"Maßzahl des Flächeninhalts"
Jutta Gut
Deutsche Schulbuchautoren legen anscheinend besonderen Wert auf exakte,
sprich umständliche Ausdrucksweise. Ich zitiere aus einer Extremwertaufgabe:
"Bestimmen Sie den Parameter s für den Fall, dass das Dreieck USB maximalen
Flächeninhalt besitzt. Geben Sie die Maßzahl dieses Flächeninhalts an."
Ich verstehe ja noch, warum der Autor nicht einfach "maximale Fläche"
schreibt, obwohl sicher jeder verstehen würde, was gemeint ist. Aber was,
bitte schön, ist der Unterschied zwischen "Flächeninhalt" und "Maßzahl des
Flächeninhalts"? Der Flächeninhalt ist doch schon eine Zahl. Ist das
wirklich nötig, oder dient das nur zur Verwirrung der Schüler/innen?
Grüße
Jutta
Michael Klemm
ich nehme mal an, das der Flächeninhalt nicht in Quadratmetern
angegeben werden soll. Aber sei getröstet die Matheaufgaben
von Umberto Eco sind noch verschlüsselter:
"Ich wußte - doch jeder hätte es spüren müssen im Zauber dieses
ruhigen Atems -, daß die Periode geregelt wurde durch das Verhältnis
der Quadratwurzel aus der Länge des Fadens zu jener Zahl Pi, die,
irrational für die irdischen Geister, in göttlicher Ratio unweigerlich
den Umfang mit dem Durchmesser eines jeden möglichen Kreises verbindet,
dergestalt, daß die Zeit dieses Schweifens einer Kugel von einem Pol zum
anderen das Ergebnis einer geheimen Verschwörung der zeitlosesten aller
Maße war - der Einheit des Aufhängepunktes, der Zweiheit einer abstrakten
Dimension, der Dreizahl von Pi, geheimen Vierecks der Wurzel und die
Perfektion des Kreises."
Gruß
Michael
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> wrote in message
news:a6576$4ca6e570$5472d39f$26...@news.chello.at...
Detlef Müller
> Hallo!
> ...
>
> Ich verstehe ja noch, warum der Autor nicht einfach "maximale Fläche"
> schreibt, obwohl sicher jeder verstehen würde, was gemeint ist. Aber
> was, bitte schön, ist der Unterschied zwischen "Flächeninhalt" und
> "Maßzahl des Flächeninhalts"? Der Flächeninhalt ist doch schon eine
> Zahl.
>
Für eine Fläche von 7 m^2 beträgt die Maßzahl also 7.
Wird der selbe Flächeninhalt mit einer anderen Maßeinheit
beschrieben, ändert sich die Maßzahl (etwa zu 700 dm^2).
(http://www.ohg-sb.de/lehrer/nemec/umrechflaech.htm)
In Schulbüchern ist oft von LE und FE (Längen- und Flächeneinheiten)
die rede.
> Ist das wirklich nötig, oder dient das nur zur Verwirrung der
> Schüler/innen?
>
Ich kann mir vorstellen, daß es durchaus Sinn machen kann, sich da
eine exakte Ausdrucksweise anzugewöhnen (ich ertappe mich aber auch
oft dabei, da etwas zu schluren).
> Grüße
> Jutta
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Helmut Büch
Flächeninhalt ist z.B. A=27 m^2. Die Maßzahl des Flächeninhalts ist hier 27.
Als Ingenieur bin ich gewohnt, mit Größen zu rechnen, also dem Produkt aus
Maßzahl und Einheit. Eine Aufgabe, die nur die Berechnung einer Maßzahl
verlangt, von der Einheit aber absieht, ist m.E. falsch gestellt und führt
so tatsächlich zur Verwirrung der Schüler.
Ich finde es gut, wenn im Matheunterricht den Schülern der Unterschuied
zwischen Zahlenwertgleichungen und Größengleichungen nahegebracht wird - und
das Umrechcnen von Einheiten in Größengleichungen ebenfalls..
Du hast mit Deiner Frage aber noch ein anderes Problem berührt: Wenn in der
Mathematik die reellen Zahlen definiert sind und darauf die Analysis
gründet, wie kann dann Analysis mit Größen funktionieren wie
Geschwindigkeit, Masse, Beschleunigung usw.? (Soweit es sich hierbei um
Vektoren handelt, meine ich deren Beträge.)
Gibt es außer der Analysis für reelle Zahlen auch Analysen für Größen,
Vektoren, Tensoren usw.?
Ist z.B. eine Dimensionsanalyse überhaupt mathematisch korrekt?
Grüße, Helmut
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb im Newsbeitrag
news:a6576$4ca6e570$5472d39f$26...@news.chello.at...
Christopher Creutzig
> Ich verstehe ja noch, warum der Autor nicht einfach "maximale Fläche"
> schreibt, obwohl sicher jeder verstehen würde, was gemeint ist. Aber was,
> bitte schön, ist der Unterschied zwischen "Flächeninhalt" und "Maßzahl des
> Flächeninhalts"? Der Flächeninhalt ist doch schon eine Zahl. Ist das
> wirklich nötig, oder dient das nur zur Verwirrung der Schüler/innen?
Ich sehe keine wirkliche Notwendigkeit. Vielleicht wollte der Autor
sich vor Leuten retten, die den maximalen Flächeninhalt schlicht in der
(mathematisch ja durchaus korrekten Form) „maximaler Flächeninhalt des
Dreiecks USB“ angeben, ohne ihn auszurechnen. Wobei ich meine, dass das
ein wenig hilflos übertrieben wirkt – und bei der Formulierung von s
fehlt der Teil ja auch schon.
In meiner Schulzeit war der Flächeninhalt allerdings keine Zahl,
sondern eine einheitenbehaftete Größe. An der Uni habe ich diese
komische nicht genauer spezifizierte Flächeneinheit glücklicherweise nie
wieder gesehen.
--
Wir sollten nie vergessen, dass wir Menschen nur Werkzeuge für die
Software sind, damit sich diese verbreiten kann. (Thomas Steffen)
Ronald Benedik
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb im Newsbeitrag
news:a6576$4ca6e570$5472d39f$26...@news.chello.at...
> Hallo!
> Ich verstehe ja noch, warum der Autor nicht einfach "maximale Fläche"
> schreibt, obwohl sicher jeder verstehen würde, was gemeint ist. Aber was,
> bitte schön, ist der Unterschied zwischen "Flächeninhalt" und "Maßzahl des
> Flächeninhalts"?
Vielleicht liegt es daran, dass der Flächeninhalt durch ein Maß
(siehe Elstrodt, Maßtheorie) bestimmt wird. Außerdem ist der Begriff
Maßzahl auch in der Physik von Nutzen wenn es um physikalische
Größen und Einheiten geht, die sich nicht durch den Erfahrungsschatz
von Schülern erfassen lassen.
Christopher Creutzig
> Gibt es außer der Analysis für reelle Zahlen auch Analysen für Größen,
> Vektoren, Tensoren usw.?
> Ist z.B. eine Dimensionsanalyse überhaupt mathematisch korrekt?
Warum nicht? Wenn man sich auf Grundeinheiten beschränkt, handelt es
sich doch schlicht um eine Rechnung in einer endlich erzeugten R-Algebra
(bei dem der Physiker und Ingenieur idR nur Werte erwartet, die in nur
einer Komponente von 0 verschieden sind).
Diese Sichtweise erlaubt so ganz direkt keine logarithmischen und
exponentiellen Einheiten, ich sehe aber ganz naiv und spontan betrachtet
keine größeren Probleme damit, sie passend zu erweitern. Ob man dabei
die Algebra-Sicht aufgeben und das Ganze als unendlichdimensionalen
R-Modul ansehen muss, darüber müsste ich etwas nachdenken. Ist eine
Einheit wie A*dB physikalisch sinnvoll?
--
Man kann auf seinem Standpunkt stehen, aber man sollte nicht darauf
sitzen. (Erich Kästner)
Klaus Loeffler
Einerseits ist das einheitenlose Rechnen in der Schulmathematik durchaus
verbreitet, wobei unausgesprochen z.B. eine Längeneinheit (im Heft
meistens 1 cm, an der Tafel oft 1 dm) angenommen ist und in der Lösung
dann eben als Einheit LE (bzw. bei Flächen und Volumina FE bzw. VE)
angegeben wird.
Andererseits ist es nicht nur bei Aufgaben mit unterschiedlichen Längen-
(Flächen-, Volumen-)einheiten, sondern auch bei Verwendung von
Geschwindigkeiten, Dichten etc. hilfreich, zur Kontrolle die Einheiten
mitzuführen. Und um der Einheitlichkeit willen wird dann halt auch bei
Aufgaben des von dir genannten Typs der Flächeninhalt korrekt mit
Einheit (z.B. FE) angegeben.
Hier schafft die Aufforderung nach Angabe der Maßzahl Klarheit und
Vereinfachung. Ob das wirklich nötig ist, mag man unterschiedlich
beurteilen, aber es dient sicher nicht zur Verwirrung.
Klaus-R.
Jens Schweikhardt
in <a6576$4ca6e570$5472d39f$26...@news.chello.at>:
# Hallo!
#
# Deutsche Schulbuchautoren legen anscheinend besonderen Wert auf exakte,
# sprich umständliche Ausdrucksweise. Ich zitiere aus einer Extremwertaufgabe:
# "Bestimmen Sie den Parameter s für den Fall, dass das Dreieck USB maximalen
# Flächeninhalt besitzt. Geben Sie die Maßzahl dieses Flächeninhalts an."
#
# Ich verstehe ja noch, warum der Autor nicht einfach "maximale Fläche"
# schreibt, obwohl sicher jeder verstehen würde, was gemeint ist. Aber was,
# bitte schön, ist der Unterschied zwischen "Flächeninhalt" und "Maßzahl des
# Flächeninhalts"? Der Flächeninhalt ist doch schon eine Zahl.
Nein, der Flächeninhalt ist das Produkt aus dessen Maßzahl und des
Maßes, also der Flächeneinheit. "3m^2" bedeuten "Drei * ein
Quadratmeter". So ist es zumindest in der Physik; um Verwirrung zu
vermeiden, sollte es der Mathelehrer nicht anders sehen.
# Ist das
# wirklich nötig, oder dient das nur zur Verwirrung der Schüler/innen?
Es ist präzise ausgedrückt; das ist ja gerade eine gewünschte
Eigenschaft für mathematischen Kommunikation. Ich erinnere mich
an meine eigene Verwirrung in der Oberstufe beim Ausrechnen von
Flächeninhalten unter Kurven per Integration. Gesucht sei die Fläche
begrenzt durch die Kurve f(x)=x^2, die x-Achse und von x=0cm bis x=1cm.
Stammfunktion finden: F(x)=1/3*x^3, Grenzen einsetzen ergibt
1/3 * (1cm)^3 - 1/3 * (0cm)^3 = 1/3 cm^3
Nanu? Da kommt ja ein Volumen heraus statt einer Fläche...? Und was
passiert erst für wilde Funktionen wie sin oder log? Da stimmen die
Einheiten ja vorne und hinten nicht. Ist die Mathematik kaputt?
Mathelehrer: Latürnich bestimmt das Integral samt Einsetzen nur die
Maßzahl des Flächeninhalts, nicht den Flächeninhalt. Man sollte
auch nur die Maßzahl für x verwenden, nicht multipliziert mit der
Einheit. Große Erleuchtung meinerseits :-)
Durch Trennung von Maßzahl und Maß ist es egal, ob man die Aufgabe in
Einheiten von Quadratinch oder Scheunen[1] ausrechnet.
[1] http://de.wikipedia.org/wiki/Barn
Regards,
Jens
--
Jens Schweikhardt http://www.schweikhardt.net/
SIGSIG -- signature too long (core dumped)
franz lemmermeyer
> Nein, der Flächeninhalt ist das Produkt aus dessen Maßzahl und des
> Maßes, also der Flächeneinheit. "3m^2" bedeuten "Drei * ein
> Quadratmeter". So ist es zumindest in der Physik; um Verwirrung zu
> vermeiden, sollte es der Mathelehrer nicht anders sehen.
Tatsächlich ist das die Variante, die den Lehrern von den Didaktoren
vorgeschrieben wird: der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seiten 1m
und 2m
ist nicht etwa 1m * 2m = 2m^2, sondern 1*2 * die Maßzahl des
Flächeninhalts,
welche betragen soll Quadratmeter.
> # Ist das
> # wirklich nötig, oder dient das nur zur Verwirrung der Schüler/innen?
>
> Es ist präzise ausgedrückt; das ist ja gerade eine gewünschte
> Eigenschaft für mathematischen Kommunikation.
Es dient ausschließlich zur Verwirrung und wurde von Leuten in die
Welt gesetzt,
die meinen, ihr Unverständnis der Materie wäre grundlegend für die
Pädagogik.
> Ich erinnere mich
> an meine eigene Verwirrung in der Oberstufe beim Ausrechnen von
> Flächeninhalten unter Kurven per Integration. Gesucht sei die Fläche
> begrenzt durch die Kurve f(x)=x^2, die x-Achse und von x=0cm bis x=1cm.
> Stammfunktion finden: F(x)=1/3*x^3, Grenzen einsetzen ergibt
>
> 1/3 * (1cm)^3 - 1/3 * (0cm)^3 = 1/3 cm^3
>
> Nanu? Da kommt ja ein Volumen heraus statt einer Fläche...? Und was
> passiert erst für wilde Funktionen wie sin oder log? Da stimmen die
> Einheiten ja vorne und hinten nicht. Ist die Mathematik kaputt?
> Mathelehrer: Latürnich bestimmt das Integral samt Einsetzen nur die
> Maßzahl des Flächeninhalts, nicht den Flächeninhalt. Man sollte
> auch nur die Maßzahl für x verwenden, nicht multipliziert mit der
> Einheit. Große Erleuchtung meinerseits :-)
Das war keine Erleuchtung, und dein Mathelehrer hat nicht verstanden,
was das
Integral mit einer Riemannsumme zu tun hat. Damit kommt nämlich nicht
nur der
Flächeninhalt richtig raus, sondern auch Sachen wie Weg,
Geschwindigkeit, u.v.A.
mehr: Wenn f(t) den Schadstoffausstoss in kg/sec zum Zeitpunkt t
angibt, dann hat
\int_a^b f(t) dt, also der gesamte Schadstoffausstoss in einem
Zeitintervall [a,b], die
Einheit [f][t] = kg/sec * sec = kg.
franz
WM
wrote:
> On 2 Okt., 12:54, Jens Schweikhardt <use...@schweikhardt.net> wrote:
>
> > Nein, der Flächeninhalt ist das Produkt aus dessen Maßzahl und des
> > Maßes, also der Flächeneinheit. "3m^2" bedeuten "Drei * ein
> > Quadratmeter". So ist es zumindest in der Physik; um Verwirrung zu
> > vermeiden, sollte es der Mathelehrer nicht anders sehen.
Genau. So etwas zu wissen wäre wichtiger, als von alephs zu
phantasieren.
>
> Tatsächlich ist das die Variante, die den Lehrern von den Didaktoren
> vorgeschrieben wird: der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seiten 1m
> und 2m
> ist nicht etwa 1m * 2m = 2m^2, sondern 1*2 * die Maßzahl des
> Flächeninhalts,
> welche betragen soll Quadratmeter.
Nein. Quadratmeter ist die Einheit. Die Maßzahl ist hier 2.
Und es gibt gute Gründen dafür, das Fehlen eines der beiden Faktoren
als einen Fehler zu bewerten und mit Punktabzug zu sanktionieren. Und
das Nichtkennen solch elementarer Zusammenhänge erst recht.
Gruß, WM
Oliver Jennrich
<Zynismus>
Das ist elaborierter Sprachcode. Eine Aufgabe "Welchen Wert muss s
haben, damit das Dreieck USB eine möglichst große Fläche hat und wie
groß ist diese Fläche?" versteht jeder, und das kann und darf nicht
sein. Erstens fiele dann auf, dass Mathematik erstens einfach ist und
zweitens Spass macht und zweitens wollen wir doch nicht dass die ganzen
Arbeiterkinder mit ihrem restringierten Code erfolgreich sind oder?
</Zynismus>
Der ganz normale Wahnsinn, der auch zur Verwendung von 'beinhalten'
statt 'enthalten' führt. Exakter ist die Aufgabe dadurch übrigens nicht,
nur verquaster.
--
Space - The final frontier
Gernhold Hoff
> franz lemmermeyer schrieb:
>> Tatsächlich ist das die Variante, die den Lehrern von den Didaktoren
>> vorgeschrieben wird: der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seiten 1m
>> und 2m
>> ist nicht etwa 1m * 2m = 2m^2, sondern 1*2 * die Maßzahl des
>> Flächeninhalts,
>> welche betragen soll Quadratmeter.
> Nein. Quadratmeter ist die Einheit. Die Maßzahl ist hier 2.
Checkst denn du schwer geisteskrankes Kack-Viech wirklich gar nix?
Das steht doch da oben! Das steht MAL DIE MASSZAHL, du scheiss Kretin:
"1*2 * die Maßzahl.
1 m * 2 m = 1 * 2 * m * m = 2 * m*m = 2 * m^2
Pfui Teufel, häng dich endlich mal auf, du "Professor".
WM
> "Jutta Gut" <gut.jutta.gerh...@chello.at> writes:
> > Hallo!
>
> > Deutsche Schulbuchautoren legen anscheinend besonderen Wert auf
> > exakte, sprich umständliche Ausdrucksweise. Ich zitiere aus einer
> > Extremwertaufgabe: "Bestimmen Sie den Parameter s für den Fall, dass
> > das Dreieck USB maximalen Flächeninhalt besitzt. Geben Sie die Maßzahl
> > dieses Flächeninhalts an."
>
> > Ich verstehe ja noch, warum der Autor nicht einfach "maximale Fläche"
> > schreibt, obwohl sicher jeder verstehen würde, was gemeint ist. Aber
> > was, bitte schön, ist der Unterschied zwischen "Flächeninhalt" und
> > "Maßzahl des Flächeninhalts"? Der Flächeninhalt ist doch schon eine
> > Zahl. Ist das wirklich nötig, oder dient das nur zur Verwirrung der
> > Schüler/innen?
> Der ganz normale Wahnsinn, der auch zur Verwendung von 'beinhalten'
> statt 'enthalten' führt. Exakter ist die Aufgabe dadurch übrigens nicht,
> nur verquaster.
Ob Dein Grundstück 300 m^2 oder 300 ha umfasst, spielt keine Rolle?
Hauptsache 300!
Gruß, WM
Karlheinz
> Ob Dein Grundstück 300 m^2 oder 300 ha umfasst, spielt keine Rolle?
Mathematisch nicht, nein.
> Hauptsache 300!
Richtig. Z.B. ist die mathematische Hälfte immer die Hälfte, egal wovon.
Karlheinz
>> Tatsächlich ist das die Variante, die den Lehrern von den Didaktoren
>> vorgeschrieben wird: der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seiten 1m
>> und 2m
>> ist nicht etwa 1m * 2m = 2m^2, sondern 1*2 * die Maßzahl des
>> Flächeninhalts,
>> welche betragen soll Quadratmeter.
>
> Nein. Quadratmeter ist die Einheit. Die Maßzahl ist hier 2.
Und ist auch das folgende lösbar oder geht das nicht?
Bestimme das Volumenelement in Quadratfuss = 2 m * 5 pi ha/inch
Michael Klemm
> On 10/2/10 11:26 AM, Helmut Büch wrote:
>
>> Gibt es außer der Analysis für reelle Zahlen auch Analysen für Größen,
>> Vektoren, Tensoren usw.?
>> Ist z.B. eine Dimensionsanalyse überhaupt mathematisch korrekt?
>
> Warum nicht? Wenn man sich auf Grundeinheiten beschränkt, handelt es
> sich doch schlicht um eine Rechnung in einer endlich erzeugten R-Algebra
> (bei dem der Physiker und Ingenieur idR nur Werte erwartet, die in nur
> einer Komponente von 0 verschieden sind).
Den Quotientenkörper von |R[m, sec, ...]?
Gruß
Michael
Michael Klemm
Also |R(m, sec, ...)
Gruß
Michael
Bastian Erdnuess
> Ich erinnere mich
> an meine eigene Verwirrung in der Oberstufe beim Ausrechnen von
> Flächeninhalten unter Kurven per Integration. Gesucht sei die Fläche
> begrenzt durch die Kurve f(x)=x^2, die x-Achse und von x=0cm bis x=1cm.
> Stammfunktion finden: F(x)=1/3*x^3, Grenzen einsetzen ergibt
>
> 1/3 * (1cm)^3 - 1/3 * (0cm)^3 = 1/3 cm^3
>
> Nanu? Da kommt ja ein Volumen heraus statt einer Fläche...?
Naja, das passiert nunmal, wenn man eine Fläche nach einer Länge
integriert.
Wenn x die Einheit cm hat, hat f(x) offenbar die Einheit cm^2. Du hast
oben quasi ausgerechnet, dass eine Pyramide mit 1cm Höhe und einer
Grundfläche von 1cm^2 ein Volumen von 1/3 cm^3 hat, was ja auch stimmt.
Wenn du wirklich wolltest, dass z. B. f(1cm) = 1cm und f(0.5cm) = 0.25cm
sind, dann wäre die Funktionsvorschrift eher z. B. f(x) = x^2/(1cm).
Das Funktioniert dann auch mit Skalierungen: f(1cm) = f(0.01m) =
(0.01m)^2/(1cm) = (0.0001m^2)/(0.01m) = 0.0001/0.01 m = 0.01m = 1cm.
Würdest du die Funktion oben dagegen so wie du das vorgeschlagen hast
einfach von 0m bis 0.01m integrieren, dann die Einheit m^2 anhängen, und
in cm^2 zurückumwandeln bekämst du dagegen 1/3*0.000001 m^2 =
1/3*0.01 cm^2 =/= 1/3 cm^2, was irgendwie nich so toll is.
Christopher Creutzig
Irgendwie schon, klar. Nur, wie gesagt, will man meistens m+s und
Ähnliches nicht haben, so dass der tatsächlich genutzte Bereich nur eine
Teilmenge von R[m, 1/m, s, 1/s, ...] ist, nicht der ganze Körper.
--
Wer sich im Netz einen Namen machen möchte, der sollte erstmal einen
benutzen. (Mario Link in de.org.ccc)
Schlaubi
> Eine Aufgabe, die nur die Berechnung einer Maßzahl verlangt, von der
> Einheit aber absieht, ist m.E. falsch gestellt und führt so tatsächlich
> zur Verwirrung der Schüler.
>
Keinesfalls. Wie würden Sie denn Schülern die Winkelfunktionen erklären?
Diese "Änlichkeitsoperationen" sind ein erster Fall, bei dem der Schüler
abstrakt kennenlernt, dass die Mathematik nicht an Koordinaten gebunden ist.
Dies wird später interesannter, man denke an Vektoren oder Vektoranalysis.
Man braucht für Mathematik keine Meter oder Zentimeter, dies wird erst im
Anwendungsfalle wichtig. Natürlich muss man fordern, dass gerade auch diese
Anwendbarkeit vermittelt wird.
>> Deutsche Schulbuchautoren legen anscheinend besonderen Wert auf exakte,
>> sprich umständliche Ausdrucksweise. Ich zitiere aus einer
>> Extremwertaufgabe: "Bestimmen Sie den Parameter s für den Fall, dass das
>> Dreieck USB maximalen Flächeninhalt besitzt. Geben Sie die Maßzahl dieses
>> Flächeninhalts an."
>>
Wenn dem Schüler klar gemacht wird, dass Mathematik koordinatenlos leben
kann, ist viel erreicht. Das ist natürlich eine Herausforderung.
Vogel
> Hallo!
>
> Deutsche Schulbuchautoren legen anscheinend besonderen Wert auf
> exakte, sprich umständliche Ausdrucksweise. Ich zitiere aus einer
> Extremwertaufgabe: "Bestimmen Sie den Parameter s für den Fall, dass
> das Dreieck USB maximalen Flächeninhalt besitzt. Geben Sie die Maßzahl
> dieses Flächeninhalts an."
>
Flächeninhalt eines Dreiecks = Höhe*Basis/2
>
Maßzahl des Flächeninhalts z.Bsp. 5m^2.
>
Man wollte damit wohl sagen, dass auch eine numerische Berechnung des
Flächeninhalts zu machen ist, nicht nur die Formel hinschreiben.
>
So verstehe ich das.
>
Ulrich D i e z
> Ich zitiere aus einer Extremwertaufgabe:
> "Bestimmen Sie den Parameter s für den Fall, dass das Dreieck USB maximalen
> Flächeninhalt besitzt. Geben Sie die Maßzahl dieses Flächeninhalts an."
[...]
> Der Flächeninhalt ist doch schon eine Zahl.
Stellen "Flächeninhalte" also eine Teilmenge der Menge
der Zahlen dar?
"Flächeninhalt" ist ein Merkmal. Und zwar eins, das in die
Kategorie "Größe" fällt. "Größen" wiederum unterscheidet
man erstmal nach "Größenart".
Auch bei Größen von gleicher Art kann man die Größenwerte
vergleichen, wobei
- bei dimensionslosen Größen die Größenwerte jeweils
nur aus einer Zahl bestehen (, die evtl mit einer Hilfsmaß-
einheit -- zB "Stück" oder "Personen" oder dergleichen --
multipliziert wird, um den Aspekt "Grössenart" nicht aus
dem Auge zu verlieren),
- bei anderen Größen jedoch die Größenwerte angegeben
werden, indem man eine wohldefinierte, feststehende
Vergleichsgröße gleicher Art als sog. "Maßeinheit"
festlegt und denjenigen Zahlenwert als sog. "Maßzahl"
ermittelt, welcher angibt, in welchem Verhältnis diejenige
Größe, deren Größenwert angegeben werden soll, und
die Vergleichsgröße zueinander stehen, und den
Größenwert als Produkt aus Maßzahl und Maßeinheit
darstellt.
Wenn die Maßeinheit vorgegeben ist, reicht es aus,
nur die Maßzahl zu verlangen, um sich den Größenwert
erschliessen zu können.
Ich empfinde als verwirrungstiftend den Umstand, dass
bezogen auf Merkmale abstrakter Gegenstände der
Erkenntnis von "besitzen" anstatt bspw von "aufweisen"
die Rede ist. (Wenn man etwas besitzt, hat man darüber
die Verfügungsgewalt. Inwiefern hat ein Dreieck die
Verfügungsgewalt über seinen Flächeninhalt?)
Ulrich
WM
> Hi,
>
> > Eine Aufgabe, die nur die Berechnung einer Maßzahl verlangt, von der
> > Einheit aber absieht, ist m.E. falsch gestellt und führt so tatsächlich
> > zur Verwirrung der Schüler.
>
> Keinesfalls. Wie würden Sie denn Schülern die Winkelfunktionen erklären?
Winkel sind ebenso wie Winkelfunktionen als Quotienten zweier Längen
nicht mit einer Einheit behaftet. Da ist überhaupt kein Problem.
> Diese "Änlichkeitsoperationen" sind ein erster Fall, bei dem der Schüler
> abstrakt kennenlernt, dass die Mathematik nicht an Koordinaten gebunden ist.
> Dies wird später interesannter, man denke an Vektoren oder Vektoranalysis.
> Man braucht für Mathematik keine Meter oder Zentimeter,
Das ist richtig. Vergleiche z.B. Mathematik für die ersten Semester
http://www.oldenbourg-wissenschaftsverlag.de/olb/de/1.c.1845646.de
> dies wird erst im
> Anwendungsfalle wichtig. Natürlich muss man fordern, dass gerade auch diese
> Anwendbarkeit vermittelt wird.
Jedenfalls sollte jeder Mathematiker den Unterschied zwischen Maßzahl
und Maßeinheit kennen und beides korrekt anwenden können. In neuerer
Zeit muss man wohl sagen "sogar jeder Mathematiker".
Gruß, WM
WM
> Ich empfinde als verwirrungstiftend den Umstand, dass
> bezogen auf Merkmale abstrakter Gegenstände der
> Erkenntnis von "besitzen" anstatt bspw von "aufweisen"
> die Rede ist. (Wenn man etwas besitzt, hat man darüber
> die Verfügungsgewalt. Inwiefern hat ein Dreieck die
> Verfügungsgewalt über seinen Flächeninhalt?)
Wenn man etwas besitzt, so sitzt man darauf. Verfügungsgewalt hat der,
der darüber verfügt. Wenn man etwas aufweist, so zeigt oder weist man
darauf, wenn man etwas enthält ..., na das hat mit dem Halten der
Hände zu tun. Unsere Sprache ist aus dem begreiflichen "Begreifen" und
dem beschaulichen "Beschauen" entstanden. Die Wandlung zur abstrakten
Bedeutung kam nach und nach. Falls Du es für nötig hältst (sic),
kannst Du ja einen Index "abstrakt" anhängen oder so wie es manche
Philosophen tun, die Bedeutungen indizieren. Für die Umgangssprache
(sic) wäre das aber wohl übertrieben.
Gruß, WM
Jutta Gut
"Schlaubi" <k.her...@entwicklung.it> schrieb
>
>> Eine Aufgabe, die nur die Berechnung einer Maßzahl verlangt, von der
>> Einheit aber absieht, ist m.E. falsch gestellt und führt so tatsächlich
>> zur Verwirrung der Schüler.
>>
> Keinesfalls. Wie würden Sie denn Schülern die Winkelfunktionen erklären?
Da sollte man schon dazusagen, dass sin, cos und tan dimensionslose Größen
sind.
> Diese "Änlichkeitsoperationen" sind ein erster Fall, bei dem der Schüler
> abstrakt kennenlernt, dass die Mathematik nicht an Koordinaten gebunden
> ist. Dies wird später interesannter, man denke an Vektoren oder
> Vektoranalysis. Man braucht für Mathematik keine Meter oder Zentimeter,
> dies wird erst im Anwendungsfalle wichtig. Natürlich muss man fordern,
> dass gerade auch diese Anwendbarkeit vermittelt wird.
Ich finde, auch in der reinen Mathematik sollte man klarmachen, dass der
Betrag eines Vektors - also eine Länge - , eine Fläche oder ein Volumen
verschiedene Arten von Größen sind. Ich finde es auch ncith schlecht, wenn
man "Flächeneinheiten" oder "Volumseinheiten" dazuschreibt - nur zur
Erinnerung.
Danke, mir ist durch diese Diskussion einiges klarer geworden.
Grüße
Jutta
Helmut Büch
Differenziations- und Integrationsregeln für relle Zahlen anwenden, nur sind
die Einheiten eben keine reellen Zahlen. Die Festlegung einer Algebra klärt
nicht ihre Natur.
Es ist für Phsiker und Ingenieure vielleich sogar wünschenswert, für Größen
eine eigene Analysis zu haben; denn Zeit und Raum sind Kontinua, ohne dass
es dafür einer mathematischen Hilfe à la Dedekind bedarf und man könnte
ds/dt, dv/dt usw. problemlos bilden.
Grüße, Helmut
"Christopher Creutzig" <chris...@creutzig.de> schrieb im Newsbeitrag
news:4ca70ce5$0$6880$9b4e...@newsspool2.arcor-online.net...
Ulrich Lange
Mathematische Formalisierungen der Dimensionsanalyse führen
üblicherweise ziemlich schnell in die Lie-Gruppentheorie.
Die Grundidee der Dimensionsanalyse ist ja, daß die physikalischen
Gesetze dimensionshomogen sein müssen und nicht von der Wahl der
Einheiten abhängen dürfen. Das ist eine Symmetrieeigenschaft.
--
Gruß, Ulrich Lange
(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)
Michael Klemm
>> Den Quotientenkörper von |R[m, sec, ...]?
>
> Mathematische Formalisierungen der Dimensionsanalyse führen
> üblicherweise ziemlich schnell in die Lie-Gruppentheorie.
>
> Die Grundidee der Dimensionsanalyse ist ja, daß die physikalischen
> Gesetze dimensionshomogen sein müssen und nicht von der Wahl der
> Einheiten abhängen dürfen. Das ist eine Symmetrieeigenschaft.
>
Naja, für den Alltag sind, wie Franz Lemmermeyer bemerkte,
Rechnungen wie 50 km/h = 50000 m / 3600 sec = 14 m/sec nützlich.
(Rund ist bei der zweiten "Gleichung" ausdrücklich gemeint,
damit WM mir keinen Fehler ankreidet.)
Da darf man also das Maß aufteilen und die Einzelmaße
mit den Maßzahlen vertauschen.
Gruß
Michael
Benno Hartwig
"Detlef Müller" <lef...@arcor.de> schrieb
> Ich kann mir vorstellen, daß es durchaus Sinn machen kann, sich da
> eine exakte Ausdrucksweise anzugewöhnen (ich ertappe mich aber auch
> oft dabei, da etwas zu schluren).
Kann ich mir auch vorstellen.
Aber war diese Ausdrucksweise mit der Maßzahl denn
exakt? War sie überhaupt korrekt?
Eine richtige Antwort des Schülers hätte dann doch sein
können: "Die Maßzahl ist 42. Aber ich verrate dir die
Einheit nicht!"
:-o
Natürlich versteht man, was gemeint ist.
Diese hilft aber keineswegs bei der Schaffung von Exaktheit.
Dafür hätte die Aufgabe auch die Flächeneinheit vorgeben
müssen oder fordern müssen "Gib Maßzahl und Einheit an".
"Gib die Fläche an" wäre hingegen richtig und exakt gewesen.
Der Lehrer hätte dann nur verschiedene Flächeneinheiten
akzeptieren müssen. (Vielleicht kommt ja ein Schüler
mit Quadratzoll oder so)
Ich habe schon den Eindruck, da hat jemand
mit umständlicher Formulierung Wissenschaftlichkeit
vorgeben wollen und dabei gar nicht wirklich genau
verstanden, was er da eigentlich sagte.
Ärgerlich in einem Schulbuch!
Benno
Norbert Dragon
>> Den Quotientenkörper von |R[m, sec, ...]?
> Irgendwie schon, klar. Nur, wie gesagt, will man meistens m+s und
> Ähnliches nicht haben, so dass der tatsächlich genutzte Bereich nur eine
> Teilmenge von R[m, 1/m, s, 1/s, ...] ist, nicht der ganze Körper.
Relativistische Physik wird sehr einfach, wenn man Größen wie m+s und
m-s betrachtet.
Läßt man Lichtlaufzeiten als Entfernungsmaß zu und identifiziert man
1 Sekunde = 299 792 458 Meter,
so hat die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum den dimensionslosen Wert
c = 299 792 458 Meter/Sekunde = 1.
In Größen wie m+s und m-s vereinfachen sich mathematisch-physikalische
Zusammenhänge, zum Beispiel wirken auf die Koordinaten
t_+ = t + x
t_- = t - x
für das Ereignis E zur Zeit t am Ort x einer 1 + 1 dimensionalen
Raumzeit Lorentztransformationen L_kappa, kappa =/= 0 aus R,
L_kappa : R^2 --> R^2
einfach als zwei eindimensionale, lineare Transformationen
t_- |--> kappa * t_-
t_+ |--> 1/kappa * t_+
Daß diese einfache Struktur sichtbar wird, rechtfertigt, daß man
scheinbar Äpfel und Birnen addiert.
Physikalisch sind die Zeiten t_- und t_+ die Zeiten, die von der
Uhr des Beobachters angezeigt werden, wenn Licht von ihm zum Ereignis E
ausläuft und wenn Licht von E bei ihm eintrifft.
Mathematisch definiert die Identifikation von Sekunden und Meter
ein Ideal in der Algebra, nicht anders als die Identifikation von
1 Fuß = 1,646 10^(-4) nautische Meilen
die Höhen- und Entfernungseinheiten der Luftfahrt identifiziert,
so daß Steigungen von Flugbahnen dimensionslos sind.
http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/relativ.pdf
--
Aberglaube bringt Unglück
Benno Hartwig
"Klaus Loeffler" <mathe...@web.de> schrieb
> Einerseits ist das einheitenlose Rechnen in der Schulmathematik durchaus
> verbreitet, wobei unausgesprochen z.B. eine Längeneinheit (im Heft
> meistens 1 cm, an der Tafel oft 1 dm) angenommen ist
Angesichts der Beonachtung, dass Schüler immer wieder
mit den Einheiten herumschlusen, finde ich solch ein
'unausgesprochen Längeneinheiten annehmen, aber ohne
diese rechnen' gerade in der Schule einigermaßen
unangemessen. Dann erkennen wir ja einen Grund
für dieses jahrelange Herumschlusen.
> Hier schafft die Aufforderung nach Angabe der Maßzahl Klarheit und
> Vereinfachung.
Ohne Vorgabe einer Flächeneinheit (und sei dies auch nur LE^2 wenn
andere Längen in LE angegeben sind) schafft die Frage nach der
Maßzahl ganz sicher nicht Klarheit. "Maßzahl=42, aber die
Flächeneinheit verrate ich nicht" könnte eine korrekte
Schülerantwort sein.
Wenn schon gestelzt und bemüht exakt, dann muss nach einer
korrekten Kombination von Maßzahl und Flächeneinheit
gefragt werden, oder es muss die Flächeneinheit
vorgegeben werden.
Hingegen "Gib den Flächeninhalt an" halte ich auch für
korrekt und exakt, wobei die Lösung dann sein kann:
3 cm^2 oder 4 Quadratzoll oder 5 Ar
oder auch 6 moreotische Stremma.
Damit muss der Lehrer dann leben. Soll er doch!
(Dann gibt er das nächste mal die Flächeneinheit vor)
Benno
Ulrich Lange
> Ulrich Lange wrote:
>
>>> Den Quotientenkörper von |R[m, sec, ...]?
>> Mathematische Formalisierungen der Dimensionsanalyse führen
>> üblicherweise ziemlich schnell in die Lie-Gruppentheorie.
>>
>> Die Grundidee der Dimensionsanalyse ist ja, daß die physikalischen
>> Gesetze dimensionshomogen sein müssen und nicht von der Wahl der
>> Einheiten abhängen dürfen. Das ist eine Symmetrieeigenschaft.
>>
>
> Naja, für den Alltag sind, wie Franz Lemmermeyer bemerkte,
> Rechnungen wie 50 km/h = 50000 m / 3600 sec = 14 m/sec nützlich.
Das ist sicher für den Alltag nützlich, hat aber wenig bis gar nichts
mit dem zu tun, was man normalerweise unter "Dimensionsanalyse"
versteht : http://de.wikipedia.org/wiki/Dimensionsanalyse
Ich bin davon ausgegangen, daß es Dir und Christopher in diesem
Teilthread darum geht. Da haben wir wohl aneinander vorbei geredet.
> (Rund ist bei der zweiten "Gleichung" ausdrücklich gemeint,
> damit WM mir keinen Fehler ankreidet.)
> Da darf man also das Maß aufteilen und die Einzelmaße
> mit den Maßzahlen vertauschen.
Ulrich Lange
> On 10/2/10 11:26 AM, Helmut Büch wrote:
>
>> Gibt es außer der Analysis für reelle Zahlen auch Analysen für Größen,
>> Vektoren, Tensoren usw.?
>> Ist z.B. eine Dimensionsanalyse überhaupt mathematisch korrekt?
>
> Warum nicht? Wenn man sich auf Grundeinheiten beschränkt, handelt es
> sich doch schlicht um eine Rechnung in einer endlich erzeugten R-Algebra
> (bei dem der Physiker und Ingenieur idR nur Werte erwartet, die in nur
> einer Komponente von 0 verschieden sind).
>
> exponentiellen Einheiten, ich sehe aber ganz naiv und spontan betrachtet
> keine größeren Probleme damit, sie passend zu erweitern. Ob man dabei
> die Algebra-Sicht aufgeben und das Ganze als unendlichdimensionalen
> R-Modul ansehen muss, darüber müsste ich etwas nachdenken. Ist eine
> Einheit wie A*dB physikalisch sinnvoll?
Üblicherweise baut man die Dimensionsanalyse auf dem sogenannten
"Bridgman-Postulat" (*) auf. Eine Konsequenz aus dem Postulat ist, daß
es keine logarithmischen und exponentiellen Maßeinheiten gibt (Wikipedia
bezeichnet das Dezibel konsequenterweise auch als "Hilfsmaßeinheit").
(*) Eine Quelle für das Bridgman-Postulat ("Absolute Bedeutung relativer
Größen") ist z.B. das "Dimensionsanalyse"-Buch von Spurk. Im Netz habe
ich nur folgendes gefunden (Folie 15):
http://www1.fst.tu-darmstadt.de/fileadmin/Dateien/Downloads/FEM-I/fem1_folien.pdf
Christopher Creutzig
--
WYSIWYG gibt dir die Alternativen Augenkrebs bei der Arbeit
am Rechner oder Bauchweh beim Blick auf das Ergebnis.
(David Kastrup)
Klaus Loeffler
Das Thema reizt offenbar zu kontraproduktiven Vorschlägen wie etwa dem
"Verbesserungsvorschlag", statt nach dem Flächeninhalt (bzw. seiner
Maßzahl) die Frage nach der Fläche (bzw. maximalen Fläche) zu stellen.
Zum einen scheint mir dies Ausfluss einer zurecht gelegentlich
kritisierten Schlampigkeit, denn die Fläche hat viele Eigenschaften, zum
Beispiel Umfang und Durchmesser, so dass die Frage konkret nach dem
Inhalt zu stellen ist, wenn man denn auch den Inhalt meint. Aber die
sprachliche Verkommenheit ("Berechne den Punkte" anstatt "Berechne die
Koordinaten des Punktes", "c ist das Maximum der Funktion f" anstelle
von "Die Funktion f nimmt ein Maximum an der Stelle c an (und das
Maximum ist f(c))" von Teilen des Mathematikunterrichts ist ja hier
nicht das Thema.
Dagegen gibt es sehr wohl erkennbare Unterschiede zwischen
innermathematischen Aufgaben und Anwendungsaufgaben. Natürlich gehört zu
jeder Anwendungsaufgabe bei einheitenbehafteten Ergebnissen auch die
Angabe der Einheit im Resultat. Andererseits wird etwa beim Zeichnen
eines Funktionsgraphen oder einbeschriebener Funktionen im Regelfall
keine Einheit vorgegeben, sondern vom Schüler im Sinne einer
zweckmäßigen Darstellung gewählt. Wenn in einer solchen Aufgabe dann
z.B. nach dem Inhalt eines Dreiecks gefragt ist, der ja nicht von der
Einheit abhängen kann, die vorher zum Zeichnen gewählt wurde, ist
natürlich auch das Ergebnis einheitenlos bzw. hat die Einheit FE (oder
LE^2). Oder anders gesagt: Bei solchen Aufgaben, bei denen die
Flächeneinheit ja nach Betrachtungsweise als fest vereinbart oder
belanglos gelten kann, schafft die Aufforderung nach Angabe der Maßzahl
Klarheit.
Dass es verfehlt ist, beim Ergebnis einer Anwendungsaufgabe nur nach
der Maßzahl zu fragen, wird dagegen niemand bestreiten.
Klaus-R.
Benno Hartwig
"Klaus Loeffler" <mathe...@web.de> schrieb
> Dass es verfehlt ist, beim Ergebnis einer Anwendungsaufgabe nur nach
> der Maßzahl zu fragen, wird dagegen niemand bestreiten.
Als ich in deinem vorherigen Posting las, dass du meintest
"Hier schafft die Aufforderung nach Angabe der Maßzahl
Klarheit und Vereinfachung."
hatte ich befürchtet, dass du eine andere Ansicht hast.
Immerhin wurde hier ausdrücklich nur nach der Maßzahl gefragt
Entgegen der Meinung mancher anderer bin ich der Meinung,
das solche eine eindeutige Frage nach nur der Maßzahl
möglicherweise noch ausreichend verständlich ist (bei etwas
wohlwollendem Lesen), dass diese Formulierung aber nicht
zur Klarheit beiträgt und letztlich die Schüler lehrt,
sich fehlerhaft auszudrücken.
"Die Maßzahl ist 42, aber die Maßeinheit verrate ich nicht.
Es wurde ja nicht danach gefragt!"
Gerade in einem Mathebuch sollte tunlichst
sauber formuliert werden. Gestelzt und dabei trotzdem
unvollständig, wenn nicht gar fehlerhaft, finde ich
unbefriedigend. (angesichts der Gestelztheit eigentlich
schon irgendwie arrogant)
Benno
Rodrigo Esperanto
> Gerade in einem Mathebuch sollte tunlichst
> sauber formuliert werden. Gestelzt und dabei trotzdem
> unvollständig, wenn nicht gar fehlerhaft, finde ich
> unbefriedigend. (angesichts der Gestelztheit eigentlich
> schon irgendwie arrogant)
Darüber denke ich in letzter Zeit auch oft nach...
Und manchmal überkommt mich nun dabei sogar auch der Anflug
eines Impulses zum ernsten Überdenken, ob all das nicht
vielleicht in enger Relation zum Stellenwert der Auswahl
der optimal zu diesem Leben passenden Marke des als ein unser
Wachstum etablierender Verbraucher zu erwerbenden unumgänglichen
nächsten Duschgels steht. Es ist alles sehr ernst.
Benno Hartwig
"Rodrigo Esperanto" <bla...@mail.spam> schrieb
> Und manchmal überkommt mich nun dabei sogar auch der Anflug
> eines Impulses zum ernsten Überdenken...
Vergiss blos nicht, uns auf dem Laufenden zu halten,
was so beim zweiten und dritten Überdenken
herauskommt.
Benno
Christopher Creutzig
> Gerade in einem Mathebuch sollte tunlichst
> sauber formuliert werden. Gestelzt und dabei trotzdem
Ich glaube, die teilweise sehr übertriebenen (und trotzdem oft
misslingenden) Versuche, jede noch so böswillige Fehlinterpretation zu
vermeiden, ohne dabei aber gleich die Aufgabe in Formeln hinzuschreiben,
trägt nicht unerheblich dazu bei, dass viele Schüler (und in der Folge
ein nennenswerter Teil der Bevölkerung) Mathematik und Mathematiker für
völlig weltfremd halten. (Dass sie statistisch betrachtet in ein paar
wenigen Punkten damit nicht völlig unrecht haben, ist ein weiterer
Aspekt … ;-)) Aber das ist ein feiner Grat, und bei lesbaren, sauber
formulierten Texten anzukommen, bedingt m.E., den heutzutage in der
Mathematik üblichen strengen Umgang mit Definitionen verinnerlicht zu
haben – insbesondere auch auf Seiten der Leser.
> unbefriedigend. (angesichts der Gestelztheit eigentlich
> schon irgendwie arrogant)
Ack.
--
Manche Aussagen sind nur deshalb nicht falsch, weil sie den dazu
erforderlichen Präzisionsgrad nicht erreichen. (Lothar Schmidt)
Benno Hartwig
"Vogel" <vo...@hotmail.com> schrieb
> Flächeninhalt eines Dreiecks = Höhe*Basis/2
>>
> Maßzahl des Flächeninhalts z.Bsp. 5m^2.
Ja?
Ich hätte gedacht, dass 5 dann die Maßzahl ist
und m^2 die Fköcheneinheit.
Ich hielt die Fomulierung
"Der Flächeninhalt ist 5m^2"
immer für korrekt. Du nicht?
Darum hätte ich empfohlen, einfach nach
dem Flächeninhalt zu fragen, korrekt
und exakt.
Benno
Stephan Gerlach
> Ich erinnere mich
> an meine eigene Verwirrung in der Oberstufe beim Ausrechnen von
> Flächeninhalten unter Kurven per Integration. Gesucht sei die Fläche
> begrenzt durch die Kurve f(x)=x^2, die x-Achse und von x=0cm bis x=1cm.
Will man eine Fläche (kein Volumen) ausrechnen und setzt die Definition
des Integrals über den Limes um, so gilt (zumindest grob) Folgendes:
Gesuchte_Fläche
= lim_{n->oo} Summe(k=0 bis n) [(1cm-0cm)/n * (0+k/n)^2 cm]
= cm^2 * [lim_{n->oo} Summe(k=0 bis n) [(1-0)/n * (0+k/n)^2]]
= cm^2 * [Integral(x=0 bis 1) x^2 dx]
Allgemeiner:
Fläche_unter_Funktion_f_im_Intervall_[a,b]
= lim_{n->oo} Summe(k=0 bis n) [(b*cm-a*cm)/n * f(a+k/n) cm]
= cm^2 * [lim_{n->oo} Summe(k=0 bis n) [(b-a)/n * f(a+k/n)^2]]
= cm^2 * [Integral(x=a bis b) f(x) dx]
Im Klartext: Die cm^2 wird als Konstante vor den Limes - und damit das
Integral - gezogen und hat z.B. mit der Berechung der Stammfunktion nix
zu tun.
> Stammfunktion finden: F(x)=1/3*x^3, Grenzen einsetzen ergibt
>
> 1/3 * (1cm)^3 - 1/3 * (0cm)^3 = 1/3 cm^3
Die Grenzen sind "beim Einsetzen" dimensionslos. Der Fehler dürfte sein,
aus der Angabe "von x=0cm bis x=1cm" schließen zu wollen, man müsse die
cm am Ende mit in die Stammfunktion einsetzen.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Benno Hartwig
"Jens Schweikhardt" <use...@schweikhardt.net> schrieb
>... Ich erinnere mich
> an meine eigene Verwirrung in der Oberstufe beim Ausrechnen von
> Flächeninhalten unter Kurven per Integration. Gesucht sei die Fläche
> begrenzt durch die Kurve f(x)=x^2, die x-Achse und von x=0cm bis x=1cm.
War diese Aufgabe wirklich genau so formuliert gewesen?
Und war der Lehrer der Meinung, er hätte sie wirklich korrekt
formuliert? Ich befürchte, er müsste sich auf diskussionen
einlassen.
Man kan nach Integralen fragen. Aber ob die
Interpretation dieses Integrals sinnvollerweise
als 'Fläche' zu bezeichnen ist, sollte doch sehr
von der Funktion, oder besser von ihren Definitions-
und Wertebereichen abhängen.
Dein Lehrer hat hier meiner Meinung noch noch
unkorrekter (und nicht annähernd exakt) formuliert
als jener Schulbuchschreiber, der nach der
Maßzahl forschte, ohne sich für die Einheit zu
interessieren.
Benno
Karlheinz
> Aber ob die Interpretation dieses Integrals sinnvollerweise
> als 'Fläche' zu bezeichnen ist
Doch, doch... gleich alle daran gewöhnen, dass Volumenelemente
und deren Integrale in beliebigen Dimensionen
Hyperfläche
heissen. Versuch dir das endlich mal für den Rest der Zeit einzuprägen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperfläche
http://en.wikipedia.org/wiki/Hypersurface
In der Mathematik bezeichnet man geometrische Objekte der Kodimension
1 als Hyperflächen. Die namengebenden Spezialfälle sind alle gebogenen
oder ebenen Flächen im dreidimensionalen Raum und Hyperebenen, also
n-dimensionale Ebenen in einem (n + 1)-dimensionalen affinen Raum.
Auch Kurven in einer Ebene sind formal Hyperflächen.
Benno Hartwig
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb
> ...Aber was, bitte schön, ist der Unterschied zwischen "Flächeninhalt" und "Maßzahl des Flächeninhalts"?
Wikipedia sagt unter 'Physikalische Größe' dazu:
"Es ist zweckmäßig, das Verhältnis eines Größenwerts
zu dem Wert einer gleichartigen, feststehenden und
wohldefinierten Vergleichsgröße zu ermitteln. Den
Vergleichsgrößenwert bezeichnet man als Maßeinheit
oder kurz Einheit, das gemessene Verhältnis als
Maßzahl oder schlicht Zahlenwert."
Eine exakte Definition des Begriffs 'Maßzahl' aus der
Mathematik kenne ich nicht, denke aber dass der hier
genauso benutzt werden sollte und wohl auch wird.
(Man möge mich gern mit Quellenangabe korrigieren.)
Bei dem Flächeninhalt '3 m^2'
haben wir also die Maßzahl '3' bei der Einheit 'm^2'
Genauso korrekt wäre für diesen Flächeninhalt
auch die Maßzahl 300 bei der Einheit dm^2.
Oder auch Maßzahl 30 mit Einheit Jutta, wenn zuvor
die Flächeneinheit Jutta definiert worden wäre mit
1 Jutta = 10 dm^2. :-) (nun bist du unsterblich)
Und es ist zu befüchten, dass jener Aufgabensteller
gar nicht so zufieden geschaut hätte, wenn ihm jemand
dann nur eine korrekte Maßzahl genannt hätte, z.B. 42.
(dazu würde dann eine Flächeneinheit FE gehören,
die genau 3/42 m^2 groß ist.)
Mich ärgern solche Aufgabensteller, die durch
gestelzte Formulierungen besondere Kompetenz
und Exaktheit zeigen möchten, diese sogar
einfordern, die aber einfach falsch formulieren
und so eine befriedigende Lösung nur ermöglichen, wenn
der Prüfling die konkret gestellte Aufgabe _nicht_ beantwortet
und stattdessen überlegt, was wohl eigentlich gemeint
gewesen war.
Mich ärgerte sowas immer wieder mal! Schon in der Schule.
Und man soll sicher nicht hinter jeder gestelzten
Formulierung eine besondere Exaktheit vermuten. Sicher nicht!
Benno
Benno Hartwig
"Karlheinz" <k...@sofort-spam.de> schrieb
> Versuch dir das endlich mal für den Rest der Zeit einzuprägen.
Legitimiere Imperativ! :-)
Benno
Karlheinz
>> Versuch dir das endlich mal für den Rest der Zeit einzuprägen.
>
> Legitimiere Imperativ! :-)
Ich ziehe alles zurück.
Klaus Loeffler
> "Benno Hartwig" <benno....@gmx.de> schrieb
>
> > Mich ärgern solche Aufgabensteller, die durch
> > gestelzte Formulierungen besondere Kompetenz
> > und Exaktheit zeigen möchten, diese sogar
> > einfordern, die aber einfach falsch formulieren
> > und so eine befriedigende Lösung nur ermöglichen, wenn
> > der Prüfling die konkret gestellte Aufgabe _nicht_ beantwortet
> > und stattdessen überlegt, was wohl eigentlich gemeint
> > gewesen war.
> > Mich ärgerte sowas immer wieder mal! Schon in der Schule.
> > Und man soll sicher nicht hinter jeder gestelzten
> > Formulierung eine besondere Exaktheit vermuten. Sicher nicht!
>
> Ganz meine Meinung :-)
>
> Das Beispiel fängt übrigens so an: "Zu jedem Parameter k ... ist eine
> Funktion f_k ... gegeben. Der Graph dieser Funktionenschar sei G_k."
> Abgesehen davon, dass G_k höchstens der Graph einer Funktion sein kann und
> nicht der ganzen Schar, weiß ich auch nicht, warum man dem Graphen einen
> eigenen Namen geben muss. "Der Graph von f" tut's meiner Meinung nach auch.
>
Langsam scheint es mir in Mäkelei auszuarten. Sicher kann man die - da
ohne Gefahr eines Missverständnisses verkürzte - Ausdrucksweise von "Für
jeden Scharparameter k sei G_k der Graph der Funktion f_k" kritisieren,
aber ob man dem Graphen zweckmäßigerweise einen eigenen Namen gibt,
hängt doch von der weiteren Verwendung ab. Anstatt "Skizziere die
Graphen von f_1, f_2 und f_4" ist schon "Skizziere G_1, G_2 und G_4"
kürzer. Und je nach weiteren Teilaufgaben mag die Abkürzung nützlich
sein.
Ich wäre glücklich, wenn im Urwald formulierungsmäßiger Unschärfen, z.B.
der ständigen sprachlichen Vermischung von algebraischen und
geometrischen Sachverhalten, die Hauptsünden den von dir kritisierten
Charakter hätten.
Klaus-R.
Benno Hartwig
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb
> "Zu jedem Parameter k ... ist eine Funktion f_k ... gegeben. Der Graph dieser Funktionenschar sei G_k."
Gemeint war da wohl:
"Zu jedem Parameter k ... ist eine Funktion f_k ... gegeben.
Zu der Funktion f_k gehöre jeweils der Graph G_k."
Ach so toll finde ich diese Fomulierung auch nicht.
Wie müsst mann es eigentlich so richtig exakt sagen?
So richtig exakt!! Und dabei nicht umständlicher als notwendig!
Benno
Stephan Gerlach
"Zu jedem Parameter k ... ist eine Funktion f_k ... mit zugehörigem
Graph G_k gegeben."
(?)
Christopher Creutzig
> "Zu jedem Parameter k ... ist eine Funktion f_k ... mit zugehörigem
> Graph G_k gegeben."
Und was war noch einmal der Unterschied zwischen einer Funktion und
ihrem Graphen?
--
Es ist nicht genug zu wissen, man muß auch anwenden;
es ist nicht genug zu wollen, man muß auch tun. (Goethe)
Klaus Loeffler
> On 10/11/10 4:59 PM, Stephan Gerlach wrote:
>
> > "Zu jedem Parameter k ... ist eine Funktion f_k ... mit zugehörigem
> > Graph G_k gegeben."
>
> Und was war noch einmal der Unterschied zwischen einer Funktion und
> ihrem Graphen?
In vielen Anwendungen braucht man das nicht zu unterscheiden. Aber
bestimmte Funktions-Eigenschaften wie beispielsweise Surjektivität,
haben nur Sinn, wenn über den Graphen (aus dem sich Argumentmenge und
Bild ergeben) hinaus auch eine Zielmenge vorgegeben wird.
Und selbst angesichts der Isomorphie des geometrischen Gebildes Graph
und des algebraischen Objekts Funktions sind auch in der Sprechweise
Unterschiede: Funktionen haben z.B. keine Schnittpunkte, Tangenten etc.
und Graphen keine Maxima usw.
Klaus-R.
Marc Olschok
> On 10/11/10 4:59 PM, Stephan Gerlach wrote:
>
> > "Zu jedem Parameter k ... ist eine Funktion f_k ... mit zugehörigem
> > Graph G_k gegeben."
>
> Und was war noch einmal der Unterschied zwischen einer Funktion und
> ihrem Graphen?
Der Graph einer Abbildung f: A --> B ist die
Abbildung (id,f): A --> A x B.
Weil diese Abbildung injektiv ist, wird sie meist mit ihrem Bild
identifiziert.
Es gibt auch noch den Kographen (id|f): A + B --> B von f,
dessen zugehörige Kernrelation ulkigerweise gerade vom Bild
des Graphen erzeugt wird. Das kommt im Schulunterricht etwas
früher dran als der Graph (vgl. die Pfeildiagramme zur Illustration
von Abbildungen).
--
Marc
Stephan Gerlach
> On 10/11/10 4:59 PM, Stephan Gerlach wrote:
>
>> "Zu jedem Parameter k ... ist eine Funktion f_k ... mit zugehörigem
>> Graph G_k gegeben."
>
> Und was war noch einmal der Unterschied zwischen einer Funktion und
> ihrem Graphen?
Eine Funktion ist einfach nur eine Abbildung
f: X -> Y,
die jedem Element aus X ein Element aus Y zuordnet.
Der Graph von f ist dann die Menge
{(x,y) e X×Y | y=f(x)}.
Der Graph einer Funktion f ist also eine Teilmenge des kartesischen
Produktes von Urbildbereich X und Bildbereich Y.
Karlheinz
> Christopher Creutzig schrieb:
>> Stephan Gerlach wrote:
>>
>>> "Zu jedem Parameter k ... ist eine Funktion f_k ... mit zugehörigem
>>> Graph G_k gegeben."
>>
>> Und was war noch einmal der Unterschied zwischen einer Funktion und
>> ihrem Graphen?
>
> Eine Funktion ist einfach nur eine Abbildung
> f: X -> Y,
> die jedem Element aus X ein Element aus Y zuordnet.
>
> Der Graph von f ist dann die Menge
> {(x,y) e X×Y | y=f(x)}.
> Der Graph einer Funktion f ist also eine Teilmenge des kartesischen
> Produktes von Urbildbereich X und Bildbereich Y.
Traditionell verlangt man doch, von einem Graphen seiner Funktion
noch eine gewisse Kontinuität, gewöhnlich durch die Bedingung, dass er
in einem Zug gemalt werden kann, bzw. bis auf eine überschaubare Anzahl
von ausdrücklichen Ausnahmen (halbwegs stetig) zusammenhängt, oder?
Zufallsrauschen geht z.B. als Graph schlecht zu malen.
Marc Olschok
>[...]
soll natürlich (f|id) stehen.
> dessen zugehörige Kernrelation ulkigerweise gerade vom Bild
> des Graphen erzeugt wird.
--
Marc
Torn Rumero DeBrak
Die Möglichkeit oder Unmöglichkeit, einen Graphen zu malen, ist nicht
Bestandteil der Definition, ein Graph zu sein.
Karlheinz
>>>>> "Zu jedem Parameter k ... ist eine Funktion f_k ... mit zugeh�rigem
>>>>> Graph G_k gegeben."
>>>>
>>>> Und was war noch einmal der Unterschied zwischen einer Funktion und
>>>> ihrem Graphen?
>>>
>>> Eine Funktion ist einfach nur eine Abbildung
>>> f: X -> Y,
>>> die jedem Element aus X ein Element aus Y zuordnet.
>>>
>>> Der Graph von f ist dann die Menge
>>> {(x,y) e X�Y | y=f(x)}.
>>> Der Graph einer Funktion f ist also eine Teilmenge des kartesischen
>>> Produktes von Urbildbereich X und Bildbereich Y.
>>
>> Traditionell verlangt man doch, von einem Graphen seiner Funktion
>> noch eine gewisse Kontinuit�t, gew�hnlich durch die Bedingung, dass er
>> in einem Zug gemalt werden kann, bzw. bis auf eine �berschaubare Anzahl
>> von ausdr�cklichen Ausnahmen (halbwegs stetig) zusammenh�ngt, oder?
>> Zufallsrauschen geht z.B. als Graph schlecht zu malen.
>
> Die M�glichkeit oder Unm�glichkeit, einen Graphen zu malen,
> ist nicht Bestandteil der Definition, ein Graph zu sein.
Nein, und das habe ich auch nicht gesagt, sondern dass man
traditionell von einem Graphen seiner Funktion Kontinuit�t verlangt,
was gew�hnlich durch das altbekannte Malen / illustriert / wird.
> aber es ist eine passende Beschreibung f�r die Kontinuit�t,
> die Mathematiker einem Graphen zuordnen, Penrose:
Lies UND kommentiere gef�lligst alles, und im Zusammenhang, bevor
du d�mliche und sinnentstellende Trivia daherlaberst.
Penrose spricht (u.a.) beim Funktionsgraph von einer stetigen Abbildung:
"A cross section (or section) of a Bundle B is / continuous / image
of M in B which meets each individual fibre in a single point. This
/ generalizes / the ordinary idea of / the graph / of a function."
und Penrose reicht mir daf�r, wie richtige Mathematiker das sehen.
Im �brigen sind Funktionsgrahpen auch nicht bloss geordnete Paare,
sondern auch Tripel, usw.
Christopher Creutzig
> Christopher Creutzig schrieb:
>> Und was war noch einmal der Unterschied zwischen einer Funktion und
>> ihrem Graphen?
>
> Eine Funktion ist einfach nur eine Abbildung
> f: X -> Y,
> die jedem Element aus X ein Element aus Y zuordnet.
Also eine Teilmenge von X x Y, so dass (a, b) e f und (c, b) e f die
Gleichheit a = c impliziert. Oder wie definierst Du den Begriff �Abbildung�?
Klaus hat nat�rlich recht, eine Funktion ist vollst�ndig beschrieben
erst dann, wenn man zum Graphen noch die Bildmenge hat, und in
verschiedenen Fragestellungen betrachtet man Funktionen aus
verschiedenen Blickwinkeln, womit verschiedene Sichtweisen vorteilhaft
sind. Aber wenn ich die Frage nach der Surjektivit�t ausklammere, gibt
es m.E. eigentlich keinen Unterschied zwischen einer Funktion und einem
Graphen.
--
OjE ist das Usenet-�quivalent zu einem Auto, das keine Bremsen hat und
nur nach links steuern kann. Es ist sinnvoller, auf ein richtiges Auto
umzusteigen, anstatt eine Strecke zu suchen, die keine Hindernisse und
keine Rechtskurven hat. (Antonio Navarro Perez in z-netz.frd)
Christopher Creutzig
> Traditionell verlangt man doch, von einem Graphen seiner Funktion
> noch eine gewisse Kontinuit�t, gew�hnlich durch die Bedingung, dass er
Nein, stetige Funktionen sind ein Spezialfall. Und Funktionen k�nnen
auch Funktionen beispielsweise von der Menge {a, b, 5} in die Menge {ja,
nein} sein.
> Zufallsrauschen geht z.B. als Graph schlecht zu malen.
Richtig. Jedes konkrete Rauschen (technisch gesprochen: Jede
Realisierung einer zeitabh�ngigen kontinuierlichen[1] Zufallsvariable)
ist aber eine Funktion und hat einen Graphen. Malen nach Zahlen ist was
Anderes.
[1] Der Begriff �kontinuierliche Zufallsvariable� hat nichts mit
Stetigkeit zu tun, wie man vielleicht vermuten k�nnte.
--
Aus einem Waschlappen kann man schnell einen gerissenen Lumpen machen.
Karlheinz
> Nein, stetige Funktionen sind ein Spezialfall.
Und traditionelle Funktionsgraphen ebenfalls.
> Und Funktionen kļæ½nnen
> auch Funktionen beispielsweise von der Menge {a, b, 5} in die Menge
> {ja, nein} sein.
Ein traditioneller Funktionsgraph ist natļæ½rlich kein
Graph im Sinne der Graphentheorie.
> Jede Realisierung einer zeitabhļæ½ngigen kontinuierlichen[1] Zufallsvariable)
> ist aber eine Funktion und hat einen Graphen.
Penrose spricht (u.a.) beim Funktionsgraph von einer stetigen Abbildung:
"A cross section (or section) of a Bundle B is / continuous / image
of M in B which meets each individual fibre in a single point. This
/ generalizes / the ordinary idea of / the graph / of a function."
> [1] Der Begriff ļæ½kontinuierliche Zufallsvariableļæ½ hat nichts mit
> Stetigkeit zu tun, wie man vielleicht vermuten kļæ½nnte.
> Malen nach Zahlen ist was Anderes.
Das war natļæ½rlich nur die ļæ½bliche plakative Standardbeschreibung fļæ½r
"stetig" - ABER davon kommt traditionell der Begriff Graph einer Funktion.
Bitte Kommentier mal den Penrose oben.