Statische Überflutungsgefahr für Karlsruhe

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Joachim Zink

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Jun 2, 2022, 7:56:05 AMJun 2
to
Ausgangspunkt ist die Analyse von Wetterdaten.
Die Stadt Karlsruhe hat im Mittel 139 Regentage pro Jahr.
Vereinfacht angenommen, jeder Tag des Jahres habe die gleiche
Wahrscheinlichkeit p = 139/365 ein Regentag zu sein - wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass es an
fünf >> aufeinanderfolgenden << Tagen oder
noch mehr aufeinanderfolgenden Tagen regnet?

Würde die Frage einfach lauten:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es an fünf oder mehr Tagen
des Jahres in Karlsruhe regnet, wäre man mit der Binomialverteilung
rasch am Ziel.
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist praktisch 1, d.h. es
ist nahezu sicher, dass es in Karlsruhe an fünf oder mehr Tagen des
Jahres regnet.

Verzwickt wird es, wenn man die Eingangsfrage stellt:
Wie wahrscheinlich ist es, dass es an fünf >> aufeinanderfolgenden <<

Tagen regnet?

Wenn ich das mit 0 (kein Regentag) und 1 (Regentag) kodiere, kann ich
mir die möglichen Ereignisse (theoretisch) hinschreiben:

00000 ... bis zur 365. 0
11111 ... bis zur 365. 1

also insgesamt 2^365 Möglichkeiten.
Einen Verzweigungsbaum kann man in dieser
Tiefe nicht mehr hinmalen.

Eine Vereinfachung zeigt, dass man aufpassen muss, keine
Kombinationen zu übersehen, und dass es rasch sehr unübersichtlich und
komplex wird.
Angenommen, ich würfle 4 mal hintereinander und frage:
Wie wahrscheinlich ist es, dass in dieser 4-Serie zweimal (oder mehr mal)
>>hintereinander<< die Sechs fällt, dann gibt mir der Verzweigungsbaum, der
2^4 = 16 mögliche Ereignisse zeigt, die Antwort. Es gibt:

Zwei mal sechs: 0011, 0110, 1100 => p_2 = 3 * (5/6)^2 * (1/6)^2 = 0.05787037
Drei mal sechs: 0111, 1011, 1101, 1110 => p_3 = 4 * (5/6)^1 * (1/6)^3 = 0.0154321
Vier mal sechs: 1111 => p_4 = 1 * (1/6)^4 = 0.0007716049

Zusammen also:
p(X>=2) = p_2 + p_3 + p_4 = 0.07407407
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei viermaligem Würfeln mehrmals
intereinander eine Sechs gewürfelt wird, beträgt rund 7.4%.

Wie kann ich das Eingangsproblem, Wahrscheinlichkeit für 5
aufeinanderfolgernde Regentage oder mehr, am besten angehen?

Gibt es irgendeine, das Problem erleichternde kombinatorische
Konfiguration, die ich übersehe?

Danke und Grüße Joachim

Stefan Schmitz

unread,
Jun 2, 2022, 8:08:03 AMJun 2
to
Du kannst zu jedem einzelnen Tag leicht die Wahrscheinlichkeit
ausrechnen, dass es an diesem und den folgenden 4 Tagen regnet:
p1 = (139/365)^5

Damit bekommst du die Wahrscheinlichkeit, dass es im ganzen Jahr keinen
einzigen solchen Tag gibt: p2 = (1-p1)^365

Was du suchst, ist dann 1 - p2.

Joachim Zink

unread,
Jun 2, 2022, 11:47:04 AMJun 2
to
Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 2. Juni 2022 um 14:08:03 UTC+2:

> Du kannst zu jedem einzelnen Tag leicht die Wahrscheinlichkeit
> ausrechnen, dass es an diesem und den folgenden 4 Tagen regnet:
> p1 = (139/365)^5
>
> Damit bekommst du die Wahrscheinlichkeit, dass es im ganzen Jahr keinen
> einzigen solchen Tag gibt: p2 = (1-p1)^365
>
> Was du suchst, ist dann 1 - p2.

Mit dieser Vorgehensweise ergäbe sich

p1 = (139/365)^5
p2 = (1-p1)^365
p = 1 - p2 = 0.9468835

Also eine Wahrscheinlichkeit für Regen an fünf (oder mehr) aufeinander
folgenden Tagen in Karlruhe von rund 94.68%.

Mit p1 berechnest Du die Wahrscheinlichkeit, dass es in **einem bestimmten**
Intervallblock, z.B. vom 1. bis 5. Januar regnet.
Den Blockbeginn kann ich jetzt auf den 2. Januar, dann auf den 3. Januar
usw. verschieben.
Es gibt 361 weitere, solche möglichen Intervall-Blöcke.

Du rechnest
p2 = (1-p1)^365
Ab dem 361. Tag gibt es aber kein 5-er-Intervall mehr.

Wenn ich die Vorgehensweise auf das Würfelmodell übertrage, bekomme ich
nicht das korrekte Ergebnis, das ich aus dem Verzweigungsbaum entnehmen
kann.

Was verstehe ich falsch?

Stefan Schmitz

unread,
Jun 2, 2022, 2:17:11 PMJun 2
to
Am 02.06.2022 um 17:47 schrieb Joachim Zink:
> Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 2. Juni 2022 um 14:08:03 UTC+2:
>
>> Du kannst zu jedem einzelnen Tag leicht die Wahrscheinlichkeit
>> ausrechnen, dass es an diesem und den folgenden 4 Tagen regnet:
>> p1 = (139/365)^5
>>
>> Damit bekommst du die Wahrscheinlichkeit, dass es im ganzen Jahr keinen
>> einzigen solchen Tag gibt: p2 = (1-p1)^365
>>
>> Was du suchst, ist dann 1 - p2.
>
> Mit dieser Vorgehensweise ergäbe sich
>
> p1 = (139/365)^5
> p2 = (1-p1)^365
> p = 1 - p2 = 0.9468835
>
> Also eine Wahrscheinlichkeit für Regen an fünf (oder mehr) aufeinander
> folgenden Tagen in Karlruhe von rund 94.68%.
>
> Mit p1 berechnest Du die Wahrscheinlichkeit, dass es in **einem bestimmten**
> Intervallblock, z.B. vom 1. bis 5. Januar regnet.
> Den Blockbeginn kann ich jetzt auf den 2. Januar, dann auf den 3. Januar
> usw. verschieben.
> Es gibt 361 weitere, solche möglichen Intervall-Blöcke.
>
> Du rechnest
> p2 = (1-p1)^365
> Ab dem 361. Tag gibt es aber kein 5-er-Intervall mehr.

Wenn deine 5 aufeinanderfolgenden Regentage unbedingt im selben
Kalenderjahr liegen sollen, musst du 361 als Exponent nehmen. Aber
Überflutung ist sicher auch über den Jahreswechsel relevant.

> Wenn ich die Vorgehensweise auf das Würfelmodell übertrage, bekomme ich
> nicht das korrekte Ergebnis, das ich aus dem Verzweigungsbaum entnehmen
> kann.
>
> Was verstehe ich falsch?

Bei deinem Würfelmodell hast du zuviele Fälle gezählt.
1011 und 1101 sind nicht dreimal in Folge.

Martin Vaeth

unread,
Jun 2, 2022, 2:35:02 PMJun 2
to
Joachim Zink <zinkj...@googlemail.com> schrieb:
>
> Verzwickt wird es, wenn man die Eingangsfrage stellt:
> Wie wahrscheinlich ist es, dass es an fünf >> aufeinanderfolgenden <<
> Tagen regnet?

Diese kombinatorische Frage hatten wir hier vor ein paar Wochen/Monaten
(wieviele Zeichenketten der Länge n über dem Alphabet {0,1} gibt es,
bei denen mindestens k-mal die 1 hintereinander steht), und sie
wurde vom Fragesteller selbst mit einer ziemlich komplizierten
Rekursionsformel beantwortet. Eine bessere Antwort hatte niemand
angeboten. Google wird vermutlich helfen.

Eine Abschätzung nach oben, die bei k=5 und n=355 ziemlich gut ist,
findet man natürlich schnell: (n-k)2^(n-k) (wähle eine Anfangsstelle
für die k 1-en und fülle den Rest mit allen Möglichkeiten), aber die
Zahl der dabei mehrfach gezählten Kombinationen exakt anzugeben, bedarf
einer komplizierten Rekursion. Zumindest hatte niemand eine geschlossene
Formel gesehen.

Stefan Schmitz

unread,
Jun 2, 2022, 2:43:29 PMJun 2
to
Am 02.06.2022 um 17:47 schrieb Joachim Zink:
> Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 2. Juni 2022 um 14:08:03 UTC+2:
>
>> Du kannst zu jedem einzelnen Tag leicht die Wahrscheinlichkeit
>> ausrechnen, dass es an diesem und den folgenden 4 Tagen regnet:
>> p1 = (139/365)^5
>>
>> Damit bekommst du die Wahrscheinlichkeit, dass es im ganzen Jahr keinen
>> einzigen solchen Tag gibt: p2 = (1-p1)^365
>>
>> Was du suchst, ist dann 1 - p2.
>
> Mit dieser Vorgehensweise ergäbe sich
>
> p1 = (139/365)^5
> p2 = (1-p1)^365
> p = 1 - p2 = 0.9468835
>
> Also eine Wahrscheinlichkeit für Regen an fünf (oder mehr) aufeinander
> folgenden Tagen in Karlruhe von rund 94.68%.
>
> Mit p1 berechnest Du die Wahrscheinlichkeit, dass es in **einem bestimmten**
> Intervallblock, z.B. vom 1. bis 5. Januar regnet.
> Den Blockbeginn kann ich jetzt auf den 2. Januar, dann auf den 3. Januar
> usw. verschieben.
> Es gibt 361 weitere, solche möglichen Intervall-Blöcke.
>
> Du rechnest
> p2 = (1-p1)^365
> Ab dem 361. Tag gibt es aber kein 5-er-Intervall mehr.

Wenn deine 5 Tage unbedingt im selben Kalenderjahr liegen sollen, musst
du halt 361 als Exponent nehmen. Aber auch um den Jahreswechsel wären
Überflutungen interessant.

> Wenn ich die Vorgehensweise auf das Würfelmodell übertrage, bekomme ich
> nicht das korrekte Ergebnis, das ich aus dem Verzweigungsbaum entnehmen
> kann.
>
> Was verstehe ich falsch?

Wirklich exakt ist meine Lösung nicht, weil die Ereignisse "keine
5-Tages-Folge ab Tag n" nicht stochastisch unabhängig sind. Bei "keine 2
Sechsen in Wurf n und n+1" ist die Abhängigkeit noch größer.
Aber 1-(35/36)^3 ist schon ziemlich nah an deinem Wert.

Hans Crauel

unread,
Jun 2, 2022, 4:43:51 PMJun 2
to
Joachim Zink schrieb

> Ausgangspunkt ist die Analyse von Wetterdaten.
> Die Stadt Karlsruhe hat im Mittel 139 Regentage pro Jahr.
> Vereinfacht angenommen, jeder Tag des Jahres habe die gleiche
> Wahrscheinlichkeit p = 139/365 ein Regentag zu sein - wie groß
> ist die Wahrscheinlichkeit, dass es an
> fünf >> aufeinanderfolgenden << Tagen oder
> noch mehr aufeinanderfolgenden Tagen regnet?

Die Annahme stochastischer Unabhängigkeit der Ereignisse "Regen
heute" und "Regen morgen" ist in dieser Situation fragwürdig.
So gibt es regelmäßig stabile Großwetterlagen mit sonnigem bzw.
regnerischem Wetter über Zeiträume von mehreren Tagen.

Ohne stochastische Unabhängigkeit wäre eine Möglichkeit etwa
der Rhythmus "zwei Tage Sonne, ein Tag Regen" über das ganze
Jahr hinweg. Dann regnet es nie fünf oder mehr Tage in Folge.
Oder aber der Rhythmus wäre "20 Tage Sonne, 10 Tage Regen".
Da hat man mit Sicherheit mindestens fünf aufeinanderfolgende
Tage mit Regen.
Beide Abläufe sind mit den 139 Regentagen im Jahr verträglich
(mit ein bisschen Nachjustierung).

Die kombinatorische Frage mit Annahme stochastischer Unabhängigkeit
ist nicht banal. Die Antwort ist aber nicht für die Frage nach
Regenperioden in Karlsruhe brauchbar.

Hans

Joachim Zink

unread,
Jun 3, 2022, 10:26:26 AMJun 3
to
Vielen Dank an alle für die Antworten.

@ Martin Vaeth
> Diese kombinatorische Frage hatten wir hier vor ein paar Wochen/Monaten
> (wieviele Zeichenketten der Länge n über dem Alphabet {0,1} gibt es,
> bei denen mindestens k-mal die 1 hintereinander steht), und sie
> wurde vom Fragesteller selbst mit einer ziemlich komplizierten
> Rekursionsformel beantwortet.

Du meinst vermutlich diesen Thread von Stephan Gerlach:
https://groups.google.com/g/de.sci.mathematik/c/6_3q2e0LEq0/m/1WBavsbvAQAJ

@ Stephan Schmitz
> Bei deinem Würfelmodell hast du zuviele Fälle gezählt.
> 1011 und 1101 sind nicht dreimal in Folge.

Bei meiner vereinfachenden Würfelsimulation sollte die Wahrscheinlichkeit für
2 oder mehr Sechsen in Serie bei 4 maligem Würfeln bestimmt werden.
Bei den Kombinationen (1011) und (1101) fällt eine Sechs zweimal hintereinander,
sie müssen also gezählt werden.

Im Baumdiagramm ist die Situation vollkommen klar. Bei nur 16 Möglichkeiten, die
man exakt aufschreiben und berechnen kann, ist ein Zuvielzählen oder Vergessen
von Kombinationen eigentlich ausgeschlossen, wenn man das sorgfältig aufzeichnet.
Wenn ich das rechne, wie von Dir vorgeschlagen, ergibt sich ein anderes Ergebnis,
als aus dem Baumdiagramm direkt ablesbar.

Nach Deiner Vorgehensweise ergäbe sich für Karlsruhe eine Wahrscheinlichkeit, dass es
an 5 oder mehr Tagen "am Stück" regnet von rund 94,7%.
Das scheint mir sehr hoch.

@ Hans Crauel
> Die Annahme stochastischer Unabhängigkeit der Ereignisse "Regen
> heute" und "Regen morgen" ist in dieser Situation fragwürdig.

Das sehe ich genau so.
Mir ging es tatsächlich mehr um den kombinatorischen Hintergrund, deshalb hab
ich mal stochastische Unabhängigkeit angenommen.

> Die kombinatorische Frage mit Annahme stochastischer Unabhängigkeit
> ist nicht banal.

Das musste ich inzwischen nach vielem Nachdenken ebenfalls feststellen.
Der Thread von Stephan Gerlach bestätigt das eindrucksvoll.

Grüße an alle
Joachim

Stephan Gerlach

unread,
Jun 5, 2022, 6:06:39 PMJun 5
to
Joachim Zink schrieb:
> Ausgangspunkt ist die Analyse von Wetterdaten.
> Die Stadt Karlsruhe hat im Mittel 139 Regentage pro Jahr.
> Vereinfacht angenommen, jeder Tag des Jahres habe die gleiche
> Wahrscheinlichkeit p = 139/365 ein Regentag zu sein - wie groß
> ist die Wahrscheinlichkeit, dass es an
> fünf >> aufeinanderfolgenden << Tagen oder
> noch mehr aufeinanderfolgenden Tagen regnet?

Nicht trivial.
Ich hatte ein ähnliches Beispiel vor einigen Wochen hier untersucht; s.u.

> Würde die Frage einfach lauten:
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es an fünf oder mehr Tagen
> des Jahres in Karlsruhe regnet, wäre man mit der Binomialverteilung
> rasch am Ziel.

Ja. Hier würde sich die Fragestellung auf die Zufallsvariable

X = "Anzahl der Regentage"

beziehen.

> Die Wahrscheinlichkeit dafür ist praktisch 1, d.h. es
> ist nahezu sicher, dass es in Karlsruhe an fünf oder mehr Tagen des
> Jahres regnet.

Ja.

> Verzwickt wird es, wenn man die Eingangsfrage stellt:
> Wie wahrscheinlich ist es, dass es an fünf >> aufeinanderfolgenden <<
>
> Tagen regnet?

Wie schon oben geschrieben: Das ist nicht ganz trivial.
Das Problem ist, daß es *nicht* um die *Anzahl* der Tage geht, an denen
es regnet; sondern diese Tage sollen zudem in einer bestimmten
Konfiguration auftreten.

Selbst wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Tag, ein Regentag zu sein,
1/2 wäre, wird es kompliziert.

[...]

> Wie kann ich das Eingangsproblem, Wahrscheinlichkeit für 5
> aufeinanderfolgernde Regentage oder mehr, am besten angehen?

Siehe dazu das Thema

"Kombinatorik, Münzwurf: Anzahl Möglichkeiten für k-mal Zahl nacheinander",

das ich vor einigen Wochen hier dazu gestartet hatte:
<https://de.sci.mathematik.narkive.com/3pysKyui/kombinatorik-munzwurf-anzahl-moglichkeiten-fur-k-mal-zahl-nacheinander>
bzw.
<https://groups.google.com/g/de.sci.mathematik/c/6_3q2e0LEq0>.

Relativ weit "unten" im Thread stehen auch diverse Formeln, die
allerdings nur für den Fall p=1/2 direkt weiterhelfen würden.

Bei "meinem" Thema ging es zwar "nur" um die Anzahl der Möglichkeiten, k
Treffer (z.B. 'Zahl' beim Münzwurf, oder 'Regentag' in deinem Beispiel)
nacheinander(!) zu haben.
(Wobei BTW auch erlaubt wäre, daß mehrmals (mindestens) k Regentage
nacheinander auftreten.)

Allerdings kann man daraus prinzipiell die Wahrscheinlichkeit für
"mindestens einmal k Regentage hintereinander"
ausrechnen - allerdings leider nur, wenn p = 1/2 ist:

Einfach die Anzahl der Möglichkeiten durch 2^365 teilen. Das geht, weil
im Fall p=1/2 das Ganze nicht nur als BERNOULLI-Versuch, sondern auch
als LAPLACE-Versuch aufgefaßt werden kann.

> Gibt es irgendeine, das Problem erleichternde kombinatorische
> Konfiguration, die ich übersehe?

Vermutlich (leider) nicht(?).

Ich hatte damals noch die Idee, ob/daß man den Fall p!=1/2 vielleicht
irgendwie auf den Fall p=1/2 zurückführen kann, aber hatte das dann aus
den Augen verloren bzw. mich nicht weiter darum gekümmert.



--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Stephan Gerlach

unread,
Jun 5, 2022, 6:32:37 PMJun 5
to
Joachim Zink schrieb:
> Vielen Dank an alle für die Antworten.
>
> @ Martin Vaeth
>> Diese kombinatorische Frage hatten wir hier vor ein paar Wochen/Monaten
>> (wieviele Zeichenketten der Länge n über dem Alphabet {0,1} gibt es,
>> bei denen mindestens k-mal die 1 hintereinander steht), und sie
>> wurde vom Fragesteller selbst mit einer ziemlich komplizierten
>> Rekursionsformel beantwortet.
>
> Du meinst vermutlich diesen Thread von Stephan Gerlach:
> https://groups.google.com/g/de.sci.mathematik/c/6_3q2e0LEq0/m/1WBavsbvAQAJ

JFTR, ein alternativer Link:
<https://de.sci.mathematik.narkive.com/3pysKyui/kombinatorik-munzwurf-anzahl-moglichkeiten-fur-k-mal-zahl-nacheinander>

[...]
> Mir ging es tatsächlich mehr um den kombinatorischen Hintergrund, deshalb hab
> ich mal stochastische Unabhängigkeit angenommen.

Aus den Formeln, die in o.g. Links zu finden sind, läßt sich - nur(!)
für den Fall p=1/2 - die Wahrscheinlichkeit für
"es tritt mindestens k-mal hintereinander 1 auf"
bei einem Bernoulli-Versuch berechnen:
Einfach die Anzahl der Möglichkeiten durch 1/2^365 teilen. Das geht,
weil das dann (auch) ein Laplace-Versuch ist.

>> Die kombinatorische Frage mit Annahme stochastischer Unabhängigkeit
>> ist nicht banal.
>
> Das musste ich inzwischen nach vielem Nachdenken ebenfalls feststellen.
> Der Thread von Stephan Gerlach bestätigt das eindrucksvoll.

Ich hatte damals noch die Überlegung, daß man die Ergebnisse des Threads
vielleicht irgendwie auf die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei
einem Bernoulli-Versuch übertragen/anwenden kann, bei dem die
"Trefferwahrscheinlichkeite" p!=1/2 ist, also nicht 1/2.

Allerdings hatte ich das damals aus den Augen verloren bzw. nicht weiter
verfolgt. Ich bin auch nicht sicher, ob das überhaupt so einfach geht.

Stephan Gerlach

unread,
Jun 5, 2022, 6:40:15 PMJun 5
to
Martin Vaeth schrieb:
> Joachim Zink <zinkj...@googlemail.com> schrieb:
>> Verzwickt wird es, wenn man die Eingangsfrage stellt:
>> Wie wahrscheinlich ist es, dass es an fünf >> aufeinanderfolgenden <<
>> Tagen regnet?
>
> Diese kombinatorische Frage hatten wir hier vor ein paar Wochen/Monaten
> (wieviele Zeichenketten der Länge n über dem Alphabet {0,1} gibt es,
> bei denen mindestens k-mal die 1 hintereinander steht), und sie
> wurde vom Fragesteller selbst mit einer ziemlich komplizierten
> Rekursionsformel beantwortet. Eine bessere Antwort hatte niemand
> angeboten. Google wird vermutlich helfen.

Die Betonung liegt auf "vermutlich", evtl. wäre auch "vielleicht" passender.
Ich habe die Erfahrung gemacht, daß selbst Google manchmal nicht mehr
weiterhilft, sofern es um komplizierte mathematische (z.T. auch
physikalische oder andere naturwissenschaftliche) Fragen bzw. konkrete
Details dazu geht.
Oft findet man nur das, was man ohnehin schon wußte oder was man sich
hätte leicht selber überlegen können.
Ist aber nur mein persönlicher Eindruck.

Martin Vaeth

unread,
Jun 6, 2022, 1:08:35 PMJun 6
to
Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
>> @ Martin Vaeth
>>> Diese kombinatorische Frage hatten wir hier vor ein paar Wochen/Monaten
>>> (wieviele Zeichenketten der Länge n über dem Alphabet {0,1} gibt es,
>>> bei denen mindestens k-mal die 1 hintereinander steht), und sie
>>> wurde vom Fragesteller selbst mit einer ziemlich komplizierten
>>> Rekursionsformel beantwortet.
>>
>> Du meinst vermutlich diesen Thread von Stephan Gerlach:
>> https://groups.google.com/g/de.sci.mathematik/c/6_3q2e0LEq0/m/1WBavsbvAQAJ
>
> JFTR, ein alternativer Link:
><https://de.sci.mathematik.narkive.com/3pysKyui/
kombinatorik-munzwurf-anzahl-moglichkeiten-fur-k-mal-zahl-nacheinander>
>
> [...]
>
> Ich hatte damals noch die Überlegung, daß man die Ergebnisse des Threads
> vielleicht irgendwie auf die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei
> einem Bernoulli-Versuch übertragen/anwenden kann, bei dem die
> "Trefferwahrscheinlichkeite" p!=1/2 ist, also nicht 1/2.

Die Rekursionsformel alleine genügt dazu wohl nicht: Man müsste zusätzlich
noch wissen, *wieviele* 1-er bei den jeweiligen Möglichkeiten vorkommen
(außer falls ich übersehe, dass man das irgendwie "kanonisch" abzählen
kann).
Ich vermute, dass man zur "Buchführung" über die Anzahl der 1-er noch eine
zweite Rekursion "mitschleifen" muss. Aber leicht ist das sicher nicht.

Stephan Gerlach

unread,
Jun 6, 2022, 6:32:10 PMJun 6
to
Stephan Gerlach schrieb:
> Joachim Zink schrieb:
>> Vielen Dank an alle für die Antworten.
>>
>> @ Martin Vaeth
>>> Diese kombinatorische Frage hatten wir hier vor ein paar Wochen/Monaten
>>> (wieviele Zeichenketten der Länge n über dem Alphabet {0,1} gibt es,
>>> bei denen mindestens k-mal die 1 hintereinander steht), und sie
>>> wurde vom Fragesteller selbst mit einer ziemlich komplizierten
>>> Rekursionsformel beantwortet.
>>
>> Du meinst vermutlich diesen Thread von Stephan Gerlach:
>> https://groups.google.com/g/de.sci.mathematik/c/6_3q2e0LEq0/m/1WBavsbvAQAJ
>>
>
> JFTR, ein alternativer Link:
> <https://de.sci.mathematik.narkive.com/3pysKyui/kombinatorik-munzwurf-anzahl-moglichkeiten-fur-k-mal-zahl-nacheinander>
>
>
> [...]
>> Mir ging es tatsächlich mehr um den kombinatorischen Hintergrund,
>> deshalb hab
>> ich mal stochastische Unabhängigkeit angenommen.
>
> Aus den Formeln, die in o.g. Links zu finden sind, läßt sich - nur(!)
> für den Fall p=1/2 - die Wahrscheinlichkeit für
> "es tritt mindestens k-mal hintereinander 1 auf"
> bei einem Bernoulli-Versuch berechnen:
> Einfach die Anzahl der Möglichkeiten durch 1/2^365 teilen.

Hier ist ein Fehler drin:
Es muß natürlich (richtig) heißen
"Einfach die Anzahl der Möglichkeiten durch 2^365 teilen."
Nicht durch 1/2^365.

(Vermutlich wurde der Fehler schon bemerkt.)

Brigitta Jennen

unread,
Jun 29, 2022, 5:39:37 AM (2 days ago) Jun 29
to
Hallo,
das Problem hat mich ziemlich beschäftigt und ich habe inzwischen eine Lösung
erhalten, die allerdings nicht von mir stammt, sondern von einem befreundeten
Profi-Mathematiker.
Die Annahmen sind vereinfacht, da es nur um das mathematische Problem gehen soll,
nicht um die Relevanz beim wirklichen Wettergeschehen.

Die Frage, die ich ihm gestellt habe, lautete:
Wie wahrscheinlich ist es, dass es bei einer Tages-Regenwahrscheinlichkeit von 0.5
in einem Zeitraum von n Tagen an 5 oder noch mehr Tagen "am Stück", also
hintereinander, regnet?

Notation:
q = 0.50 probability of raining
p = 0.50 probability that it is not raining

Q(n) Probability that it is not raining 5 days consecutively or more within n days
Q(4)=1 trivial

Recursion formula:

Q(n) = q * [Q(n-1) + p*Q(n-2) + p^2*Q(n-3) + p^3*Q(n-4) + p^4*Q(n-5)]

Mit seiner Rekursionsformel, die ich noch nicht ganz verstanden habe, ergeben sich
folgende Wahrscheinlichkeiten, die ich bis n = 10 durch explizites Aufschreiben
verifiziert habe. Das Ergebnis stimmt. Deshalb gehe ich davon aus, dass der Profi
sich hier nicht irrt.

-------------------------------------------------------------------------------------
days Q(n) 1-Q(n) Number of combination with >=5 rainy days (p=1/2)
-------------------------------------------------------------------------------------
0 Q(0) 1 0
1 Q(1) 1 0
2 Q(2) 1 0
3 Q(3) 1 0
4 Q(4) 1 0
5 Q(5) 0.96875000 0.031250 1
6 Q(6) 0.95312500 0.046875 3
7 Q(7) 0.93750000 0.062500 8
8 Q(8) 0.92187500 0.078125 20
9 Q(9) 0.90625000 0.093750 48
10 Q(10) 0.89062500 0.109375 112
11 Q(11) 0.87548828 0.124512 255
12 Q(12) 0.86059570 0.139404 571
13 Q(13) 0.84594727 0.154053 1262
14 Q(14) 0.83154297 0.168457 2760
15 Q(15) 0.81738281 0.182617 5984
16 Q(16) 0.80346680 0.196533 12880
17 Q(17) 0.78978729 0.210213 27553
18 Q(18) 0.77634048 0.223660 58631
19 Q(19) 0.76312256 0.236877 124192
20 Q(20) 0.75012970 0.249870 262008
21 Q(21) 0.73735809 0.262642 550800
22 Q(22) 0.72480392 0.275196 1154256
23 Q(23) 0.71246350 0.287537 2412031
24 Q(24) 0.70033318 0.299667 5027575
25 Q(25) 0.68840939 0.311591 10455246
26 Q(26) 0.67668861 0.323311 21697060
27 Q(27) 0.66516739 0.334833 44940472
28 Q(28) 0.65384233 0.346158 92920992
29 Q(29) 0.64271009 0.357290 191818561
30 Q(30) 0.63176738 0.368233 395386763

Wenn ich das jetzt auf 365 Tage ausdehne, komme ich auf eine
Wahrscheinlichkeit, dass es innerhalb eines Jahres bei einer
Tages-Regenwahrscheinlichkeit von 0.5 an mindestens 5 aufeinanderfolgenden Tagen
regnet von rund 0.998
Für mich doch etwas erstaunlich.

Grüße
Brigitta

Stefan Schmitz

unread,
Jun 29, 2022, 9:57:22 AM (2 days ago) Jun 29
to
Am 29.06.2022 um 11:39 schrieb Brigitta Jennen:
> Hallo,
> das Problem hat mich ziemlich beschäftigt und ich habe inzwischen eine Lösung
> erhalten, die allerdings nicht von mir stammt, sondern von einem befreundeten
> Profi-Mathematiker.
> Die Annahmen sind vereinfacht, da es nur um das mathematische Problem gehen soll,
> nicht um die Relevanz beim wirklichen Wettergeschehen.
>
> Die Frage, die ich ihm gestellt habe, lautete:
> Wie wahrscheinlich ist es, dass es bei einer Tages-Regenwahrscheinlichkeit von 0.5
> in einem Zeitraum von n Tagen an 5 oder noch mehr Tagen "am Stück", also
> hintereinander, regnet?
>
> Notation:
> q = 0.50 probability of raining
> p = 0.50 probability that it is not raining
>
> Q(n) Probability that it is not raining 5 days consecutively or more within n days
> Q(4)=1 trivial
>
> Recursion formula:
>
> Q(n) = q * [Q(n-1) + p*Q(n-2) + p^2*Q(n-3) + p^3*Q(n-4) + p^4*Q(n-5)]
>
> Mit seiner Rekursionsformel, die ich noch nicht ganz verstanden habe, ergeben sich


Q(n) bedeutet, dass es in n Tagen nicht 5 mal hintereinander regnet.
Also XXXX... ohne RRRRR
q * Q(n-1) heißt, dass es in n-1 Tagen nicht 5 mal geregnet hat und es
auch am n-ten Tag nicht regnet. Also NXXXX...
q * p * Q(n-2) : Regen an Tag n, kein Regen an Tag n-1, n-2 Tage ohne
5er-Folge. Also RNXXXX....
q * p^2 * Q(n-3): Regen an Tag n und n-1, kein Regen an Tag n-2, n-3
Tage ohne 5er-Folge. Also RRNXXXX...
Beim vorletzten Summanden wären die letzten 3 Regentage, beim letzten 4
Regentage, jeweils nach einem Nichtregentag und zuvor n-4 bzw. n-5 Tagen
ohne 5er-Folge. Also RRRNXXXX... und RRRRNXXXX.....

Sieht plausiblel aus. Alle Möglichkeiten scheinen abgedeckt zu sein.
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