>>> Das ist nicht richtig.
>> Das ist definitiv richtig.

>>> Der OP schrieb schon, dass der Schwerpunkt die Höhe dieser Pyramide
>>> im Verhältnis 1:3 schneidet.
>>> So steht es wohl in allen Formelsammlungen.

Da ich in deiner Rechnung auch keinen Fehler finden konnte, muss ich
dann wohl das aus diversen Formelsammlungen zitierte 1:3 in Zweifel ziehen.
Dann ist eben der Schwerpunkt wohl NICHT auf Höhe H/4 .

Aber wo auch immer der Schwerpunkt nun liegt: für jede Ebene, die
durch den Schwerpunkt geht, gilt, dass sich auf beiden Seiten
der Ebene jeweils die Hälfte des Volumens der Pyramide befindet.

Wie bei jedem 3-dimensionalen Körper, wo man für halbes Volumen
die Skalierung der Längen um einen Faktor 2^(1/3) stauchen muss,
wird wohl auch die höhe der halb-volumigen oberen Hälfte letztlich
2^(-1/3)*H und eben nicht 3/4 der Höhe der großen sein, und der Schwer-
punkt der großen Pyramide also dann wohl den Abstand H-2^(-1/3)
von der Basis haben.

Andreas Leitgeb

unread,
Oct 18, 2021, 11:45:14 AM (22 hours ago) Oct 18
to
Jetzt habe ich es nun auch geschnallt, dass es beim Schwerpunkt
nicht nur auf die Teil-Volumina ankommt, sondern mitunter auf den
Abstand der Elementar-Massen von Schwerpunkt - das Drehmoment halt.

Damit widerrufe ich beschämt das untige ...

Juergen Ilse

unread,
Oct 18, 2021, 12:26:48 PM (21 hours ago) Oct 18
to
Hallo,

Andreas Leitgeb <a...@logic.at> wrote:
> Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
>> Andreas Leitgeb <a...@logic.at> writes:
>>> Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
>>>> Andreas Leitgeb <a...@logic.at> writes:
>>>>> Stephan Herrmann <stephan....@mailbox.org> wrote:
>>>>>> Der waagerechte Schnitt durch den Schwerpunkt teilt die Pyramide
>>>>>> aber nicht in zwei Objekte mit gleichem Volumen.
>>>>> Doch. *Jeder* ebene Schnitt durch den Schwerpunkt tut das.
>>>> Das ist nicht richtig.
>>> Das ist definitiv richtig.
>
>>>> Der OP schrieb schon, dass der Schwerpunkt die Höhe dieser Pyramide
>>>> im Verhältnis 1:3 schneidet.
>>>> So steht es wohl in allen Formelsammlungen.
>
> Da ich in deiner Rechnung auch keinen Fehler finden konnte, muss ich
> dann wohl das aus diversen Formelsammlungen zitierte 1:3 in Zweifel ziehen.
> Dann ist eben der Schwerpunkt wohl NICHT auf Höhe H/4 .

ICh war der selben Meinung, musste mich aber belehren lassen.
Nicht die Masse muss "gleichverteilt" oberhalb unnd unterhalb der Ebene
parallel zur Grundflaeche durch den Schwerpunkt liegen, sondern die
Drehmomente, und der Schwerpunkt der "abgetrennten Pyramide" liegt
weiter von der Ebene entfernt, als der Schwerpunkt des Pyramidenstumpfs
auf der anderen Seite der Ebene. Deswegen muss die Masse auf der Seite
des Pyramidenstumpfs groesser sein damit das Drehmoment gleich ist.
Es war ein voreiliger Fehlschluss, dass die abgetrennte Pyramide und
der Pyramidenstumpf die gleiche Masse, bzw. bei homogenem Material das
gleiche Volumen haben muessen ...

> Aber wo auch immer der Schwerpunkt nun liegt: für jede Ebene, die
> durch den Schwerpunkt geht, gilt, dass sich auf beiden Seiten
> der Ebene jeweils die Hälfte des Volumens der Pyramide befindet.

Nein. Es muss auf beiden Seiten das gleiche Drehmoment auf die
Pyramide einwirken. Das Drehmoment ist aber Kraft mal Hebelarm.
Wenn also der Schwerpunkt der Teilfigur auf der einen Seite weiter
von der Ebene entfernt liegt, wird weniger Masse benoetigt, um das
gleiche Drehmoment zu erzielen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)
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