Begriff Stetigkeit bei Vektoren und Vektorfeldern?
Holger Strauss
Hallo,
mich drueckt derzeit eine Frage bzgl. einer mathematisch
korrekten Ausdrucksweise:
Sehe ich das richtig, dass _Stetigkeit_ nur fuer Funktionen
definiert ist?
Kann ich auch von einem _stetigen Vektor_ reden, wenn
ich damit meine, dass z.B. die kartesischen Komponenten
eines Vektors alle stetig sind? Muesste ich letzteres so
definieren oder koennte ich dies bei dem Begriff
_steiger Vektor_ voraussetzen.
(Praktisch meine ich z.B. sowas wie den Ortsvektor
eines Objekts in Abhaengigkeit von der Zeit).
Kann ich weiterhin von einem stetigen Vektorfeld sprechen,
wenn ich damit meine, dass die kartesischen Komponenten
des Vektorfeldes stetig sind bzg. der kartesischen
Ortskoordinaten (und ggf. der Zeit)?
Was waeren evtl. die hierfuer richtigen Begriffe?
Ich wuerde mich sehr ueber Eure Hilfe freuen.
Holger
Martin Clochon
> Sehe ich das richtig, dass _Stetigkeit_ nur fuer Funktionen
> definiert ist?
Absolut richtig. Eigentlich nur für Funktionen, die auf topologische
Mengen
definiert sind.
> (Praktisch meine ich z.B. sowas wie den Ortsvektor
> eines Objekts in Abhaengigkeit von der Zeit).
Dann ist eben das mathematische Objekt, von dem die Rede ist,
eben kein Vektor, sondern eine Funktion f : I ----> E,
wobei die Elemente von I die Zeitpunkte sind (in der Regel reale Zahlen)
und E dein Vektorraum ist.
Dabei kann man sagen, dass f stetig (bzw unstetig bzw differenzierbar
usw.)
ist.
Falls z.B. E=IR^3 (3-dimensionaler Raum), kann man die Funktion f in
3 reale Funktionen zerlegen : f1, f2, f3, so dass fuer alle t in I :
( f1(t) )
f(t) = ( f2(t) )
( f3(t) )
Ein Theorem besagt, dass f genau dann stetig ist, wenn f1, f2 und f3
stetig sind.
Falls diese Funktion die Ortskurve eines Objekts bildet, ist diese
Funktion in der
Regel differenzierbar, und :
( f1'(t) )
f'(t) = ( f2'(t) )
( f3'(t) ) ist der Geschwindigkeitsvektor in Abhängigkeit der
Zeit t.
f''(t) ist der Beschleunigungsvektor.
Alles klar ?
> Kann ich weiterhin von einem stetigen Vektorfeld sprechen,
> wenn ich damit meine, dass die kartesischen Komponenten
> des Vektorfeldes stetig sind bzg. der kartesischen
> Ortskoordinaten (und ggf. der Zeit)?
Klar kannst du. Ein Vektorfeld ist ja nichts anderes als eine Funktion
vom Ortsvektor.
Dabei kann man aber die Stetigkeit nicht bezüglich der Ortskoordinaten
zerlegen,
sondern muß die Stetigkeit global betrachten.
> Was waeren evtl. die hierfuer richtigen Begriffe?
Das kann ich dir leider nicht sagen, ich habe ja Mathematik auf
französisch gelernt...
Tschö
martin.
Andreas Slateff
<7mvh5l$pdu$1...@sunu789.rz.ruhr-uni-bochum.de>...
>
> Hallo,
>
> mich drueckt derzeit eine Frage bzgl. einer mathematisch
> korrekten Ausdrucksweise:
>
> definiert ist?
Ja, Stetigkeit wird fuer Abbildungen zwischen Topologischen Raeumen definiert;
wobei einem topologischen Raum einfach eine Menge M zugrundeliegt, wobei
zusaetzlich bestimmte Teilmengen derselben "offen" genannt werden - als
Verallgemeinerung offener Intervalle auf der Zahlengeraden beispielsweise - die
Menge T der offenen Mengen heisst die "Topologie" von M, das Paar (M,T) ein
"topologischer Raum".
> Kann ich auch von einem _stetigen Vektor_ reden, wenn
> ich damit meine, dass z.B. die kartesischen Komponenten
> eines Vektors alle stetig sind? Muesste ich letzteres so
> definieren oder koennte ich dies bei dem Begriff
> _steiger Vektor_ voraussetzen.
> (Praktisch meine ich z.B. sowas wie den Ortsvektor
> eines Objekts in Abhaengigkeit von der Zeit).
Du kannst auch kartesische Produkte von topologischen Raeumen (M_i, T_i)
bilden, und erhaeltst mit der sogenannten "Produkttopologie" den topologischen
Produktraum.
zB.
(R, E) relle Zahlen mit der natuerlichen ("euklidischen") Topolgie
(R^3, E^3) als top. Produktraum (wobei E^3 die Produkttopologie bezeichnet)
Nimmst Du nun (R,E) als Parameterraum fuer die Zeit t, so kannst Du eine Kurve
im R^3 durch eine Abbildung
f: R -> R^3
t |-> f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t))
bilden, wobei f1, f2, f3 Abbildungen R -> R sind.
f ist uebrigend genau dann stetig von (R, E) in (R^3,E^3),
wenn f1, f2 und f3 stetig von (R,E) in (R,E) sind.
> Kann ich weiterhin von einem stetigen Vektorfeld sprechen,
> wenn ich damit meine, dass die kartesischen Komponenten
> des Vektorfeldes stetig sind bzg. der kartesischen
> Ortskoordinaten (und ggf. der Zeit)?
Ja.
Allerdings nicht "bezueglich" der kartesischen Ortskoordinaten, sondern "in"
den Ortskoordinaten und (wenn schon) bezueglich der Zeit.
Du meinst wahrscheinlich einfach, dass die komponentenweisen Abbildungen stetig
sind, und das ist der Fall.
Auch das liesse sich begrifflich verallgemeinern:
Ein stetiges Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit M ist ein C0-Schnitt im
Tangentialbuendel TM...
> Was waeren evtl. die hierfuer richtigen Begriffe?
topologische Raeume, stetige Abbildungen, Produkttopologie
MfG
Andreas