was ist |N ?

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Jens Kallup

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Dec 8, 2021, 12:46:45 AM12/8/21
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Hallo,

also dazu würde ich sagen:

|N ist Teilmenge von |R.

somit ist |R größer als |N.
muss ich dann bei Lösungen, jeweils drei Möglichkeiten aufzeigen?

1. 1x für: | |N |. und:
2. 1x für: | |R |. oder:
3. 1x für: | |N u |R |. (also vereinigt...) ?

wobei drittens wohl mehrdeutig sein sollte und mit Vorsicht zu
genießen ist ...

oder:

| |N + |R | = n.

für:

n := 1. und
r := 2.

| 1 + 2 | = 3.

oder:

n := aleph_0_n. und
r := aleph_1_n.

| aleph_0_n + aleph_1_n | = | aleph_2_n |.

ich denke mir: OHNE vorrige Festsetzung oder Vereinbarung des
Kontextes sind Diskussionen oder Reden über |R ist größer als
|N etwas kompliziert.

Vor allem, wenn aleph_0_n und aleph_1_n "gleiche" Kardinalidät
aufweisen.

Jens

Marcus Gloeder

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Dec 8, 2021, 8:32:35 AM12/8/21
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Hallo alle zusammen,

am 08.12.21 06:46, schrieb Jens Kallup:
>|N ist Teilmenge von |R.

Richtig.

>somit ist |R größer als |N.

R (die Menge der reellen Zahlen) ist zwar tatsächlich mächtiger (hat mehr
Elemente, nämlich überabzählbar unendlich viele, und ist in diesem Sinne
»größer«) als N (die Menge der natürlichen Zahlen), aber das Wort »somit«
ist falsch.

N ist auch eine Teilmenge von Q (die Menge der rationalen Zahlen) und die
Menge der ungeraden natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge von N und deshalb
auch eine Teilmenge von Q. Aber alle drei Mengen sind gleich mächtig, das
heißt, sie besitzen gleich viele Elemente, nämlich abzählbar unendlich
viele.

Du kannst jedes Element von einer der drei Mengen jedem Element von einer
der beiden anderen Mengen zuordnen (dieses Verfahren nennt sich Bijektion).
Bei den natürlichen und den ungeraden natürlichen Zahlen brauchst Du nur
die ersten paar Elemente untereinander zu schreiben, um zu sehen, dass das
geht:

1 3 5 7 9 usw.
1 2 3 4 5 usw.

Bei den rationalen Zahlen hat Cantor mit seinem ersten Diagonalargument
bewiesen dass das geht, siehe hier:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument

Das zeigt, dass eine Teilmenge genauso viele Elemente haben kann, wie die
Menge, deren Teilmenge sie ist, sobald beide Mengen nicht mehr endlich
viele Elemente haben. Mengen mit abzählbar unendlich vielen oder
überabzählbar unendlich vielen Elementen verhalten sich eben anders als
Mengen, die nur endlich viele Elemente besitzen.

Ein schönes Denkexperiment dazu ist Hilberts Hotel, siehe hier:

https://youtu.be/bGcIzRGU5sU

>Jens

Viele Grüße
Marcus

--
PMs an: m.gl...@gmx.de

Jens Kallup

unread,
Dec 8, 2021, 11:23:18 AM12/8/21
to
Am 08.12.2021 um 14:32 schrieb Marcus Gloeder:
> Das zeigt, dass eine Teilmenge genauso viele Elemente haben kann, wie die
> Menge, deren Teilmenge sie ist, sobald beide Mengen nicht mehr endlich

Also ist mit "Mächtigkeit" die Anzahl der Elemente in den Mengen
gemeint.
Nicht jedoch die Elemente einzeln betrachtet ...

M1 := 1, 3, 5, 7, 9, ...
M2 := 1, 2, 3, 4, 5, ...

M1 und M2 sind "gleich" Mächtig - unabhängig von den Elementen, während
M2 "wohlgeorndet" ist.

Mengen brauchen daher nicht geordnet werden, macht sich aber besser wenn
man versucht diese zu indezieren (bei fixen Mengen).

Und was ist Kardinalidät ?

- kleinste Kardinalidät in M2 := 1.
- größte -"- M2 := 5.

irgendwie hab ich letzteres noch nicht inne ...

Jens

Dieter Heidorn

unread,
Dec 8, 2021, 12:17:01 PM12/8/21
to
Jens Kallup schrieb:
> Am 08.12.2021 um 14:32 schrieb Marcus Gloeder:
>> Das zeigt, dass eine Teilmenge genauso viele Elemente haben kann, wie die
>> Menge, deren Teilmenge sie ist, sobald beide Mengen nicht mehr endlich
>
> Also ist mit "Mächtigkeit" die Anzahl der Elemente in den Mengen
> gemeint.

Nur bei endlichen Mengen bedeutet der Begriff Mächtigkeit einer Menge M
die Anzahl der Elemente von M, und diese Anzahl kann mit einer
natürlichen Zahl angegeben werden:

M1 = {1, 2, 3, 4, 5}: |M1| = 5
M2 = {1, 3, 5, 7, 9}: |M2| = 5
M3 = {1, 5, 9, 12} : |M3| = 4

Bei unendlichen Mengen ist der Begriff der Anzahl der Elemente nicht
mehr sinnvoll. Für unendliche Mengen lässt sich keine Anzahl von
Elementen in dem Sinne angeben, wie er bei endlichen Mengen auftritt.
Nimm' als Beispiel die Menge |N der natürlichen Zahlen: Du kannst nicht
mit einer natürlichen Zahl angeben, wieviele natürliche Zahlen es gibt.

Der Begriff der Mächtigkeit muss also so verallgemeinert werden, dass er
auch auf unendliche Mengen angewendet werden kann. Dazu definiert man:
Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn es eine
Bijektion f: A --> B gibt. Das ist eine Abbildung, bei der es für jedes
Element b von B genau ein Element a von A mit f(a) = b gibt.

> Und was ist Kardinalidät ?
>

Kardinalität ist ein anderes Wort für Mächtigkeit. Bei endlichen Mengen
ist die Kardinalität also die Anzahl der Elemente der Menge. Bei
unendlichen Mengen kann man alle Mengen gleicher Mächtigkeit zu einer
Äquivalenzklasse bezüglich der Gleichmächtigkeit zusammenfassen. Die
Mächtigkeit wird dann mit einer sogenannten Kardinalzahl angegeben -
Beispiel: card(|N) = aleph_0.

Hier kannst du alles etwas ausführlicher nachlesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4chtigkeit_%28Mathematik%29

Und hier noch die von Cantor gegebene Definition (1887):

| Unter Mächtigkeit oder Kardinalzahl einer Menge M (die aus
| wohlunterschiedenen, begrifflich getrennten Elementen m, m’', ...
| besteht und insofern bestimmt und abgegrenzt ist) verstehe ich den
| Allgemeinbegriff oder Gattungsbegriff [...], welchen man erhält, indem
| man bei der Menge sowohl von der Beschaffenheit ihrer Elemente, wie
| auch von allen Beziehungen, welche die Elemente, sei es unter
| einander, sei es zu anderen Dingen haben, also im besonderen auch
| von der Ordnung, welche unter den Elementen herrschen mag, abstrahiert
| und nur auf das reflektiert, was allen Mengen gemeinsam ist, die mit M
| äquivalent sind. Ich nenne aber zwei Mengen M und N äquivalent,wenn
| sie sich gegenseitig eindeutig Element für Element einander zuordnen
| lassen.

Dieter Heidorn

Ganzhinterseher

unread,
Dec 9, 2021, 7:18:13 AM12/9/21
to
Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 8. Dezember 2021 um 18:17:01 UTC+1:

> Bei unendlichen Mengen ist der Begriff der Anzahl der Elemente nicht
> mehr sinnvoll. Für unendliche Mengen lässt sich keine Anzahl von
> Elementen in dem Sinne angeben, wie er bei endlichen Mengen auftritt.
> Nimm' als Beispiel die Menge |N der natürlichen Zahlen: Du kannst nicht
> mit einer natürlichen Zahl angeben, wieviele natürliche Zahlen es gibt.

Man kann aber beweisen, dass alle natürlichen Zahlen endlich sind und sich selbst abzählen. Deswegen kann es nicht mehr natürliche Zahlen geben, als natürliche Zahlen messen können.
>
> Der Begriff der Mächtigkeit muss also so verallgemeinert werden, dass er
> auch auf unendliche Mengen angewendet werden kann. Dazu definiert man:
> Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn es eine
> Bijektion f: A --> B gibt. Das ist eine Abbildung, bei der es für jedes
> Element b von B genau ein Element a von A mit f(a) = b gibt.

Eine Bijektion ist unvollständig, wenn nicht alle Zahlen einbezogen werden. Bei linear geordneten fertigen Mengen wie ℕ bedeutet das eine letzte Zahl. Die gibt es nicht. Also ist die Menge ℕ nicht linear geordnet, sondern nur am Anfang
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Der nicht mehr ordbare Teil geht in den drei Pünktchen unter:
|ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0 .
Linear geordnet ist nur eine potentiell unendliche, kleine Untermenge. Das gilt für alle unendlichen Mengen. Deswegen scheinen alle in Bijektion zu stehen.

> Ich nenne aber zwei Mengen M und N äquivalent,wenn
> | sie sich gegenseitig eindeutig Element für Element einander zuordnen
> | lassen.

Oft sagt er auch noch "vollständig". Aber Element für Element reicht schon. Das ist eben nicht möglich, weil nach jedem noch unendlich viele folgen, die unzugeordnet sind und das auch bleiben. Fanatiker und Spinner behaupten aber trotzdem, sie könnten alle natürlichen Zahlen angeben und ordnen.

Gruß, WM

Juergen Ilse

unread,
Dec 12, 2021, 11:43:38 PM12/12/21
to
Hallo,

Jens Kallup <kallu...@web.de> wrote:
> also dazu würde ich sagen:
>
> |N ist Teilmenge von |R.

Die Menge der reellen Zahlen mit der ueblicheen Addition und der ueblichen
Multiplikation ist ein sogenannter Koper: er enthaeelt auch zu jeder Zahl
(ausser der 0, sprich dem "neutralen Element bzgl. der Addition" den
"Kehrwert". Somit ist *jedes* Element eine "Einheit" (die in meinem
anderen Beitrag definiert), und damit hat *keine* reelle Zahl in der
Menge der rellen Zahlen einen Teiler, der keine Einheit ist, folglich ist
keine reelle Zahl prim ...
Der Begriff der Primzahl, wie ich ihn in meinem anderen Beitrag genannt
habe (eine Zahl ist eine Primzahl, wenn die bis auf Einheiten nur einen
einzigen Teiler besitzt) ist universeller als die Primzahlbegriffe, wie
du sie aufgefuehrt hast, denn er ist nicht auf die natuerlichen Zahlen
beschraenkt, sondern kann auch fuer belienbige Ringe verwendet wwerden.
Mna koennte den Begriff Primzahl auch definieren als "ein Element eines
Ringes, dass ein maximales Ideal erzeugt", aber dann muesste ich auch
noch die Begriffe Ring und Ideal definieren, was vielleicht bei jemandem,
der diese Begriffe och nicht kennt, etwas zu ausschweifend waere ...

Tschuess
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Dec 13, 2021, 12:04:49 AM12/13/21
to
Hallo,

Jens Kallup <kallu...@web.de> wrote:
> Am 08.12.2021 um 14:32 schrieb Marcus Gloeder:
>> Das zeigt, dass eine Teilmenge genauso viele Elemente haben kann, wie die
>> Menge, deren Teilmenge sie ist, sobald beide Mengen nicht mehr endlich
>
> Also ist mit "Mächtigkeit" die Anzahl der Elemente in den Mengen
> gemeint.

Bei endlichen Menngen ja. Bei unendlichen Mengen ist der Begriff "Anzahl"
in dem Sinne wie man ihn von endlichen Mengen kennt, nicht sonderich
sinnvoll, denn *jede* noch so grosse (natuerliche) Anzahl wird durch die
unendliche Menge uebertroffen. Das ist der Grund, weshalb Cantor als
Ersatz fuer den Begriff "Anzahl Elemente" den Begriff der "Maechtigkeit"
eingefuehrt hat, der bei endlichen Mengen mit der "Anzahl der Elemente"
uebereinstimmt, aber auch bei unendlichen Mengen einen Vergleich der
"Groesse der Mengen" ermoeglicht.

> Nicht jedoch die Elemente einzeln betrachtet ...
>
> M1 := 1, 3, 5, 7, 9, ...
> M2 := 1, 2, 3, 4, 5, ...
>
> M1 und M2 sind "gleich" Mächtig - unabhängig von den Elementen, während
> M2 "wohlgeorndet" ist.

Beide Mengen sind "wohlgeordnet". Fuer beide Mengen gilt: Jede absteigende
Kette von Elementen bricht ab (hat nur endlich viele Glieder), und das ist
die (eine moegliche) Definition von "Wohlordnung".

> Mengen brauchen daher nicht geordnet werden, macht sich aber besser wenn
> man versucht diese zu indezieren (bei fixen Mengen).

Mengen haben von sich aus erst einmal *keine* Ordnung. Man kann fuer sie
aber eine "Ordnungsrelation" definieren, mit der man dann eine Ordnung
auf der Menge erhalten kann.

> Und was ist Kardinalidät ?

Kardinalitaet ist ein anderer Ausdruck fuer "Maechtigkeit".

Zwei Mengen heissen "gleichmaechtig", wenn man eine bijektive Abbildung
zwischen beiden Mengen angeben kann. Die Menge der natuerlichen Zahlen
und die Menge der ungeraden natuerlichen Zahlen sind gleichmaechtig, denn
die Abbildung f von der Menge der ungeraden natuerlichen Zahlen auf die
Menge der natuerlichen Zahlen: f(n)=(n+1)/2 ist eine bijektive Abbildung
(oder andersherum: Die Abbildung g(n)=2n-1 von den natuerlichen Zahlen
auf die ungeraden nnatuerlichen Zahlen ist auch eine Bijektion).
Jede Menge, die gleichmaechtig zur Menge der natuerlichen Zahlen ist,
heisst "abzaehlbar unendlich". Die Maechtigkeit der natuerlichen Zahlen
nennen wir "aleph0".

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Marcus Gloeder

unread,
Dec 13, 2021, 1:07:29 AM12/13/21
to
Hallo alle zusammen,

am 09.12.21 13:18, schrieb Ganzhinterseher:
>Man kann aber beweisen, dass alle natürlichen Zahlen endlich sind und sich selbst abzählen.

Zahlen, die »sich selbst abzählen«? Einen verständlichen Sinn ergibt der
Satz nur, wenn er folgendermaßen umformuliert wird:

»Es ist beweisbar, dass jede natürliche Zahl n endlich und abzählbar ist.«

Dann wäre noch zu ergänzen, dass die Menge aller natürlichen Zahlen
abzählbar unendlich ist, weil jede natürliche Zahl n einen Nachfolger n+1
hat.

>Deswegen kann es nicht mehr natürliche Zahlen geben, als natürliche Zahlen messen können.

Das ist erkennbar kein Satz mit einem angebbaren Sinn, sondern nur eine
willkürliche Anhäufung beliebiger Wörter.

>Oft sagt er auch noch "vollständig". Aber Element für Element reicht schon. Das ist eben nicht möglich, weil nach jedem noch unendlich viele folgen, die unzugeordnet sind und das auch bleiben. Fanatiker und Spinner behaupten aber trotzdem, sie könnten alle natürlichen Zahlen angeben und ordnen.

An dieser Stelle schlage ich jetzt mal ein einfaches Denkexperiment vor:

Schreibe die ersten neun Elemente der natürlichen Zahlen mit Null und der
natürlichen Zahlen ohne Null genau untereinander, so:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Verbinde die untereinander stehenden Zahlen jeweils mit einem Strich, so:

0 1 2 3 4 5 6 7 8
| | | | | | | | |
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Jetzt hast Du eine eineindeutige Zuordnung der ersten neun Elemente der
Menge der natürlichen Zahlen mit Null zu den ersten neun Elementen der
natürlichen Zahlen ohne Null. Beide Mengen sind aber abzählbar unendlich.
Du kannst dieses Spiel also beliebig lange fortsetzen, ohne an ein Ende zu
gelangen. Das bedeutet:

* Jedes Element der natürlichen Zahlen mit Null kann einem Element der
natürlichen Zahlen ohne Null eineindeutig zugeordnet werden. Weil das mit
jedem Element beider Mengen funktioniert, ist die Zuordnung jeden Elements
der natürlichen Zahlen mit Null zu jedem Element der natürlichen Zahlen
ohne Null vollständig.

* Weil beide Mengen abzählbar unendlich sind, kann die Reihe dieser
Zuordnungen beliebig fortgesetzt werden, ohne dass sie an ein Ende gelangt.
Das liegt einfach daran, dass es bei keiner der beiden Mengen ein »letztes
Element« gibt.

»Fanatiker und Spinner behaupten aber trotzdem«, es gebe noch Zahlen, »die
unzugeordnet sind und das auch bleiben«.

>Gruß, WM

Juergen Ilse

unread,
Dec 13, 2021, 2:01:27 AM12/13/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 8. Dezember 2021 um 18:17:01 UTC+1:
>
>> Bei unendlichen Mengen ist der Begriff der Anzahl der Elemente nicht
>> mehr sinnvoll. Für unendliche Mengen lässt sich keine Anzahl von
>> Elementen in dem Sinne angeben, wie er bei endlichen Mengen auftritt.
>> Nimm' als Beispiel die Menge |N der natürlichen Zahlen: Du kannst nicht
>> mit einer natürlichen Zahl angeben, wieviele natürliche Zahlen es gibt.
>
> Man kann aber beweisen, dass alle natürlichen Zahlen endlich sind und sich selbst abzählen. Deswegen kann es nicht mehr natürliche Zahlen geben, als natürliche Zahlen messen können.

Das ist ja auch richtig. Die Maechtigkeit jeder *endlichen* Menge von
natuerlichen Zahlen ist eine natuerliche Zahl, das besagt aber nicht,
dass es nur endlich viele natuerliche Zahlen gaebe und genausowenig,
dass die Maechtigkeit der Mege der natuerlichen Zahlen eine natuerliche
Zahl waere. Leider ist Herr Mueckenheim unfaehig diese Zusammenhaenge
zu begreifen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Dec 13, 2021, 2:03:41 AM12/13/21
to
Hallo,

Juergen Ilse <ne...@usenet-verwaltung.de> wrote:
> Jens Kallup <kallu...@web.de> wrote:
>> also dazu würde ich sagen:
>>
>> |N ist Teilmenge von |R.
>
> Die Menge der reellen Zahlen mit der ueblicheen Addition und der ueblichen
> Multiplikation ist ein sogenannter Koper: er enthaeelt auch zu jeder Zahl

OOPS! Es ist natuerlich "Kperper" und nnicht "Koper" gemeint.

> (ausser der 0, sprich dem "neutralen Element bzgl. der Addition") den

Ganzhinterseher

unread,
Dec 13, 2021, 6:09:49 AM12/13/21
to
Juergen Ilse schrieb am Montag, 13. Dezember 2021 um 08:03:41 UTC+1:

> > Die Menge der reellen Zahlen mit der ueblicheen Addition und der ueblichen
> > Multiplikation ist ein sogenannter Koper: er enthaeelt auch zu jeder Zahl
> OOPS! Es ist natuerlich "Kperper" und nnicht "Koper" gemeint.

Ach so. Ja dann.


Wir entschuldigen uns in aller Form für den Druckfehler Knorprinz. Es war natürlich seine Majestät, der Herr Kornprinz gemeint. (Berliner Zeitung um 1900.)

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 13, 2021, 6:45:10 AM12/13/21
to
Marcus Gloeder schrieb am Montag, 13. Dezember 2021 um 07:07:29 UTC+1:
> Hallo alle zusammen,
>
> am 09.12.21 13:18, schrieb Ganzhinterseher:
> >Man kann aber beweisen, dass alle natürlichen Zahlen endlich sind und sich selbst abzählen.
> Zahlen, die »sich selbst abzählen«? Einen verständlichen Sinn ergibt der
> Satz

Bei fehlendem abstrakten Denkvermögen, hilft oft ein Beispiel: 7 ist die siebente Zahl. Und allgemein: n ist die nte Zahl. Diese Endlichkeit kann man nicht verlassen.

> »Es ist beweisbar, dass jede natürliche Zahl n endlich und abzählbar ist.«

Das Gegenteil ist beweisbar, wenn man die Logik des Allquantors akzeptiert:

Auf jede definierbare Zahl folgen unendlich viele undefinierbare:

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

oder mit Anfangsabschnitten A(n) und Endsegmenten E(n):

∀n ∈ ℕ_def: |E(n)| - |A(n)| = ℵo.

> Verbinde die untereinander stehenden Zahlen jeweils mit einem Strich, so:
>
> 0 1 2 3 4 5 6 7 8
> | | | | | | | | |
> 1 2 3 4 5 6 7 8 9
>
> Jetzt hast Du eine eineindeutige Zuordnung der ersten neun Elemente der
> Menge der natürlichen Zahlen mit Null zu den ersten neun Elementen der
> natürlichen Zahlen ohne Null. Beide Mengen sind aber abzählbar unendlich.
> Du kannst dieses Spiel also beliebig lange fortsetzen, ohne an ein Ende zu
> gelangen. Das bedeutet:

potentielle Unendlichkeit der Menge ℕ_def.

Gruß, WM

Juergen Ilse

unread,
Dec 13, 2021, 2:20:22 PM12/13/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Bei fehlendem abstrakten Denkvermögen, hilft oft ein Beispiel: 7 ist die siebente Zahl. Und allgemein: n ist die nte Zahl. Diese Endlichkeit kann man nicht verlassen.

Eben. Alle natuerlichen Zahlen sind endlich. Darueber hinaus ist die Menge
der natuerlichen Zahlen eine "induktive Menge", sprich, sie enthaelt zu
jeder naatuerlichen Zahl n deren Nachfolger (der groesser als n ist), womit
es keine maximale natuerliche Zahl geben kann. Und das ist der Gruund,
warum die Menge *aller* natuerlichen Zahlen dennoch unendlich ist, obwohl
jede einzelne natuerliche Zahl nur endlich ist. Wenn SIE das nicht begreifen,
ist IHR deenken zu beschraenkt fuer jegliche Mathematik, die Unendlichkeit
einbezieht.

>> »Es ist beweisbar, dass jede natürliche Zahl n endlich und abzählbar ist.«
>
> Das Gegenteil ist beweisbar, wenn man die Logik des Allquantors akzeptiert:

Der Allquantor soll eine "Logik" haben? Welche denn?

> potentielle Unendlichkeit der Menge ℕ_def.

Es existieren (in ZF und ZFC) keine "nur potentiell unendlichen Mengen".
Wozu auch?

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Michael Klemm

unread,
Dec 13, 2021, 4:09:29 PM12/13/21
to
Marcus Gloeder schrieb am Montag, 13. Dezember 2021 um 07:07:29 UTC+1:
> Hallo alle zusammen,
>
> am 09.12.21 13:18, schrieb Ganzhinterseher:
> >Man kann aber beweisen, dass alle natürlichen Zahlen endlich sind und sich selbst abzählen.
> Zahlen, die »sich selbst abzählen«? Einen verständlichen Sinn ergibt der
> Satz nur, wenn er folgendermaßen umformuliert wird:
----
> »Es ist beweisbar, dass jede natürliche Zahl n endlich und abzählbar ist.«
>
> Dann wäre noch zu ergänzen, dass die Menge aller natürlichen Zahlen
> abzählbar unendlich ist, weil jede natürliche Zahl n einen Nachfolger n+1
> hat.

Der Satz »... « ist verkorkst, weil das nicht beweisbar ist, sondern axiomatisch festgelegt wird. Es muss also heißen:
"Es wird definiert, dass natürliche Zahlen n folgende Eigenschaften haben: ...."

Gruß
Michael

Ganzhinterseher

unread,
Dec 13, 2021, 4:42:25 PM12/13/21
to
Juergen Ilse schrieb am Montag, 13. Dezember 2021 um 20:20:22 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> > Das Gegenteil ist beweisbar, wenn man die Logik des Allquantors akzeptiert:
> Der Allquantor soll eine "Logik" haben? Welche denn?
> > potentielle Unendlichkeit der Menge ℕ_def.
> Es existieren (in ZF und ZFC) keine "nur potentiell unendlichen Mengen".
> Wozu auch?

Was ist denn in allen Endsegmenten enthalten, die einen leeren Schnitt aber unendlichen Inhalt haben?

Woraus besteht die Differenz ∀n ∈ ℕ_def: |E(n)| - |A(n)| = ℵo.

Gruß, WM

Juergen Ilse

unread,
Dec 13, 2021, 6:12:48 PM12/13/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Montag, 13. Dezember 2021 um 20:20:22 UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>
>> > Das Gegenteil ist beweisbar, wenn man die Logik des Allquantors akzeptiert:
>> Der Allquantor soll eine "Logik" haben? Welche denn?
>> > potentielle Unendlichkeit der Menge ℕ_def.
>> Es existieren (in ZF und ZFC) keine "nur potentiell unendlichen Mengen".
>> Wozu auch?
>
> Was ist denn in allen Endsegmenten enthalten, die einen leeren Schnitt aber unendlichen Inhalt haben?

Gar nichts. Fuer *jedes* Element eines Endsegments gibt es unter den
unendlich vielen folgenden Endsegmenten (mindestens) eins, dass genau dieses
Element *nicht* enthaelt. Da das ohne Beschraeenkung der Allgemeinheit gilt,
gilt das fuer *JEDES* Element *JEDES* beliebigen Endseegments. Daraus folgt,
es gibt keine natuerliche Zahl, die in *allen* Endsegmenten enthalten ist.

> Woraus besteht die Differenz ∀n ∈ ℕ_def: |E(n)| - |A(n)| = ℵo.

Was soll die Differenz einer Aussage sein? Verstehen wenigsten SIE, was
sie damit aauszudruecken verasuchten? Ich (und vermutlich jeder andere
Leser dieser Gruppe ausser IHNEN) verstehe es naemlich *nicht*.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Marcus Gloeder

unread,
Dec 14, 2021, 2:44:56 AM12/14/21
to
Hallo alle zusammen,

am 13.12.21 22:09, schrieb Michael Klemm:
>Der Satz »... « ist verkorkst, weil das nicht beweisbar ist, sondern axiomatisch festgelegt wird. Es muss also heißen:
>"Es wird definiert, dass natürliche Zahlen n folgende Eigenschaften haben: ...."

OK. WMs Satz, in dem steht, Zahlen würden »sich selbst abzählen«, impliziert
allerdings, Zahlen seien handelnde Subjekte in der realen Welt und nicht
abstrakte Denkobjekte. Noch nicht einmal Thomas von Aquin wäre, denke ich,
so weit gegangen.

>Gruß
>Michael

Viele Grüße
Marcus

[ToFu gelöscht]

--
PMs an: m.gl...@gmx.de

Ganzhinterseher

unread,
Dec 14, 2021, 3:36:51 AM12/14/21
to
Juergen Ilse schrieb am Dienstag, 14. Dezember 2021 um 00:12:48 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> >> Es existieren (in ZF und ZFC) keine "nur potentiell unendlichen Mengen".
> >> Wozu auch?
> >
> > Was ist denn in allen Endsegmenten enthalten, die einen leeren Schnitt aber unendlichen Inhalt haben?
> Gar nichts.

Unendliche Endsegmente enthalten unendlich viele Zahlen. Also enthält jedes mindestens eine Zahl. Also ist Deine Aussage falsch.

> Fuer *jedes* Element eines Endsegments gibt es unter den
> unendlich vielen folgenden Endsegmenten (mindestens) eins, dass genau dieses
> Element *nicht* enthaelt.

Aber unendlich viele größere.

> Da das ohne Beschraeenkung der Allgemeinheit gilt,
> gilt das fuer *JEDES* Element *JEDES* beliebigen Endseegments. Daraus folgt,
> es gibt keine natuerliche Zahl, die in *allen* Endsegmenten enthalten ist.

Das ist für alle Endsegmente richtig, für alle unendlichen Endsegmente aber offensichtlich falsch. Erstaunlich ist nur, zu welch absurden Aussagen die Matheologie treibt.

> > Woraus besteht die Differenz ∀n ∈ ℕ_def: |E(n)| - |A(n)| = ℵo.
> Was soll die Differenz einer Aussage sein?

Erstaunlich ist auch, zu welch unbeholfenen Verteidigungsversuchen die Matheologie den Matheologen treibt.

> Ich (und vermutlich jeder andere
> Leser dieser Gruppe ausser IHNEN) verstehe es naemlich *nicht*.

Vermutlich versteht es kein Matheologe. Denn sonst müsste er ja bemerken, dass seine Weltanschauung die Innenseite einer Schüssel ist, die einen Sprung hat.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 14, 2021, 3:50:23 AM12/14/21
to
Marcus Gloeder schrieb am Dienstag, 14. Dezember 2021 um 08:44:56 UTC+1:

> OK. WMs Satz, in dem steht, Zahlen würden »sich selbst abzählen«, impliziert
> allerdings,

Leser seien denkende Subjekte.

> Noch nicht einmal Thomas von Aquin wäre, denke ich,
> so weit gegangen.

Statt Denkversuche zu unternehme, mache Dich kundig. Dann erfährst Du, dass Zahlgrößen sich sogar selbst widersprechen können (Cantor).

Gruß, WM

Michael Klemm

unread,
Dec 14, 2021, 4:21:13 AM12/14/21
to
Marcus Gloeder schrieb am Dienstag, 14. Dezember 2021 um 08:44:56 UTC+1:
»n zählt sich selbst ab« lasse ich als Kurzfassung für »{1,...,n} ist vermöge 1 < ...< n wohlgeordnet« gelten.

Gruß Michael

Juergen Ilse

unread,
Dec 15, 2021, 9:33:41 PM12/15/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Dienstag, 14. Dezember 2021 um 00:12:48 UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>
>> >> Es existieren (in ZF und ZFC) keine "nur potentiell unendlichen Mengen".
>> >> Wozu auch?
>> >
>> > Was ist denn in allen Endsegmenten enthalten, die einen leeren Schnitt aber unendlichen Inhalt haben?
>> Gar nichts.
>
> Unendliche Endsegmente enthalten unendlich viele Zahlen. Also enthält jedes mindestens eine Zahl. Also ist Deine Aussage falsch.

Wieder eine voreilige (und falsche) Schlussfolgerung von IHNEN. Aus "jedes
(unendliche) Endsegment enthaelt mindestens eine Zahl" laesst sich nicht
folgern "Es gibt eine Zahl, die in allen Endsegmenten enthalten ist".
Vielmehr gibt es zu jeder natuerlichen Zahl ein Endsegment, dass diese Zahl
nicht enthaelt. Die Menge *aller* Endsegmente ist eine (aktual) unendliche
Menge, die (bzgl. der Relation "ist Obermenge von") kein minimales Element
besitzt. Es existiert kein Endsegment, das Teilmenge jedes anderen waere.
Waere die Menge aller Endsegmente endlich, gaebe es ein solches (aufgrund
der "Inklusionsmonotonie" und der Tatsache, dass jede endliche Menge bzgl.
jeder auf der Menge definierten Ordnungsrelation ein minimales und ein
maximales Element haben muss). Bei unendlichen Mengen ist das aber *nicht*
unbedingt der Fall ...

>> Fuer *jedes* Element eines Endsegments gibt es unter den
>> unendlich vielen folgenden Endsegmenten (mindestens) eins, dass genau dieses
>> Element *nicht* enthaelt.
>
> Aber unendlich viele größere.

Ob ein Ensegment groessere natuerliche Zahlen enthaelt oder nicht, spielt
fuer die Frrage, ob diese natuerliche Zahl im Schnitt aller Endsegmente
enthalten sein kann, *keine* Rolle. Da es aber zu *jeder* natuerlichen Zahl
(mindestens) ein Endsegment gibt, dass diese natuerliche Zahl icht enthaelt,
kann die jeweilige natuerlich Zahl nicht im Schnitt *aller* Endsegmente
enthalten sein. Da das fuer *jede* natuerliche Zahl gilt, kann keine natuer-
liche Zahl in *allen* Endseegmenten enthalten sein.

>> Da das ohne Beschraeenkung der Allgemeinheit gilt,
>> gilt das fuer *JEDES* Element *JEDES* beliebigen Endseegments. Daraus folgt,
>> es gibt keine natuerliche Zahl, die in *allen* Endsegmenten enthalten ist.
>
> Das ist für alle Endsegmente richtig,

Es geht doch um *alle* Endegmente.

> für alle unendlichen Endsegmente aber offensichtlich falsch.

*JEDES* Endsegment ist unendlich.

> Erstaunlich ist nur, zu welch absurden Aussagen die Matheologie treibt.

Hier muesste es heissen "die Mueckematik" (was soll "Matheologie"
eigentlich sein?).

>> > Woraus besteht die Differenz ∀n ∈ ℕ_def: |E(n)| - |A(n)| = ℵo.
>> Was soll die Differenz einer Aussage sein?
> Erstaunlich ist auch, zu welch unbeholfenen Verteidigungsversuchen die Matheologie den Matheologen treibt.

SIE haben die Frage nicht beantwortwet.

Die "Differenz einer Aussage" ist eine genauso unsinnige Formulierung
wie "die Gueltigkeit eines Quantors".

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usnet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

unread,
Dec 16, 2021, 9:40:05 AM12/16/21
to
Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 03:33:41 UTC+1:

> > Unendliche Endsegmente enthalten unendlich viele Zahlen. Also enthält jedes mindestens eine Zahl. Also ist Deine Aussage falsch.
> Aus "jedes
> (unendliche) Endsegment enthaelt mindestens eine Zahl" laesst sich nicht
> folgern "Es gibt eine Zahl, die in allen Endsegmenten enthalten ist".

Doch, genau das lässt sich folgern, denn die Folge der Endsegmente ist inklusionsmonoton. Was in einem Endsegment enthalten ist, ist in allen seinen Vorgängern enthalten. Enthält jedes Endsegment eine Zahl, so ist eine Zahl in jedem Endsegment enthalten.

> Vielmehr gibt es zu jeder natuerlichen Zahl ein Endsegment, dass diese Zahl
> nicht enthaelt.

Das ist zwar richtig, gilt aber nicht für unendliche Endsegmente. Jedes unendliche Endsegment enthält unendlich viele Elemente gemeinsam mit allen Vorgängern und allen unendlichen Nachfolgern. Anderenfalls gäbe es einen ersten Nachfolger, der weniger Elemente gemeinsam mit allen Vorgängern hätte.

> Die Menge *aller* Endsegmente ist eine (aktual) unendliche
> Menge, die (bzgl. der Relation "ist Obermenge von") kein minimales Element
> besitzt. Es existiert kein Endsegment, das Teilmenge jedes anderen waere.

Es existiert kein unendliches Endsegment, das weniger als unendlich viele Elemente gemeinsam mit jedem unendlichen Endsegment hat.

Gegenbeispiele gibt es nicht.

> Waere die Menge aller Endsegmente endlich, gaebe es ein solches (aufgrund
> der "Inklusionsmonotonie" und der Tatsache, dass jede endliche Menge bzgl.
> jeder auf der Menge definierten Ordnungsrelation ein minimales und ein
> maximales Element haben muss). Bei unendlichen Mengen ist das aber *nicht*
> unbedingt der Fall ...

Die Menge aller unendlichen Endsegmente ist potentiell unendlich. Es gibt kein letztes unendliches Endsegment.

> >> Fuer *jedes* Element eines Endsegments gibt es unter den
> >> unendlich vielen folgenden Endsegmenten (mindestens) eins, dass genau dieses
> >> Element *nicht* enthaelt.
> >
> > Aber unendlich viele größere.
> Ob ein Ensegment groessere natuerliche Zahlen enthaelt oder nicht, spielt
> fuer die Frrage, ob diese natuerliche Zahl im Schnitt aller Endsegmente
> enthalten sein kann, *keine* Rolle.

Aber es spielt eine Rolle in der Frage, ob die Mengenlehre inkonsistent ist.

Der Schnitt aller Endsegmente ist ℕ\L, wo L die Menge der aufgrund von n ∉ E(n+1) verlorenen Zahlen ist.
Der Schnitt aller unendlichen Endsegmente ist unendlich, denn wenn E(n) unendlich ist, ist L endlich.

> Da es aber zu *jeder* natuerlichen Zahl
> (mindestens) ein Endsegment gibt, dass diese natuerliche Zahl icht enthaelt,
> kann die jeweilige natuerlich Zahl nicht im Schnitt *aller* Endsegmente
> enthalten sein. Da das fuer *jede* natuerliche Zahl gilt, kann keine natuer-
> liche Zahl in *allen* Endseegmenten enthalten sein.

Da einem unendlichen Endsegment nur endlich viele Zahlen fehlen können, ist der Schnitt aller unendlichen Endsegment ℕ\L, wo L endlich ist. Also ergibt sich ein Widerspruch.

> > Das ist für alle Endsegmente richtig,
> Es geht doch um *alle* Endegmente.
> > für alle unendlichen Endsegmente aber offensichtlich falsch.
> *JEDES* Endsegment ist unendlich.

Das ist falsch. Jedes unendliche Endsegment hat unendlich viele Zahlen nicht verloren, also nur endlich viele verloren.

> >> > Woraus besteht die Differenz ∀n ∈ ℕ_def: |E(n)| - |A(n)| = ℵo.
> >> Was soll die Differenz einer Aussage sein?
> > Erstaunlich ist auch, zu welch unbeholfenen Verteidigungsversuchen die Matheologie den Matheologen treibt.
> SIE haben die Frage nicht beantwortet.

Die Frage lautete: Woraus besteht die für alle definierbaren Zahlen existierende Differenz |E(n)| - |A(n)| = ℵo ?
>
> Die "Differenz einer Aussage" ist eine genauso unsinnige Formulierung

Ich hatte erwartet, dass du sie lesen könntest. Aber ich habe sie oben übersetzt.

Gruß, WM

Juergen Ilse

unread,
Dec 16, 2021, 9:16:12 PM12/16/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 03:33:41 UTC+1:
>
>> > Unendliche Endsegmente enthalten unendlich viele Zahlen. Also enthält jedes mindestens eine Zahl. Also ist Deine Aussage falsch.
>> Aus "jedes
>> (unendliche) Endsegment enthaelt mindestens eine Zahl" laesst sich nicht
>> folgern "Es gibt eine Zahl, die in allen Endsegmenten enthalten ist".
>
> Doch, genau das lässt sich folgern, denn die Folge der Endsegmente ist inklusionsmonoton. Was in einem Endsegment enthalten ist, ist in allen seinen Vorgängern enthalten. Enthält jedes Endsegment eine Zahl, so ist eine Zahl in jedem Endsegment enthalten.

Das traefe zu, wenn es ein "letztes Endsegment" gaebe, aber genau das
ist eben in einer endlichen Menge von Endsegmenten *nicht* der Fall.
Wie oft wurde IHNEN dass bereits erklaert?

>> Vielmehr gibt es zu jeder natuerlichen Zahl ein Endsegment, dass diese Zahl
>> nicht enthaelt.
>
> Das ist zwar richtig, gilt aber nicht für unendliche Endsegmente.

Fuer welches "unendliche Endsegment" gilt das denn nicht? SIE brauchen
auch nur eins zu nennen. um IHRE Behauptung zu beweisen.

> Jedes unendliche Endsegment enthält unendlich viele Elemente gemeinsam mit allen Vorgängern und allen unendlichen Nachfolgern. Anderenfalls gäbe es einen ersten Nachfolger, der weniger Elemente gemeinsam mit allen Vorgängern hätte.

Was soll das mit der Frage zu tun haben? Es hat aber *kein* Element mit
*allen* (unndendlich vielen) Endsegmenten gemeinsam, weil es fuer jede
natuerliche Zahl ein Endsegment gibt, dass diese natuerliche Zahl nicht
enthaeelt (das wurde IHNEN gefuehlt schon unendlich oft bewiesen).

>> Die Menge *aller* Endsegmente ist eine (aktual) unendliche
>> Menge, die (bzgl. der Relation "ist Obermenge von") kein minimales Element
>> besitzt. Es existiert kein Endsegment, das Teilmenge jedes anderen waere.
>
> Es existiert kein unendliches Endsegment, das weniger als unendlich viele Elemente gemeinsam mit jedem unendlichen Endsegment hat.

Mein Satz war so gemeint, wie er dort oben steht, und so ist er auch wahr.
IHR sinnloses Gblubber aendert daran *rein* *gar* *nichts*.

> Gegenbeispiele gibt es nicht.

Gegenbeispiele wofuer?

>> Waere die Menge aller Endsegmente endlich, gaebe es ein solches (aufgrund
>> der "Inklusionsmonotonie" und der Tatsache, dass jede endliche Menge bzgl.
>> jeder auf der Menge definierten Ordnungsrelation ein minimales und ein
>> maximales Element haben muss). Bei unendlichen Mengen ist das aber *nicht*
>> unbedingt der Fall ...
>
> Die Menge aller unendlichen Endsegmente ist potentiell unendlich.

Es existieren keine "nur potentiell unendlichen Mengen", SIE mathematischer
Vollhonk.

> Es gibt kein letztes unendliches Endsegment.

Es gibt *ueberhaupt* *kein* "letztes" Endseegment.
Zu *JEDEM* Endsegment existiert *mindestens* eins, dass echte Teilmenge
dieses Endssegments ist. Beweis: Jede nicht leere Menge natuerlicher
Zahlen besitzt ein kleinstes Element. Sei m eine beliebige natuerliche
Zahl und E(m) das Endsegment { k element |N | k >= m }.
Dann ist die Menge { l element |N | l >= m+1 } ebenfalls ein Endsegment
der natuerlichen Zahlen, und offensichtlich eines, das eine echte Teil-
menge des zuvor genannten Endsegments ist. Damiti ist fuer das Endsegment
E(m) der Nachweis erbracht, dass fuer E(m) kein "letztes Endsegment" sein
kann, denn es gibt eins, dass eine echte Teilmenge von E(m) ist.
Da E(m) ein *beliebiges* Endsegment ist, gilt o.B.d.A. *JEDES* nicht
leere Endsegment der natuerlichen Zahlen hat "einen Nachfolger" (der
eine echte Teilmenge dieses Endsegments ist). Deshalb existiert kein
Endsegment, dass "das letzte Endsegment" sein koennte. Folglich exis-
tiert kein "letztes Endsegment".

>> >> Fuer *jedes* Element eines Endsegments gibt es unter den
>> >> unendlich vielen folgenden Endsegmenten (mindestens) eins, dass genau dieses
>> >> Element *nicht* enthaelt.
>> >
>> > Aber unendlich viele größere.
>> Ob ein Ensegment groessere natuerliche Zahlen enthaelt oder nicht, spielt
>> fuer die Frage, ob diese natuerliche Zahl im Schnitt aller Endsegmente
>> enthalten sein kann, *keine* Rolle.
>
> Aber es spielt eine Rolle in der Frage, ob die Mengenlehre inkonsistent ist.

Dann *beweisen* SIE eine Inkonsistenz der Mengenlehre, nicht mit Geschwurbel,
unbelegten Behauptungen oder ausschliesslich IHRER Intuition, sondern wirklich
in Form eines mathematisch formal korrekten vollstaendigen BEweises.
Aber was schreibe ich da, zusolchen Beweisen sind ja ja (wie SIE mit fast
*jedem* IHRER Beitraege beweisen) ueberhaupt nicht faehig.

> Der Schnitt aller Endsegmente ist ℕ\L, wo L die Menge der aufgrund von n ∉ E(n+1) verlorenen Zahlen ist.
> Der Schnitt aller unendlichen Endsegmente ist unendlich, denn wenn E(n) unendlich ist, ist L endlich.

L ist aber nicht nur endlich, sondern sogar die *gesamte* Menge der
natuerlichen Zahlen, auch wenn SIE zu unfaehig sind, zu begreifen, dass
genau *das* die Folgerung aus "fuer jede natuerliche Zahl n existiert
ein Endsegment E, fuer das gilt: n ist nicht element E".

> Die Frage lautete: Woraus besteht die für alle definierbaren Zahlen existierende Differenz |E(n)| - |A(n)| = ℵo ?
>>
>> Die "Differenz einer Aussage" ist eine genauso unsinnige Formulierung
>
> Ich hatte erwartet, dass du sie lesen könntest. Aber ich habe sie oben übersetzt.

SIE haben die Frage nicht nur in der Formulierung sondern auch in der
Semnantik geaendert, und SIE sind offenbar sogar zu unfaehig, das selbst
zu erkennen. Allerdings haetten SIE (damit andere erkennen koennen ohne
im Thread rueckwaerts zu suchen) auch die Urspurengliche Frag zitieren
muesseen, was SIE vermutlich *absichtlich* nicht getan haben, um die
semantische Aenderung der Fragestellung zu verdecken ...

In der urspruengliche Frage stand etwas wie (sinngemaess) "Was ist der
Unteraschied zwischen (irgend eine Allquantor Aussage)?", und das ist
nicht nur eine andere Formulierung als das dort oben, es hat eine voellig
andere Struktur.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

unread,
Dec 17, 2021, 6:17:05 AM12/17/21
to
Juergen Ilse schrieb am Freitag, 17. Dezember 2021 um 03:16:12 UTC+1:
> Hallo,
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 03:33:41 UTC+1:
> >
> >> > Unendliche Endsegmente enthalten unendlich viele Zahlen. Also enthält jedes mindestens eine Zahl. Also ist Deine Aussage falsch.
> >> Aus "jedes
> >> (unendliche) Endsegment enthaelt mindestens eine Zahl" laesst sich nicht
> >> folgern "Es gibt eine Zahl, die in allen Endsegmenten enthalten ist".
> >
> > Doch, genau das lässt sich folgern, denn die Folge der Endsegmente ist inklusionsmonoton. Was in einem Endsegment enthalten ist, ist in allen seinen Vorgängern enthalten. Enthält jedes Endsegment eine Zahl, so ist eine Zahl in jedem Endsegment enthalten.
> Das traefe zu, wenn es ein "letztes Endsegment" gaebe,

Nein, das trifft zu, solange ein Endsegment eine Zahl enthält.

Diese Zahl ist nämlich in allen Vorgängern enthalten. Solange kein leeres Endsegment vorhanden ist, ist der Schnitt aller Endsegmente nicht leer. Insbesondere ist der Schnitt aller unendlichen Endsegmente unendlich.

> Es existieren keine "nur potentiell unendlichen Mengen

Die Menge der endlichen Anfangsabschnitte ist nicht aktual unendlich, weil auf jeden ein aktual unendliches Endsegment folgt. Auch wenn Du es nicht begreifen kannst, so gilt trotzdem, dass zwei konsekutive ℵ₀-Mengen in der natürlichen Ordnung von ℕ nicht möglich sind.

Und außerdem gilt das Schubfachprinzip natürlich überall, wo Mathematik gilt.

Gruß, WM

Juergen Ilse

unread,
Dec 17, 2021, 9:57:47 AM12/17/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Freitag, 17. Dezember 2021 um 03:16:12 UTC+1:
>> Hallo,
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>> > Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 16. Dezember 2021 um 03:33:41 UTC+1:
>> >
>> >> > Unendliche Endsegmente enthalten unendlich viele Zahlen. Also enthält jedes mindestens eine Zahl. Also ist Deine Aussage falsch.
>> >> Aus "jedes
>> >> (unendliche) Endsegment enthaelt mindestens eine Zahl" laesst sich nicht
>> >> folgern "Es gibt eine Zahl, die in allen Endsegmenten enthalten ist".
>> >
>> > Doch, genau das lässt sich folgern, denn die Folge der Endsegmente ist inklusionsmonoton. Was in einem Endsegment enthalten ist, ist in allen seinen Vorgängern enthalten. Enthält jedes Endsegment eine Zahl, so ist eine Zahl in jedem Endsegment enthalten.
>> Das traefe zu, wenn es ein "letztes Endsegment" gaebe,
>
> Nein, das trifft zu, solange ein Endsegment eine Zahl enthält.

Falsch.

> Diese Zahl ist nämlich in allen Vorgängern enthalten.

... aber nicht in allen Nachfolgern, und davon gibt es ´bei *jedem*
Endsegment unendlich viele (auch wenn SIE es nicht begreifen).

> Solange kein leeres Endsegment vorhanden ist, ist der Schnitt aller Endsegmente nicht leer.

Schon wieder flsach ...

> Insbesondere ist der Schnitt aller unendlichen Endsegmente unendlich.

Jedes Enndsegment ist unendlich und hat unendlich viele "Nachfolger".

>> Es existieren keine "nur potentiell unendlichen Mengen
>
> Die Menge der endlichen Anfangsabschnitte ist nicht aktual unendlich,

Doch. Trivialerweise ist die Abbildung jedes endlichen Anfangsabschnitts
A(n) auf sein Maximum n eine bijektive Abbildung, und die Menge aller
Maxxima der endlichen Anfangsabschnitte ist gleich der Menge der natuer-
lichen Zahlen. Da also eine Bijektion zwischen der Menge der endlichen
Anfangsabschnitte der natuerlichen Zahlen und der Menge der natuerlichen
Zahlen exitiert, ist die Menge der endlichen Anfangsabschnitte abzaehlbar
unendlich.

> weil auf jeden ein aktual unendliches Endsegment folgt.

Na und? Daraus folgt bzgl. der MAechtigkeit der Menge der endlichen
Anfangsabschnitte *gar* *nichts*.

> Auch wenn Du es nicht begreifen kannst, so gilt trotzdem, dass zwei
> konsekutive ℵ₀-Mengen in der natürlichen Ordnung von ℕ nicht möglich sind.

Richtig. Aber *JEDER* endliche Anfangsabschnitt ist ja nur endlich (genau
wie *jede* natuerliche Zahl), auch wenn es von beiden unendlich viele gibt.

> Und außerdem gilt das Schubfachprinzip natürlich überall, wo Mathematik gilt.

Das Schubfachprinzip gilt nur fuer "nach oben beschraenkte Mengen"
natuerlicher Zahlen, wozu aber keine unendliche Menge natuerlicher
Zahlen zaehlt.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Marcus Gloeder

unread,
Dec 17, 2021, 10:17:16 AM12/17/21
to
Hallo alle zusammen,

am 17.12.21 12:17, schrieb Ganzhinterseher:
>Und außerdem gilt das Schubfachprinzip natürlich überall, wo Mathematik gilt.

In diesem Wikipedia-Artikel:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Schubfachprinzip

steht:

»In der Mathematik ist das Schubfachprinzip […] eine […] Methode, um gewisse
Aussagen über eine endliche Menge zu machen.«

Das Schubfachprinzip bezieht sich demnach auf *endliche* Mengen. Auf
unendliche Mengen wie die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen
(gleichgültig ob mit oder ohne Null) ist das Schubfachprinzip also gar
nicht anwendbar.

Daher stellt sich die Frage: was soll das hier?

JVR

unread,
Dec 17, 2021, 10:33:03 AM12/17/21
to
Wikipedia hat die neuesten Forschungsergebnisse aus Mückenhausen noch nicht berücksichtigt.
Mücke kann das jederzeit selber korrigieren.

Juergen Ilse

unread,
Dec 17, 2021, 10:42:32 AM12/17/21
to
Hallo,
Herr Mueckenheim pflegt "Dedekind-Unendlichkeit" zu leugnen. Wenn es
Dedekind-Unendlichkeit tatsaechlich nicht gaebe, haette der Herr wo-
moeglich recht, aber Dedekind-Unendlichkeit (eine Menge heisst Dedekind-
unendlich, wenn sie gleichmaechtig zu einer ihrer *echten* Teilmengen
ist) existiert, da man Beispiele dafuer angeben kann. Es ist meines
Wissens nach auch fuer ZFC bewiesen, dass jede unendliche Menge auch
Dedekind-unendlich ist (und umgekehrt), was natuerlichen von diesem
Herrn nicht anerkannt sondern geleugnet wird.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Gus Gassmann

unread,
Dec 17, 2021, 10:59:33 AM12/17/21
to
On Friday, 17 December 2021 at 11:42:32 UTC-4, Juergen Ilse wrote:
[...]
> Herr Mueckenheim pflegt "Dedekind-Unendlichkeit" zu leugnen. Wenn es
> Dedekind-Unendlichkeit tatsaechlich nicht gaebe, haette der Herr wo-
> moeglich recht, aber Dedekind-Unendlichkeit (eine Menge heisst Dedekind-
> unendlich, wenn sie gleichmaechtig zu einer ihrer *echten* Teilmengen
> ist) existiert, da man Beispiele dafuer angeben kann. Es ist meines
> Wissens nach auch fuer ZFC bewiesen, dass jede unendliche Menge auch
> Dedekind-unendlich ist (und umgekehrt), was natuerlichen von diesem
> Herrn nicht anerkannt sondern geleugnet wird.
>
> Tschuess,
> Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Das musste ich jetzt allerdings auch erst nachlesen. Also: In manchen Modellen von ZF gibt es unendliche Dedekind-endliche Mengen. Allerdings sind unendlich und Dedekind unendlich auch in ZF äquivalent für _wohlgeordnete_ Mengen. Und in ZFC sind die beiden Begriffe äquivalent für _alle_ Mengen.

Ganzhinterseher

unread,
Dec 17, 2021, 11:36:13 AM12/17/21
to
Juergen Ilse schrieb am Freitag, 17. Dezember 2021 um 15:57:47 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> > Nein, das trifft zu, solange ein Endsegment eine Zahl enthält.
> Falsch.
> > Diese Zahl ist nämlich in allen Vorgängern enthalten.
> ... aber nicht in allen Nachfolgern, und davon gibt es ´bei *jedem*
> Endsegment unendlich viele

die aber alle Vorgänger sind, weil es kein letztes gibt.
Außerdem ist für Dich vielleicht noch leichter zu merken: Wenn alle Nachfolger unendlich sind, dann sind in allen Nachfolgern unendlich viele Zahlen enthalten.

> > Insbesondere ist der Schnitt aller unendlichen Endsegmente unendlich.
> Jedes Enndsegment ist unendlich und hat unendlich viele "Nachfolger".

Also sind auch alle Nachfolger unendlich. Sie enthalten nur Zahlen, die in allen Vorgängern enthalten sind.

> >> Es existieren keine "nur potentiell unendlichen Mengen
> >
> > Die Menge der endlichen Anfangsabschnitte ist nicht aktual unendlich,
> Doch. Trivialerweise ist die Abbildung jedes endlichen Anfangsabschnitts
> A(n) auf sein Maximum n eine bijektive Abbildung, und die Menge aller
> Maxxima der endlichen Anfangsabschnitte ist gleich der Menge der natuer-
> lichen Zahlen.

Diese Trivialität ist falsch.
∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

> > weil auf jeden ein aktual unendliches Endsegment folgt.
> Na und? Daraus folgt bzgl. der MAechtigkeit der Menge der endlichen
> Anfangsabschnitte *gar* *nichts*.

Wieder falsch.

> > Auch wenn Du es nicht begreifen kannst, so gilt trotzdem, dass zwei
> > konsekutive ℵ₀-Mengen in der natürlichen Ordnung von ℕ nicht möglich sind.
> Richtig. Aber *JEDER* endliche Anfangsabschnitt ist ja nur endlich (genau
> wie *jede* natuerliche Zahl), auch wenn es von beiden unendlich viele gibt.

Wieder falsch.

> > Und außerdem gilt das Schubfachprinzip natürlich überall, wo Mathematik gilt.
> Das Schubfachprinzip gilt nur fuer "nach oben beschraenkte Mengen"
> natuerlicher Zahlen, wozu aber keine unendliche Menge natuerlicher
> Zahlen zaehlt.

Es zählt jeder endliche Anfangsabschnitt dazu. Es gibt da keine Ausnahme.

Gruß, WM

Martin Vaeth

unread,
Dec 17, 2021, 11:47:06 AM12/17/21
to
Gus Gassmann <horand....@gmail.com> wrote:
>> fuer ZFC bewiesen, dass jede unendliche Menge auch Dedekind-unendlich ist
>> (und umgekehrt)
>
> In manchen Modellen von ZF gibt es unendliche Dedekind-endliche Mengen.

Oben stand ZFC; Du schreibst ZF. Tatsächlich ist es so, dass bereits eine
der schwächsten Formen des Auswahlaxioms (das abzählbare Auswahlaxiom nämlich)
ausreicht, um zu zeigen, dass jede unendliche Menge eine bijektive Kopie der
natürlichen Zahlen enthält und damit vermöge n->n+1 Dedekind-unendlich ist.
Für die Umkehrung braucht man natürlich nur ZF, sogar wesentlich weniger
(i.W. genügt vollständige Induktion).

Ganzhinterseher

unread,
Dec 17, 2021, 11:53:04 AM12/17/21
to
Marcus Gloeder schrieb am Freitag, 17. Dezember 2021 um 16:17:16 UTC+1:

> Auf
> unendliche Mengen wie die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen
> (gleichgültig ob mit oder ohne Null) ist das Schubfachprinzip also gar
> nicht anwendbar.
>
> Daher stellt sich die Frage: was soll das hier?

Das ist leicht erklärt: Wenn man endliche Ketten der Form o, oo, ooo, ... bilden möchte, aber maximal n Symbole verwenden darf, so kann man maximal n verschiedene Ketten bilden. Beispiel: Mit vier Symbolen kann man maximal vier verschiedene Ketten bilden
o, oo, ooo und oooo. Bildet man mehr als vier Ketten, zum Beispiel fünf, dann sind mindestens zwei gleichlang, also ununterscheidbar.

Wenn man unendlich viele Ketten der Form o, oo, ooo, ... bilden möchte, aber maximal endlich viele Symbole verwenden darf, dann müssen mindestens zwei gleichlang, also ununterscheidbar sein.

Das bedeutet, dass man nicht ℵo, also mehr als jede endliche Zahl von endlichen Ketten bilden kann.

Da endliche Anfangsabschnitte natürlicher Zahlen 1, 12, 123, ... nicht durch Vertauschung der gewöhnlichen Zahlenfolge sondern nur durch ihre Länge unterscheidbar sind, trifft auf sie genau dasselbe wie auf endliche Ketten zu.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 17, 2021, 11:59:57 AM12/17/21
to
Juergen Ilse schrieb am Freitag, 17. Dezember 2021 um 16:42:32 UTC+1:

> Herr Mueckenheim pflegt "Dedekind-Unendlichkeit" zu leugnen.

Sie trifft bei potentiell unendlichen Mengen zu. Bei aktual unendlichen Mengen würde sie bedeuten, dass die Strichlein auf einem Lineal nur eine Teilmenge der Strichlein auf dem anderen Lineal sind. Das ist für fertige Mengen nicht möglich.

Du darfst nicht vergessen: Unendliche Mengen sind nicht unendlich, weil sie keine Ende haben, sondern weil das Ende durch dunkle Zahlen verhüllt ist. Wenn ω existiert, dann ist die Menge ℕ dort zu Ende. Leichter ist es mit den Stammbrüchen und der 0 verstehbar, ja kaum übersehbar.

Gruß, WM

JVR

unread,
Dec 17, 2021, 12:16:32 PM12/17/21
to
Ach was muß man oft von bösen
Mücken hören oder lesen!
Wie zum Beispiel hier von diesem,
Welchen Mückemaus sie riefen.
Der, anstatt durch weise Lehren
Sich zum Guten zu bekehren,
Oftmals noch darüber lachte
Und sich heimlich lustig machte.
Ja, zur Übeltätigkeit,
Ja, dazu ist man bereit!
Menschen necken, Tiere quälen,
Äpfel, Birnen, Zwetschen stehlen
Das ist freilich angenehmer
Und dazu auch viel bequemer,
Als in Kirche oder Schule
Festzusitzen auf dem Stuhle.

JVR

unread,
Dec 17, 2021, 12:19:33 PM12/17/21
to
Aber wehe, wehe, wehe,
Wenn ich auf das Ende sehe!!
Ach, das war ein schlimmes Ding,
Wie es Mückenmäuslein ging.
Drum ist hier, was er getrieben,
Abgemalt und aufgeschrieben.

JVR

unread,
Dec 17, 2021, 12:39:58 PM12/17/21
to
Also lautet der Beschluß:
daß Mückemaus was lernen muß.
– Nicht allein das A-B-C
bringt den Menschen in die Höh’.

Marcus Gloeder

unread,
Dec 19, 2021, 12:14:05 AM12/19/21
to
Hallo alle zusammen,

am 17.12.21 17:59, schrieb WM:
>Du darfst nicht vergessen: Unendliche Mengen sind nicht unendlich, weil sie keine Ende haben, […]

Doch. Deshalb heißen sie so.

>[…] sondern weil das Ende durch dunkle Zahlen verhüllt ist. […]

Quatsch. Die dunklen Zahlen verhüllen lediglich in WMs Kopf jede
Möglichkeit, den Begriff des Unendlichen in der Mathematik verstehen zu
können.

>[…] Wenn ω existiert, […]

Das tut es. ω wird in der Mathematik als Symbol für die kleinste unendliche
Ordinalzahl verwendet, wie sich hier nachlesen lässt:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Omega

(in der Aufzählung der Verwendung des Kleinbuchstabens Omega in dem
Abschnitt »Verwendung als Formelzeichen und in Fachsprachen«.)

Das ganze Konzept ist hier erklärt:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl

Das bedeutet: die natürlichen Zahlen nähern sich ω immer weiter an, ohne es
zu erreichen. Sie haben kein Ende.


> […] dann ist die Menge ℕ dort zu Ende. […]

Nein. Jedenfalls dann, wenn »Ende« bedeuten soll, es gebe eine »letzte«
natürliche Zahl »vor« ω. ω selbst ist _nicht_ Bestandteil der Menge der
natürlichen Zahlen.

>[…] Leichter ist es mit den Stammbrüchen und der 0 verstehbar, […]

Das bezieht sich offenbar auf WMs Cursor-Beispiel, das ebenfalls Unfug ist.
Auch in diesem Fall ist seine Argumentation heroisch (sprich: falsch).

>[…] ja kaum übersehbar.

ist WMs Unvermögen, selbst einfache Zusammenhänge zu verstehen. Ich glaube
allerdings nicht, dass er einfach »zu blöd« dafür ist. Er ist eher
ideologisch verblendet. Und das ist so verfestigt, dass da mit logischer
Argumentation nichts mehr zu machen ist.

Ganzhinterseher

unread,
Dec 19, 2021, 6:12:57 AM12/19/21
to
Marcus Gloeder schrieb am Sonntag, 19. Dezember 2021 um 06:14:05 UTC+1:

> Das bedeutet: die natürlichen Zahlen nähern sich ω immer weiter an, ohne es
> zu erreichen. Sie haben kein Ende.

Nach ω gibt es keine mehr. Also sind sie zu Ende.
>
> > […] dann ist die Menge ℕ dort zu Ende. […]
>
> Nein. Jedenfalls dann, wenn »Ende« bedeuten soll, es gebe eine »letzte«
> natürliche Zahl »vor« ω.

Es gibt leine letzte, aber die Menge ist trotzdem fertig, vollständig und bei ω zu Ende. Wenn es alle natürlichen Zahlen gibt, dann gibt es keine unterschiedliche Anzahl, die je nach Betrachtungsweise mal mehr mal weniger ist.

Hast Du übrigens verstanden, weshalb es nicht aktual unendlich viele endliche Anfangsabschnitte geben kann? Ich hatte es Dir vorgestern in diesem Thread erklärt.

Gruß, WM


Juergen Ilse

unread,
Dec 20, 2021, 2:26:16 AM12/20/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Freitag, 17. Dezember 2021 um 15:57:47 UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>
>> > Nein, das trifft zu, solange ein Endsegment eine Zahl enthält.
>> Falsch.
>> > Diese Zahl ist nämlich in allen Vorgängern enthalten.
>> ... aber nicht in allen Nachfolgern, und davon gibt es ´bei *jedem*
>> Endsegment unendlich viele
>
> die aber alle Vorgänger sind, weil es kein letztes gibt.

Ein Lichtblick! WM gibt zu, dass es kein "letztes" Endsegment gibt.
Nun fehlt nur noch, die Konsequenzen aus dieser Tatsache zu akzeptieren.

> Außerdem ist für Dich vielleicht noch leichter zu merken: Wenn alle Nachfolger unendlich sind, dann sind in allen Nachfolgern unendlich viele Zahlen enthalten.

Das stimmt auffallend. Alle Endsegmente der natuerlichen Zahlen sind
#unendlich und jedes Endsegment hat unendlich viele Nachfolger.

>> > Insbesondere ist der Schnitt aller unendlichen Endsegmente unendlich.
>> Jedes Enndsegment ist unendlich und hat unendlich viele "Nachfolger".
> Also sind auch alle Nachfolger unendlich.

Richtig.

> Sie enthalten nur Zahlen, die in allen Vorgängern enthalten sind.

Auch das stimmt.

>> >> Es existieren keine "nur potentiell unendlichen Mengen
>> > Die Menge der endlichen Anfangsabschnitte ist nicht aktual unendlich,
>> Doch. Trivialerweise ist die Abbildung jedes endlichen Anfangsabschnitts
>> A(n) auf sein Maximum n eine bijektive Abbildung, und die Menge aller
>> Maxxima der endlichen Anfangsabschnitte ist gleich der Menge der natuer-
>> lichen Zahlen.
> Diese Trivialität ist falsch.

Nein, korrekt.

> ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Fuer jeden endlichen Anfangsaabschnitt A ist die Differenzmenge |N\A
eine unendliche Menge. Ja, das ist logisch, denn die Differenzmenge einer
*unendlichen* Menge ohne eine *endliche* Menge ist immer unendlich.
(nicht nur in dem Fall, dass es sich bei der endlichen Menge um einen
endlichen Anfaangsabschnitt handelt). Ueber die hier diskutierten Themen
dagt das allerdings *nichts* aus.

>> > weil auf jeden ein aktual unendliches Endsegment folgt.
>> Na und? Daraus folgt bzgl. der MAechtigkeit der Menge der endlichen
>> Anfangsabschnitte *gar* *nichts*.
> Wieder falsch.

Was soll denn IHRER Ansicht nach daraus folgen? Die Vereinigung aller
(unendlich vieler) Anfangsabschnitte ist verschieden von *JEDEM* end-
lichen Anfangsabschnitt, Sie ist noch nicht einmal mehr eine endliche
Menge.

>> > Auch wenn Du es nicht begreifen kannst, so gilt trotzdem, dass zwei
>> > konsekutive ℵ₀-Mengen in der natürlichen Ordnung von ℕ nicht möglich sind.
>> Richtig. Aber *JEDER* endliche Anfangsabschnitt ist ja nur endlich (genau
>> wie *jede* natuerliche Zahl), auch wenn es von beiden unendlich viele gibt.
> Wieder falsch.

Auch wenn SIE zu beschraenkt sind, um es zu begreifen: es ist dennoch so.

>> > Und außerdem gilt das Schubfachprinzip natürlich überall, wo Mathematik gilt.
>> Das Schubfachprinzip gilt nur fuer "nach oben beschraenkte Mengen"
>> natuerlicher Zahlen, wozu aber keine unendliche Menge natuerlicher
>> Zahlen zaehlt.
>
> Es zählt jeder endliche Anfangsabschnitt dazu. Es gibt da keine Ausnahme.

Richtig. Endliche Anfangsabschnitte sind ja immer *endliche* (und damit
nach oben beschraenkte) Mengen natuerlicher Zahlen. Unendliche Mengen
natuerlicher Zahlen sind aber weder endlich noch "nach oben beschraenkt"
und eben deswegen gilt fuer letztere das Schubfachprinzip *nicht* mehr.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Dec 20, 2021, 2:32:23 AM12/20/21
to
Hallo,
Ja. Es wurde hier schon einmal aangesprochen, dass Dedeking-Unendlichkeit
in ZFC aequivalent zu Unendlichkeit ist, in ZF aber nicht unbbedingt.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.dde)

Juergen Ilse

unread,
Dec 20, 2021, 2:38:26 AM12/20/21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Du darfst nicht vergessen: Unendliche Mengen sind nicht unendlich, weil sie keine Ende haben,

Doch so genau so ist es (umgangssprachlich fomuliert).

> sondern weil das Ende durch dunkle Zahlen verhüllt ist.

Unfug. Es wurde IHNEN doch bereits mehrfach bewiesen, dass es keine "dunklen
natuerlichen Zahlen" geben kann, weil das der Minimalitaet der natuelrichen
Zahlen als induktive Menge widerspraeche.

> Wenn ω existiert, dann ist die Menge ℕ dort zu Ende.

Die Menge |N erreicht niemals omega, kommt nnoch nicht einnmal dicht heran.
Es gibt auch keine letzte (groesste) natuerliche Zahl, weder rot noch blau
noch gruen, weder hell noch dunkel, einfach ueberhaupt nicht.
Ach ja, einen "kleinsten" (am dichtesten an der 0 liegenden) Stammbruch
gibt es auch nicht (das folgt daraus, dass es keine groesste natuerliche
Zahl gibt).

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Dec 20, 2021, 2:47:51 AM12/20/21
to
Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Marcus Gloeder schrieb am Sonntag, 19. Dezember 2021 um 06:14:05 UTC+1:
>
>> Das bedeutet: die natürlichen Zahlen nähern sich ω immer weiter an, ohne es
>> zu erreichen. Sie haben kein Ende.
>
> Nach ω gibt es keine mehr. Also sind sie zu Ende.

99 ist das Ende der einstelligen Dezimalzahlen. Danach kommt keine
einstellige Dezimalzahl mehr, als sind die einstelligen Dezimalzahlen
bei 99 zu Ende.

>> > […] dann ist die Menge ℕ dort zu Ende. […]
>>
>> Nein. Jedenfalls dann, wenn »Ende« bedeuten soll, es gebe eine »letzte«
>> natürliche Zahl »vor« ω.
>
> Es gibt leine letzte, aber die Menge ist trotzdem fertig, vollständig und bei ω zu Ende.

... genau wie die Menge der einsteelligen Dezimalzahlen bei 99 zu Ende sind.

> Hast Du übrigens verstanden, weshalb es nicht aktual unendlich viele endliche Anfangsabschnitte geben kann?

Nein, denn es gibt "aktual unendlich viele" endliche Anfangsabschnitte
der natuerlichen Zahlen.

> Ich hatte es Dir vorgestern in diesem Thread erklärt.

SIE haben wild herumphantasiert, aber dabei nicht wirklich etwas erklaert.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Marcus Gloeder

unread,
Dec 20, 2021, 10:45:25 AM12/20/21
to
Am 20.12.21 08:38, schrieb Juergen Ilse:
>Hallo,

Hallo alle zusammen,

das, was Jürgen schreibt, habe ich (im Prinzip jedenfalls) auch schon
geschrieben. Nämlich am 19.12.2021 um 6.14 Uhr.

>Tschuess,
> Juergen Ilse

Ganzhinterseher

unread,
Dec 20, 2021, 2:41:47 PM12/20/21
to
Juergen Ilse schrieb am Montag, 20. Dezember 2021 um 08:26:16 UTC+1:
> Die Vereinigung aller
> (unendlich vieler) Anfangsabschnitte

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵ₀

> ist verschieden von *JEDEM* end-
> lichen Anfangsabschnitt, Sie ist noch nicht einmal mehr eine endliche
> Menge.

Dann sollte man den Mehrwert angeben können. Die Vereinigung muss ja ℵ₀ mehr Elemente haben als jeder endliche Anfangsabschnitt.

> >> Aber *JEDER* endliche Anfangsabschnitt ist ja nur endlich

Dan muss die Vereinigung mehr enthalten.

> Unendliche Mengen
> natuerlicher Zahlen sind aber weder endlich noch "nach oben beschraenkt"
> und eben deswegen gilt fuer letztere das Schubfachprinzip *nicht* mehr.

Auch unendlich viele Anfangsabschnitte müssen alle verschieden sein. Dazu werden unendlich viele Unterscheidungsmerkmale benötigt, seien es Zahlen oder einfach Kringel. Zwischen (1, 2, 3, 4, 5) und (ooooo) besteht kein Informationsunterschied, denn die Zahlen dürfen ja nicht ihre Plätze wechseln. Es sind aber per Definition von endlichem Anfangsabschnitt nur endlich viele Kringel vorhanden.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Dec 20, 2021, 2:44:45 PM12/20/21
to
Juergen Ilse schrieb am Montag, 20. Dezember 2021 um 08:47:51 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Marcus Gloeder schrieb am Sonntag, 19. Dezember 2021 um 06:14:05 UTC+1:
> >
> >> Das bedeutet: die natürlichen Zahlen nähern sich ω immer weiter an, ohne es
> >> zu erreichen. Sie haben kein Ende.
> >
> > Nach ω gibt es keine mehr. Also sind sie zu Ende.
> 99 ist das Ende der einstelligen Dezimalzahlen. Danach kommt keine
> einstellige Dezimalzahl mehr, als sind die einstelligen Dezimalzahlen
> bei 99 zu Ende.

Nein, das sind die zweistelligen. Die einstelligen sind bereits bei 9 zu Ende.
.
> >> > […] dann ist die Menge ℕ dort zu Ende. […]
> >>
> >> Nein. Jedenfalls dann, wenn »Ende« bedeuten soll, es gebe eine »letzte«
> >> natürliche Zahl »vor« ω.
> >
> > Es gibt keine letzte, aber die Menge ist trotzdem fertig, vollständig und bei ω zu Ende.

> > Hast Du übrigens verstanden, weshalb es nicht aktual unendlich viele endliche Anfangsabschnitte geben kann?
> SIE haben wild herumphantasiert,

Du begreifst es nicht, aber Du warst ja auch gar nicht gefragt.

Gruß, WM

Marcus Gloeder

unread,
Dec 21, 2021, 4:31:16 AM12/21/21
to
Am 20.12.21 20:44, schrieb Ganzhinterseher:
>Du begreifst es nicht, aber Du warst ja auch gar nicht gefragt.

Ich lasse Jürgen gerne den Vortritt.

>Gruß, WM
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